Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

A / Lời nói đầu Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, lý thú, song đó lại là một trong những dạng toán khó đối với học sinh bậc THCS. Nội dung này được giới thiệu khá đầy đủ trong chương trình Đại Số 8 và có thể coi là nội dung lòng cốt của chương trình. Bởi nó được vận dụng rất nhiều ở các phần sau như: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức của các phân thức, biến đổi các biểu thức hữu tỉ, biến đổi các biểu thức vô tỉ, giải phương trình bậc cao ... Thực tế giảng dạy cho thấy, mặc dù các phương pháp được giơí thiệu trong SGK rất rỗ ràng, cụ thể. Song việc các em vận dụng còn nhiều lúng túng. Đặc biệt đối với học sinh khá giỏi thì nội dung kiến thức chưa đáp ứng được nhu cầu học toán của các em. Vậy Dạy – Học nội dung phân tích đa thức thành nhân tử như thế nào để đạt kết quả tốt nhất? Phù hợp cho học sinh đại trà ? Đồng thời đáp ứng được nhu cầu học tập của học sinh khá giỏi. Để đạt kết quả đó, ngoài phương pháp truyền thụ người thầy phải nắm bắt được kiến thức một cách nhuần nhuyễn. Đó chính là lý do tôi đưa ra đề tài này. Cụ thể trong đề tài này, với mỗi phương pháp cơ bản hay đặc biệt. Tôi đếu làm rõ: Phương pháp Bài tập tự luyện Với nội dung và trình bày trong đề tài này, hy vọng đề tài này không chỉ là tài liệu hướng dẫn đối với học sinh mà còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho công tác giảng dạy của giáo viên các trường THCS. B. Nội dung Phần 1: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Các phương pháp cơ bản I/ Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp . + Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có matự trong tất ca\r các hạng tử. + Phân tích mỗi hạng tử thành tích nhân tử chung và một nhân tử. + Viết nhân tử chung ra ngoàI dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả hạng tử của chúng). Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) –3xy + xy – 5xy b) 2x(y – x) + 5y(z – y) c)10x(x + y) – 5(2x + 2y)y Bài Làm –3xy + xy – 5xy = xy(- 3 + y – 5x) b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y) c) 10x(x + y) – 5(2x + 2y)y = 10x(x + y) – 10y(x + y) = 10(x + y)(x – y) = 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y) (x – y) Bài tập Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 12xy – 12xy + 3x 15x – 30 y + 20z x(y – 2007) – 3y(y – 2007) x(y + 1) + 3(y + 2y + 1) Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau 23,45 . 97,5 +23,45 . 5,5 -,23,45 . 3 2x(x – y) + 2x(y – x ) + 2x(z – x) (Với x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008) II) Phương pháp dùng hằng đẳng thức Phương pháp Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản. Những hằng đẳng thức : (A + B) = A + 2AB + B (A - B) = A - 2AB + B A – B = (A + B)(A – B) (A + B) = A + 3AB + 3AB + B (A - B) = A - 3AB + 3AB - B A + B = (A + B)(A – AB + B) A - B = (A - B)(A + AB + B) (A + B + C) = A + B + C + 2AB + 2BC + 2CA A – B = (A – B)(A + AB + + AB + B) A – B = (A +B)(A - AB + - B) A + B = (A + B)(A – AB + AB- +B) (A + B) = A + n AB - AB + + AB + +nAB+ B (A - B) = A - n AB +AB - +(-1)B Ví Dụ – Phân tích đa thức tành nhân tử x + 6xy + 9y a – b (x – 3) - (2 – 3x) x – 3x + 3x - 1 Bài Làm x + 6xy + 9y = x + 2x3y + (3y) = (x + 3y) a – b = (a) – (b) = (a + b) (a – b) = (a + b) (a + b) (a – b) (x – 3) - (2 – 3x) = [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)] = (- x – 1)(5 – 4x) d) x – 3x + 3x - 1 = (x – 1) 2.2 Phân tích đa thức thành nhân tử a + b + c – 3abc (a + b + c) – a – b – c Bài Làm a) a + b + c – 3abc = (a + b) – 3ab(a + b) + c – 3abc = ( a + b + c)[(a + b) – (a + b)c + c] – 3abc( a + b +c) = (a + b + c)( a + b + c – ab – bc – ca) (a + b + c) – a – b – c = (a + b) + c + 3c(a + b)(a + b + c) – a – b –c = 3(a + b)(ab + bc + ac + c) = 3(a + b)(b + c) (c + a) Bài Tập Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử (x – 15) – 16 25 – (3 – x) (7x – 4) – ( 2x + 1) 9(x + 1) – 1 9(x + 5) – (x – 7) 49(y- 4) – 9(y + 2) Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử 8x + 27y (x + 1) + (x – 2) 1 – y + 6xy – 12xy + 8x 2004 - 16 III/ Phân tích đa thức thành nhân tử, bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử. Phương pháp Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào từng nhóm. áp dụng phương pháp phân tích đa thức khác để giải toán. 2. Ví dụ 2.1: Phân tích đa thức thành nhân tử x – 3xy + x – 3y 7x – 7xy – 4x + 4y x + 6x – y + 9 x + y – z – 9t – 2xy + 6zt Bài Làm x – 3xy + x – 3y = (x – 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y) = (x – 3y) (x + 1) 7x – 7xy – 4x + 4y = (7x – 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y) =(x – y) (7x – 4) c)x + 6x – y + 9 = (x + 6x + 9) – y = (x + 3) - y = (x + 3 + y)(x + 3 – y) d)x + y – z – 9t – 2xy + 6zt = (x – 2xy + y) – (z – 6zt + 9t) = (x – y) – (z – 3t) = (x – y + z – 3t)(x – y – z + 3t 2.2 – Phân tích đa thức thành nhân tử xy + xy + xz + xz + yz + yz + 2xyz xy + xy + xz + xz + yz + yz + 3xyz Bài Làm xy + xy + xz + xz + yz + yz + 2xyz = (xz + yz + 2xyz) + xy + xy + xz + yz = z(x + y) + xy(x + y) + z (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z) = (x + y) [(xz + y) + (yz + z)] = (x + y) [yx(x + y) + z(z + y)] = (x + y)(y + z)(x + z) b) xy + xy + xz + xz + yz + yz + 3xyz = (xy + xz + xyz) + ( xy + yz + xyz) + (xz + yz + xyz) = x(xy + xy + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy) = (xy + yz + xz)( x + y + z) 3. Bài Tập Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử x + 3x – 9x – 27 x + 3x – 9x – 9 x – 3x + 3x – 1 – 8y BàI 6: Phân tích đa thức thành nhân tử. x(y2 – z2) + y(z2 – y2) + z(x2 – y2) xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z ) x(y + z )2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y) IV/ phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp 1. phương pháp Vận dụng linh hoạt các phương pháp cơ bản đã biết và thường tiến hành theo trình tự sau : - Đặt nhân tử chung - Dùng hằng đẳng thức - Nhóm nhiều hạng tử 2. ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử 5x -- 45x 3xy – 6x2y – 3xy – 6axy2 – 3a2xy + 3xy Bài làm 5x – 45x = 5x(x2 – 9) = 5x(x +3) (x – 3) 3x2y – 6x2y – 3xy – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy [( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy [(x – 1) 2 – (y + a) 2] = 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)] = 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1) 3. bài tập Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc 8x(x + z) – y(z + 2x) – z(2x - y) [(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] 2 – 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)] 2 Bài 8. Phân tích đa thức thành nhân tử (x + y + z) – x – y - z Hướng dẫn (x + y + z ) – x – y -- z =[(x + y + z) – x] – (y + z) = (x + y + z – x) [(x+ y + z) 2 + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz + z2) = (y+z)[ x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x2 + x2 – y2 + yz – z2] = (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz) = 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)] = 3( x + y)(y + z)(x + z) V/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử 1. Phương pháp Ta phân tích một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử thích hợp, để xuất hiện những nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung 2.Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành thành nhân tử x2 – 6x + 8 Bài làm cách 1: x2 – 6x + 8 = (x2 – 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2)(x – 4) Cáh 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3) 2 – 1 = (x –3 + 1)(x – 3 – 1) = (x – 2)(x – 4) Cách 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + 2 – 6) = (x – 2)(x – 4) Cách 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(x + 4 –6) = (x –4)(x – 2) Cách 5: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4x + 4) – 2x + 4 = ( x – 2) 2 – 2(x – 2) = (x – 2)(x – 2 – 2) = (x – 2)(x – 4) 3. Bài Tập Bài 9 : Phân tích đa thức thành nhân tử. x2 + 7x +10 x2 – 6x + 5 3x2 – 7x – 6 10x2 – 29x + 10 Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x + 4x2 – 29x + 24 b) x + 6x2 + 11x + 6 x2 – 7xy + 10y 4x2 – 3x – 1 VI/ Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. Phương pháp Ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện n nhóm số hạng mà ta có thể phân tích được thành nhân tử chung bằng các phương pháp: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, ... Ví dụ – Phân tích đa thức thành nhân tử. x + 64 = x + 64 + 16x – 16x = (x + 8) – (4x) = (x + 4x + 8)(x – 4x + 8) – Phân tích đa thức thành nhân tử. x + 4y x + x + 1 Bài làm a) x + 4y= x + 4y + 4xy – 4xy = (x + 2y) – (2xy) = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy) b) x + x + 1 = (x + x + x) – (x + x + x) + (x + x + 1) = x(x + x + 1) – x(x + x + 1) + (x + x +1) = (x + x + 1)(x – x +1) Bài tập Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử. x + x + 1 x + x + 1 x + x + 1 x + 4 Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử. x + 5x + 3x – 9 x + 9x + 11x – 21 x – 7x + 6 Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x - 5x + 8x – 4 b) x – 3x + 2 x – 5x + 3x + 9 x + 8x + 17x + 10 x + 3x + 6x + 4 Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử. x – 2x – 4 2x – 12x + 7x – 2 x + x + 4 x + 3x + 3x + 2 x + 9x + 26x + 24 2x – 3x + 3x + 1 3x – 14x + 4x + 3 * MộT Số Phương Pháp khác VII/ Phương pháp đặt biên số (đặt biên phụ) Phương pháp Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần. Ta đặt biểu thức ấy là một biến mới. Từ đó viết đa thức đã cho thành đa thức mới dễ phân tích thành nhân tử hơn. Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử. 6x – 11x + 3 (x + 3x + 1)(x + 3x – 3) –5 (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Bài Làm Đặt x = y - Đa thức đã cho trở thành: 6y – 11y + 3 = (3y – 1)(2y – 3) - Trả lại biến cũ: 6x – 11x + 3 = (3x – 1) (2x – 3) = ( x – 1)( x + 1)( x - )( x + ) Đặt x + 3x + 1 = y ị x – 3x – 3 = y – 4 Đa thức đã cho trở thành y(y – 4) – 5 = y – 4y – 5 = (y + 1)(y + 5) Trả lại biến cũ. (x + 3x + 1)(x + 3x – 3) – 5 = (x + 3x + 1 + 1)(x + 3x + 1 – 5) = (x + 3x + 2)(x + 3x – 4) = (x + 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15 Đặt x + 8x + 7 = y ị x + 8x + 15 = y + 8 Đa thức đã cho trở thành : y(y + 8) + 15 = y + 8y + 15 = y + 5y + 3y + 15 = y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3) Trả lại biến cũ (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x + 8x +7 + 5)(x + 8x + 7 + 3) = (x + 8x + 12)(x + 8x + 10) = (x + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) 3. Bài Tập Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử. (x + x) – 2(x + x) – 15 (x + 3x + 1)(x + 3x + 2) – 6 (x + 4x + 8) + 3x(x + 4x + 8) + 2x Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – 4 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x 3x – 4x + 2x – 8x + 2x – 4x + 3 VIII/ Phương Pháp hệ số bất định Phương Pháp Sử dụng tính chất: Hai đa thức cùng bậc bằng nhau thì hệ số tương ứng của chúng phải bằng nhau. a x + a x + ... + ax + ax + a = bx + bx + ... + bx+ + b x + b Û a = b " i = 1; n 2. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 2.1 – VD1: A = x + 11x + 30 Vì A là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là 1. Nên nếu A phân tích được thì A có dạng. A = (x + a)(x + bx + c) = x + (a + b)x + (ab + c)x + ac Û x + 11x + 30 = x + (a + b)x + (ab + c)x + ac Đồng nhất hệ số, ta có Chọn a = 2 c = 15; b = -2 Vậy (x + 11x + 30) = (x + 2)(x – 2x + 15) 2.2 – Ví dụ 2: B = x – 14x + 15x – 14x +1 Vì B là đa thức bậc 4, hệ số cao nhất là 1 nên nếu B phân tích được thành nhân tử thì B có dạng: B = (x + ax + b)(x + cx + d) ÛB = x + (a + c)x + (ac + b + d)x + (ad + bc)x + bd Đồng nhất hệ số, ta có: hoặc Do vậy B = (x – x + 1)(x – 13x + 1) hoặc B = (x – 13x + 1)(x – x + 1) Bài tập Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử x + 4x + 5x + 2 2x – 3x –7x + 6x + 8 5x + 9x – 2x – 4x – 8 Bài 17: Tìm a, b, c x – 2x + 2x – 2x + a = (x – 2x + 1)(x + bx + c) x + 3x – x – 3 = (x – 2)( x + bx + c) + a 4x + 7x + 7x – 6 = (ax + b)(x + x +1) + c IX / Phương pháp xét giá trị riêng Phương pháp Khi các biến có vai trò như nhau trong đa thức thì ta xét giá trị riêng. Ví Dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử. 2.1: VD1: P = (x + y + z)- x – y – z Bài Làm Coi P là một đa thức biến x Khi đó nếu x = -y thì P = 0 P M (x + y) Trong P, vai trò của x, y, z bình đẳng nên. P M (x + z) P M (y + z) P = (x + y)(x + z)(y + z).Q Mà P là đa thức bậc 2 đối với biế x, y, z nên Q là hằng số. Với x = 0 ; y = z = 1, ta có Q = 3 Vậy P = 3(x + y)(x + z)(y + z) – Ví dụ 2: M = a(b + c)(b – c) + b(c + a)(c –a) + c(a + b)(a – b) Bài Làm Coi M là đa thức biến a Khi a = b thì M = 0 ịM M (a - b) Trong M vai trò của a, b, c bình đẳng nên : M M (b - c) M M (c - a) M = (a - b)(b –c)(c – a)N Vì M là đa thức bậc 3 đối với biến a nên N là đa thức bậc nhất đối với a. Nhưng do a,b,c có vai trò bình đẳng nên: N = (a + b + c)R (R là hằng số) ị M = (a - b)(b –c)(c – a)(a + b + c)R Chọn a = 0, b = 1, c = 2 ị R = 1 Vậy B = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c) Bài tập Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) X. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức 1. phương pháp Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0. Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x – a) thì phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do. 2. Ví dụ: x3 + 3x – 4 Nếu đa thức trên có nghiệm là a ( đa thức có chứa nhân tử (x – a) thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx = c suy ra - ac = - 4 suy ra a là ước của – 4 Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tư không đổi. Ước của (- 4) là : -1; 1; -2; 2; - 4; 4. sau khi kiểm tra ta thấy1 là nghiệm của đa thức suy ra đa thức chứa nhân tử (x – 1) Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung (x – 1) *cách 1: x3 + 3x2 – 4 = x3 – x2 + 4x2 = x2(x – 1) + (x – 1) (x + 1) = (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2 *cách 2: x3 + 3x2 – 4 = x 3– 1 + 3x2 – 3 = (x3 – 1) + 3(x2 – 1) = (x – 1) (x2 + x + 1) + 3(x2 – 1) = (x – 1) (x + 2)2 Chú ý: + Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x – 1). +Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử (x + 1). Ví dụ : * Đa thức : x3 -- 5x2 + 8x – 4 có 1 – 5 + 8– 4 = 0 Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức có chứa thừa số (x – 1) *Đa thức : 5x3 – 5x2 + 3x + 9 có (-- 5) + 9 = 1 + 3 Suy ra đa thức có nghiệm là - 1 hay đa thức chứa thừa số (x + 1). +Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có nghiệm hữu tỷ . Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng p/q trong đó p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất Ví dụ: 2x3 – 5x2 + 8x – 3 Nghiệm hữu tỷ Nếu có của đa thức trên là : (-- 1); 1 ; (-- 1/2) ; 1/2 ; (-- 3/2) ; 3/2 ;-- 3.. Sau khi kiểm tra ta thấy x =1/2 là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - 1/2) hay (2x – 1). Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung (2x – 1). 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 2x3 – x2 – 4x2 + 2x + 6x – 3 =x2 (2x – 1) – 2x(2x –1) + 3(2x –1) =(2x – 1)(x2 – 2x + 3) XI. Phương pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai Phương pháp: Tam thức bậc hai ax2 +bx + c Nếu b2 – 4ac là bình phương của một số hữu tỷ thì có thể phân tích tam thức thành thừa số bằng một trong các phương pháp đã biết . Nếu b2 – 4ac không là bình phương của một số hữu tỷ nào thì không thể phân tích tiếp được nữa . b)Ví dụ : 2x2 – 7x + 3 Với a =2 , b =- 7 , c = 3 Xét b2 -- 4ac = 49 -- 4.2.3 =25 = 55 Suy ra Phân tích được thành nhân tử : 2x2 -- 7x + 3 = ( x-- 3)(2x -- 1) Hoặc có thể phân tích bằng cách để ra bình phương đủ . 2x2 -- 7x + 3 = 2/9x2-- 7/2x + 3/2 =2(x2 -- 2.7/4 + 49/16 -- 25/16) =2[(x-- 7/4) 2-- (5/4) 2] = 2(x - 1/2)(x - 3) =(2x - 1)(x - 3) Chú ý: P(x) = ax2 + bx + c có nghiệm là x1 , x2 thì P(x) =a( x-- x1)(x -- x2) Phần 2: Các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử. I).Bài toán rút gọn biểu thức 1. Phương pháp +Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung. + áp dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số: Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung. ị Học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức giúp phát triển tư duy suy luận lôgic, sáng tạo. 2)Ví dụ: Rút gọn biểu thức A = B = Bài Làm A = A = A = A = b) MTC = x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) B = B = B = 3. Bài tập Bài 19. Rút gọn biểu thức A = B = C = D = Bài 20. Rút gọn biểu thức A = B = Bài 21. Cho x2 - 4x + 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức A = II) Bài toán giải phương trình bậc cao. Phương pháp : áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa về phương trình tích AB = 0 hoặc A = 0 hoặc B = 0 Ví dụ: Giải phương trình * Ví Dụ 1: x3 -- 7x2 + 15x-- 25 = 0 x3-- 5x2-- 2x2 + 10x + 5x- 25 = 0 x2(x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x -- 5) = 0 (x- 5)(x2- 2x + 5) = 0 (Vô lý) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {5} *Ví dụ 2: (2x2 + 3x - 1) 2-- 5(2x2 + 3x + 3) + 24 = 0 (1) Đặt : 2x2 + 3x - 1 = t (*) ị 2x2 + 3x + 3 = t + 4 Phương trình đã cho trở thành: t2 - 5(t + 4) + 24 = 0 Û t2 - 5t + 4 = 0 Û (t - 1)(t - 4) = 0 Û Û + Thay t = 1 vào (*), ta có: 2x2 + 3x - 1 = 1 Û 2x 2 + 3x - 2 = 0 Û (2x 2 + 4x) - x - 2 = 0 Û 2x(x + 2) - (x + 2) = 0 (x + 2) (2x - 1) = 0 + Thay t =4 vào (*), ta có : 2x2 + 3x - 1 = 4 Û 2x 2 + 3x - 5 = 0 Û (x - 1)( 2x +5) = 0 Û Vậy phương trình (1) có tập nghiệm: S = { -2; ;; 1} * Ví Dụ 3: (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40 (1) Û (x + 1)(x + 5)(x + 2)(x + 4) = 40 Û (x2 + 6x + 5)(x2 + 6x + 8) = 40 Đặt x2 + 6x + 5 = t (*) ị x2 + 6x + 8 = t + 3 Phương trình đã cho trở thành: t(t + 3) = 40 Û t2 + 3t – 40 = 0 Û (t – 5)(t + 8) = 0 Û Thay t = 5 vào (*), ta có: x2 + 6x + 5 = 5 Ûx2 + 6x = 0 Ûx(x + 6) = 0 Û Thay t = -8 vào (*), ta có: x2 + 6x + 5 = - 8 Û x2 + 6x + 13 = 0 Ûx2 + 2x + + = 0 Û (x + )2 + = 0 (Vô lý) Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {0; -6} Ví dụ 4: Giải phương trình đối xứng bậc chẵn x + 3x + 4x + 3x + 1 = 0 (4) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (4) ị Chia hai vế của (4) cho x ạ 0, ta được x + 3x + 4 + 3 + = 0 (x2 +) + 3(x + ) + 4 = 0 Đặt x + = t (*) ị x + = t – 2 Phương trình đã cho trở thành : t + 3t + 2 = 0 (t + 1)(t + 2) = 0 Thay t = - 1 vào (*), ta được : x + = -1 x + x + 1 = 0 (Vô nghiệm) Thay t = - 2 vào (*), ta được : x + = - 2 x + 2x + 1 = 0 (x + 1) = 0 x = -1 Vậy phương trình (4) có tập nghiệm S = {-1} *Ví Dụ 5 : Giải Phương trình đối xứng bậc lẻ x – x + 3x + 3x – x + 1 = 0 (5) Có x = - 1 là 1 nghiệm của phương trình (5). Do đó (5) Û (x + 1)(x – 2x + 5x – 2x + 1) = 0 Giải phương trình đối xứng bậc chẵn. x4 – 2x3 + 5x2 – 2x + 1 = 0 (5’) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (5’). Chia cả 2 vế của (5’) cho xạ 0, ta có: x – 2x + 5 - 2 + = 0 Û (x + ) – 2(x + ) + 5 = 0 Đặt (x + ) = t (*) ị (x + ) = t – 2 (5’) Û t – 2t +3 = 0 Û (t – 1) + 2 = 0 ( vô nghiệm) Vậy Phương trình (5) có tập nghiêm S = {-1} Bài tập: Bài 22: giải phương trình 2x + 3x +6x +5 =0 x – 4x – 19x + 106x – 120 = 0 4x + 12x + 5x – 6x – 15 = 0 x + 3x + 4x + 2 = 0 Bài 23: giải phương trình x(x + 1) (x – 1)(x+ 2) = 24 (x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680 (2x + 1)(x+ 1)(2x + 3) = 18 12x + 7)(3x + 2)(2x + 1) = 3 Bài 24: giải phương trình (x – 6x + 9) – 15(x – 6x + 10) = 1 (x + x + 1) +(x + x + 1) – 12 = 0 (x + 5x) – 2x – 10x = 24 Bài 25: giải phương trình x-- 2x + 4x – 3x + 2 = 0 x – 3x + 4x – 3x + 1 = 0 2x – 9x + 14x – 9x + 2 = 0 x + x + x + x +x+ x + 1 = 0 Bài 26: giải phương trình x + 2x + 3x + 3x + 2x + 1 = 0 III/ Bài toán giải bất phương trình Phương pháp Với một số bất phương trình bậc bao dạng f(x) > 0 hoặc ( f(x) < 0), trong đó vế trái f(x) là một đa thức có thể phân tích thành các nhân tử là những nhị thức bậc nhất thì ta có thể giải nhờ vào cách giải bất phương trình tích Ví dụ : Giải bất phương trình. * Ví dụ 1: x – 5x +6 < 0 (1) Û (x – 2)(x –3) < 0 Ta có bảng : x 2 3 x – 2 -- 0 + + x – 3 -- -- 0 + x – 2)(x – 3) + 0 -- 0 + Vậy bất phương trình (1) có nghiệm là 2 < x <3 2 3 Ví dụ 2: x4 – 3x3 – x + 3 0 Û (x – 1)(x – 3)(x2 + x + 1) 0 vì x2 + x + 1 = (x +)2 + > 0 x Nên x4 – 3x3 – x + 3 0 Û (x – 1)(x – 3) 0 Û 1 x 3 1 3 Ví dụ 3: Û > 0 Quy đồng mẫu thức, ta có : > 0 Û > 0 Ta có bảng : x 0 7 x - - 0 + + 3 – 5x + + + 0 - 2x + 3 - 0 + + + Thương + // - 0 + // - Kết quả x < hoặc 0 < x < 0 Bài Tập: Bài 25: Giải phương trình x – 2x + x + 2 > 0 x – 4x + 3 0 x – 4x + 3 < 0 Bài 26 : Giải phương trình < 0 < + > 2 IV/ Bài toán chia hết Phương pháp: Biến đổi đa thức đã cho thành một tích, trong đó xuất hiện thừa số có dạng chia hết. Ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh rằng (4x + 3) - 25 M 8 "x є Z Bài làm Có (4x + 3) – 25 = 8(2x – 1)(x + 1) M: 8 "x є Z Ví dụ 2: Chứng minh rằng: "n є Z thì biểu thức + + є Z Bài Làm Có + + = Xét 2n + 3n2 + n3 = n(n + 1)(n + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp. Vì vậy ít nhất có 1 thừa số chia hết cho 2; 1 thừa số chia hết cho 3. Mà (2; 3) = 1. Nên tích này chia hết cho 6. Vậy "n є Z thì + + є Z Bài tập Bài 27: Chứng minh rằng 2 + 3 + 5 M 5 2-- 1M 15 7 + 7 + 7 + 7 + ... + 7 M 400 (k є N) 75(4 + 4 + ... + 42 + 5) + 25. 4 Bài 28: Chứng Minh Rằng n – n + 4 Không chia hết cho 3. n + 11n + 39 Không chia hết cho 49. n + 3n + 5 Không chia hết cho 121. C. Thử nghiệm sư phạm Tiết 9: phân tích đa thức nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung Mục tiêu: Học sinh hiểu thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử. Biết cách đặt nhân tử chung và tìm nhân tử chung. Chẩn bị: - GV: Đèn chiếu, bảng phụ ghi các bài tập, chú ý... - HS: Bảng nhóm, bút dạ, giấy trong Tiến trình: Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng Hoạt động 1: Kiễm tra bài cũ: Tính giá trị của biểu thức: Hs1: a) 85.12,7 + 15.12,7 Hs2: b) 52.143 – 52.39 – 8.26 GV: Để tính nhanh giá trị của biểu thức trên các em đã sử dụng tính chất nào? Hoạt động 2: Bài mới VD1: Viết 2x- 4x thành 1 tích các đa thức. - Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử ? GV nhấn mạnh: phân tích đa thức thành nhân tử còn gọi là phân tích đa thức thành thừa số - Cho biết nhân tử chung ở ví dụ trên là gì? VD2: phân tích đa thức 15x3 – 5x2 + 10x thành nhân tử chung + ở vd2 nhân tử chung là gì (là 5x) + Hệ số của nhân tử chung (5) có quan hệ gì với các số nguyên dương của các hạng tử (15,5,10)? - Lũy thừa bằng chữ của nhân tử chung (x) quan hệ như thế nào với lũy thừa bằng chữ của các hạng tử - Gv đưa cách tìm nhân tử chung với các đa thức có hệ số nguyên trang 25 SGK trên màn hình đè chiếu H. động 3: củng cố – luyện tập. - Cho Hs làm vd1 SGK/18 (Đưa đề – màn hình) + Gv hướng dẫn Hs tìm nhân tử chung (ở mỗi câu) ( Lưu ý:Đổi dấu câu c ) + Câu b: Dừng lại kết quả (x – 2y)(5x2 – 15x) có được không? (không vì chưa triệt để ) Cho học sinh làm bài 2 SGK/18 Bài 39/SGK/39 Chia lớp thành 2 nhóm +Nhóm 1: câu b,d +Nhóm 2: câu c,e GV: Hướng dẫn học sinh cách tìm các số hạng viết trong dấu ngoặc Hai HS thực hiện Hs1: a) = 12,7(85 + 15) = 12,7 + 100 =1270 Hs 2: b) = 52. 143 – 52.39 – 4.2.26 = 52.143 – 52.39 – 4.52 = 52(143 – 39 – 4) 52 . 100 = 5200 Hs: đã sử dụng T/c phân phối cửa phép nhân với phép cộng để viết tổng (hoặc hiệu ) Hs viết: 2x2 – 4x = 2x. x – 2x. 2 = 2x(x – 2) Hs: là biến đổi đa thức đó thành một tích cửa những đa thức. Một học sinh khác đọc khái niệm SGK/18 + Hs: là 2x + Một học sinh lên bảng làm VD2 Hs: 15x3 – 5x2 + 10x = 5x. 3x2 – 5x. x + 5x. 2 = 5x(3x2 – x + 2) H/s nhận xét : + Hệ số của nhân tử chung chính là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử. + lũy thừa bằng chữ của nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt trong tất cả các hạng tử của đa thức với số mũ là số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử VD1: phân tích đa thức thành nhân tử x2 – x = x(x – 1) 5x2 (x – 2y) – 15(x – 2y) = (x – 2y)(5x2 – 15) = (x – 2y)5x(x – 3) = 5x(x – 2y)(x – 3) 3(x – y) – 5x(y – x) = 3(x –y) + 5x(x – y) = (3 –5x)(x – y) VD2: SGK/18 Tìm x để 3x2 – 6x = 0 Hs: 3x2 – 6x = 0 ị3x(x – 2) = 0 ị x = 0 hoặc x = 2 Bài 39 2/5x(y – 1) – 2/5y(y – 1) = 2/5(y – 1)(x – 1) 10x(x – y) + 8y(x – y) = (x – y)(10x + 8y) = (x – y).2.(5x + 4y) =2(x – y)(5x + 4y) Tiết 9: phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung Ví dụ Ví dụ1: viết 2x2 – 4x thành một tích của những đa thức Định nghĩa SGK/18 Via dụ2: phân tích đa thức 15x3 – 5x2 + 10x thành nhân tử chung II. Luyện tập Bài 1/SGK/18 Bài 2/SGK/18 Bài 39/SGK/19 III. Củng cố, hướng dẫn về nhà : + Làm các bài tập: 40a,41b, 42 trang 19 + Nghiên cứu trước bài 7 + Ôn lại các hằng đẳng thức đáng nhớ xác nhận của ban giám hiệu nhà trường d. kết luận chung Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng lớn trải suốt chương trình học của học sinh, nó liên quan kết hợp với các phương pháp khác tạo nên sự lôgic chặt chẽ của toán h