Phương trình bậc hai và tam thức bậc hai

PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2 1 Phần I TÓM TẮT VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ TAM THỨC BẬC HAI I. Định nghĩa và cách giải Phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) gọi là phương trình bậc 2 (PTBH). Đa thức: f(x) = ax2 + bx + c = 0 được gọi là tam thức bậc 2 (TTBH). *. Nghiệm của PTBH (nếu có) cũng được gọi là nghiệm của TTBH. *. Dạng chính tắc của TTBH: ax2 + bx + c = a[(x + a b 2 )2 - 2 2 4 4 a acb - ] (1) Từ dạng (1) ta đưa ra cách giải và công thức nghiệm như SGK đã trình bày. II. Sự phân tích TTBH Nếu D > 0 thì f(x) = ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) với x1, x2 là các nghiệm. III. Định lý Vi-ét Nếu D > 0 thì phương trình f(x) = ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt và: S = x1 + x2 = - a b P = x1x2 = a c Ngược lại: Nếu x + y = S và x.y = P thì x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai: t2 - St + P = 0 IV. Đồ thị hàm số bậc 2: a > 0 D > 0 a > 0 D < 0 a > 0 D = 0 a < 0 D > 0 a < 0 D < 0 a < 0 D = 0 4 2 -2 -4 5 4 2 5 4 2 6 4 2 -2 -5 PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2 2 V. GTLN, GTNN: Nếu a > 0 Þ f(x) ³ a xfMin a 4 )( 4 D -=Þ D - Nếu a < 0 Þ f(x) £ a xfMax a 4 )( 4 D -=Þ D - GTLN (GTNN) đạt được Û x= -b/2a VI. Dấu tam thức bậc 2: Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ¹ 0) Nếu D 0 " x ÎR. Nếu D = 0 thì af(x)³ 0 " x Î R. Đẳng thức khi x = -b/2a Nếu D > 0 thì af(x) < 0 " x Î(x1;x2). af(x) ³ 0 " x Î (-¥; x1] U [x2; +¥) Đảo lại: 1) Nếu $ a sao cho: af(a) < 0 thì f(x) có 2 nghiệm phân biệt và x1< a <x2 2) af(a) > 0 af(a) > 0 D > 0 D > 0 a< 2 S a> 2 S Hệ quả trực tiếp: 1') Cho a < b, f(x) = ax2 + bx + c (a ¹ 0) x1 < a < x2 < b a < x1 < b < x2 2') a 0 af(a) > 0 af(b) > 0 ba << 2 S Trên đây là 6 nội dung cơ bản nhất về PTBH và TTBH mà SGK ĐS-10 đã trình bày khá kỹ. Sau đây là các ví dụ ứng dụng. ˜š›™ Û x1 < x2 < a; Û a < x1 < x2 [ Û f(a).f(b) < 0 PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2 3 Phần II CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG CƠ BẢN 1.GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phép giải phương trình bậc 2 với hệ số bằng số khá đơn giản. Ở đây ta chỉ đề cập đến các phương trình chứa tham số. Một chú ý quan trọng ở đây là: Ta thường quên mất không xét đến trường hợp hệ số a = 0. VD1: Cho phương trình: (m2 - 4)x2 + 2(m + 2)x +1 = 0 (1) a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất. Giải: a) Thông thường HS hay mắc sai lầm là chỉ xét đến trường hợp: D ³ 0 mà bỏ quên trường hợp a = 0 * Nếu m2 - 4 = 0 Û m = ±2. Giá trị m = -2 không thoả mãn. * Nếu m ¹ ±2: pt(1) có nghiệm Û m ¹ ±2 D' ³ 0 Tóm lại pt(1) có nghiệm Û m > -2 b) pt(1) có nghiệm duy nhất trong 2 trường hợp: *Trường hợp 1: a = 0 b ¹ 0 *Trường hợp 2: a ¹ 0 m ¹ ±2 (Trường hợp này không xảy ra) D' = 0 m = -2 Vậy với m = 2 pt(1) có nghiệm duy nhất. VD2: Biện luận theo m số nghiệm pt: x3 + m(x + 2) +8 = 0(2) Ta có: x3 + 8 - m(x + 2) = (x + 2)(x2 - 2x + 4 - m) = 0 Đặt f(x) = x2 - 2x + 4 - m Þ số nghiệm pt (2) phụ thuộc số nghiệm của f(x). D' = m - 3 , f(-2) = 12 - m Do đó ta có: 1) D' < 0 Û m < 3 Þ f(x) VN Þ pt(2) có 1 nghiệm duy nhất x = -2 2) D' = 0 Û m = 3. Khi đó f(-2) = 12 - m ¹ 0 nên f(x) có 1 nghiệm khác -2 Þ pt(2) có nghiệm phân biệt (x1 = -2; x2 = 1) Û -2 < m ¹ 2 Û m = 2 Û PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2 4 3) D' > 0 Û m > 3 *Nếu m > 3 m ¹ 12 * Nếu m =12 Þ pt(2) có 2 ngh 2 nghiệm: 1 nghiệm đơn và một nghiệm kép. VD3: Cho hàm số: y = (x - 2)(x2 + mx + m2 - 3) (3) có đồ thị (C). Tìm m để: a) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt. b) (C) tiếp xúc với Ox. Giải tóm tắt: Đặt f(x) = x2 + mx + m2 - 3 a) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt Û D > 0 f(2) ¹ 0 b) (C) tiếp xúc với Ox Û f(2) = 0 D = 0 VD4: Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì phương trình a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b2 = 0 (4) vô nghiệm Thật vậy: D = (a2 + b2 - c2)2 - 4a2b2 = (a2 + b2 - c2 - 2ab)( a2 + b2 - c2 + 2ab) = [(a - b)2 - c2 ][(a + b)2 - c2] = (a - b - c)(a - b + c)(a + b - c)(a + b + c) < 0 BÀI TẬP: 1.1. Giải phương trình: (x + 1)(½x½ - 1) = - 2 1 1.2. Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0. Hãy thiết lập phương trình với các nghiệm là: 1 1 1 x y = và 2 2 1 x y = 1.3. Tìm tất cả các giá trị của k để phương trình: )3( 1 322 -= - +- xk x xx có nghiệm kép không âm 1.4. Tìm tất cả các giá trị của p để parabol: y = x2 + 2px + 13 có đỉnh cách gốc toạ độ một khoảng bằng 5 Þ pt(2) có 3 nghiệm phân biệt. [ PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2 5 2. BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG CỦA HAI NGHIỆM HỆ THỨC GIỮA CÁC NGHIỆM PTBH Đặt Sn = nn xx 21 + , x1x2 = P Ta có S1 = x1 + x2 = S S2 = 22 2 1 xx + = (x1 + x2) 2 - 2x1x2 = S 2 - 2P . . . . . . . . . . . . . . . . . Sn được tính theo công thức truy hồi sau: aSn + bSn-1 + cSn-2 = 0 (*) Ta chứng minh (*) như sau: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0 Þ 0121 =++ cbxax (1) 02 2 2 =++ cbxax (2) Nhân hai vế của (1) và (2) lần lượt với 21 -nx và 22 -nx (nÎZ, n > 2) Ta có: 021 1 11 =++ -- nnn cxbxax (3) 022 1 22 =++ -- nnn cxbxax (4) Cộng (3) và (4) vế với vế ta được 0)()()( 22 2 1 1 2 1 121 =+++++ ---- nnnnnn xxcxxbxxa Ta có điều PCM. VD5: Cho .)31()31( 55 -++=A Chứng minh A Î Z HS: A = S5 = 152 VD6: Cho f(x) = 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + 3 Gọi x1, x2 là nghiệm của f(x). Tìm Max A A=| x1x2 - 2x1 - 2x2 | Giải: Để $ x1, x2 thì D ³ 0 Û -5 £ m £ -1 (*) Khi đó: 2 782 ++ = mm A Xét dấu của A ta có: m2 + 8m + 7 £ 0 "x thoả mãn (*) Þ A = 2 9 2 9 2 )4(9 2 78 22 =Þ£ +- = --- MaxA mmm VD7: Tìm điều kiện cần và đủ để phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có 2 nghiệm và nghiệm này gấp k lần nghiệm kia. Giải: Xét: M = (x1 - kx2)(x2 - kx1) = . . . . . . PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2 6 = (k + 1)2ac - kb2 Þ Điều kiện cần: Nếu x1 = kx2 hoặc x2 = kx1 Þ M = 0 Û (k + 1)2ac = kb2 Điều kiện đủ: Nếu (k + 1)2ac = kb2 Û M = 0 Û x1 = kx2 x2 = kx1 VD8: Biết a, b, c thoả mãn: a2 + b2 + c2 = 2 (1) ab + bc + ca = 1 (2) Chứng minh: 3 4 ,, 3 4 ££- cba (3) Nhận xét: Từ (1) và (2) ta thấy vai trò của a, b, c bình đẳng nên ta chỉ cần chứng minh 1 trong 3 số a, b, c thoả mãn (3). Đặt: S = a + b P = ab Từ (1) và (2) ta có: S2 - 2P = 2 - c2 (4) P + cS = 1 (5) Từ (5) Þ P = 1 - cS thay vào (4) ta có S2 - 2(1 - cS) = 2 - c2 Û S2 + 2cS + c2 - 4 = 0 Û S = -c + 2 S = -c - 2 * Nếu S = -c +2 Þ P = c2 - 2c + 1 Þ a, b là nghiệm của phương trình: t2 - (2 - c)t + c2 - 2c + 1 = 0 Phương trình này phải có nghiệm Û D ³ 0 Û 0 £ c £ 4/3 * Nếu S = -c - 2 Tương tự ta có: -4/3 £ c £ 0 Tóm lại: Ta có 3 4 ,, 3 4 ££- cba VD9: Tìm m để đồ thị hàm số y = x2 - 4x + m cắt Ox tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho: OA = 3 OB HD: OA = | xA | ; OB = | xB | và xét 2 trường hợp: xA= 3xB và xA= - 3xB BÀI TẬP: 2.1. Tìm tất cả các giá trị của m để tổng các bình phương các nghiệm của phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0 đạt giá trị nhỏ nhất. 2.2. Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phương trình: x + y = 2a - 1 x2 + y2 = a2 + 2a - 3 Xác định a để tích xy nhỏ nhất [ [ PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2 7 3. QUAN HỆ GIỮA CÁC NGHIỆM CỦA HAI PTBH 1) Hai phương trình ax2 + bx + c = 0 và a'x2 + b'x + c = 0 có nghiệm chung Û Hệ ax2 + bx + c = 0 a'x2 + b'x + c = 0 Ta có thể giải hệ (1) bằng phương pháp thế. Tuy nhiên nếu ta giải theo phương pháp sau đây thì đơn giản hơn nhiều: Đặt x2 = y ta có: ay + bx = - c a'y + b'x = - c' Þ Hệ (1) có nghiệm Û Hệ (2) có nghiệm y = x2 ïî ï í ì = ¹ Û ïî ï í ì = ¹ Û D D D D D D D D D x y xy 2 2 2 00 VD10: Chứng minh rằng nếu 2 phương trình x2 + p1x + q1 = 0 và x2 + p2x + q2 = 0 có nghiệm chung thì: (q1 - q2)2 + (p1 - p2)(q2p1 - q1p2) = 0 HD: Sử dụng phương pháp đã trình bày ở trên. 2) Hai phương trình bậc 2 tương đương. Chú ý: HS hay bỏ sót trường hợp: Nếu 2 phương trình cùng vô nghiệm thì tương đương (trên tập nào đó) VD11: Tìm m để hai phương trình x2 -mx + 2m - 3 = 0 và x2 -(m2 + m - 4)x +1 = 0 tương đương *Trường hợp 1: D1 < 0 D2 < 0 *Trường hợp 2: Sử dụng Vi-ét 3) Hai phương trình có nghiệm xen kẽ nhau. Chú ý rằng: Mọi phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) bao giờ cũng đưa được về dạng: x2 + px + q = 0 Do đó ta có bài toán: Với điều kiện nào của p, q, p', q' để 2 phương trình: (1) có nghiệm (2) PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2 8 x2 + px + q = 0 và x2 + p'x + q' = 0 có nghiệm xen kẽ nhau. Ta xét 2 khả năng: * Khả năng 1: Nếu p = p' Khi đó: Nếu q = q' Þ 2 đồ thị trùng nhau (không thoả mãn) Nếu q ¹ q' Þ Đồ thị này là tịnh tiến của đồ thị kia dọc theo đường thẳng 2 P x -= nên cũng không thoả mãn. * Khả năng 2: Nếu p ¹ p' Þ 2 parabol cắt nhau tại điểm có hoành độ Þ+÷÷ ø ö çç è æ - - +÷÷ ø ö çç è æ - - =Þ - - = q pp qq p pp qq y pp qq x ' ' ' ' ' ' 2 00 Để 2 phương trình có nghiệm xen kẽ nhau thì y0 < 0 Û (q - q')2 + p(q - q')(p' - p) + q(p' - p)2 < 0 VD12: Tìm m để 2 phương trình x2 + 3x + 2m = 0 và x2 + 6x + 5m = 0 có nghiệm xen kẽ nhau. ĐS: m Î (0 ; 1) BÀI TẬP: 3.1. Cho hai phương trình: x2 - 2x + m = 0 và x2 + 2x - 3m = 0 a). Tìm m để 2 phương trình có nghiệm chung. b). Tìm m để 2 phương trình tương đương. c). Tìm m để 2 phương trình có các nghiệm xen kẽ nhau. 3.2. Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung: x2 - mx + 2m + 1 = 0 và mx2 - (2m + 1)x - 1 = 0 3.3. Tìm m và n để hai phương trình tương đương: x2 - (2m + n)x - 3m = 0 và x2 - (m+3n)x - 6 = 0 3.4. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: (x2 - mx + 1)(x2 + x +m) = 0 ˜š›™ PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2 9 4. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PTBH 1) Sử dụng: PT ax2 + bx + c = 0 có nghiệm Û D ³ 0 VD13: Chứng minh rằng: Nếu a1.a2 ³ 2(b1 + b2) thì ít nhất 1 trong 2 phương trình x2 + a1x + b1 = 0 (1) x2 + a2x + b2 = 0 (2) có nghiệm Giải: D1 = 2222121 4;4 baba -=D- Do đó: D1 + D2 = 02)(4 212221212221 ³-+³+-+ aaaabbaa DPCMÞê ë é ³D ³D Þ 0 0 2 1 VD14: Chứng minh rằng: Trong 3 phương trình sau: x2 + 2ax+ bc = 0 x2 + 2bx + ca = 0 x2 + 2cx + ab = 0 Có ít nhất một phương trình có nghiệm Giải: Ta có: D1 + D2 + D3 = [ ] 0)()()( 2 1 222 ³-+-+- accbba Þ có ít nhất 1 biểu thức không âm Þ ĐPCM 2) Sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai: * Nếu af(a) < 0 Þ x1 < a < x2 * Nếu f(a)f(b) < 0 Þ x1 < a < x2 < b a < x1 < b < x2 Điều quan trọng là việc chọn a, b sao cho hợp lý. VD15: Chứng minh rằng: Phương trình: f(x) = (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x- a) = 0 Với a < b < c luôn có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn: a < x1 < b < x2 < c Giải: Rõ ràng f(x) là 1 TTBH có hệ số của x2 là 3 và: f(b) = (b - c)( b - a) < 0 vì a < b < c Þ f(x) có 2 nghiệm và x1 < b < x2 f(a) = (a - b)(a - c) > 0 vì a < b < c nên a nằm ngoài [x1 ; x2] mà a < b Þ a < x1 < b < x2 [ PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2 10 f(c) = (c - a)(c - b) > 0 nên c nằm ngoài [x1;x2] mà c > b nên a< x1< b <x2< c VD16: Chứng minh: Nếu | a+c | < | b | thì pt: ax2 + bx + c = 0 có nghiệm. Giải: * Nếu a = 0 Þ | c | < | b | Þ b ¹ 0 Þ phương trình trở thành: bx + c = 0 có nghiệm x = - c/b * Nếu a ¹ 0 thì | a+c | < | b | Û (a + c)2 < b2 Û (a + c - b)(a + c + b) < 0 Û f(-1)f(1) < 0 Þ f(x) = ax2 + bx + c luôn luôn có nghiệm Î (0;1) VD17: Biết: 2a + 3b + 6c = 0 Chứng minh: Phương trình ax2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm Î (0;1) Giải: * Nếu a = 0 Þ 3b + 6c = 0 Û b. 2 1 + c = 0 Þ x = 1/2 là nghiệm của phương trình ( và 1/c Î (0;1) ) * Nếu a ¹ 0 Þ 2a + 3b + 6c = f(1) + f(0) + 4f(1/2) = 0 Nhưng f(0), f(1), f(1/2) không thể đồng thời bằng 0 vì nếu như vậy thì phương trình bậc 2 có 3 nghiệm phân biệt (!). Điều đó chứng tỏ: Trong 3 biểu thức f(0), f(1), f(1/2) phải tồn tại 2 biểu thức trái dấu Þ f(x) có ít nhất 1 nghiệm Î (0;1) BÀI TẬP: 4.1. Cho a, b, c là 3 số khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng: phương trình sau luôn có nghiệm: ab(x - a)(x - b) + bc(x - b)(x - c) + ca(x - c)(x - a) = 0 4.2. Cho m > 0 và a, b, c là 3 số thoả mãn: 0 12 =+ + + + m c m b m a Chứng minh rằng: Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1) 4.3. Chứng minh rằng phương trình: ax2 + bx + c = 0 có nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau được thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < 0 5a + 3b + 2c = 0 4.4. Biết rằng phương trình: x2 + ax + b + c = 0 vô nghiệm. Chứng minh rằng phương trình: x2 + bx - a - c = 2 có nghiệm. 4.5. Chứng minh rằng phương trình: m xx =+ cos 1 sin 1 có nghiệm với mọi m. PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2 11 5. TAM THỨC BẬC HAI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC 1) Dạng áp dụng trực tiếp dấu TTBH: VD18: Cho D ABC chứng minh rằng: RxCosCCosBxCosA x Î"++³+ )( 2 1 2 Xét f(x) = 2 2x - x(cosB + cosC) + 1 - cosA ³ 0 " x Î R Dx = (cosB + cosC)2 - 2(1 - cosA) = 022 4 22 £ - - CB Sin A Sin Þ ĐPCM Dấu đẳng thức xẩy ra Û A = B = C hay tam giác ABC đều. Chú ý: Nếu x= 1 Þ cosA + cosB + cosC £ 2 3 là 1 bất đẳng thức quen thuộc 2) Dạng áp dụng ngược lại: Giả sử: Cần phải chứng minh dạng: D £ 0 ta chứng minh f(x) không đổi dấu khi đó ta viết D £ 0 thành dạng: b2 - 4ac để xác định f(x). VD19: Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxky: ( ) nibaba iiii ,1)1(¸ 222 =³å åå Bất đẳng thức Û ( ) )2(0222 £-å åå iiii baba *Nếu a1 = a2 = . . . . . = an = 0 Þ bất đẳng thức (1) hiển nhiên đúng. Nếu 02 ¹å ia Ta xét tam thức: f(x) = ( ) ( ) ååå +- 222 2 iiii bxbaxa Ta có f(x) = ( )å £DÞÎ"³- 0'02 Rxbxa ii chính là ĐPCM. Dấu "=" Û x = i i a b = l VD20: Các số a, b, c, d, p, q thoả mãn: p2 + q2 - a2 - b2 - c2 - d2 > 0 (1) Chứng minh: (p2 - a2 - b2)(q2 - c2 - d2) £ (pq - ac - bd)2 (2) Giải: Vì (1) nên: (p2 - a2 - b2) + (q2 - c2 - d2) > 0 Þ $ 1 trong 2 số hạng khác 0 và dương. Không mất tính tổng quát, giả sử: p2 - a2 - b2 > 0 Xét tam thức: f(x) = (p2 - a2 - b2)x2 - 2 (pq - ac - bd)x + (q2 - c2 - d2) PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2 12 Ta có f(x) = (px - q)2 - (ax - c)2 - (bx - d)2 Þ nếu x = p q Þ f( p q ) = -(a 22 ).(). d p q bc p q --- < 0 mà (p2 - a2 - b2) > 0 nên: af( ) p q < 0 Þ f(x) có nghiệm Þ D' ³ 0 Þ ĐPCM BÀI TẬP: 5.1. Cho a3 > 36 và abc = 1. Chứng minh rằng: cabcabcb a ++>++ 22 2 3 HD: a3 > 36 Þ a > 0 và abc = 1 Þ bc = a 1 . Đưa bất đẳng thức về dạng: (b + c)2 - a(b+c) - 0 3 3 2 >+ a a và xét tam thức bậc hai: f(x) = x2 - ax - 3 3 2a a + 5.2. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Ba số x, y, z thoả mãn điều kiện: ax + by + cz = 0. Chứng minh: xy + yz + zx £ 0 HD: Từ ax + by + cz = 0 và do c ¹ 0 (vì c >0) nên có z = c byax+ - . Ta viết lại bất đẳng thức dưới dạng sau: xy c byax+ - (x + y) £ 0. Biến đổi bđt này về dạng: ax2 + xy(a+ b - c) + by2 ³ 0. Xét tam thức bậc hai: f(t) = at2 + y(a+ b - c)t + by2 với a >0. 5.3. Cho a >0 và n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: 2 141 ... ++ <++++ a aaaa n dấu căn HD: Đặt aaaa ++++ ... = Un . Vì a > 0 nên Un > Un-1 . Mặt khác: Un2 = a + Un-1 suy ra: Un2 < a + Un hay Un 2 - Un + a < 0. Xét tam thức bậc hai: f(x) = x2 - x - a 5.4. Cho c > b > a > 0. Đặt d2 = a2 + b2 + c2 ; P = 4(a + b + c) ; S = 2(ab + bc + ca) PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2 13 Chứng minh rằng: cSdPSdPa <-+<--< ) 2 1 4 1 ( 3 1 ) 2 1 4 1 ( 3 1 22 HD: Xét tam thức bậc hai: f(x) = x2 - ) 2 1 16 ( 9 1 6 1 2 2 Sd P Px +-+ 6. TAM THỨC BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I. Hệ đối xứng kiểu I: Là hệ phương trình mà nếu đổi vai trò x và y cho nhau thì mỗi phương trình không thay đổi. Phương pháp giải hệ đối xứng kiểu I là: Đặt S = x + y, P = xy Þ S2 ³ 4P Giải hệ tìm S, P cuối cùng giải phương trình: X2 - SX + P = 0 tìm x, y. VD21: Giải hệ: ïî ï í ì =+ =+ 35 30 yyxx xyyx Đặt 0,0 ³=³= vyux Hệ trở thành: î í ì = = Ú î í ì = = Þ ==Þ î í ì =- = Û ïî ï í ì =+ =+ 4 9 9 4 6,5 353 30 35 30 333 22 y x y x PS PSS PS vu uvvu VD22: Biết (x,y) là nghiệm của hệ: î í ì +-=+ =+ 6222 myx myx Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: M = xy + 2(x + y) Giải: Hệ được viết thành: î í ì -= = 32mP mS Þ x, y là nghiệm của phương trình: t2 - mt + m2 - 3 = 0 (*) Þ Để hệ có nghiệm thì phương trình (*) có nghiệm Û D ³ 0 Û | m | £ 2 Khi đó M = P + 2S = m2 + 2m - 3 Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN của M trong [-2;2] (Đây là bài toán cơ bản) M(-2) = -3, M(2) = 5, M(-1) = 4 Þ MaxM = 5, MinM = -4 PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2 14 Chú ý: HS rất dễ gặp sai lầm là xét M = m2 + 2m - 3 trên R khi đó chỉ có GTNN chứ không có GTLN. VD23: Cho x, y thoả mãn x + y = 2. Tìm GTNN của F = x3 + y3 Giải: Bài toán quy về tìm tập giá trị của F Hay: Tìm F để hệ î í ì =+ =+ Fyx yx 33 2 có nghiệm. Hệ trở thành: ïî ï í ì - = = Þ î í ì =- = 6 8 2 3 2 3 FP S FPSS S Þ x, y là nghiệm cỷa phương trình: t2 - 2t + 0 6 8 = - F (*) Hệ có nghiệm Û phương trình (*) có nghiệm Û D' ³ 0 Û F ³ 2 Þ MinF = 2 ( khi x = y) II. Tam thức bậc 2 với phương trình, bất phương trình VD24: Tìm a sao cho bất đẳng thức: 25y2 + )1(25 100 1 2xyaxyx -+-³ được nghiệm đúng " cặp (x;y) thoả mãn | x | = | y | Giải: Ta xét 2 trường hợp: Trường hợp 1: x = y (1) Þ (a+50)x2 - 2x + 0 100 1 ³ Û 50 0 050 ³Û î í ì £D >+ a a Trường hợp 2: x = -y (1) Þ (50 - a)x2 + 0 100 1 ³ Û a £ 50 (3) Để (1) đúng với " (x;y) thì phải thoả mãn cả x = y và x = -y Þ a = 50 VD25: Tìm m để hệ ïî ï í ì £-+ £+- )2(04 )1(02 2 2 mxx mxx có nghiệm duy nhất. Giải: Cộng 2 bất phương trình ta có: 2x2 + 2x £ 0 Û -1£ x £ 0 (3) Þ Nghiệm của hệ phải thoả mãn (3) Xét các tam thức ở vế trái. Ta có: (1) và (2) có nghiệm Û 14 04 01 0 0 ' 2 ' 1 ££-Û î í ì ³+ ³- Û ïî ï í ì ³D ³D m m m PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2 15 Ta có các khả năng sau: a) Bpt (1) có nghiệm duy nhất và cũng là nghiệm của (2): Bpt (1) có nghiệm duy nhất Û m = 1 Þ x = 1 không thoả mãn (3) b) Bpt (2) có nghiệm duy nhất và cũng là nghiệm của (1): Bpt (2) có nghiệm duy nhất Û m = -4 Þ x = -2 không thoả mãn (3) c) Bpt (1) Û x1 = 1 - mxxm -+=££- 111 2 Bpt (2) Û x3 = -2 - mxxm ++-=££- 424 4 Với - 4 < m < 1 BÀI TẬP: 6.1. Cho hệ phương trình: ax2 + bx + c = y ay2 + by + c = z az2 + bz + c = x Trong đó: a ¹ 0 và (b - 1)2 - 4ac < 0. Chứng minh rằng hệ phương trình trên vô nghiệm. HD: Xét a > 0 (trường hợp a < 0 lý luận tương tự) Phản chứng, giả sử hệ trên có ngiệm (x0, y0, z0). Khi đó: ax2 + bx + c = y0 ay2 + by + c = z0 az2 + bz + c = x0 Cộng từng vế ba phương trình trên ta có: [ax0 2 + (b-1)x0 + c] + [ay0 2 + (b-1)y0 + c] + [az0 2 + (b-1)z0 + c] = 0. Xét tam thức: f(t) = at2 + (b-1)t + c thì f(x0) + f(y0) + f(x0) = 0 mà D = (b - 1)2 - 4ac 0 với mọi t thuộc R từ đó suy ra mâu thuẫn. 6.2. Tìm m sao cho với mọi x cũng đều nghiệm đúng ít nhất một trong hai bất phương trình: x2 + 5m2 + 8m > 2(3mx + 2) x2 + 4m2 ³ m(4x + 1) HD: Đưa hai bpt trên về dạng tam thức bậc hai đối với x và xét các khả năng có thể có của các biệt thức D1 và D2 6.3. Gọi L là chiều dài các đoạn nghiệm trên trục số của hệ bpt: -2 £ x2 + px + q £ 2 PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2 16 Chứng minh rằng: L £ 4 với mọi p, q HD: Xét các khả năng của D1 và D2 6.4. Giải và biện luận theo a bpt: 112 ->-- axax HD: Đặt t = 1-x ³ 0, chuyển về một vế bpt trên và xét tam thức vế trái. 6.5. Cho hai phương trình: x2 + 3x + 2m = 0 x2 + 6x + 5m = 0 Tìm m để mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt và giữa hai nghiệm của phương trình này có đúng một nghiệm của phương trình kia. HD: Sử dụng định lý đảo. 6.6. Tìm m sao cho phương trình: x4 + mx3 + x2 + mx + 1 = 0 có không ít hơn 2 nghiệm âm khác nhau. HD: Nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm phương trình dù m nhận giá trị nào. Đặt: x t 1 1 += và xét f(t) = t2 + mt - 1 với ½t½ ³ 2. 6.7. Cho phương trình f(x) = ax2 + bx + c = 0 (1) 1. Giả sử ½a½ > ½b½ + ½c½. Chứng minh rằng trong khoảng (-1;1) phương trình (1) có hai nghiệm hoặc không có nghiệm nào. 2. Giả sử ½b½ > ½a½ + ½c½. Chứng minh rằng trong khoảng (-1;1) phương trình (1) có đúng 1 nghiệm. 3. Giả sử ½c½ > ½a½ + ½b½. Chứng minh rằng trong khoảng (-1;1) phương trình (1) vô nghiệm. 6.8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x4 + mx3 + 2mx2 + m + 1 6.9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 03105)4(22 2 =-++++- xmxmx HD: Để căn thức riêng một vế và biến đổi tương đương. 6.10. Giải và biện luận theo m bpt: mmxx 2>-- PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2 17 7. TAM THỨC BẬC HAI VÀ TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ Trong các bài toán về tương giao đồ thị có sử dụng các kiến thức về tam thức bậc hai là thường các vấn đề sau: 1. Tìm giao điểm của hai đồ thị: Quy về giải hệ phương trình 2. Tìm tiếp tuyến: Điều kiện phương trình có nghiệm kép 3. Tìm quỹ tích: Sử dụng biểu thức giữa các nghiệm của phương trình 4. Chứng minh tính đối xứng (trục, tâm), tính vuông góc. Tuy nhiên nếu sử dụng thêm các kiến thức về đạo hàm thì ta có các bài toán phức tạp hơn và hay hơn nhiều. Sau đây ta xét một số ví dụ: VD26: Chứng minh rằng đường thẳng: y = -x luôn cắt parabol: y = x2 - 2(m + 2)x + m2 + 3m tại 2 điểm phân biệt và khoảng cách giữa 2 điểm đó không phụ thuộc vào m. Giải: Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình: x2 - 2(m + 2)x + m2 + 3m = -x Û x2 - (2m + 3)x + m2 + 3m = 0 (*) Ta có: D = (2m + 3)2 - 4(m2 + 3m) = 9 > 0 nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m Þ đường thẳng luôn cắt parabol tại 2 điểm phân biệt. Giả sử 2 điểm đó là A(xA; yA) và B(xB; yB) Trong đó: xA = m và xB = m + 3 (m và m + 3 là hai nghiệm của phương trình (*). Þ yA = - xA = -m; yB = - xB = -m - 3 Ta có: AB = 2318)()( 22 ==-+- BABA yyxx không phụ thuộc m. VD27: Cho hàm số: y = 1 22 - - x xx có đồ thị (P). a). Chứng minh rằng: Đường thẳng (d): y = - x + k luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A, B. b). Tìm k để OA ^ OB PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2 18 Giải: Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: 1 22 - - x xx = - x + k Û 2x2 - (k + 3)x + k = 0 (*) Dễ thấy x = 1 không phải là nghiệm của (*) D = (k - 1)2 + 8 > 0 với mọi k nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi k Þ a) được chứng minh. Mặt khác: Hệ số góc của OA là: a = A A A A x kx x y +- = Hệ số góc của OB là: b = B B B B x kx x y +- = OA ^ OB Û a.b = -1 Û 1 . )(. . 2 -= ++- = +-+- BA BABA B B A A xx kxxkxx x kx x kx (**) Theo Vi-ét thì: xA + xB = 2 3+k ; xA.xB = 2 k . Thay vào (**) ta có: k = 1 Vậy: OA ^ OB Û k = 1 BÀI TẬP: 7.1. Chứng minh rằng: Đường thẳng y = x + 2 là trục đối xứng của đồ thị hàm số: 1 1 + - = x x y HD: Đường thẳng y = x + 2 là trục đối xứng của đồ thị 1 1 + - = x x y (P) Û các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y = x + 2 cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y = x + 2. 7.2. Cho hàm số: 1 2 - = x x y có đồ thị (P). Tìm 2 điểm A, B trên đồ thị (P) và đối xứng nhau qua đường thẳng y = x - 1 HD: Tương tự bài 7.1 7.3. Tìm a để đồ thị hàm số: 2 1232 + +++ = x aaxax y tiếp xúc với đường thẳng: y = a PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2 19 7.4. Chứng minh rằng đường thẳng y = -x + m luôn cắt đồ thị hàm số 2 12 + + = x x y tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để AB ngắn nhất. 7.5. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai parabol: y = x2 - 5x và y = -x2 + 3x - 10 7.6. Tìm các điểm trên trục tung từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số x xy 1 += và 2 tiếp tuyến này vuông góc với nhau. 7.7. Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt parabol y = x2 tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho OA ^OB 7.8. Cho hàm số: 1 4 2 - - = x xx y có đồ thị (P) a). Xác định tiếp tuyến đi qua điểm (1;-4) b). Chứng minh rằng đường thẳng y = 3x + a luôn cắt đồ thị (P) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức d =½xA - xB½ š&›