Rèn kĩ năng giải bài toán về diện tích đa giác ở THCS

Tên sáng kiến: Rèn kĩ năng giải bài toán về diện tích đa giác ở THCS 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Lớp 8 trường THCS Hải Sơn 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 1 tháng 11 năm 2012 đến 31 tháng 5 năm 2013 4. Tác giả: Họ và tên: Nguyễn Đức Quảng Năm sinh: 1978 Nơi thường trú: Thị Trấn Cồn - Hải Hậu – Nam Định Trình độ chuyên môn: Cao đẳng Toán – Tin Chức vụ công tác: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THCS Hải Sơn Địa chỉ liên hệ: Khu Nguyễn Thọ - Thị Trấn Cồn - Hải Hậu – NĐ 5. Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THCS Hải Sơn Địa chỉ: Xóm 3 - Hải Sơn - Hải Hậu – Nam Định Điện thoại: 03503874223 I. Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến: Môn toán là môn học rất phong phú và đa dạng, đó là niềm say mê của những người yêu thích toán học. Đối với học sinh để có một vốn kiến thức vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi nhiều và bền bỉ. Đối với giáo viên làm thế nào để trang bị cho các em đủ kiến thức? Đó là câu hỏi mà giáo viên nào cũng đặt ra cho bản thân. Trong toán học không thể không kể đến bộ môn hình học. Hình học rèn luyện cho con người khả năng tư duy trừu tượng, sự sáng tạo và khả năng phân tích tổng hợp. Trong đó, một dạng toán tương đối khó, đòi hỏi nhiều tới khả năng tư duy cao, vận dụng linh hoạt những kiến thức rất cơ bản đã được học đồng thời phải quan sát kĩ lưỡng đặc điểm từng bài toán. D¹y häc to¸n 8 ta b¾t gÆp c¸c c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch ®a gi¸c vµ tÝnh chÊt diÖn tÝch ®a gi¸c. Nh×n chung viÖc khai th¸c c«ng thøc diÖn tÝch vµ tÝnh chÊt diÖn tÝch ®Ó gi¶i c¸c d¹ng to¸n lµ cßn kh¸ khiªm tèn. HiÖn nay ch­a cã nhiÒu tµi liÖu khai th¸c c«ng thøc diÖn tÝch ®a gi¸c ®Ó gi¶i c¸c d¹ng to¸n, cã ch¨ng chØ lµ nh÷ng bµi viÕt vËn dông c«ng thøc diÖn tÝch ®Ó gi¶i mét vµi d¹ng to¸n ®¬n lÎ chø ch­a cã tÝnh tæng hîp. Khi nghiªn cøu vÒ diÖn tÝch ®a gi¸c nÕu chóng ta biÕt nh×n c¸c c«ng thøc kh« khan ®ã d­íi nhiÒu khÝa c¹nh kh¸c nhau vµ vËn dông khÐo lÐo ta sÏ gi¶i ®­îc kh¸ nhiÒu d¹ng to¸n. §Ó häc sinh cã kü n¨ng vËn dông diÖn tÝch vµo c¸c d¹ng to¸n, còng nh­ gãp thªm vµo kho tµng to¸n häc mét ®iÒu nhá bÐ, t«i ®· chän ®Ò tµi “Rèn kĩ năng giải bài toán về diện tích đa giác ở THCS” ®Ó nghiªn cøu. II. Thực trạng Thuận lợi: Về phía người dạy: - Giáo viên được đào tạo có trình độ chuyên môn nghiệp vụ đạt chuẩn và trên chuẩn, kiến thức khá phong phú đủ năng lực soạn dạy. Trong thời gian giảng dạy, giáo viên đúc kết nhiều kinh nghiệm và truyền đạt kinh nghiệm cho nhau. Đa số giáo viên có phẩm chất đạo đức tốt, tác phong sư phạm chuẩn mực, có tinh thần trách nhiệm cao, có tâm huyết và giàu lòng yêu nghề mến trẻ. - Đa số giáo viên có tinh thần tự học, tự rèn cao; tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu có liên quan bộ môn. Tham gia các phong trào thao giảng, dự giờ, thi giảng,…. để nâng dần trình độ chuyên môn nghiệp vụ. - Từng bước nắm bắt sự thay đổi về mọi mặt của đất nước, nhạy bén trước thay đổi của khoa học kĩ thuật hiện đại. Giáo viên đã tìm hiểu và vận dụng, đổi mới phương pháp dạy học. Đặc biệt là có nhiều giáo viên tiếp xúc, làm quen, thậm chí ứng dụng thành thạo công nghệ thông tin vào soạn dạy. - Giáo viện dạy toán nhận thấy rõ mối quan hệ giữa Hình học và các môn khoa học tự nhiên khác. Ngoài ra, dạy môn Hình học phải gắn với thực tế đời sống, và phải phù hợp với đặc điểm tâm lí của học sinh. 1.2- Về phía học sinh: - Đa số các em chăm ngoan, tích cực học tập. Các em thấy được vị trí, vai trò vô cùng quan trong của môn toán. Từ đó, các em xác định được mục tiêu, phương pháp để học tốt môn này. - Đa số các em có tinh thần tự học cao. Tính chủ động tìm hiểu kiến thức qua sách báo, trên mạng Internet….. ở nhiều HS càng được phát huy. - Cũng có nhiều học sinh thật sự yêu thích môn Toán học, có niềm sai mê và hứng thú sáng tạo. Số HS đạt điểm giỏi môn Toán và học sinh giỏi huyện xuất hiện ngày càng nhiều tạo niềm hi vọng cho thầy-trò của trường. 2. Hạn chế: 2.1 Về phía người dạy: - Về mặt tâm lí, nhiều giáo viên cho rằng dạy hình học khó. Vì kiến thức lí thuyết khô khan, thậm chí có nhiều khái niệm trừu tượng không gây hứng thú học tập cho học sinh. Do vậy e ngại khi phải dạy thao giảng, dự giờ phân môn này. Đồng thời thầy cô lo lắng vì học sinh không thích học, thụ động, dẫn đến tiết dạy không thành công. 2.2 Về phía học sinh: - Phân môn hình học cũng được xem là một môn học năng khiếu. Nếu học sinh không có năng khiếu phân tích, óc quan sát, trí tưởng tượng thì không thể tự phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề. - Đa số học sinh học yếu môn Toán và Hình học nói riêng là do các em hổng kiến thức từ lớp dưới , vì đặc trưng của môn Toán là môn hệ thống kiến thức được xây dựng đi lên như xây một bức tường. - Có những học sinh lười học dẫn đến học yếu. Mà nguyên nhân chủ yếu do các em không nghe giảng bài, ghi chép không đầy đủ, không làm bài tập,… Có những em chưa có thói quen học ở nhà một cách khoa học dẫn đến kiến thức bị hổng không làm được bài tập dẫn đến chán học. III. Các giải pháp Để giải các bài toán tính diện tích học sinh cần phải nắm chắc các kiến thức sau: I/ Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác: 1. Nếu một đa giác được chia thành các đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của các đa giác đó ( tính cộng) 2. Các đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau( tính bất biến) 3. Hình vuông có cạnh bằng một đơn vị dài thì diện tích của nó là một đơn vị vuông ( tính chuẩn hóa) 4. Hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy tương ứng với hai chiều cao. 5. Hai tam giác có chung cạnh thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai chiều cao ứng với cạnh đó. 6. Tam giác đều cạnh a có diện tích II/ Các công thức tính diện tích của các đa giác đặc biệt: 1. Công thức tính diện tích hình chữ nhật: b a Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó S = a.b. 2. Công thức tính diện tích hình vuông: a a Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó. S = a2 3. Công thức tính diện tích tam giác: a) Diện tích tam giác: h a Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó S = a.h b) Diện tích tam giác vuông: Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông h c b a S = a.b = c.h 4. Công thức tính diện tích hình thang: Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao a h b S = (a+b).h 5. Công thức tính diện tích hình bình hành: Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó h a S = a.h 6. Công thức tính diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc: Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau bằng nửa tích của hai đường chéo đó. S = d1.d2 7. Công thức tính diện tích của hình thoi Diện tích hình thoi bằng nửa tích của hai đường chéo. S = d1.d2 III/ Cách giải bài toán tính diện tích và phương pháp diện tích: 1/ Để tính diện tích của một đa giác: +/ Đa giác đó có công thức tính nhưng chưa đủ dữ kiện để tính đòi hỏi ta phải đi tính dữ kiện thiếu đó rồi mới tính được diện tích đa giác. +/ Đa giác có công thức tính nhưng nếu sủ dụng công thức vẫn không thể tính nổi thì phải thông qua diện tích của đa giác khác và sử dụng các tính chất đã nêu ở trên. +/ Tính diện tích của một đa giác không có công thức thì ta cần biến đổi diện tích này bằng diện tích của hình khác đã có biết cách tính diện tích. 2/ Chứng minh hình bằng phương pháp diện tích: +/ Ta đã biết một số công thức tính diện tích của những đa giác dã nêu ở trên. Do đó khi biết độ dài của một số yếu tố, ta có thể tính được diện tích của những hình ấy. Ngược lại nếu biết quan hệ diện tích của hai hình từ đó kết hợp với yếu tố đã biết khác, tổng hợp các kiến thức liên quan để suy ra điều cần chứng minh. +/ Để so sánh hai độ dài nào đó bằng phương pháp diện tích, ta có thể làm theo các bước sau: - Xác định quan hệ diện tích giữa các hình. - Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức có chứa các độ dài. - Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần so sánh. 3/ Để giải các bài toán về bất đẳng thức và cực trị ta cần nắm được: Phương pháp giải: Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết, vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. - Các bài toán cực trị thường được trình bày theo hai cách: Cách 1: Đưa ra một hình rồi chứng minh rằng mọi hình khác có các yếu tố( đoạn thẳng, góc, diện tích…) lớn hơn hoặc nhỏ hơn yếu tố tương ứng của hình được đưa ra. Cách 2: Thay điều kiện một đại lựợng đạt cực trị bằng các điều kiện tương đương, cuối cùng dẫn đến điều kiện xác định được vị trí của điểm để đạt cực trị - Các bất đẳng thức thường được dùng để giải toán cực trị: +/ Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên. +/ Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu. +/ Bất đẳng thức tam giác + / Các bất đẳng thức đại số IV. Một số bài tập và hướng dẫn giải 1. Các bài toán tính diện tích đa giác - Để tính diện tích của một đa giác: +/ Đa giác đó có công thức tính nhưng chưa đủ dữ kiện để tính đòi hỏi ta phải đi tính dữ kiện thiếu đó rồi mới tính được diện tích đa giác. +/ Đa giác có công thức tính nhưng nếu sủ dụng công thức vẫn không thể tính nổi thì phải thông qua diện tích của đa giác khác và sử dụng các tính chất đã nêu ở trên. +/ Tính diện tích của một đa giác không có công thức thì ta cần biến đổi diện tích này bằng diện tích của hình khác đã có biết cách tính diện tích. Bài 1: Cho tam giác ABC cân ở A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm. Gọi O là trung điểm của đường cao AH. Các tia BO và CO cắt cạnh AC và AB lần lượt ở D và E. Tính SADOE ? Hướng giải : Để tính diện tích đối với bài tập này học sinh phải. nhận thấy S ABC đã biết nên ta cần tìm mối quan hệ về SADOE với SABC. Lại có H và O là những điểm đặc biệt trên các đoạn AC, AH nên ta dễ dàng tìm được mối quan hệ đó bằng cách lấy thêm điểm N là trung điểm của DC. N H E D O C B A Bài giải: Gọi N là trung điểm của CD. => AD = DN = NC = AC. => SAOD = SAHC => (Chung chiều cao hạ từ O xuống AC) (1) (Chung chiều cao hạ từ C xuống AH) Mà SAHC = SABC ( Chung chiều caoAH) (2) Từ (1) và (2) => SAOD = SABC Mà SAOE = SAOD => SADOE = 2 SAOD = SABC. áp dụng đlí Pitago vào DAHC vuông tại H => AH = 4cm => SABC = Vậy SADOE = .12 = 2 cm2. Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 1. Gọi M là trung điểm của BC, AM cắt BD ở Q. Tính diện tích MQDC ? E Q N M D A B C Phân tích đề bài và hướng giải: Hs cần nhận thấy SABCD = 1 nên dễ dàng suy ra SBCD = . Để tính SMQDC thì phải thông qua SBCD và SBMQ . Do đó ta cần phải tìm mối quan hệ của SBMQ với SBCD . Để tìm được mối liên hệ đó ta phải xét xem Q nằm trên BD có ở vị trí đặc biệt không bằng cách lấy thêm điểm N là trung điểm của AD. Bài giải: Lấy N là trung điểm của AD. Ddcm AMCN là hình bình hành => AM // CN => QB = QE ; ED = QE ( Định lí đường trung bình) => BQ = QE = ED => SBMQ = SBCQ ; SQBC = SBCD. => SBMQ = SBCD => SMQDC = SBCD = SABCD = Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh BC lấy M: BM = BC. Trên cạnh CD lấy N sao cho CN = CD. a) Tính SAMN theo SABCD. b) BD cắt AM ở P, BD cắt AN ở Q. Tính SMNQP theo SABCD. M Phân tích đề bài và hướng giải: Để giải câu (a) hs dễ dàng nhận ra phải sử dung tính chất 1: Nếu một đa giác được chia thành các đa giác không có điểm chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của các đa giác đó ( tính cộng). P Q H K D C B A N Nên để tính diện tích của DAMN ta phải làm SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN (b) Tính SMNQP theo SABCD cần phải tìm mối liên hệ SMNPQ với SAMN vì các đỉnh của tứ giác nằm trên cạnh của D AMN. Muốn tìm mối liên hệ đó rõ ràng phải thông qua D APQ. Ta nhận thấy D APQ và D AMN có hai đáy cùng thuộc một đường thẳng nên ta phải kẻ thêm đường vuông góc PK và MH. Từ đó suy ra lời giải của bài toán. Bài giải: a) SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN SABM = SABCD ; SCMN = SABCD; SADN = SABCD. Do đó ta tính được : SAMN = SABCD Vậy SMNPQ = SABCD b) Kẻ MH ^ AN ; PK ^ AN => Vì PK// MH ( cùng vuông góc với AN) => .(Theo định lí Ta let). Ddcm Vì DN // AB => . Do đó 2. Các bài toán chứng minh bằng phương pháp diện tích a/ Các bài toán chứng minh về quan hệ diện tích và quan hệ các đoạn thẳng: +/ Ta đã biết một số công thức tính diện tích của những đa giác đã nêu ở trên. Do đó khi biết độ dài của một số yếu tố, ta có thể tính được diện tích của những hình ấy. Ngược lại nếu biết quan hệ diện tích của hai hình từ đó kết hợp với yếu tố đã biết khác, tổng hợp các kiến thức liên quan để suy ra điều cần chứng minh. +/ Để so sánh hai độ dài nào đó bằng phương pháp diện tích, ta có thể làm theo các bước sau: - Xác định quan hệ diện tích giữa các hình. - Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức có chứa các độ dài. - Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần so sánh. Bài 1: Cho hình thang ABCD, BC // AD. Các đường chéo cắt nhau tại O. Chứng minh rằng: SOAB = SOCD . Phân tích đề bài và hướng giải: - Ta nhận thấy DOAB và DOCD không chung đường cao và cũng không chung cạnh. - DBAD và DCAD là hai tam giác có chiều cao bằng nhau vàchung đáy AD => SBAD = SCAD => đpcm Bài giải: - Vì BC // AD ( gt) => Chiều cao hạ từ B và C cùng xuống AD bằng nhau. => SBAD = SCAD => SOAB +SOAD = SOCD + SOAD Vậy SOAB = SOCD. Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AB > BC và góc BAD nhọn, đường phân giác của góc BAD cắt CD tại M và cắt đường thẳng BC tại N. Gọi O là diểm cách đều ba điểm C, M, N và K là giao điểm của OB và CD. Chứng minh:a) SOBN = SODC b) SBCK + SNOC = SDOK Phân tích đề bài và hướng giải: a) Ta nhận thấy DOBN và DOCD có ON = OM. Vì vậy để cm SOBN = SODC ta nghĩ đến tính chất: hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau. Do đó ta cần cm: DOBN = DOCD. b) Để cm: SBCK + SNOC = SDOK ta cần tìm mối liên hệ của SBCK và SNOC với SOBN, SDOK với SODC K O M N D C B A Bài giải: a) Vì O cách đều các điểm M, C, N => OM = ON = OC. => BNA = NAB Vì BN// AD => BNA = NAD Mà NAD = NAB => DBAN cân tại B => BA = BN => BN = CD. => CMO = CNO (1) Cmtt => CM = CN => DCMN cân Có OM = ON( cmt) => DOMN cân Có OM = OC( cmt ) => DOCM cân tại O => CMO = MCO (2) Từ (1) và (2) => CNO = MCO Do đó ddcm : DOBN = DOCD (c.g.c) Vậy SOBN = SODC b) SBCK + SNOC = SOBN - SOCK (3) SDOK = SODC - SOCK (4) Mà SOBN = SODC (cmt) (5) Từ (3) (4)(5) => SBCK + SNOC = SDOK (đpcm) Bài 3: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD cắt các cạnh AB, CD ở M và K. Chứng minh rằng: SDMC = SAKB Phân tích đề bài và hướng giải: Để cm: SDMC = SAKB ta phải tìm các tam giác có diện tích bằng nhau ở trong bài này và diện tích tam giác đó có mối liên hệ thế nào với diện tích tam giác ta cần chứng minh. Bài giải: Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC , BD. => BP = PD ; AQ = QC. Do đó SMAQ = SMCQ; SKAQ = SKCQ => SAMK = S CMK. (1) Cmtt => SBMK = SDMK (2) Từ (1) và (2) => SBMK - SAMK = SDMK - S CMK Vậy SDMC = SAKB (đpcm) Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD. Chứng minh rằng: SMNP = SABCD. Phân tích đề bài và hướng giải: Ta có M, N, P là trung điểm các cạnh của tứ giác ABCD. Nếu ta lấy thêm Q là trung điểm của AP => MNPQ là hình bình hành.Do đó SMNP = SMNPQ. Ta nhận thấy SMNPQ có mối liên hệ với SABCD. Vì vậy => đpcm Bài giải: Lấy P là trung điểm của AP. Do đó ddcm được MNPQ là hình bình hành. => SMNP = SMNPQ. SMNPQ = SABCD - SMNB - SCNP - SDPQ - SAMQ SBMN = SBAN = SABC. SCNP = SBCP = SCBD SDPQ = SQCD = SDAC SAMQ = SAMD = SABD => SMNPQ = SABCD - ( SABC + SCBD+ SDAC + SABD) SMNPQ = SABCD - .2 SABCD = SABCD Do đó SMNP = SMNPQ= SABCD Bài 5: Từ điểm M tùy ý trong D ABC, các đường thẳng MA, MB, MC lần lượt cắt BC, CA, AB tại A1, B1 , C1 . Chứng minh: Phân tích đề bài và hướng giải: +/ Để chứng minh ta thấy cần phải xét từng tỉ số của hai đoạn thẳng trong hệ thức trên. +/ Nếu biểu thị ngay từng tỉ số đó với tỉ số diện tích DCMA1 và DCAA1 thì không thể chứng minh được . Vì vậy ta cần phải vẽ thêm đường phụ: Đó là hai đường vuông góc hạ từ M, A xuống BC thì => . Mà MK và AH là hai đường vuông góc cùng hạ xuống BC nên => = . Từ đó => đpcm Bài giải: Kẻ MK, AH vuông góc với BC => MK //AH=> Ta có: = (1) Cmtt ta có : (2) (3) Từ (1)(2) (3) ta được : ++ = ++= = 1 ( Đpcm) Bài 6: Cho DABC và ba điểm A', B', C' lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho AA', BB', CC' đồng quy. ( A', B', C' không trùng với các đỉnh của tam giác). Chứng minh rằng: Phân tích đề bài và hướng giải: Ta thấy ở vế trái của điều phải chứng minh là tích của 3 tỉ số. Để có thể rút gọn được tích này ta sẽ thay đổi tỉ số của hai đoạn thẳng bằng tỉ số diện tích của hai tam giác thích hợp, sau đó khử liên tiếp để được đpcm Bài giải: Vẽ BH ^ AA' và CK ^ AA'. => ( hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A)(1) Mà ( hai tam giác có chung cạnh AA') (2) Ta lại có : ( hai tam giác có chung cạnh OA)(3) Từ (1)(2)(3) => (4) Cmtt => (5) ; (6) => Nhân từng vế (4)(5)(6) ta được: ..= ..= 1 (đpcm) Bài 7: Chứng minh định lí Pitago: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông. ở lớp 7 chúng ta đã được học định lí này ( công nhận , không chứng minh). Có rất nhiều cách để chứng minh và một trong những cách đó ta sử dụng phương pháp diện tích Bài giải: Dựng các hình vuông ABFG, ACMN, BCDE. Muốn chứng minh BC2 = AB2 + AC2 ta cần chứng minh: SBCDE =SABFG + SACMN. Vẽ đường cao AH và kéo dài cắt DE tại K. Nối AE, CF. Dd cm được : DFBC = DABE (c.g.c) => SFBC = SABE (1) SFBC = ( vì AC //BF ) => SFBC = SABFG (2) Cmtt SABE = SBHKE (3) Từ (1)(2)(3) => SBHKE = SABFG Cmtt được : SCHKD = SACMN Do đó: SABFG +SACMN = SBHKE + SCHKD => SBCDE = SABFG +SACMN Vậy BC2 = AB2 + AC2 b/ Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị Phương pháp giải: Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết, vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Các bài toán cực trị thường được trình bày theo hai cách: Cách 1: Đưa ra một hình rồi chứng minh rằng mọi hình khác có các yếu tố( đoạn thẳng, góc, diện tích…) lớn hơn hoặc nhỏ hơn yếu tố tương ứng của hình được đưa ra. Cách 2: Thay điều kiện một đại lựong đạt cực trị bằng các điều kiện tương đương, cuối cùng dẫn đến điều kiện xác định được vị trí của điểm để đạt cực trị Các bất đẳng thức thường được dùng để giải toán cực trị: +/ Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên. +/ Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu. +/ Bất đẳng thức tam giác + / Các bất đẳng thức đại số Bài giải: Hạ DH ^ AB; DK ^ BC => DH = DK (1) DABC cân tại A và  = 300 => B = C = 750  BC < AB.(2) SDBC = DK.BC ; SDAB =DH.AB (3) Từ (1)(2)(3) => SDBC 2SBCD < SABC Vậy SBCD < SABC (đpcm) Bài 1: Cho DABC cân tại A có  = 300 và BD là đường phân giác. Chứng minh rằng: SBCD < SABC. Bài 2: Cho DABC vuông cân có AB = AC = 10cm. DDEF vuông cân ở D nội tiếp DABC ( D Î AB, E Î BC, F Î AC ). Xác định vị trí của D để diện tích DEF nhỏ nhất. Bài giải: Gọi AD = x. Kẻ EH ^ AB Thì AD = EH = BH = x. DH = 10 - 2x. SDEF = = [x2 + ( 10 - 2x)2 ] = (5x2 - 40x + 100) ( x2 - 8x + 20) = (x - 4)2 + 10 ³ 10 (SDEF )min = 10 ó x = 4. D Î AB : AD = 4 cm thì S DEF nhỏ nhất Bài 3: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Lấy điểm M tùy ý trên đường chéo AC, kẻ ME ^ AB, MF ^BC. Xác định vị trí của M trên đuờng chéo AC để diện tích DEF nhỏ nhất. Bài giải: Dễ thấy SDEM = SAME ( chung cạnh ME, chiều cao từ D và A xuống ME bằng nhất) SDMF = SCMF SDEF = SDEM + SDMF + SEMF = SABC - SBEF = ( a2 - BE. BF) SDEF đạt giá trị nhỏ nhất ó BE.BF lớn nhất Do BE + BF = a không đổi nên BE.BF lớn nhất ó BE = BF = a/2 ó M là trung điểm Bài 4: Cho DABC. Gọi D là trung điểm của BC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm E và F. Chứng minh rằng: SDEF£ SABC Phân tích đề bài và hướng giải: Để cm SDEF £ SABC hay 2SDEF £ SABC hay cần cm: SDEF £ SDFC + SBED Ta cần tạo một tam giác bằng với tam giác BED và kết hợp với tam giác DFC thành một hình rồi so sánh diện tích tam giác DEF với hình đó. Đã có D là trung điểm của BC nên ta cần lấy thêm điểm I sao cho D là trung điểm của EI => đpcm Bài giải: Dựng I đối xứng E qua D, ta có : D BED = DCID (c.g.c) => SBED = SCID Có SDEF = SFDI (chung đường cao, hai đáy bằng nhau) Mà SFDI £ SDICF => SDEF £ SDICF => SDEF £ SDFC + SDIC => SDEF £ SDFC + SBED (1) Ta lại có: SDEF £ SAEDF (2) Từ (1) và (2) ta có : 2SDEF £ SDFC + SBED + SAEDF 2SDEF £ SABC Vậy SDEF £ SABC Dấu bằng xảy ra khi EF º AC hoặc AB, khi đó (SDEF)max = SABC Trên đây là những bài tập tiêu biểu về các dạng toán về diện tích. Ở mỗi dạng toán cần khuyến khích học sinh tìm tòi thêm trong các loại sách tham khảo như Nâng cao và phát triển toán 8, Toán nâng cao và các chuyên đề hình học 8, Các bài tập toán diện tích đa giác, Phương pháp diện tích,… Được phân công dạy đối tượng học sinh khá giỏi khối 8 của trường , trong lớp có nhiều học sinh có khả năng tư duy tốt nên tôi có dạy chuyên đề này cho các em . Tuy nhiên không phải học sinh nào cũng có thể nắm bắt ngay được với dạng toán này nên khi dạy tôi dẫn dắt các em theo như kinh nghiệm mà tôi đã trình bày: Từ lý thuyết cơ bản rồi đến bài tập. Khi cho bài tập tôi cũng phân theo từng dạng, mỗi dạng cho bài từ dễ đến khó dần và hướng dẫn cho học sinh phân tích đề bài và hướng giải để các em biết tư duy đối với chuyên đề này. IV. Hiệu quả do sáng kiến đem lại Sau khi thấy được các công thức diện tích không phải chỉ để tính diện tích mà chúng còn rất có ích để giải nhiều bài toán chứng minh khác , học sinh rất thích thú, nhất là khi các em tự mình giải được bài tập theo phương pháp nói trên . Häc sinh n¾m ch¾c, s©u s¾c h¬n vÒ diÖn tÝch ®a gi¸c, qua đó, nó giúp học sinh vững tin hơn khi vận dụng kiến thức một cách sáng tạo để giải bài tập theo nhiều phương pháp khác nhau . Nó góp phần đáp ứng yêu cầu mới hiện nay, giúp cho HS học tập một cách năng động hơn, khả năng ứng dụng phong phú hơn . Nó góp phần làm cho số lượng học sinh yêu thích môn Toán ngày càng tăng lên . Sự yêu thích bộ môn giúp các em thêm tích cực học tập và tiến bộ hơn . Kết quả thể hiện (điểm Tự chọn ) : Năm học Số HS tham gia Giỏi Khá TB Yếu SL % SL % SL % SL % 2012 - 2013 35/105 20 57% 15 43% 0 0% 0 0% V. Đề xuất, kiến nghị Để đạt được hiệu quả cao ngoài phương pháp dạy tốt thì giáo viên phải thường xuyên nghiên cứu thêm tài liệu về phương pháp diện tích các phần miềm giảng dạy như sketchpad, mathcad .... Bên cạnh đó kết hợp với phương tiện dạy học như máy chiếu, các hình ảnh trực quan … thì bài học sẽ sinh động và gần gũi với thực tế hơn. Nhờ đó học sinh sẽ lĩnh hội được kiến thức một cách tốt hơn, kết quả giảng dạy sẽ cao hơn. Hiện nay đồ dùng dạy học môn hình học còn hạn chế. Vậy kính mong cấp trên cần trang bị nhiều hơn đồ dùng dạy học của môn này. Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ bé mà tôi rút ra được trong quá trình giảng dạy . Nó đã góp phần giúp tôi hoàn thành nhiệm vụ giảng dạy trên lớp cũng như công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trong những năm qua có kết quả tốt . Tôi xin mạn phép được trình bày và kính mong được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong hội đồng giám khảo và các bạn đồng nghiệp . Chắc chắn rằng trong bài viết của tôi cũng còn nhiều thiếu sót . Rất mong được quí thầy cô góp ý , bổ sung để bản thân tôi được học hỏi nhiều hơn và hoàn thiện hơn trong công tác giảng dạy . Xin chân thành cám ơn . Hải Sơn, ngày 17 tháng 10 năm 2013 Người thực hiện Nguyễn Đức Quảng CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN ( Xác nhận, đánh giá, xếp loại ) (Kí tên, đóng dấu) PHÒNG GD – ĐT ( Xác nhận, đánh giá, xếp loại ) ( LĐ phòng kí tên, đóng dấu ) CÁC PHỤ LỤC KÈM THEO SÁNG KIẾN Tài liệu tham khảo: 1. Bồi dưỡng và phát triển hình học 8, Nhà xuất bản ĐàNẵng Tác giả: Phan Văn Đức - Nguyễn Hoàng Khanh - Lê Văn Trường 2. Các bài tập toán diện tich đa giác, Nhà xuất bản giáo dục 1996 Tác giả: Nguyễn Để - Nguyễn Việt Hải - Hoàng Đức Chính, 3. Phương pháp diện tích, Nhà xuất bản giáo dục Tác giả: Huỳnh Công Bằng