Sáng kiến kinh nghiệm - Giải bài toán như thế nào?

TRƯỜNG THCS LONG ĐỨC TỔ TỰ NHIÊN GIÁO VIÊN: LÂM THANH PHONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên sáng kiến:“GIẢI BÀI TOÁN NHƯ THẾ NÀO?” I/- Đặt vấn đề: Để giải các bài toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức còn cần phải có phương pháp suy nghĩ khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân tích luỹ được qua quá trình học tập, rèn luyện. Trong môn toán ở trường THCS có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật toán để giải. Đối với những bài toán ấy phải cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải. Nhiệm vụ khó khăn này đòi hỏi phải có thời gian và kinh nghiệm sư phạm, phải có lòng tận tâm và phương pháp đúng đắn. Đây là những cơ hội rất tốt để giáo viên trang bị dần cho học sinh một số tri thức phương pháp-phương pháp giải toán, phương pháp toán học hoá-nhằm rèn luyện và phát triển cho học sinh năng lực tư duy khoa học. Biết đề ra cho học sinh đúng lúc, đúng chổ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng, thể hiện kinh nghiệm và năng lực sư phạm của người giáo viên trong quá trình dạy học giải bài tập toán. Như vậy, trong quá trình nghiên cứu cách: “giải bài toán như thế nào?”, tôi đã rút ra được một trình tự trong khi giải bài tập toán là: - Tìm hiểu đề toán - Xây dựng chương trình giải - Thực hiện chương trình giải - Kiểm tra và nghiên cứu lời giải II/- Giải quyết vấn đề: 1/- Tìm hiểu đề toán: Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu đề bài và ham thích giải bài toán đó. Vì thế, khi giáo viên đưa ra giải một bài toán thì bài toán đó phải được chọn lọc, không khó quá cũng không dễ quá và cần phải tìm cách trình bày bài toán một cách tự nhiên và lý thú, khêu gợi trí tò mò, hứng thú của học sinh và giúp các em hiểu bài toán phải giải. Để hiểu rõ đề toán, trước hết phải đọc kỹ đề toán sao cho thấy được toàn bộ bài toán càng rõ ràng, tránh vội vàng đi ngay vào các chi tiết. Bắt đầu đi sâu nghiên cứu đề toán; trước hết phân tích bài toán, tách ra những yếu tố chính của bài toán, xem xét các yếu tố chính nhiều lần và ở nhiều mặt. Nếu là bài toán về chứng minh thì yếu tố chính là giả thiết và kết luận. Ví dụ: cho bài toán sau: (bài tập 12 SGK Toán 9, tr106) “Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm. a-Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB. b-Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB”. Giáo viên yêu cầu học sinh đọc kỹ đề sau đó phân tích bài toán tìm giả thiết và kết luận. Học sinh lên bảng ghi giả thiết kết luận và vẽ hình như sau: GT (O;5cm dây AB = 8cm I Ỵ AB, AI = 1cm I Ỵ CD, CD ^ AB KL a-Tính khoảng cách từ O đến AB b-Chứng minh CD = AB Nếu là bài toán về tìm tòi thì yếu tố chính là ẩn, là dữ kiện và điều kiện của bài toán. . . Ví dụ: cho bài toán sau: “Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10m. Hai cạnh goác vuông hơn kém nhau 2m. Tìm các cạnh góc vuông của tam giác” Với bài toán này yêu cầu học sinh đọc kỉ đề, phân tích đề và tìm lời giải. Chú ý rằng bài toán này liên quan đến kiến thức hình học, khi nói đến cạnh huyền và hai cạnh góc vuông thì ta phải nghĩ ngay đến dịnh lý Pi-ta-go. Với sự chú ý đó ta dễ dàng tìm được ẩn và điều kiện của bài toán và ta dịch bài toán trên sang ngôn ngữ đại số sau: -Cạnh góc vuông thứ nhất x (x > 0) -Cạnh góc vuông thứ hai x + 2 -Cạnh huyền bằng 10m x2 + (x + 2)2 = 102 (1) (Từ (1) giải ra hai nghiệm x1 = 6; x2 = -8 (loại). Suy ra hai cạnh là 6m và 8m). Có những bài toán liên quan tới một hình vẽ, thì phải vẽ hình. Có những bài toán cần đưa vào các ký hiệu. Điều này cũng có ý nghĩa giúp ta hiểu rõ đề toán hơn. a-Hình vẽ: Đối với bài toán hình học, nói chung phải vẽ hình. Hình vẽ làm hiện lên đồng thời các yếu tố cũng như các chi tiết cùng mối liên hệ giữa các chi tiết đã cho trong đề bài. Vì thế, thường sau khi vẽ hình đúng, đề toán được hiểu rõ ràng, cụ thể hơn. Khi vẽ hình cần chú ý: - Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong trường hợp đặc biệt vì như thế dễ gây ngộ nhận. Chẳng hạn, đối với các đoạn thẳng, không nên vẽ bằng nhau, đối với các đường thẳng, không nên vẽ vuông góc với nhau, đối với tam giác không nên vẽ cân hay vuông. . .nếu như bài toán không đòi hỏi. - Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác dễ nhìn thấy những quan hệ (song song, cắt nhau, vuông góc. . .) và tính chất (đường trung trực, phân giác, tam giác cân, tam giác vuông. . .) mà bài toán đã cho. Có những trường hợp còn phải khéo léo lựa chọn trình tự vẽ các phần tử hình trong bài. Ví dụ: “Cho tam giác ABC. Hãy vẽ đường tròn qua ba đỉnh của tam giác đó”ù. Thoạt nhìn, học sinh sẽ vẽ ngay tam giác ABC trước, rồi mới vẽ đường tròn sau. Trong trường hợp này nếu giáo viên gợi ý cho học sinh cách vẽ thì chắc chắn vẽ sẽ chính xác hơn. Ngoài ra, để làm nổi bậc vai trò khác nhau của các đường, các hình, trong hình vẽ có thể vẽ bằng nét đậm, nét nhạc, nét liền, nét đức hoặc dùng màu khác nhau. . . Đối với những bài toán không phải là hình học, ta cũng có thể dùng một biểu diễn hình học để diễn tả đề toán. Chẳng hạn khi dạy cho học sinh bài 2:”Hàm số bậc nhất” trong chương II, SGK Toán 9, tr46, có bài toán như sau: Bài toán: “Một xe ô tô chở khách đi từ bến xe phía nam Hà Nội vào Huế với vận tốc trung bình 50km/h. Hỏi sau t giờ xe ô tô cách trung tâm Hà Nội bao nhiêu kilômét? Biết rằng bến xe phía nam cách trung tân Hà Nội 8km”. Qua bài toán này, để hình thành khái niệm về hàm số bậc nhất cho học sinh dễ hiểu ta cần phải biểu diễn bài toán trên qua sơ đồ đoạn thẳng sau: Huế Bến xe Trung tâm HN 8km Dựa vào sơ đồ đoạn thẳng trên, giúp học sinh cảm nhận trực giác trên biểu diễn hình học, dễ nắm bắt dược nội dung cơ bản của đề toán. Giáo viên chỉ cần đưa ra một số câu hỏi để học sinh trả lời là học sinh đã nắm được định nghĩa về hàm số. Chẳng hạn: -Sau 1 giờ ô tô đi được:. . . . . . . .km -Sau t giờ ô tô đi được:. . . . . . . .km -Sau t giờ ô tô cách trung tâm HN là: s = . . . . .km? Học sinh sẽ trả lời được là s = 50t + 8 (km). Như vậy, đến đây giáo viên sẽ dễ dàng cho học sinh nắm và khắc sâu định nghĩa. b-Kí hiệu: Khi nghiên cứu đề toán, nhiều trường hợp ta phải chọn ký hiệu và đưa ký hiệu vào một cách thích hợp. Dùng các ký hiệu toán học có thể ghi lại các đối tượng và mối liên quan giữa chúng trong bài toán một cách ngắn gọn, dễ nhớ, dễ quan sát. Cách ký hiệu thích hợp có thể nhanh chóng giúp ta hiểu được đề toán. Khi chọn các ký hiệu cần chú ý: -Mỗi ký hiệu và quan hệ giữa chúng phải giúp ta liên tưởng đến thứ tự và quan hệ giữa các đại lượng tương ứng. -Không dùng một ký hiệu để chỉ hai đối tượng khác nhau. Các ký hiệu cùng loại để chỉ các đối tượng cùng loại. Chẳng hạn, với tam giác ABC: A, B, C chỉ các đỉnh; a, b, c chỉ các cạnh tương ứng đối diện với các đỉnh A, B, C; ha, hb, hc chỉ các đường cao tương ứng vuông góc với các cạnh a, b, c. . .hoặc ký hiệu ∆ABC = ∆DEF tương ứng với quan hệ các cạnh: AB = DE, AC = DF, BC = EF. . . 2-Xây dựng chương trình giải: Tìm tòi lời giải là một bước quan trọng trong hoạt động giải toán. Nó quyết định sự thành công hay không thành công, đi đến sự thành công nhanh hay chậm của việc giải toán. Điều cơ bản ở bước này là biết định hướng đúng để tìm ra được đường đi đúng. Không có một thuật toán tổng quát nào để giải được mọi bài toán cả. Ví dụ: Khi học sinh vừa học xong bài “Công thức nghiệm của phương trình bậc hai”, SGK Toán 9, tr43, Thì giáo viên cho học sinh giải phương trình bậc hai sau: x2 – 4 = 0 Nếu học sinh dạng trung bình thì chắc chắn sẽ có một số em giải theo thuật toán, tức là: -Xác định hệ số : a = 1, b = 0, c = -4 -Tìm ∆ = b2 – 4ac và xét từng trường hợp để tìm nghiệm Còn nếu học sinh khá giỏi thì các em sẽ nghĩ ngay đến hằng đẳng thức có dạng a2 – b2 = 0 ð(a – b)(a + b) = 0 và sau đó các em sẽ giải theo phương trình tích mà ở lớp 8 các em đã được học sẽ nhanh chóng hơn. Như vậy để xây dựng một chương trình giải bài toán ta cần thực hiện một bước sau: Bước 1: Sử dụng các bài toán đã giải, việc tìm ra con đường đi đúng trong việc giải một bài toán nhiều khi khá thuận lợi nếu ta nhớ lại được là ta đã từng tìm ra con đường đi đến cách giải một bài toán tương tự hoặc gần giống với bài toán cần giải. Cần phải chọn lựa được một hay một số bài giống với bài toán cần giải sao cho thực sự có lợi: hãy xét cho kỹ cái chưa biết và thử nghĩ tới một bài toán quen thuộc cũng chứa cái chưa biết đó hay một cái chưa biết tương tự. Cần phải lợi dụng bài toán đã giải này về phương pháp giải, về kết quả và về kinh nghiệm. Bước 2: Biến đổi bài toán để đi đến cách giải một bài toán, cần huy động và tổ chức những kiến thức đã học từ trước. Cần phải nhớ lại và vận dụng hàng loạt những yếu tố cần thiết cho việc giải toán. Việc biến đổi bài toán tạo ra những liên hệ mới, những khả năng mới, gợi lại trong trí nhớ những gì liên quan đến bài toán đang xét. Ví dụ: Phải chứng minh: x3 – x chia hết cho 6 với mọi số nguyên x. Ta thử biến đổi bài toán trên bằng cách phân tích biểu thức như sau: X3 – x = x(x2 – 1) = x(x – 1)(x + 1) Đến đây, trên ký hiệu ta nhớ lại rằng x – 1, x và x + 1 chính là 3 số nguyên liên tiếp. Với 3 số nguyên liên tiếp ta nhớ lại rằng: cứ hai số nguyên liên tiếp thì có một số chẵn, tức là chia hết cho 2, trong ba số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3. Từ đó, việc chứng minh không còn gì khó khăn nữa. Bước 3: Phân tích bài toán thành những bài toán đơn giản hơn, một bài toán đặc biệt là bài toán khó thường được tạo ra từ sự kết hợp những bài toán đơn giản hơn. Khi giải toán ta cần phân tích bài toán đang xét thành những bài toán nhỏ để giải, sau đó lại kết hợp chúng để có được bài toán ban đầu. Bước 4: Mò mẫm, dự đoán bằng cách thử một số trường hợp có thể xảy ra: trường hợp đặc biệt, trường hợp tổng quát. . .Hãy xem xét một số trường hợp riêng, kết quả của nó, đôi khi khá đơn giản, sẽ là những gợi ý quý báu để đi đến lời giải của bài toán. Ví dụ: cho bài toán sau: “Qua điểm M trên cạnh BC của tam giác ABC, hãy dựng một đường thẳng chia tam giác thành hai phần có điện tích bằng nhau”. Trước hết, hãy xét một số trường hợp đặc biệt: -M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó, đường thẳng cần dựng chính là trung tuyến AM. -M trùng với một trong hai đầu mút của cạnh BC, chẳng hạn M trùng với B. Khi đó, đường thẳng phải dựng chính là trung tuyến BI. -Trong trường hợp tổng quát, nếu ta đưa bài toán về một trong hai trường hợp đặc biệt trên thì xem như đã tìm ra được lời giải. Chẳng hạn, đưa về trường hợp thứ hai như sau: Giả sử BM < CM. Ta dựng một tam giác có đỉnh là M và có diện tích bằng diện tích tam giác ABC bằng cách kẻ BD // AM thì diện tích tam giác MCD bằng diện tích tam giác ABC. Khi đó trung tuyến MI của tam giác BCD chính là đường thẳng phải dựng. 3-Thực hiện chương trình giải: Sau khi đã tìm được cách giải rồi thì tiến hành thực hiện chương trình giải. Việc tiến hành thực hiện này là công việc chủ yếu, là kết quả để đánh giá hoạt động giải toán. Khi đã tìm thấy cách giải rồi thì việc thực hiện giải không khó khăn như trước nữa, nhưng tính chất công việc có khác nhau. Khi đang tìm kiếm lời giải thì có thể tự do mò mẫm, dự đoán và không ngại gì mà không dùng cách lập luận “tạm thời”. Nhưng khi thực hiện chương trình giải thì phải thay đổi quan niệm đó và chỉ được thừa nhận những lý lẽ chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết. Một điều quan trọng trong việc trình bài lời giải là trình tự các chi tiết, nhất là các bài toán phức tạp. Phải trình bài sao cho tường minh sự liên hệ giữa mỗi chi tiết, cũng như sự liên hệ giữa các chi tiết trong từng đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải ấy. Trình tự mà ta trình bày trong lời giải có thể rất khác với trình tự mà ta đã theo đề để tìm kiếm lời giải ấy. Trình tự trình bày các chi tiết trong lời giải cần phải gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa. 4- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải Đây là một bước cần thiết và bổ ích. Vì trong khi thực hiện chương trình giải, rất có thể ta mắc phải thiếu sót, lầm lẫn ở chổ nào đó. Việc kiểm tra lại lời giải sẽ giúp ta sửa chữa được những sai sót đáng tiếc đó. Mỗi sai lầm đều cho ta một kinh nghiệm trong hoạt động giải toán. Mặc khác, việc nhìn nhận, xem xét lại những chi tiết của cách giải cũng như toàn bộ cách giải, việc phân tích lại kết quả và con đường đã đi cùng phương phương pháp tiến hành, còn có thể giúp ích cho ta tìm thấy một cách giải khác tốt hơn, hoặc phát hiện ra những sự kiện mới và bổ ích. Phải kiên nhẫn và chịu khó nghiên cứu lời giải tìm được để có thể hoàn thiện cách giải và bao giờ cũng giúp ta hiểu được cách giải sâu sắc hơn. Chính điều đó sẽ làm phong phú thêm kinh nghiệm giải toán, sẽ củng cố và phát triển năng lực giải toán cho bản thân. III/-Kết thúc vấn đề: Tóm lại, hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trường THCS. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán. Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau. Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra. . .Tất nhiên, việc dạy giải một bài tập cụ thể thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt đã nêu. Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Những chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học. Như vậy, qua quá trình nghiên cứu về phương pháp để giải bài toán, tôi nhận thấy rằng nó là một vấn đề khó và phức tạp, đòi hỏi ở giáo viên rất nhiều mặt về kiến thức, về phương pháp và cả về kinh nghiệm. Vì vậy, cùng với việc nắm vững kiến thức, nắm vững mức độ yêu cầu của từng bài toán, giáo viên cần tích luỹ kinh nghiệm để có thể hướng dẫn học sinh giải bài toán một cách phù hợp sao cho dễ hiểu, dễ nhớ và chính xác. Bên cạnh đó, giáo viên cần phải có nghệ thuật, có bản lĩnh vận dụng kinh nghiệm vào những tình huống mới. Giáo viên nên xây dựng thói quen đọc các tài liệu tham khảo và học tập kinh nghiệm của đồng nghiệp. Trên đây là những nội dung và phương pháp mà trong quá trình nghiên cứu việc giải bài tập toán tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm trong khi giải toán. Tôi mong nhận được những ý kiến nhận xét, đóng góp của quý thầy cô. Xin chân thành cám ơn./. Long đức, ngày 09 tháng 12 năm 2005 Giáo viên Lâm Thanh Phong