Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán năm 2006

A. Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài: Trong dạy học toán thì việc tìm ra những phương pháp giảng dạy phù hợp với trình độ học sinh là một yêu cầu rất quan trọng đòi hỏi người giáo viên phải biết chọn lọc, phối hợp tốt các phương pháp giảng dạy. Việc lựa chọn những ví dụ điển hình mang bản chất lí thuyết, hệ thống các bài tập minh hoạ, áp dụng và khắc sâu nâng cao là rất quan trọng. Thông qua dạy học Toán, người học được cung cấp những kĩ năng tính toán, những thao tác tư duy, đặc biệt là có điều kiện rèn luyện và phát triển tư duy lôgíc. Điều này được thể hiện rõ trong việc giải các bài tập toán mà việc giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối là điều kiện tốt để phát triển những phẩm chất nói trên. Thực trạng hiện nay khi dạy giải các bài toán có liên quan đến dấu giá trị tuyệt đối ở trường THCS là: Thời lượng và kiến thức đưa vào chương trình THCS tương đối ít, không liền mạch, phương pháp giải còn hạn chế. Giáo viên khi dạy về vấn đề này thường chỉ chữa các bài tập chứ ít chú ý đến việc khai thác, phân tích, đưa ra phương pháp cho từng dạng tóan cơ bản. Học sinh thường ngại giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối, các hiện tượng giải thiếu trường hợp, dài dòng dẫn đến xót nghiệm, sai lời giải là rất phổ biến. Qua tìm hiểu thực tế, từ giảng dạy và học tập bản thân tôi đã tích luỹ được một số kiến thức và phương pháp giải những bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối xin được trình bày ở đây một chút hiểu biết ở góc độ nhỏ. 2. Mục đích nghiên cứu: 2.1. Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn Toán nói chung và việc giải các bài tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối, các phương pháp giải cơ bản làm công cụ cho các em phát huy trong việc giải các bài toán liên quan khó, phức tạp hơn. 2.2. Tập được hứng thú cho học sinh khi giải các bài tập trong SGK, các tài liệu tham khảo, giúp học sinh tự giải được các bài tập liên quan. 2.3. Giải đáp đượcm số thắc mắc, sai lầm hay gặp ở giải toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 3. Đối tượng nghiên cứu: Đề tài áp dụng đối với học sinh 7,8,9 và trong các giờ luyện tập, ôn tập, ôn tập cuối kì, ôn tập cuối năm, kì thi học sinh giỏi THCS, thi vào PTTH... 4. Phạm vi đề tài: Phát triển năng lực, khả năng tư duy có phương pháp giải toán phù hợp cho học sinh các lớp 7,8,9 qua việc giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 5. Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình Toán THCS cụ thể là đối với học sinh 7,8,9 THCS thị trấn. 6. Những đóng góp về mặt lý luận, thực tiễn của đề tài: 6.1. Về mặt lý luận: - Tạo cho học sinh có được một phương pháp phù hợp khi giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 6.2. Về mặt thực tiễn: Đề tài giúp học sinh THCS có được những kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối khắc phục những sai lầm khi giải bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối có hứng thú nghiên cứu tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này.  Phần B : nội dung * . Thực trạng vấn đề: Thực trạng hiện nay học sinh học ở các trường THCS khi giải các bài toán có liên quan đến dấu giá trị tuỵet đối các em thường gặp phải những khó khăn và rất lúng túng trong việc xác định được các cách giải nguyên do là: Thời lượng và kiến thức đưa vào chương trình THCS tương đối ít, không liền mạch, phương pháp giải còn hạn chế. Giáo viên khi dạy về vấn đề này thường chỉ chữa các bài tập chứ ít chú ý đến việc khai thác, phân tích, đưa ra phương pháp giải cho từng dạng toán cơ bản . Học sinh thường ngại giải các bài toán liên quan dấu giá trị tuyệt đối, việc tìm ra hướng chứng minh còn gặp nhiều khó khăn, cách trình bày chưa logíc còn dài dòng lời giải chưa chặt chẽ, việc áp dụng các kiến thức cơ bản chưa thuần thục, xét các trường hợp khoảng nghiệm còn sai, lời giải lập luận chưa khao học, chưa rõ ràng. Qua tìm hiểu thực tế, từ giảng dạy một số lớp trong các tiết luyện tập, các tiết tự chọn, trong quá trình dạy ôn các đội tuyển học sinh giỏi trong những buổi đầu chất lượng học sinh còn nhiều hạn chế Kết quả là: Lớp Tổng số Giỏi Khá TB Yếu HS Tỉ lệ % HS Tỉ lệ % HS Tỉ lệ % HS Tỉ lệ % 8A 32 0 0 4 12,5 24 62.5 8 25 9A 35 0 0 8 22,8 20 57,2 7 20 9B 30 0 0 6 20 15 50 9 30 ** Biện pháp thực hiện : Chương I: Định nghĩa và các tính chất cơ bản về giá trị tuyệt đối I. Định nghĩa: 1. Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của một số thực x là mộ số thực không âm, kí hiệu là (x) và được xác định như sau: x nếu x 0 - x nếu x < 0 * Chú ý: Với A(x) là một biểu thức tuỳ ý ta cũng có A(x) nếu A(x) 0 - A(x) nếu A(x) < 0 2. Hệ quả: 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. hoặc 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 3. Tính chất cơ bản giá trị tuyệt đối. 3.1. Định lý 1: Nếu x, y là hai s thực thì dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x,y . Chứng minh: Ta có: Vậy Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 3.2. Định lý 2: Nếu x, y là hai số thực thì Chứng minh: Ta có = (áp dụng định lý1) Mặt khác Nên - (1) Ta lại có (2) Từ (1) và (2) có * Chú ý: Nếu thay bằng - y ta có Nhận xét: Trên đây là những vấn đề cơ bản về giá trị tuyệt đối việc nắm vững vấn đề này sẽ góp phần làm đơn giản hoá việc giải các bài toán có chứa giá trị tuyệt đối. Chương II: Các bài toán về biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối. 1. Dạng bài tập rút gọn biểu thức: 1.1. Phương pháp giải. Để giải loại toán này ta dùng phương pháp biến đổi các biểu thức có chứa dấu trị tuyệt đối: Nội dung biến đổi để nhằm thay đổi biểu thức chứa dấu trị tuyệt đối bằng những biêu thức tương đương không chứa trị tuyệt đối. Nói cách khác là nhằm loại bỏ các dấu trị tuyệt đối khỏi biểu thức để có tiến hành các phép tính đại số quen thuộc. Các phép biến đổi thường dùng là: a. Sử dụng định nghĩa của giá trị tuyệt đối, hệ quả đã nêu ở trên. b. Sử dụng quy tắc về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai cụ thể là: - Nhị thức ax + b (a 0 cùng với a khi x > - và trái dấu với a khi x < - - Tam thức bậc hai: ax2 + bx + c (a 0). Trái dấu với a trong khoảng giữa hai tam thức (nếu có), cùng dấu với a trong mọi trường hợp khác. 1.2. Bài tập ví dụ: Bài 1: Rút gọn biểu thức: Giải: Ta có => Nếu x > thì Và x 3 Nếu thì Nếu x < 0 thì = -1 1 nếu x > và x 3 Vậy: nếu - 1 nếu x < 0 Bài 2: Rút gọn Giải: Để giải bài toán này có thể lập bảng như sau: x - -3/2 0 3/2 + -x -x x x 3-2x 3-2x 3-2x 2x-3 -2x-3 2x+3 2x+3 2x+3 Tử 3-x 3-x 3-3x x-3 Mẫu -5 4x-+1 4x+1 4x+1 Kiểm ta lại các kết quả tại các đầu mút ( ta đi đến kết luận sau: với B = với với với Bài 3: Rút gọn Giải: ở bài toán này việc xét khoảng trực tiếp hay lập bảng đều cho ta lời giải dài và phức tạp hơn. Ta có thể đặt: Khi đó: Vậy C = -1 Bài 4: Rút gọn Giải: Ta nhận thấy: 4x - 8 = x2-x2-2x+6x-9+1 = (x2-2x+1)-(x2-6x-9) =(x-1)2-(x-3)2 Vậy: Đặt Khi đó: = Vậy Ta lập bảng sau: x - 1 3 + 3-x 3-x 0 x-3 1-x 0 x-1 x-1 Tử 3-x 3-x x-3 Mẫu -2 2x-4 2 Kiểm tra lại các giá trị x=1 và x=3 ta đi đến kết quả sau: với D = với và x với x Nhận xét: * Đối với những bài toán dạng rút gọn mà biểu thức chỉ chứa một hoặc hai dấu trị tuyệt đối ta nêu xét trực tiếp các khoảng dựa vào định nghĩa giá trị tuyệt đối. * Đối với những bài toán có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối ta nên dùng phương pháp lập bảng. Lập bảng cần chú ý xét các giá trị đầu mút. * Đối với dạng toán tượng tự bài 3 và bài 4 thì phương pháp xét trực tiếp, hoặc lập bảng trực tiếp sẽ cho ta lời giải khá phức tạp việc đặt như trên sẽ hiệu quả hơn. * Khi giải các bài toán dạng rút gọn ta thừa nhận các biểu thức đã cho luôn xác định. 2. Dạng bài tập chứng minh đẳng thức: 2.1. Phương pháp giải: Phương pháp giải các bài toán loại này tương tự như phương pháp giải các bài toán rút gọn. 2.2. Bài tập ví dụ: Bài 1: Cho hai số x, y thoả mãn xy CMR: Giải: Biến đổi vế trái: Thật vậy Đặt A = A2 = xy + + + x + y + + xy - x - y + + + + 2xy – 2()2 = x2+2xy+y2 (Do xy và nên = Vậy VT = Do xy 0 => x,y cùng dấu => => VT = 0 bài toán được chứng minh Bài 2: Chứng minh thì Giải: Đặt Khi đó: VT = Vậy VT = 1 => đpcm 3. Một số bài tập luyện tập. Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: 1. 2. 3. Bài 2: Cho x và y thuộc R* (R* tập các số thực khác 0) CRM: Không phụ thuộc vào x và y. Chương III: Phương trình có chứa dấu trị tuyệt đối I. Phương trình bậc nhất chứa dấu trị tuyệt đối. 1. Phương trình dạng 1.1. Phương pháp giải: Nguyên tắc chung là biến đổi phương trình đã cho thành phương trình tương đương không còn chứa dấu trị tuyệt đối. Cụ thể đối với phương trình: (1) (A,B là các nhị thức bậc nhất) Ta giải như sau: i, Nếu B (1) vô nghiệm ii. Nếu B thì (1) có dạng A = B hoặc A = -B iii. Nếu chưa biết rõ B thì biến đổi như sau: B A = B hoặc A = -B 1.2. Bài tập ví dụ. Bài 1: Giải các phương trình sau: Giải: a. hoặc Giải (1): Giải (2): Vậy nghiệm của phương trình là hoặc x = -13 b. Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm thoả mãn Bài 2: Giải các phương trình sau: Giải: a. (*) (*) (3') hoặc Ta có (3') Ta có (4) (vô lí) => (4) vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = -1/4 b. hoặc Ta có (5) Ta có (6) (loại) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 1.3. Phương trình có chứa tham số. Bài 1: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m (1) Giải: (a) hoặc (b) Ta có (a) Như vậy để phương trình (1) có nghiệm thì ta phải có . Tương tự để phương trình có nghiệm thì từ (b) ta phải có Nếu thì Nếu thì Tóm lại: - Nếu m phương trình đã cho có nghiệm là - Nếu m phương trình đã cho có nghiệm là Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m Giải: Phương trình đã cho tương đối với phương trình hoặc Ta có (c) Ta có (d) Để phương trình (2) có nghiệm ta phải có hoặc - Nếu thì - Nếu thì Tóm lại: - Nếu PT (2) có nghiệm là - Nếu mPT (2) có nghiệm là 1.4. Các bài tập luyện tập. Bài 1: Giải các phương trình sau: Bài 2: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m 2. Phương trình bậc nhất dạng 2.1. Phương pháp giải: Đối với phương trình dạng (Với A,B là các nhị thức bậc nhất) ta loại bỏ dấu trị tuyệt đối bằng cách biến đổi tương đương như sau: = A = B hoặc A = -B 2.2. Bài tập ví dụ: Bài 1: Giải phương trình (1) hoặc 3x-9 = -(9x-3) (2) Giải (1) 3x-9 = 9x-3 6x = -6 x = -1 Giải (2) -3x-9 = -9x+3 12x – 12 = 0 x – 1 = 0 x = 1 Vậy phương trình có nghiệm là x = -1; x =1 Bài 2: Giải phương trình Giải: Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau: Vậy PT đã cho có nghiệm là x = 1 , x = -1 Bài 3: Giải phương trình: (3) Giải: (3) (4) hoặc (5) Giải (4) => (*) hoặc (*)(*) (*) (*)(*) Giải phương trình (5) hoặc hoặc Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x1 = 1; x2 = -3/5; x3 = 1/5; x4 = -3 Bài 4: Giải và biện luận phương trình (IV) Giải: Phương trình đã cho tương đương với 2 phương trình sau: 3mx+1 = m-2x hoặc 3mx+1 = -(m-2x) (a) hoặc Giải (a) ta có: - Nếu 3m + 2 = 0 hay m = -2/3 thì (a) tương đương với vô lí. => Phương trình (IV) vô nghiệm - Nếu hay m phương trình (a) Có nghiệm là . Do đó PT (IV) cũng có nghiệm là Tương tự đối với phương trình (b): - Nếu 3m - 2 = 0 hay m = 2/3 phương trình IV vô nghiệm - Nếu 3m - 2 0 hay m từ (b) => Tóm lại: - Nếu thì phương trình (IV) vô nghiệm - Nếu thì phương trình (IV) có nghiệm là - Nếu thì phương trình (IV) có nghiệm là 2.3. Bài tập luyện tập: Bài 1: Giải các phương trình sau Bài 2: Giải và biện luận các phương trình sau: 3. Phương trình bậc nhất dạng 3.1. Phương pháp giải: Đối với phương pháp trong đó A,B,C là những nhị thức bậc nhất thì ta có thể giải theo phương pháp biến đổi tương đương hoặc phương pháp lập bảng, tuy nhiên đối với dạng này thì phương pháp lập bảng phát huy tác dụng cao. 3.2. Bài tập ví dụ Bài 1: Giải phương trình (1) Giải: Đặt f(x) = Ta lập bảng như sau: x - -1 3 + -x-1 0 x+1 x+1 3-x 3-x 0 x-3 f(x) -2x+2 4 2x-2 Từ bảng trên ta có các trường hợp sau: - Nếu phương trình (1) (Thoả mãn) - Nếu do => PT (1) vô nghiệm - Nếu phương trình (1) (Thoả mãn) Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm là x= -3 và x = 5 Bài 2: Giải phương trình sau: (2) Giải: Đặt Lập bảng xét dấu bỏ giá trị tuyệt đối f(x) như sau: x - -2/3 0 3/2 + -2x+3 -2x+3 -2x+3 0 20+3 -x -x x x -15x-10 15x+10 15x+10 15x+10 f(x) 14x+13 -16x-7 -18x-7 -14x-13 - Nếu . Ta có phương trình 14x + 13 = 5x - 10 (thoả mãn) - Nếu . Ta có phương trình -16x-7 = 5x-10 -21x = -3 x = (loại) Nếu 0 ta có phương trình - 18x - 7 = 5x - 10 23x = 3 x = (Thoả mãn) - Nếu x ta có phương trình - 14x - 13 = 5x - 10 19x = - 3 x = - (loại) Vậy phương trình có hai nghiệm là: x1 = - 3.3. Bài tập luyện tập: Giải các phương trình sau: II. Phương trình bậc hai có chứa dấu trị tuyệt đối. 1. Phương trình dạng: Với f(x) tam thức bậc hai, g(x) là các nhị thức bậc nhất. 1.1. Cách giải: g(x) nếu g(x) 0 - Ta phá trị tuyệt đối -g(x) nếu g(x) < 0 Sau đó giải các phương trình bậc hai bình thường. 1.2. Các bài tập ví dụ: Bài 1: Giải phương trình (1) - Nếu phương trình (1) tương đương với phương trình sau: (thoả mãn) - Nếu x < -1 phương trình (1) tương đương với phương trình: 3x2-2x+1+x+1 = 0 (phương trình này vô nghiệm) Tóm lại phương trình (1) có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1 Bài 2: Giải phương trình (2) Giải: - Nếu phương trình (2) tương đương với các phương trình sau: (phương trình này vô nghiệm) => (2) vô nghiệm - Nếu x < 4 phương trình (2) tương đương với phương trình sau: x = 0 hoặc x = -2 (hai nghiệm này đều thoả mãn) Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm là x1 = 0; x2 = -2 1.3. Bài tập luyện tập. Giải các phương trình sau: 1. 2. 3. 4. 2. Phương trình dạng: + f(x) - là tam thức bậc hai + g(x), h(x) - là các nhị thức bậc nhất 2.1. Phương pháp giải: Để giải phương trình loại này ta nên lập bảng để loại bỏ dấu trị tuyệt đối của g(x) và h(x). Sau đó ta giải các phương trình theo các khoảng cụ thể: 2.2. Bài tập ví dụ: Bài 1: Giải phương trình (1) Giải: Ta có bảng sau f(x) 1 4 4-x 4-x 0 x-4 1-x 0 x-1 x-1 VT 2x2+2x+1 2x2-2x+5 2x2-3 - Nếu x < 1. Ta có phương trình 2x2+2x+1=0 phương trình này vô nghiệm => (1) vô nghiệm - Nếu . Ta có phương trình phương trình này vô nghiệm Vậy => phương trình (1) vô nghiệm - Nếu . Ta có phương trình (không thoả mãn) Vậy: Phương trình (1) vô nghiệm. Bài 2: Giải phương trình (2) Giải: Tương tự lập bảng bỏ dấu trị tuyệt đối ta được. - Nếu . Ta có phương trình phương trình này vô nghiệm => (2) vô nghiệm - Nếu . Ta có phương trình hoặc x = 5 (loại) - Nếu . Ta có phương trình => x1 = 2 và x2 = -3 Hai nghiệm này đều không thoả mãn x 3 Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm là x = 0 2.3. Bài tập luyện tập: Giải các phương trình sau 1. 2. 3. 4. 3. Phương trình dạng - f(x) là tam thức bậc hai hoặc nhị thức bậc nhất - g(x) là tam thức bậc hai 3.1. Phương pháp giải: Ta sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của g(x) từ đó phá dấu trị tuyệt đối và giải các phương trình theo các khoảng. 3.2. Bài tập ví dụ: Bài 1: Giải phương trình (1) Giải: Nhận xét: Có (Vì 0) Vậy phương trình (1) tương đương với phương trình: Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = -1 Bài 2: Giải phương trình (2) Giải Trước hết ta xét dấu của đa thức f(x) = x2- x + 6 + f(x) > 0 với x > 2 hoặc x < -3 + f(x) < 0 với -3 < x < 2 Như vậy ta có: - Nếu x >2 hoặc x < -3 ta có phương trình: Phương trình này vô nghiệm => phương trình (2) vô nghiệm - Nếu -3 < x < 2. Ta có phương trình: => x = 0 hoặc x = 2 Hai nghiệm này thoả mãn. - Với x = -3 không thoả mãn phương trình (2) KL: Phương trình (2) có nghiệm là: x = 0 và x = 2 3.3. Bài tập luyện tập. Giải các phương trình 1. 2. 3. 4. III. Phương pháp qui về phương trình đơn giản. 1. Phương pháp: Phương pháp chung là biến đổi tương đương hoặc lập bảng để biến đổi phương trình cần giải về các dạng phương trình quen thuộc như: hoặc hoặc đưa về dạng phương trình ax+b = 0 hoặc đã có phương pháp giải. 2. Bài tập ví dụ: Bài 1: Giải phương trình Giải: Lập bảng bỏ giá trị tuyệt đối như sau: x2 - 1 4 + 1 - x2 0 x2 -1 x2-1 4 - x2 4 - x2 0 x2- 4 VT 5 - 2x2 3 2x2 -5 Dựa vào bảng ta có các trường hợp sau: - Nếu x2 < 1 tức là -1 < x < 1 ta có phương trình 5 - 2x  2 = 3 => 2x2 = 2 => x2 = 1 (loại) => phương trình (*) vô nghiệm - Nếu . Ta có 3 = 3 luôn đúng => phương trình (*) có nghiệm x thoả mãn - Nếu x2 > 4 tức là x 2 Ta có phương trình: 2x2 - 5 = 3 x2 = 4 (loại) => Phương trình (*) vô nghiệm Kết hợp các điều kiện trên ta được nghiệm của phương trình (*) là hoặc . Bài 2: Giải phương trình: + = 1 Với x -1 phương trình đã cho tương đương với phương trình sau Ta nhận thấy rằng: Để nhận ra dấu "=" thì phải có KL: Phương trình đã cho có nghiệm Bài 3: Giải phương trình sau: Với biến đổi tương tự bài 2 ta đưa về phương trình Bình phương hai vế ta được: - Với thì (*) (thoả mãn) - Với thì (*) 8x - 8x + 16 = x2 + 6x + 9 x2+ 6x - 7=0 Phương trình này có nghiệm x = 1 thoả mãn Tóm lại: Phương trình đã cho có hai nghiệm là: x = 1 và x = 5 Bài 4: Giải phương trình Giải: Phương trình đã cho x – 1. x + 4 – 2 x + 3 = -2 Lập bảng bỏ dấu trị tuyệt đối như sau: x -4 -3 1 -x-3 -x-3 0 x+3 x+3 -x-4 0 x+4 x+4 x+4 1-x 1-x 1-x 0 x-1 x2+3x-4 0 x2-3x+4 -x2-3x+4 0 x2+3x-4 VT x2+5x+2 -x2-x+10 -x2-5x-2 x2+x-10 - Nếu x < -4 Ta có phương trình x2+5x+2+2 = 0 x2+5x+4 => x1 =-1 x2 = -4 (loại)/ vô nghiệm - Nếu Ta có phương trình -x2-x+10+2 = 0 - x2-x+12 = 0 Có nghiệm x = -4 thoả mãn - Nếu Ta có phương trình -x2-5x-2+2 = 0 -x2-5x = 0 => x = 0 (thoả mãn) x = -5 (loại) - Nếu x 1 Ta có phương trình x2+ x – 10 + 2 = 0 x2 + x - 8 = 0 Phương trình này có nghiệm thoả mãn Tóm lại: Phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x1 = -4; x2 = 0, x3 = 3. Bài tập luyện tập. Giải các phương trình sau: 1. 2. 3. 4. 5. Chương IV: Hệ phương trình chứa dấu trị tuyệt đối (ở đây ta chỉ xét hệ phương trình bậc nhất chứa dấu trị tuyệt đối) 1. Phương pháp giải: Để giải dạng toán này ta có thể làm theo phương pháp biến đổi tương đương hoặc dùng phương pháp lập bảng để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối chú ý rằng ta cần xem một ẩn là tham số và lập bảng theo các khoảng của ẩn còn lại. 2. Bài tập ví dụ: Bài 1: Giải hệ phương trình sau: Giải: - Nếu thì (I) - Nếu thì (I) - Nếu thì (I) - Nếu thì (I) Tóm lại hệ (I) có 4 cặp nghiệm là Bài 2: Giải hệ phương trình Giải: Từ (2) => Vậy hệ đã cho tương đương với hệ x + 1 + y –1 = 5 x + 1 = 4y - 4 Từ đó suy ra -y - 6 = 4y - 4 => y= 2 Như vậy thay y = 2 vào phương trình => hoặc x+1 = 4 => x = 3 hoặc x+1 =-4 => x= -5 Vậy nghiệm của hệ là: Bài 3: Giải hệ phương trình sau: Nhận xét: Để giải hệ phương trình này nếu sử dụng phương pháp biến đổi tương đương sẽ cho ta lời giải dài và nhiều khả năng dẫn đến nhầm lẫn. ở đây ta có thể giải bằng cách lập bảng để loại bỏ dấu trị tuyệt đối (ta xem y là tham số). Ta có bảng sau: f(x) - 2/3 3/2 -2x+3 -2x+3 0 2x-3 -3x-2 0 3x+2 3x+2 PT(1) PT(2) - Nếu x < - Ta có hệ cần có - Nếu ta có hệ Hệ này không có nghiệm thoã mãn khoảng xét. - Nếu Ta có hệ cần có (Thoả mãn khoảng xét) Ta có hoặc 5y - 4 = 2x - 7 (3) hoặc 2x - 5y = 3 (4) Mặt khác: hoặc 2y =-3x + 7 3x - 2y = 7 (5) hoặc 3x + 2y = 7(6) Kết hợp (3), (4), (5), (6) ta có 4 hệ phương trình tương đương với hệ III đó là: i. (thoả mãn) ii. (không thoả mãn) iii. (thoả mãn) iiii. (không thoả mãn) Vậy hệ đã cho có nghiệm là: Bài 4: Giải và biện luận hệ phương trình sau: Giải: Từ (1) => 2y = x-m thay vào (2) được - Nếu x(m+2) = 2m+1 (3) Với m = -2 => 3 vô nghiệm Với m -2 Từ (3) => x = Ta cần có hoặc m < -2 - Nếu x < 0 Ta có (*) x(2-m) = 2m+1 (4) + Với m = 2 Từ (4) => 0.x = 5 vô lý => hệ phương trình vô nghiệm + Với m 2 Từ (4) => Ta cần có Tóm lại: - Nếu m < -2 hệ IV có nghiệm là - Nếu hệ IV cho vô nghiệm - Nếu hệ IV có nghiệm là - Nếu hệ IV vô nghiệm. 3. Bài tập luyện tập. 1. Giải các hệ phương trình sau: 2. Giải và biện luận hệ phương trình sau: Chương V: Bất phương trình có chứa dấu trị tuyệt đối I. Bất phương trình bậc nhất có chứa dấu trị tuyệt đối: 1. Bất phương trình dạng 1.1. Phương pháp chung: Để giải bất phương trình bậc nhất có chứa dấu trị tuyệt đối ta có thể sử dụng định nghĩa A nếu A - A nếu A < 0 hoặc dùng phương pháp lập bảng để loại bỏ dần trị tuyệt đối từ đó đưa về giải các bất phương trình bậc nhất trên các khoảng 1.2. Bài tập ví dụ: Bài 1: Giải bất phương trình (1) Cách 1: Bất phương trình (1) tương đường với -5 < 2x-1 < 5 Cách 2: Bất phương trình (1) Lập bảng như sau: x - -1/2 + -4-2x 2x-6 Nghiệm Vậy bất phương trình có nghiệm là -2 < x < 3 Bài 2: Giải bất phương trình (2) Giải: Phương trình đã cho Ta lập bảng như sau: x - 3 + x - 1 3x - 7 Nghiệm 1< x < 3 x 3 Kết luận: Bất phương tình có nghiệm là x > 1 1.3. Bài tập luyện tập. Giải các bất phương trình sau: 1. 2. 3. 4. 2. Bất phương trình dạng 2. Bất phương trình dạng 2.1. Phương pháp giải: Đối với các bài toán dạng này dùng phương pháp lập bảng để loại bỏ dấu trị tuyệt đối. 2.2. Bài tập ví dụ: Bài 1: Giải bất phương trình sau Giải: Ta lập bảng như sau: x - -1 3 + 3-x 3-x 0 x-3 -x - 1 0 x + 1 x + 1 -2x + 2 4 2x - 2 Nghiệm -2<x<-1 -1 x>4 - Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là: x T = Bài 2: Giải bất phương trình sau: Giải: Ta lập bảng sau: x - 0 1/2 + 1-2x 1-2x 0 2x-1 -x 0 x x 1-x 1-3x x-1 Nghiệm x < - 4 Vô nghiệm x > 6 Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là: 2.3. Bài tập luyện tập: Giải các bất phương trình sau: 1. 2. 3. 3. Bất phương trình có chứa tham số: 3.1. Phương pháp giải: - Trước hết ta loại bỏ dấu trị tuyệt đối dựa vào định nghĩa A nếu A 0 - A nếu A < 0 Trong trường hợp phức tạp ta cần lập bảng. - Bằng phép biến đổi trên ta được các bất phương trình bậc nhất chứa tham số mà cách giải đã rất quen thuộc. 3.2. Bài tập ví dụ: Bài 1: Giải và biện luận bất phương trình sau: Giải: - Nếu m = -2 Ta có vô lí => bất phương trình vô nghiệm - Nếu m <-2 Ta có bất phương trình hoặc x <2-m - Nếu x > -2 Ta có bất phương trình: (*) - Khi m2- 4 < 0 tức m2 < 4 hay - 2 < m < 2 thì bất phương trình (*) vô nghiệm. - Khi m2- 4 > 0 => m > 2 (Do m > -2) Ta có KL: - Nếu m m-2 - Nếu m > 2 thì bất phương trình có nghiệm là 2-m < x < m-2 - Nếu m = -2 hoặc -2<m<2 bất phương trình vô nghiệm. Bài 2: Giải và biện luận bất phương trình sau: (2) Bất phương trình (2) - Nếu 3m+4 Bất phương trình vô nghiệm - Nếu Ta có: - Với m >0 => Bất phương trình có nghiệm là - Với => Bất phương trình có nghiệm là: - Với m = 0 => Bất phương trình có nghiệm là -4 <x < 4 KL: * Nếu x < - thì bất phương trình vô nghiệm * Nếu m > 0 Bất phương trình có nghiệm là: * Nếu => Bất phương trình có nghiệm là: * Nếu m = 0 bất phương trình có nghiệm là -4 <x < 4. 3.3. Bài tập luyện tập: Giải và biện luận các bất phương trình sau: 1. 2. 3. II. Bất phương trình bậc hai có chứa dấu giá trị tuyệt đối 1. Phương pháp giải: Để giải các bài toán loại này trước hết ta cùng tìm cách để loại bỏ dấu trị tuyệt đối. Có thể dựa vào định lý về dấu của tam thức bậc hai. Nội dung như sau: - Cho tam thức bậc hai: f(x) =ax2+bx+c (a0) Nếu thì a.f(x) > 0 Nếu thì a.f(x) > 0 Nếu thì a.f(x) > 0 với x x2 Với a.f(x) < 0 với x1 < x < x2 (Với x1, x2 là 2 nghiệm của f(x) và x1 < x2) * Khi giải ta thường gặp một số dạng bất phương trình như sau: hoặc f(x) - a hoặc f(x) với g(x) 2. Bài tập ví dụ: Bài 1: Giải bất phương trình sau: Giải: Bất phương trình (1) x > 5 hoặc x < 0 (I) x2 - 5x - 6 <0 Hoặc 0< x <5 (II) x2 - 5x + 6 >0 Giải hệ (I) ta được x > 5 hoặc x <0 - 1 < x < 6 Giải hệ (II) ta được 0 < x < 5 x > 3 hoặc x < 2 Kết hợp các trường hợp trên ta được nghiệm của bất PT (1) là: - 1 < x < 2 hoặc 3 < x < 6 Bài 2: Giải bất phương trình sau: Giải: Bất phương trình (2) ( 2x - 1)2 < 16 - 4 < 2x - 1 < 4 -3/2 < x < 5/2 Vậy nghiệm của bất phương trình có nghiệm là - 3/2 < x < 5/2. Bài 3: Giải bất phương trình sau: Giải: Bất phương trình (3) tương đương với hai