Sáng kiến kinh nghiệm - Một số bài toán về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU. I./ ĐẶT VẤN ĐỀ Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy các bài toán dùng kiến thức về tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán là một trong những nội dung kiến thức trọng tâm của chương trình toán lớp 7, trong đó việc phân loại bài tập và phương pháp suy luận tìm tòi lời giải đối với từng dạng là một việc làm cần thiết để bồi dưỡng và nâng cao cho học sinh đặc biệt là đối với đối tượng học sinh khá trở lên. Vì vậy từ thực tế giảng dạy tôi xin đưa ra một số bài toán để cùng trao đổi với đồng nghiệp hy vọng góp một phần nhỏ vào kinh nghiệm chung trong việc nâng cao chất lượng dạy học. Các bài toán về tỉ lệ thức là một mảng toán rất rộng nên tôi không có ý định đề cập tới tất cả các dạng ở các khối lớp mà chỉ hạn chế mức độ toán 7 để sử dụng trong giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi lớp 7. Rất mong được sự góp ý của đồng nghiệp. II./ NỘI DUNG 1. Lý thuyết Tỷ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỷ số * Tớnh chất của tỷ lệ thức: Tớnh chất 1: Từ tỷ lệ thức suy ra a.d = b.c Tớnh chất 2: Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 cho ta cỏc tỷ lệ thức: , , , Tớnh chất 3: Từ tỷ lệ thức suy ra cỏc tỷ lệ thức: , , * Tớnh chất của dóy tỷ lệ thức bằng nhau: Tớnh chất 1: Từ tỷ lệ thức suy ra cỏc tỷ lệ thức sau: , (b ≠ ± d) Tớnh chất 2: suy ra cỏc tỷ lệ thức sau: , (b, d, j ≠ 0) Tớnh chất 3: a, b,c tỷ lệ với 3, 5, 7 tức là ta cú: III./ CÁC DẠNG BÀI TẬP Tụi xin chia 5 dạng cụ thể sau: Toỏn chứng minh đẳng thức Toỏn tỡm x, y, z, ... Toỏn đố Toỏn về lập tỷ lệ thức Áp dụng và chứng minh bất đẳng thức A. Loại toỏn chứng minh đẳng thức Bài 1. Chứng minh rằng : Nếu thỡ với a, b, c, d ≠ 0 Giỏo viờn hỏi: Muốn chứng minh trước hết xỏc định bài toỏn cho ta điều gỡ? Bắt chứng minh điều gỡ? Giải: Với a, b, c, d ≠ 0 ta cú: (1) (2) Từ (1) và (2) => (ĐPCM) Bài 2: Nếu thỡ: a, b, Giải: - Nhận xột điều phải chứng minh? Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d? Bài 1 gợi ý gỡ cho giải bài 2? Từ (đpcm) (đpcm) Bài 3: CMR: Nếu thỡ điều đảo lại cú đỳng hay khụng? Giải: + Ta cú: + Điều đảo lại cũng đỳng, thật vậy: Ta cú: Bài 4: Cho CMR Giải: (đpcm) Bài 5: CMR: Nếu thỡ Giải: Ta cú: Từ Từ (1) và (2) (đpcm) Bài 6: CMR Nếu a + c = 2b (1) và 2bd = c(b+d) (2) đk: b; d≠0 thỡ Giải: Ta cú: Từ (3) và (2) (đpcm) Bài 7: Cho a, b, c, d là 4 số khỏc nhau, khỏc khụng thỏa món điều kiện: và CM: Giải: + Ta cú + Ta cú + Từ (1) và (2) ta cú Mặt khỏc: Từ (3) và (4) Bài 8: CMR: Nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) (1) Trong đú a ; b ; c là cỏc số khỏc nhau và khỏc 0 thỡ: Giải: Vỡ a; b; c ≠0 nờn chia cỏc cỏc số của (1) cho abc ta cú: ? Nhỡn vào (*) ta thấy mẫu thức cần cú ab – ac ? Ta sẽ biến đổi như thế nào? Từ (2) (đpcm) Bài 9: Cho CMR: Giải: Nhõn thờm cả tử và mẫu của (1) với a hoặc b; c Từ (1) ta cú: Từ (2) và (3) (đpcm) Bài 10. Biết và CMR: abc + a’b’c’ = 0 Giải: Từ Nhõn cả hai vế của (1) với c ta cú: abc + a’b’c = a’bc (3) Ta cú: Nhõn cả hai vế của (2) với a’ ta cú: a’bc + a’b’c’ = a’b’c (4) Cộng cả hai vế của (3) và (4) ta cú: abc + a’b’c + a’bc + a’b’c’ = a’bc +a’b’c => abc + a’b’c = 0 (đpcm) B. Toỏn tỡm x, y, z Bài 11. Tỡm x, y, z biết: và Giải: Giả thiết cho Làm như thế nào để sử dụng hiệu quả giả thiết trờn? Từ x = 3.15 = 45 y= 3.20 = 60 z = 3.28 = 84 Bài 12. Tỡm x, y, z cho: và và Giải: Nhận xột bài này và bài trờn cú gỡ giống nhau? Đưa bài này về dạng bài trờn bằng cỏch nào? Đưa tử số cú cựng số chia Ta cú: (chia cả hai vế cho 5) (chia cả hai vế cho 4) Tương tự học sinh tự giải tiếp: x = 90; y = 120; z = 168 Bài 13. Tỡm x, y, z biết và và x + y + z = 98 Giải: Hóy nờu phương phỏp giải (tỡm GCNN (3;5)=?) Học sinh nờn tự giải (tương tự bài nào em gặp) ĐS: x = 20; y = 30; z = 42 Bài 14. Tỡm x, y, z biết 2x = 3y = 5z (1) và x + y –z = 95 (*) Cỏch 1: Từ 2x = 3y 3y = 5z Đưa về cỏch giải giống ba bài trờn: cỏch này dài dũng Cỏch 2: + Nếu cú tỷ lệ của x, y, z tương ứng ta sẽ giải được (*) + Làm thế nào để (1) cho ta (*) + chia cả hai vế của (1) cho BCNN (2;3;5) = 30 2x = 3y = 5z => x = 75, y = 50, z = 30 Bài 15. Tỡm x, y, z biết: và x – y = 15 Giải: Hóy nờu cỏch giải (tương tự bài 11) BCNN(1 ;2 ;3) = 6 Chia cỏc vế của (1) cho 6 ta cú => x = 2.15 = 60; y = 5.9 = 45; z = 8.5 = 40 Bài 16. Tỡm x, y, z biết: a. và 2x + 3y –z = 50 b. và x + y +z = 49 Giải: a. Với giả thiết phần a ta co cỏch giải tương tự bài nào? (bài 11) Từ (1) ta cú: b. ? Nờu cỏch giải phần b? (tương tự bài 15) Chia cỏc vế cho BCNN (2;3;4) = 12 => x = 18; y = 16; z = 15 Bài 17. Tỡm x; y; z biết rằng: a. và xy = 54 (2) b. và (x, y > 0) Giải: ? Làm như thế nào để xuất hiện xy mà sử dụng giả thiết. a. Thay vào (2) ta cú: b. Bài 18. Tỡm cỏc số a1, a2, a9 biết: và Giải : Từ đú dễ dàng suy ra a1; a2; Bài 19. Tỡm x; y; z biết: a. Giải: Theo tớnh chất của dóy tỷ số bằng nhau ta cú từ (1) Nếu a + y + z ≠ 0 : b. Tương tự cỏc em tự giải phần b Tỡm x, y, z biết: Nếu x + y + z ≠ 0 => x + y + z = 0,5 ĐS : Nếu x + y + z = 0 => x = y = z = 0 Bài 20. Tỡm x biết rằng: Giải: Bài 21. Tỡm x, y,z biết rằng: và xyz = 810 Giải: mà Bài 22. Tỡm cỏc số x1, x2, xn-1, xn biết rằng: và () Giải: trong đú: i = 1, 2,, n Bài 23. Tỡm cỏc số x; y; z ЄQ biết rằng: Giải: Ta cú: Từ (1) Bài 24. Tổng cỏc luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỷ số giữa số thứ 1 và số thứ 2 là ; giữa số thứ 1 và số thứ 3 là . Tỡm 3 số đú? Giải: Ta cú: Bài 25. Tỡm x, y biết : C./ LẬP TỈ LỆ THỨC Bài 26. Cho tỡm Bài 27. Cho và e - 3d + 2f Tỡm D./ TOÁN ĐỐ (ngoài những dạng đơn giản trong sgk giỏo viờn soạn bổ sung thờm) Bài 28. Cú 3 đội A; B; C cú tất cả 130 người đi trồng cõy. Biết rằng số cõy mỗi người đội A; B; C trồng được theo thứ tự là 2; 3; 4 cõy. Biết số cõy mỗi đội trồng được như nhau. Hỏi mỗi đội cú bao nhiờu người đi trồng cõy? Giải: + Gọi số người đi trồng cõy của đội A; B; C lần lượt là: x; y; z (người), đk: x; y; z ЄN* + Theo bài ra ta cú: x.2 = y.3 = 4.z (1) và x + y+ z =130 BCNN (2;3;4) = 12 Trả lời: Đội A; B; C cú số người đi trồng cõy theo thứ tự là 60; 40; 30 ĐS: 60; 40; 30 Bài 29. Trường cú 3 lớp 7, biết cú số học sinh lớp 7A bằng số học sinh 7B và bằng số học sinh 7C. Lớp 7C cú số học sinh ớt hơn tổng số học sinh của 2 lớp kia là 57 bạn. Tớnh số học sinh mỗi lớp? Giải: Gọi số học sinh 7A; 7B; 7C lần lượt là x; y; z (em), x; y; z ≠0 Theo bài ra ta cú: và x + y + z = 57 Chia (1) cho BCNN (3;4;5) = 12 => x = 54; y = 18; z =45 Trả lời: số học sinh cỏc lớp 7A; 7B; 7C lần lượt là: 54; 18; 45 ĐS: 54; 18; 45 Bài 30. Tỡm ba số nguyờn dương biết BCNN của chỳng là 3150 và tỷ số số thứ nhất với số thứ 2 là , của số thứ nhất với số thứ ba là . Giải: Gọi ba số nguyờn dương lần lượt là: x; y; z Theo bài ra ta cú: BCNN (x;y;z) = 3150 BCNN (x;y;z)=3150 = 2.32.5.7 k = 5 x=50; y = 90; z = 35 Vậy 3 số nguyờn dương lần lượt là x = 50; y = 90; z = 35. E./ TÍNH CHẤT CỦA TỶ LỆ THỨC ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Tớnh chất 1: (Bài 3/33 GK Đ7) Cho 2 số hữu tỷ và với b> 0; d >0. CM: Giải: + Cú + Cú: Tớnh chất 2: Nếu b > 0; d > 0 thỡ từ (Bài 5/33 GK Đ7) Giải: + thờm vào 2 vế của (1) với ab ta cú: + Thờm vào hai vế của (1) dc ta cú: + Từ (2) và (3) ta cú: Từ (đpcm) Tớnh chất 3: a; b; c là cỏc số dương nờn a, Nếu thỡ b, Nếu thỡ Bài 31. Cho a; b; c; d > 0. CMR: Giải: + Từ theo tớnh chất (3) ta cú: (do d>0) Mặt khỏc: + Từ (1) và (2) ta cú: Tương tự ta cú: Cộng bất đẳng thức kộp (3); (4); (5); (6) theo từng vế thỡ được: (đpcm) Bài 32. Cho và CMR: Giải: Ta cú và nờn Theo tớnh chất (2) ta cú: (đpcm)