Sáng kiến kinh nghiệm - Một số dạng phương trình - Bất phương trình chứa căn thức và phương pháp giải

Sở giáo dục & đào tạo Hải Dương Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng phương trình - bất phương trình chứa căn thức và phương pháp giải Môn : Toán Khối : 9 Năm học 2007 - 2008 Phòng giáo dục & đào tạo thanh miện Phần ghi số phách của Phòng GD & ĐT Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng phương trình - bất phương trình chứa căn thức và phương pháp giải Môn : Toán Khối : 9 Người thực hiện: bùi văn uý đánh giá của tổ chuyên môn (Nhận xét, đánh giá xếp loại) .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ........................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ........................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... đánh giá của hội đồng nhà trường (Nhận xét, đánh giá xếp loại, ký và đóng dấu) .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ........................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ........................................................................................................................... .......................................................................................................................... Phần ghi số phách của Phòng GD & ĐT Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng phương trình - bất phương trình chứa căn thức và phương pháp giải Môn : Toán Khối : 9 đánh giá, xếp loại của Phòng giáo dục và đào tạo (Nhận xét, đánh giá xếp loại, ký và đóng dấu) .......................................................................................................................... ........................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ........................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ........................................................................................................................... .......................................................................................................................... tác giả :........................................................................ Đơn vị công tác : ....................................................................................... A. đặt vấn đề Trong chương trình dạy toán nói chung của trung học cơ sở, có rất nhiều vấn đề mà người dạy chúng ta cần quan tâm, đánh giá và suy nghĩ để từ đó tư duy tổng hợp, tiến hành thực hiện áp dụng việc đổi mới giúp cho việc giảng dạy của thầy hiệu quả hơn, việc tiếp thu của trò dễ dàng hơn và học trò hứng thú với việc học tập ở trường. Qua nghiên cứu chương trình giảng dạy tôi nhận thấy trong phân môn Đại số lớp 9 phần bài tập liên quan đến căn thức và các phép biến đổi của căn thức đặc biệt là các dạng toán về phương trình và bất phương trình chứa căn thức đối với học sinh khi thực hiện rất khó khăn, trong một số đề thi học sinh giỏi các cấp thì dạng toán liên quan đến giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức là những bài toán hay và khó. Trong những năm gần đây, việc đổi mới phương pháp dạy học là một yêu cầu bắt buộc đối với tất cả các môn học, cụ thể chúng ta phải áp dụng linh hoạt các phương pháp để tạo cho học sinh học tập có hệ thống, tự giác trong việc nghiên cứu lý thuyết cũng như tìm tòi lời giải, phát triển tính sáng tạo của học sinh trong việc vận dụng các kiến thức đã học để khám phá lời giải của các bài tập, thống kê và đưa chúng về một số dạng cơ bản trên cơ sở đó thực hiện việc giải toán một cách dễ dàng hơn. Qua quá trình giảng dạy các đối tượng học sinh, tôi đã thực hiện việc tổng hợp một số dạng toán về phương trình - bất phương trình chứa căn thức và phương pháp giải, bước đầu đã đạt được những kết quả nhất định. Tôi mạnh dạn tổng hợp và viết sáng kiến kinh nghiệm “Một số dạng phương trình – bất phương trình và phương pháp giải” trong khuôn khổ của chương trình toán trung học cơ sở nhằm mong muốn được các đồng nghiệp tham khảo và cho ý kiến. B. giảI quyết vấn đề Một trong những điều cần lưu ý nhất đối với phương trình và bất phương trình chứa căn là tính không thuận nghịch của các phép toán. Nhìn chung những dạng phương trình và bất phương trình cơ bản là các phương trình, bất phương trình có thể đưa về phương trình và bất phương trình đại số bậc nguyên. Vì vậy cần lưu ý đến điều kiện có nghĩa của biểu thức. Ví dụ 1: A(x) = (1 + )2 + (1 - )2 và B(x) = 2 + 2x thì A(x) = B(x) chỉ đúng khi x > 0 Ví dụ 2: Xét phương trình = B(x) (1) thì điều kiện đối với B(x) là quan trọng. Nếu chưa biết thông tin đối với B(x) thì không thể viết: (1) A(x) = B(x) 4 B(x) 0 Ví dụ 3: Giải phương trình = Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 (2) Nếu chỉ dựa vào phép tính biến đổi ta sẽ thấy: (2) x - 1 = (1 - x)2 Do vậy, trong mọi trường hợp, cần phải xem xét điều kiện có nghĩa của phương trình một cách chi tiết, sau đó mới tiến hành các phép biến đổi tương đương. 1. Quy tắc giản ước: Khác với các biểu thức đại số bậc nguyên khi một thừa số khác không, ta có thể giản ước hoặc đặt thừa số chung. Đối với biểu thức chứa căn, cần đặc biệt lưu ý tới điều kiện có nghĩa. Bài toán 1: Giải phương trình: + = Giải: Điều kiện có nghĩa: (x - 1)x 0 x 2 (x - 2)x 0 x = 0 x(x + 3) 0 x - 3 1) x = 0 là một nghiệm. 2) Xét x 2 khi đó có thể giản ước hai vế của phương trình cho + = 2x - 3 + 2 = x + 3 2 = 6 - x 6 - x 0 x 6 x = 4 (x2 - 3x + 2) = 36 - 12x + x2 3x2 = 28 Kết hợp với điều kiện x 2 ta được nghiệm x = 3) Xét x - 3 khi đó viết phương trình đã cho dưới dạng: + = Giản ước 2 vế cho + = Trường hợp này phương trình vô nghiệm vì vế trái lớn hơn vế phải. Tóm lại: phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = 2. Quy tắc thay giá trị: Sử dụng hằng đẳng thức: (u + v) 3 = u3 + v3 + 3uv (u +v) Từ biểu thức u + v = a dễ dàng suy ra: u3 + v3 + 3uva = a3 Tuy nhiên, phép thế giá trị u + v = a này vào biểu thức lập phương có thể dẫn đến một phép bình phương và phép biến đổi không còn là phép biến đổi tương đương. Bài toán 2: Giải bất phương trình: + m (1) Giải: (1) m - 3 - x m3 - 3m2 + 3m2 - x 3m 2 - 3m2 + m3 - 3 0 1) m = 0, x là nghiệm. 2) m 0 xét tam thức bậc hai: f(t) = 3mt2 - 3m2t + m3 - 3, với t = = 9m4 - 12m(m3 - 3) = - 3m4 + 36m = - 3m(m3 - 12) m 0 - 0 + 0 - a) Nếu m f(t) 0, . Vậy là nghiệm b) Nếu 0 < m thì f(t) 0 => t Từ đó ta được 3 3 c) m > thì f(t) > 0 , bất phương trình vô nghiệm Bài toán 3: Giải phương trình: + = Giải: Lập phương hai vế ta được: 4 + 3.( + ) = 4 Vậy phương trình tương đương với: + = 3 . = 0 Vì > 0 nên suy ra: = 0 => Hai giá trị này đều thoả mãn phương trình đã cho. 3. Phép hữu tỉ hoá: Một trong những phương pháp cơ bản để giải phương trình và bất phương trình chứa căn là chuyển bài toán đã cho về dạng hữu tỷ (bậc nguyên) bằng cách đặt ẩn phụ. Bài toán 4: Giải phương trình: = (a - )x Giải: Điều kiện x 0 Nhận xét: , x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của phương trình cho x, ta được: = a (1) + Nếu a 1 phương trình vô nghiệm. + Xét a > 1 khi đó (1) = a x = Bài toán 5: Giải phương trình: + = (1) Giải: Điều kiện 1 x 5; Đặt = y + , - y Khi đó: x = (y + )4 + 1, = Thay vào (1) ta được phương trình: + y + = ( y + )4 + (y - )4 = 4 (y + )2 - (y - )2 2 + 2(y2 - ) 2 = 4 2y4 + 6y2 - = 0 => y = Vậy phương trình có nghiệm x1 = ( + 1 = 5 x2= (- + 1 = 1 Bài toán 6: Giải bất phương trình: 2() + Giải: Điều kiện 0 x 1 Viết bất phương trình đã cho dưới dạng: (+ )2 + ( - )2 + (1) Đặt + = y 1 - x Do Nên: y 1 suy ra y2 y x Do vậy (+ )2 + Vậy (1) luôn luôn đúng. Suy ra nghiệm là đoạn 4. Phép chuyển về hệ: (hữu tỉ hoá gián tiếp) Nhìn chung, các phương trình và bất phương trình chứa căn thức đều có thể chuyển được về một hệ hữu tỉ. Tuy nhiên, không phải khi nào cũng cho thấy tính ưu việt của hệ nhận được. Thông thường, phép toán chuyển về hệ sẽ có hiệu quả khi các phép toán đó có sử dụng các hằng đẳng thức quen biết. Bài toán 7: Giải phương trình + = Giải: Điều kiện: -5 < x < 5; Đặt = u ; = v ; 0 < u , v < 2 (*) Khi đó ta được hệ: u2 + v2 = 10 - - + 2(u + v) = (u + v)2 = 10 + 2uv (u + v)(1 - ) = Đặt tiếp = t uv = , t > Ta được hệ: (u + v)2 = 10 + (u + v)2 = uv = Vậy t phải thoả mãn phương trình = 10 + 8t = 45t(1 - t)2 + 18(1 - t)2 45t3 - 72t2 + t + 18 = 0 15 (3t3 - 2t2) - 14 (3t2 - 2t) - 9(3t - 2) = 0 (3t - 2) (15t2 - 14t - 9) = 0 t = => uv = 3 t = => uv = = a1 Vậy u,v là nghiệm của một trong hai hệ sau: (u + v)2 = 10 + 2uv = 16 u1 = 3 ; v1 = 1 (1) => (u - v)2 = 10 - 2uv = 4 u2 = 1 ; v2 = 3 u3 = ( (u + v)2 = 10 + 2a1 v3 = ( (2) => (u - v)2 = 10 - 2a1 u4 = ( v4 = ( Các nghiệm này đều thoả mãn điều kiện (*) Suy ra nghiệm của phương trình là: x = 5 - , k = 1,2,3,4 Bài toán 8: Giải phương trình: x2 - 2x = 2 Giải: Điều kiện x Đặt = y + . Chọn để hệ : x2 - 2x = 2 (y + ) (y + )2 = 2x - 1 Là hệ đối xứng: Lấy = 1, = -1 Ta được hệ: x2 - 2x = 2(y - 1) ( x , y 1) (*) y2 - 2y = 2(x - 1) x2 - 2x = 2(y - 1) (x2 - 2x) - (y2 - 2y) = 2(y - 1) - 2(x - 1) y = x x2 - 2x = 2(y - 1) x2 - 2x = 2(x - 1) x2 - y2 = 0 y = - x x2 - 2x = 2(- x - 1) y = x x = y = 2 x2 - 4x + 2 = 0 y = -x ( vô nghiệm) x2 = -2 Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất của phương trình : x = 2 + Bài toán 9: Giải phương trình: + = Giải: Điều kiện 0 x 2 Đặt = u = v 0 u ; 0 v u + v = u = ( - v) sẽ được hệ (1) u2 + v4 = 2 ( - v)2 + v4 = 2 Giải phương trình (1): v4 + v2 - v + = 2 (v4 + 2v2 + 1) - (v2 +v + ) = 0 (v2 + 1)2 - (v + )2 = 0 (v2 + v + 1 + )(v2 - v + 1 - ) = 0 Vế trái luôn luôn dương, vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 5. Phân tích thành nhân tử: (phép đặt ẩn phụ không toàn phần) Một trong những nội dung khó nhất của loại phương trình và bất phương trình chứa căn chính là xác định tiêu chuẩn để một biểu thức chứa căn có thể phân tích được thành nhân tử. Tuy nhiên, dựa vào đặc thù riêng của từng bài, có thể xem một bộ phận thích hợp của biểu thức đã cho như một biến số độc lập và phân tích chúng theo biến phụ đó. Bài toán 10: Giải phương trình: 4 - 1 = 3x + 2 + (1) Phân tích: Coi = t như biến độc lập. Khi đó viết (1) dưới dạng: 4 - 1 = 3(1 - t2 ) + 2t + t 3t2 - (2 + ) t + 4( - 1) = 0 (2) Cũng như vậy, nếu coi = t là ẩn phụ mới thì cũng có một phương trình tương tự. Tuy nhiên, sự may mắn để giải được phương trình (2) theo tam thức bậc hai của t quả là ít xảy ra. Đó chính là điểm nút quan trọng nhất trong phương pháp đặt ẩn số phụ không toàn phần: Thông thường, trước khi giải, ta cần xét biểu diễn của số hạng 3x dưới dạng tổ hợp của 2 số: ()2 ; ()2 ; 3x = (1 - x) + (1+ x) + Và chọn , , thích hợp để tam thức theo biến t có biệt thức = 0. Giải: Điều kiện -1 x 1 (1) Đặt = t 3x = - (1 - x) + 2 (1 + x) - 1 = - t2 + 2(x + 1) - 1 Khi đó phương trình (1) có dạng 4 - 1 = - t2 + 2(x + 1) - 1 + 2t + t t2 - (2 + )t + 4 - 2(1 + x) = 0 (3) = (2 - 3 )2 Suy ra (3) (t - 2) (t - 2 + ) = 0 t = 2 = 2 x = - t = 2 - = 2 - x = 0 Cả hai giá trị đều thoả mãn điều kiện (1). Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0 và x = - 6. Phép giải và biện luận: Việc giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức có tham số thường được tiến hành theo đặc thù của từng bài cụ thể để tìm cách giải tối ưu. Để có một cách hệ thống các bước, ta sắp xếp việc biện luận theo trình tự dưới đây: Bài toán 11: Giải và biện luận bất phương trình x – m (1) Phân tích: Các điểm đặc biệt: x = 1, x = m -1 1 m Từ đó, suy ra phép biện luận theo sự phân bố của m. Giải: Điều kiện x 1 x - 1 1) m = 1 (1) x - 1 a) x - 1 0 => x 1. Suy ra x - 1 là nghiệm b) x - 1 0 => x 1 Bất phương trình (1) x2 - 1 x2 - 2x + 1 x 1 Vậy x 1 Là nghiệm x - 1 2) m = -1 (1) x + 1 (2) a) x - 1 là nghiệm b) Xét x > - 1. Bất phương trình (2) x2 - 1 x2 +2x +1 x -1 (loại) Vậy x -1 là nghiệm 3) m < -1 a) x < m là nghiệm b) Xét x m khi đó bất phương trình (1) x2 -1 x2 - 2mx + m2 2mx m2 + 1 x => m x Vậy x là nghiệm. 4) -1 < m < 1 a) x -1 là nghiệm b) Xét x 1 Bất phương trình (1) x2 -1 x2 -2mx + m2 2mx m2 + 1 (*) + -1 < m 0 thì ( * ) vô nghiệm + 0 < m < 1 thì ( * ) x thoả mãn điều kiện x 1 Vậy x -1 x là nghiệm . 5) m > 1 a) x -1 là nghiệm b) Xét x m Bất phương trình (1) x không thoả mãn điều kiện x m. Vậy x -1 là nghiệm. Bài toán 12: Giải và biện luận bất phương trình sau: 2x - m - 1 (1) Giải: (1) 2(x - 1) - (m - 1) (1') Điều kiện để căn thức có nghĩa: x 1 + (2) x 1 - 1) Xét 2(x - 1) - (m - 1) 0 x 1 + kết hợp với (2) thì (1) có nghiệm: x 1 - 2) Xét 2(x - 1) - ( m - 1) > 0 x > 1 + kết hợp với (2) ta được x > 1 khi m = 1 và x 1 + khi m 1 khi đó : (1) (x - 1)2 - (m - 1)2 4(x - 1)2 - 4(m - 1) (x - 1) + (m - 1)2 3(x - 1)2 - 4(m - 1) (x - 1) + 2(m - 1)2 0 (x - 1)2 + 2 (x - 1) - (m - 1) 2 0 x = 1 m = 1 Trường hợp này vô nghiệm x - m = 0 x = 1 Kết luận: m bất phương trình có nghiệm x 1 - Bài toán 13: Giải và biện luận phương trình: x2 + m = Giải: Điều kiện: x m Đặt = y thì x = y2 + m ta được hệ y 0 x2 + m = y x2 + m = y x = y2 + m (x - y)(x + y + 1) = 0 x m; y 0 x m; y 0 y = x x2 - x + m = 0 (1) x m; y 0 y = -1 - x x2 + x + m + 1 = 0 (2) x m; y 0 1) Giải hệ (1) a) Nếu m < 0 thì (1) có nghiệm x = y = b) Nếu m 0 thì điều kiện để (1) có nghiệm là = 1 - 4m 0 0 m . Khi đó x - m = x2 0 => x m và hệ (1) có nghiệm x = y = 2) Giải hệ (2) a) m + 1 > 0 m > -1 không xảy ra vì x > m y = -1 - x > 0 b) Nếu m + 1 0 thì (2) x = < m (loại) y = x = (loại) y = < 0 Trường hợp này hệ vô nghiệm. Kết luận: + Nếu m < 0 thì phương trình có nghiệm x = . + Nếu 0 m thì phương trình có nghiệm x = . + Nếu m > thì phương trình vô nghiệm. Bài toán 14: Giải và biện luận: a= x2 + 2 Giải: Điều kiện: x 1 Viết phương trình dưới dạng a= (x2 + x + 1) - (x - 1) a = ()2 a= 1 – ()2 Đặt = y (1); 0 y Cần xác định a để phương trình : f(y) = y2 + ay - 1 = 0 (2) có nghiệm trong vì f(0) = -1 nên (2) luôn luôn có một nghiệm nhỏ hơn 0. Vậy (2) có nghiệm trong khi và chỉ khi f () 0 a (3) Khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình : = y x = Với y = Kết luận i) Với a < phương trình vô nghiệm. ii) Với a phương trình có nghiệm: x = với y = bài tập áp dụng Bài 1: Giải và biện luận các phương trình - = c = ax + 1 = + x + = a Bài 2: Giải và biện luận các bất phương trình + + - a - Bài 3: Giải các phương trình = x2+3x -1 + + = + + 2x2 - 6x - 1 = 1+x - 2x2 = - Bài 4: Giải các bất phương trình x (+ ) 1 - 2x - x2 x2 + 2 x2 - 2x - 1 2(1 - x) Bài 5: Giải các phương trình: x + = 13. 2x2 + 3x + = 33. + = 1. + = 4 – 2x – x2. Bài 6: Giải các phương trình: + = 2. = x + 1. = . x2 – 5 + = 7. Bài 7: Giải các phương trình: - = 1. + = 12. 2 - 3 = 20. + = 1. - = . - = 4. c. Kết luận Cách đưa các bài toán về một số dạng để có phương pháp giải hợp lý đã giúp cho học sinh nhận dạng bài toán nhanh hơn, phản ứng trước các bài toán nhạy cảm hơn, làm cho tư duy của học sinh hoạt động một cách linh hoạt, phát huy tính độc lập sáng tạo và tạo hứng thú cho học sinh học tập có kết quả. Để thực hiện công việc này đòi hỏi người thầy phải tham khảo nhiều tài liệu, phải dành thời gian hợp lý ví dụ ở các giờ học chính khoá, giờ học ngoại khoá, giờ học tự chọn, giờ thực hành ...... và phải thực sự say mê môn Toán với các căn thức đầy hóc búa. Hệ thống hoá được các kiến thức liên quan đến phép biến đổi căn thức, một số kỹ năng biến đổi mang tính định lượng và còn có thể là cả cách đặt sao cho phù hợp nhất. Đối với học trò cần phải nắm chắc kiến thức về nhiều mảng liên quan như các phép biến đổi căn thức, điều kiện có nghĩa của biểu thức trong căn, một số phép biến đổi đại số . Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy vai trò của người thầy trong việc tạo hứng thú học tập cho học sinh trong các giờ học là đặc biệt quan trọng, chúng ta phải luôn luôn đưa học sinh vào trong các tình huống có vấn đề để các em tư duy, suy nghĩ nhưng lại phải tránh nhàm chán, lặp lại. Muốn vậy, chúng ta phải mất nhiều thời gian cho công việc chuẩn bị giáo án, đặt ra các tình huống và phương án giải quyết tình huống trong mỗi dạng bài tập mà mình đã tổng hợp, làm cho các bài tập dễ trở nên thật đơn giản, mà khó trở nên dễ dàng hơn. Mặt khác trong quá trình giảng dạy chúng ta phải biết động viên khuyến khích, khích lệ học sinh tham gia tìm tòi sáng tạo, sáng tạo lại những kiến thức, kỹ năng đã được tiếp thu, nghiên cứu. Mỗi thầy, cô giáo nên dùng phương pháp biểu dương sự cố gắng của các em, trân trọng thành quả lao động sáng tạo của các em dù là rất nhỏ. Trên đây là một số dạng phương trình – bất phương trình và phương pháp giải mà trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu tài liệu tôi đã tổng hợp được. Tôi rất mong nuốn các bạn đồng nghiệp tham khảo và góp ý về cả nội dung và phương pháp để giúp cho sáng kiến của tôi ngày càng hoàn thiện hơn và nó thực sự giúp cho việc học tập của học sinh theo phương pháp mới ngày càng hiệu quả./. Tôi xin trân trọng cảm ơn!