Sáng kiến kinh nghiệm Nâng cao năng lực giải toán cho học sinh qua một số bài toán phụ

MỤC LỤC TRANG I Đặt vấn đề 1/ Lý do chọn đề tài 2 2/Mục đích và nhiệm vụ 2 II Giải quyết vấn đề 1/ Bài toán phụ chứng minh đẳng thức,va øbất đẳng thức 3 2/ Bài toán phụ giải phương trình và hệ phương trình 8 3/ Bài toán phụ tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 13 III Kết thúc vấn đề Bài học kinh nghiệm 14 . IV Tài liệu tham khảo 1/ Một số hương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp , nhà xuất bản giáo dục 1993 2/ Tạp chí toán học và tuổi trẻ năm 2001-2005 3/ Tuyển chọn các bài toán lượng giác, Phan huy Khải, nhà xuất bản giáo dục 1996 I ĐẶT VẤN ĐỀ 2/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Ở trường THP, dạy toán là dạy hoạt động toán học, với học sinh việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, học sinh phải biết vận dụng khái niệm toán học vào những bài toán cụ thể và bài toán tổng hợp. Khi tiếp cận khái niệm của toán học chúng ta thường xuất phát từ một số ví dụ cụ thể hoặc một hiện tượng có trong thực tiễn, để học sinh dễ dàng tiếp cận với khái niệm đang được nói tới. Khi thực hành giải bài tập chúng ta cũng xuất phát từ một cơ sở lí luận đã học đó là định lí, định nghĩa, tính chất, hoặc một bài tập phương pháp nào đó thích hợp cho việc giải các dạng bài tâp tương ứng. Chúng được xem như một “bài toán phụ” làm cho lời giải súc tích ngắn gọn dễ hiểu và hiệu quả của việc giải toán được tốt hơn tiết kiệm được thời gian, gây hứng thú cho học sinh và định hướng cho việc thiết kế tổ chức soạn giảng được tốt người viết chọn đề tài :“NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỤ” để nghiên cứu phân tích đánh giá như một phương tiện không thể thiếu trong các tiết dạy bài tập toán. 3/ MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ Như đã nói ở trên, chúng ta cần quan tâm đến dạy học giải bài tập toán như thế nào để học sinh hiểu được kĩ thuật vận dụng định lí, tính chất hay định nghĩa các khái niệm toán học khi giải bài tập,từ thực tiễn học sinh không biết hoặc không quan tâm đến kỹ năng và năng lực vận dụng định nghĩa, khái niệm vào từng bài toán cụ thể. Các bài kiểm tra chỉ ở mức độ kiểm tra những điều học sinh ghi nhớ hơn là vận dụng sáng tạo . +Sau khi giải xong một bài toán đa số học sinh coi như hoàn thành nghĩa vụ, không có thói quen trình bày lời giải hay hơn đẹp hơn, hay chiêm ngưỡng thành quả lao động của mình để thấy được cái quyến rủ của sự sáng tạo +Trình bày lời giải sơ sài theo cảm tính , không theo trình tự lô gic của bài toán, thường rườm rà không khoa học thậm chí trình bày vụng về, phạm nhiều sai sót “BÀI TOÁN PHỤ” sẽ giải đáp những khiếm khuyết nêu trên , “BÀI TOÁN PHỤ” có thể là một bài tập phương pháp theo chủ đề nào đó, hoặc bài toán nêu lên một định lí, một tính chất của khái niệm đã được học từ trước đó làm phương tiện hoặc phương pháp cho việc giải bài tập hoặc nói lên đặc trưng cơ bản của một khái niệm từ đó hình thành một khái niệm tổng quát hơn Làm cho học sinh phát triển được năng lực vận dụng Toán học và hoạt động nhiều hơn.Trang bị cho học sinh phương pháp học và những tri thức phương pháp trong quá trình học tập môn Toán. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng chắc rằng không tránh khỏi những thiếu sót.Người viết rất mong được sự chia xẽ, góp ý chân thành của quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp, và các em Học sinh để bản thân được học hỏi, rút kinh nghiệm cho việc dạy học ngày càng tốt hơn II GIẢI QUYẾT ĐẶT VẤN ĐỀ 1/ BÀI TOÁN PHỤ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài toán1 Cho a,b, c thỏa mãn a>c, b > c > 0. Chứng minh rằng: BÀI GIẢI Bài toán phụ: Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,x,y ta có: (ax+by)2 (a2+b2)(x2+y2) (Bất đẳng thức Bunhiacopxki) Aùp dụng bài toán trên , với a=ta có: với a>c, b > c > 0 (bài này còn có nhiều cách giải khác nửa) Bài toán2 Cho a, b, c thỏa mãn: a+b+c =1, chứng minh rằng: ++ BÀI GIẢI Bài toán phụ: Chứng minh rằng:Với mọi số thực x, y, z, ta có:. Thật vậy (x+y+z)2 (x+y+z)2 +(x-y)2 +(y-z)2 + (z-x)2 = 3(x2 +y2+z2) . Aùp dụng bài toán phụ trên ta có: ++= @Bài tập tương tự: Cho a, b, c 0 và a+b+c=3, chứng minh rằng: ++ 3 Bài toán 3 Với hai số dương bất kì avà b chứng minh rằng: BÀI GIẢI Bài toán phụ: Aùp dụng tính đơn điệu của hàm số ta có kết quả sau f(x) f(y) Aùp dụng bài toán phụ trên ta đặt: f(x) = với x > 0 khi đó f’(x) = >0 nên hàm số f(x) đồng biến với mọi x > 0 Với mọi a, b > 0 ta có : a+ b > a f(a+b) > f(a) (1) a+ b > b f(a+b) > f(b) (2) cộng (1) và (2) ta có Bài toán 4 Chứng minh rằng: BÀI GIẢI Bài toán phụ Chứng minh rằng : Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn , thì I = Chứng minh: Thật vậy ta phân tích I = +, ta tính I1 = , đặt x = -t dx = -dt , do f(x) là hàm số lẻ nên f(-t) = -f(t), vì thế I1 = = , do đó I = += 0 Ta xét hàm số f(x) = cosx.lndx, liên tục trên đoạn ta có: f(x) + f(-x) = cosx.(ln+ ln) = ( cosx). ln 1 = 0 hay f(-x) = - f(x) , tức f(x) là hàm số lẻ trên đoạn . Vậy áp dụng bài toán phụ trên ta có @ Bài tập tương tự Chứng minh rằng: 1) 2) Bài toán 5 Chứng minh rằng: Với mọi x > 0 ta luôn có a) sinx 1 - BÀI GIẢI Bài toán phụ Nếu f(x) < g(x) với mọi x trên đoạn thì (tính chất của tích phân) a)Từ bất đẳng thức cost 0, áp dụng tính chất trên ta được: sinx < x b)Tương tự từ sint 0 : cos x > 1 - @ Bài tập tương tự Chứng minh rằng: Với mọi x > 0 cos x < 1 -+ sin x <1 -+ Bài toán 6: Cho tam giác ABC, có chu vi 2p = a + b + c ( a = BC, b = CA, c = AB). Chứng minh rằng: ++(++) BÀI GIẢI Bài toán phụ Cho x > 0, y > 0, chứng minh rằng : + chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho các số x và y, 1/x và 1/y ta được : x + y 2và+ , nhân vế theo vế ta có (x+ y )(+) + (*) dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi x = y Trong tam giác ta có p-a =, p-b =, p-c = Aùp dụng bài toán phụ trên ta có: + = + = + = , cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có ++(++), đẳng thức xảy ra khi a=b=c Bài toán7: Chứng minh rằng: a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì: ++ BÀI GIẢI Bài toán phụ Chứng minh rằng với mọi số dương x, y, z ta luôn có : ++ ++= ( +)+(+)+(+) (dùng bất đẳng thức Cô si) suy ra đpcm Ta biết rằng trong tam giác tổng hai cạnh lớn hơn cạnh thứ 3 do đó ta đặt x= b+c-a > 0 ,y= a+c-b > 0và z = b+a-c > 0, từ đó a = , b = , c = , thì ++== 3 suy ra điều phải chứng minh . Bài toán 8 Cho đường tròn tâm 0 bán kính r nội tiếp trong tam giác ABC. Gọi ra , rb, rc lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp thuộc cạnh a, b, c tương ứng . Chứng minh rằng ++= BÀI GIẢI Bài toán phụ Chứng minh rằng diện tích S của tam giac ABC tính theo công thức : S = ra .(p-a) trong đó p = là nửa chu vi, ra là bán kính đường tròn bàng tiếp ứng với cạnh a,hình vẽ A O K C B D L ra ra ra Ta có AK = AL(tiếp tuyến xuất phát từ điểmA) CK = CD (tiếp tuyến xuất phát từ điểmC) BL = BD (tiếp tuyến xuất phát từ điểmB) Do a= BC = CD +DB = CK + BL, khi đó p = (a+b+c) = (BC+b+c)= (CK + BL +b+c) = ((CK + b) +(BL +c)) = ((CK + CA) +(BL + BA))=(AK+AL) hay p = AK = AL Mặt khác CK = CD =AK – AC = p - b, BL = BD = AL – AB = p – c SAKOL= 2SOAK =2. OK.AK = OK.AK = ra . p, lại vì SOKAL=SABC + 2.SOKC +2SOBD = S + ra.KC+ ra.BD =S + ra.(p-b) +ra.(p-c)= S + a.ra, hay ra.p = S + a.ra S = ra .(p-a) Từ bài toán phụ tasuy ra:, tương tự cũng có , ++ = (3p- (a+b+c)) =p = , suy ra điều phải chứng minh. 2/ BÀI TOÁN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài toán9:Tìm các số x, y thuộc khoảng thỏa mãn hệ GIẢI Bài toán phu Cho hàm số y =f(x) xác định trên đoạn . Nếu f(x) đơn điệu trên đoạn thì f(x1) = f(x2) Ta viết pt(1) dưới dạng: x-cotg x = y- cotgy (3), và xét hàm số f(t) = t- cotgt, xác định với mọi t thuộc khoảng, ta có f,(t) = 1+ 1/sin2x => f(x) đồng biến trên khoảng từ (3) => f(x) =f(y) x = y thay vào (2) ta được x = y = thuộc khoảng . vậy nghiệm của hệ là x = y = Bài tập tương tự Giải hệ Bài toán10: Cho sin.sin.sin 0 vàcos ,cos, cos đôi một khác nhau . Hãy giải hệ pt sau: BÀI GIẢI Aùp dụng công thức sin2=2 sin.cos, sin3=3 sin-4s in3, sin4=2 sin2.cos2= 4 sin.cos.cos2 Do sin.sin.sin 0 => sin 0 , sin 0 , sin 0 Pt (1) x. sin+ 2y sin.cos+z (3 sin-4s in3)=4 sin.cos.cos2 x+2ycos +z (3 -4s in2) = 4.cos.cos2 x+2ycos +3z -4z (1 –cos2) = 4.cos.(2cos2 -1) 8 cos3 -4z cos2 -(2y+4) cos-x+z =0 (*), đặt t = cos, pt (*) là pt bậc 3 8t3 -4z.t2 –(2y+4)t –x +z = 0 (4) Ta có bài toán phụ sau t1, t2, t3 là 3 nghiệm của pt bậc ba at3 + bt2 +ct+d = 0 (a khác 0) theo định lí Viét tacó áp dụng định lí trên cho pt (4) ta có : giải hệ này tacó Bài toán 11 Giải phương trình BÀI GIẢI Ta có =, với trong hệ tọa độ 0xy tương tự , với và (2;5), ,theo đề bài , áp dụng bài toán phụ : +, với mọi ;+= cùng hướng = 0 từ đó x=1/5 vậy pt có một nghiệm duy nhất x = 1/5 Bài toán 12:Tìm m để phương trình có nghiệm: - = m BÀI GIẢI Ta phân tích , với , với khi đó (1;0) và 1 áp dụng bài toán phụ:Với mọi vectơ, ta luôn có dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc ngược hướng.Thật vậy Khả năng không xảy ra vì khả năng ngược hướng = 1+2x = -1+2x 2= 0 vô lý, vậy =1, pt đã cho => hay tập giá trị của hàm số f(x)= - là (-1;1), suy ra pt đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc khoảng (-1;1) Bài toán 13 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: Trên mặt phẳng : x + y + z -7 = 0 BÀI GIẢi $ d ) a Để viết phương trình hình chiếu ) của đường thẳng d trên mặt phẳng a ta viết phương trình mặt phẳng $ chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng a, giao tuyến của hai mặt phẳng a va ø$ là đường thẳng), như vậy ta có bài toán phụ: Viết phương trình mặt phẳng $ chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng a Ta lấy điểm M0=(0;8;3) d suy ra M0 $ , mặt phẳng $ chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng a nên nó có cặp vectơ chỉ phương , do đó một vectơ pháp tuyến của $ là , ta có , với (2 ; -1 ; 1) là một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x-y+z+5 = 0 với (2 ;0; -1 ) là một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x-z+3 = 0 (1 ; 4; 2), =(1 ; 1; 1) phương trình mặt phẳng $: 2x + y - 3z + 1 = 0 Theo phân tích trên ta có pt tổng quát của đường thẳng ) Bài toán 14:Tìm tất cả các giá trị của m để pt sau có nghiệm (2m-1) (sinx – cosx)- (sinx +cosx)+2m2 +2m +2 =0 (1) BÀI GIẢI Ta áp dụng phương pháp (tráo vai trò ẩn số với tham số )của bài toán phụ sau:Giải pt lượng giác fm(x) = 0 (1) ta biến đổi pt(1) thành pt đại số gx(m) = 0 (2) mà đã biết cách giải , ta tìm điều kiện cho (2) tồn tại nghiệm m lúc đó ta được giá trị nghiệm x tương ứng Thật vậy pt(1)g(m) = 2m2 +2(sin x – cos x+1)m +2(1 – cos x) = 0 (2) Ta có = (sin x – cos x+1)2 -2.2(1 – cos x) = 2(sin x – 1)(1 – cos x) 0 nên pt (2) có nghiệm khi và chỉ khi =0 sin x = 1 hoặc cos x = 1 với sin x = 1 thì cos x = 0 và pt (2) 2(m+1)2 = 0 m= - 1 với cos x = 1 thì sin x = 0 và pt (2) 2 m2 = 0 m = 0 . Vậy với m =o hoặc m = - 1 thì pt(1) có nghiệm Bài toán 15 Với mỗi a, gọi xa là nghiệm của phương trình : x4 +2x2 +2ax +a2 +2a+1 = 0(1) . Tìm a để xa nhận giá trị bé nhất BÀI GIẢI xa là nghiệm của phương trình(1) + 2axa +a2 +2a+1 = 0 a2 +2(xa +1)a ++1 = 0(2) áp dụng bài toán phụ trên xem (2) là pt đối với ẩn a phải có nghiệm (xa + 1)2 – (+1) vậy xa nhận giá trị bé nhất bằng 0 thay vào (1) ta có a2 +2a+1 = 0a= -1 là giá trị phải tìm Bài tập tương tự Bài1 cho f(x) =x4 + 2x3 -2(m+4)x2 -2(m-2)x+(m-2)2 Giảipt f(x) = 0 khi m= -2 Tìm m biết rằng f(x) , Bài2 Giải và biện luận theo a số nghiệm của pt x4 -10x3 -2(a-11)x2 +2(5a+6)x+2a+a2 =0 3/ BÀI TOÁN PHỤ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Bài toán 16 Cho hàm số y = f(x) = 4x2 -4ax + a2 -2a , xét trên tập D = . Tìm a để =2 BàI GIẢI Ta xét bài toán phụ Cho hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c a khác 0, có đồ thị trên đoạn là một Pa ra bol. Tìm, ta làm như sau: Xét hoành độ đỉnh x0 = - b/2a của Pa ra bol Nếu x0 thì min f(x) = min ,Max f(x)= Max Nếu x0 và a> 0 thì: min f(x) = f(x0 )= f(- b/2a) ; Max f(x)= Max Nếu x0 và a< 0 thì: Max f(x) = f(x0 )= f(- b/2a) ; min f(x)= min áp dụng bài toán trên ta có x0 = TH1 Khi x0 = > 0 a > 0 tức là x0 , min f(x) = min = a2 -2a=2(gthiết) => a = 1+ TH2 Khi x0 = không xác định được a TH3 x0 , min f(x)= f(x0) = f(a/2)= -2 a= 2 a= -1, vậy các giá trị cần tìm của a là a= -1 và a = 1+ Bài tập tương tự Bài1 Tìm min f(x), Maxf(x) của các hàm số sau: a) f(x) = ; b) f(x) = c) f(x) = x2 +2x +3 trên D = Bài 2 Cho f(x) = x2 +(m+1)x +2+(m+1)2 . Tìm m để Bàitoán 17 Tìm m để x2-2mx +2+2 > 0 nghiệm đúng với mọi x BÀI GIẢI Đặt = t0 bất pt trở thành t2 +2t +2 – m2 > 0 gọi f(t)= t2 +2t +2 – m2 , ta có bài toán phụ sau đây: f(x) > m với mọi x .Bất pt đã cho nghiệm đúng với mọi x , do f(t) là một Pa rabol có hoành độ đỉnh to = -1 = 2 – m2 > 0. Vậy bất pt đã cho nghiệm đúng với mọi x(có thể dùng đlí về dâú tam thức bậc hai) Bài toán 18: Cho x+y = 1 chứng minh rằng x4 + y4 Từ x+y = 1 => y = 1- x , ta chứng minh rằng f(x) = x4 + (1-x)4 , với mọi x. Aùp dụng bài toán phụ ở bài 17 ta chứng minh rằng minf(x) f, (x)=4x3 -4(1-x)3 = 4(2x-1)(x2 + x + 1)= 0 x=1/2, ta có bảng biến thiên như sau: x ½ f,(x) _ 0 + f(x) 1/8 Từ bảng biến thiên ta thấy minf(x)= 1/8 và f(x) 1/8.Vậy Cho x+y = 1 ta chứng minh được rằng x4 + y4 Bài tập tương tự Bài1Cho x ;y0 và x3 + y3 =2 chứng minh rằng x2 + y2 2 Bài2 Chứng minh rằng (x-1) (x-4) (x-5) (x-8)+370 III.KẾT THÚC VẤN ĐỀ +Sau khi áp dụng bài tóan phụ thì hầu hết các em đã hiểu bài,và làm được bài tập tương tự Bài học kinh nghiệm 1/Mỗi bài toán có thể giải bằng nhiều cách khác nhau nhưng ta chọn cách ngắn nhất, dễ hiểu nhất muốn vậy phải đầu tư cho hoạt động tìm hiểu nội dung bài toán và xây dựng chương trình giải 2/Với mỗi nội dung bài toán học sinh phải nắm vững tri thức phương pháp, cách thức hành động trong quá trình giải toán đó là vận dụng thành thạo các bài toán phụ 3/Bài toán phụ đa dạng và có những thủ thuật tư duy khác nhau nhưng qua mỗi bài toán phụ là một phương tiện hiệu quả nhất để phát triển hoạt động toán học 4/Thường xuyên rèn luyện khả năng so sánh các bài toán khác nhau để phát hiện ra các thủ thuật tư duy khác nhau từ đó tích lũy kinh nghiệm cho việc giải bài tập 5/Cần thiết phải tổ chức, định hướng để dạyhọc các tri thức phương pháp này trên phương diện tổ chức cho học hoạt động tìm kiếm lời giải bài toán, lời giải bài toán thực chất là việc lựa chọn một cách hợp lí và sáng suốt các kiến thức, kĩ năng, phương pháp để giải bài toán đang đề cập đến 6/Các thủ thuật thực hiện việc tìm kiếm gồm +ÁP dụng phép tương tự +ÁP dụng mẫu hay mô hình quen thuộc +Phát biểu lại bài toán bằng cách thay đổi cách nhìn nhận và xem xét các vấn đề +Sử dụng các phép suy luận dựa vào thực nghiệm quy nạp , đặc biệt hóa, khái quát hóa +Chuyển bài toán đã cho về bài toán trung gian , tìm kiếm các định lí, tính chất mà phần giả thiết của nó có những yếu tố gần gủi (hoặc trùng lặp) với các giả thiết của bài toán Trên đây là một số kinh nghiệm ít ỏi trong hoạt động giải bài tập toán mong rằng các bạn đồng nghiệp còn có nhiều kinh nghiệm phong phú ,đa dạng và bổ ích hơn nửa bổ sung vào kinh nghiệm giảng dạy và học tập môn toán ngày càng tốt hơn. Tân Tiến ngày 29/04/2007 người viết ĐÀO SỸ VÌ