Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp chứng minh chia hết

Phần I: Đặt vấn đề I. lý do chọn đề tài: Trong những năm gần đây, bên cạnh việc sửa đổi nội dung chương trình, thì các phương pháp giảng dạy bộ môn Toán cũng ngày một cải tiến, đổi mới nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục và đào tạo. Xuất phát từ yêu cầu đảm bảo thực hiện tốt các mục đích dạy học đối với mọi đối tượng học sinh, đồng thời khuyến khích, phát triển tối đa và tối ưu những khả năng cá nhân, việc phát triển và bồi dưỡng học sinh khá giỏi là một vấn đề quan trọng. Trong những quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, giáo viên không những giúp học sinh nắm vững kiến thức trong sách giáo khoa, biết vận dụng kiến thức vào giải bài tập nâng cao mà còn phải giúp học sinh đào sâu, mở rộng kiến thức, tất nhiên chỉ dừng lại ở mức độ yêu cầu nhất định, không vượt quá tầm hiểu biết của học sinh. có như vậy mới có tác dụng gây hứng thú học tập, phát triển tư duy độc lập, sáng tạo lô gíc, tổng hợp, rèn luyện cho học sinh khả năng tự học, tự độc sách, thói quen nghiên cứu khoa học, nhìn nhận một vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Với suy nghĩ trên, trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá giỏi, bản thân tôi đã cố gắng tìm tòi nội dung và phương pháp dạy thích hợp, tạo cho học sinh những tình huống “ Có vấn đề” . Những nội dung có tính chất mở rộng, đào sâu và có tính chất hệ thống, những nội dung này có khi chỉ xuất phát từ một bài tập cụ thể, hay từ một nội dung kiến thức trong sách giáo khoa. Mở rộng chuyên đề “ Phương pháp chứng minh chia hết” là một trong những ví dụ cụ thể mà tôi đã áp dụng, thực hiện trong giảng dạy và làm công tác tuyển chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi những năm vừa qua, đã mang lại những kết quả nhất định. Tôi xin mạnh dạn đưa ra để các bạn đồng nghiệp tham khảo và góp ý. II. Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu lý luận. Nghiên cứu thực tiễn. Nghiên cứu phương pháp. Bài học kinh nghiệm. III. Đối tượng nghiên cứu: - Đối tượng học sinh khá giỏi Trường PTCS Lâm Trường - Điền Quang - Bá Thước, độ tuổi từ 13 đến 14 là học sinh khối 8. - Đối tượng nghiên cứu: Dành cho học sinh khá , giỏi. IV. Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết về chứng minh chia hết. áp dụng vào để chứng minh một biểu thức chia hết cho một số Luyện tập qua quá trình học bồi dưỡng, ngoại khoá cho học sinh. Sử dụng kết quả thu được để đánh giá kết quả của học sinh. Sử dụng phương pháp phân tích V. Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 10/2009 đến tháng 03/2010. Phần II: nội dung Chương i. cơ sở lý luận. I. Cơ sở lý luận: Chuyên đề phương pháp “ Chứng minh chia hết” là kiến thức quan trọng và cơ bản trong chương trình toán THCS. Đây là nội dung kiến thức nằm trong chương trình sách giáo khoa mà học sinh đã được học, được làm quen ở lớp 6. Học sinh có thể dễ dàng nắm bắt được định nghĩa và tính chất bội và ước của một số nguyên. Nhưng các em chưa có kiến thức hệ thống về “ Các phương pháp chứng minh chia hết”. Chính vì vậy mà giáo viên cần phải cung cấp cho học sinh một hệ thống “ Các phương pháp chứng minh chia hết” , để học sinh nắm bắt được và vận dụng vào giải bài tập một cách linh hoạt và thành thạo. Bên cạnh đó trường PTCS Lâm Trường - Điền Quang trong những năm vừa qua được sự quan tâm của địa phương, phụ huynh chất lượng của nhà trường được nâng lên rõ rệt. Điều đó đã tạo cho chúng tôi niềm tin cũng như trách nhiệm của mình đối với sự nghiệp giáo dục nói chung. chương II. Cơ sở thực tiễn: I. Thực trạng vần đề lịch sử nhà trường: 1. Thuận lợi: PTCS Lâm Trường - Điền Quang, được đóng trên địa bàn thôn Bái Tôm - xã Điền Quang , năm trên trục đường 217. Học Sinh chủ yêu là con em công nhân lâm trường, chính quyền địa phương, hội khuyến học xã, hội phụ huynh học sinh quan tâm nhiều đến sự nghiệp giáo dục thôn nhà, chính vì vậy tạo điều kiện cho đội ngũ giáo viên yên tâm công tác . + Nhà trường có đầy đủ giáo viên, có đầy đủ tất cả các bộ môn, hội đồng nhà trường đoàn kết quan tâm giúp đỡ lẫn nhau. Đội ngũ giáo viên trẻ, khoẻ có trình độ chuyên môn chuẩn và trên chuẩn. 2 .Khó khăn: Học Sinh của ba thôn nhưng lại thuộc hai xã quản lý .Là địa phương nghèo nên điều kiện kinh tế còn gặp rất nhiều khó khăn dẫn đến ảnh hưởng học tập của các em, như các em phải tham gia lao động nhiều thiếu thốn về sách vở và tài liệu nâng cao, bồi dưỡng… + Cơ sở vật chất của địa phương và nhà trường còn nhiều thiếu thốn, phòng học còn thiếu phải học vao văn phòng, thiếu phòng thư viện, thiếu phòng học đa chức năng. + Địa bàn có nhiều tệ nạn xã hội ảnh hưởng không nhỏ tới học tập của học sinh. + Học Sinh ít phong trào học không cao, số học sinh dân tộc thiểu số có xu hướng học để biết chữ. Xuất phát từ thực tiễn của nhà trường thuận lợi cũng như khó khăn, để nâng cao chất lượng giáo dục của con em, bản thân tôi trong quá trình truyền đạt chuyên đê “ Các phương pháp chứng minh chia hết”. Để học sinh có thể lĩnh hội một cách có hệ thống, lôgic và nhuẫn nhuyễn, giáo viên cần phải cung cấp cho các em từng phương pháp chứng minh một cách tỉ mỉ, hệ thống, giải nhiều ví dụ và bài tập ứng dụng. II. Khảo sát chất lượng học sinh: 1.Đối tượng khảo sát : Đối tượng nghiên cứu là học sinh lớp 8 tuổi từ 13 đến 14 tuổi. Tôi thấy rằng trong nội dung truyền đạt cho các em học sinh khá giỏi lớp 8 không thể thiếu được một chuyên đề về hệ thống “ Các phương pháp chứng minh chia hết” . Vì vậy trước khi sử dụng chuyên đề này, tôi đã tổ chức một lần khảo sát chất lượng học sinh, xem trước khi học chuyên đề này, thì các em đã tiếp thu về phương pháp chia hết được đến đâu. Đối tượng học sinh được khảo sát là 6 em học sinh khá giỏi được chọn ra từ khối 8. 2. Nội dung khảo sát: Chứng minh rằng: ( 210+ 211 +212) : 7 Chứng minh rằng: Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. 3.Kết quả khảo sát: a. Đối với bài 1: Ban đầu, các em có vẽ lúng túng, một số em tỏ ra lo ngại trước số mũ quá lớn, phần đã các em nhớ đến dấu hiệu chia hết, nhưng không áp dụng được, một số em lại tính kết quả của tổng , nhưng kết quả lớn mà không giải quyết được bài toán. Trong số 6 em thì chỉ có 1 em là lam được( đạt tỉ lệ 16,6%), biết cách áp dụng đặt nhân tử chung là 210 rồi áp dụng tính chất chia hết. Nếu a:b thì (a.m) :b (a,b,m ẻ z). b. Đối với bài 2: Một số em chưa biết biểu thị ba số nguyên liên tiếp, một số em không biết phương pháp chứng minh và một số em lại nghĩ đến dấu hiệu chia hết, có em cũng biết rằng để chứng minh “ Chia hết cho 6” phải chứng minh “ Chia hết cho cả 2 và 3”. Nhưng lại không biết triển khai. Kết quả chỉ có 1 em biết làm ( Đạt tỷ lệ 16,6%) . Tuy nhiên trình bày dài dòng và khá lộn xộn. chương iii: nội dung cụ thể một số phương pháp, kỹ thuật trong việc áp dụng :“ Phương pháp chứng minh chia hết” 1- Phương pháp 1: Xét mọi trường hợp về số dư. Để chứng minh : A (n) : K, ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho K. Ví dụ: Chứng minh rằng: Tích n(n2+1)(n2+4) : 5 ("nẻz) Khi đưa ra phương pháp 1, học sinh không định hình được hướng giải, khi đưa ra phương pháp này để học sinh tiếp cận và làm quen, từng bước giáo viên dẫn dắt: Cần cho học sinh nhận biết A(n) là biểu thức nào? (A(n) = n(n2+1(n2+4)) ; K=? (K=5) Yêu cầu học sinh cho biết khi chia n cho 5, ta được những số dư nào? (0;1;2;3;4) hay : 0; ± 1 ; ± 2 Giải: Khi chia n cho 5 chỉ có số dư r là : 0; ± 1 ; ± 2 - Nếu r = 0 ị n = 5k ị n :5 ị A(n):5 - Nếu r = ± 1ị n = 5k ± 1ị n2= 25k2 ± 10k + 1 ị n2+4 = 25k2 ± 10k + 5 ị (n2+4):5 ị A(n):5 - Nếu r = ±2 ị n = 5k±2 ị (n2+1) = 25k2±20k+5 ị (n2+1): 5 ị A(n):5 Như vậy trong mọi trường hợp ta đều có A(n):5 hay: n(n2+1)(n2+4):5 ("nẻZ) Ví dụ 2: Sau khi học sinh đã nắm được phương pháp 1 giáo viên đưa ra ví dụ để học sinh tự áp dụng để làm: Chứng minh rằng: ( n7- n) :7 ("nẻZ) Đã có trên 50% học sinh biết biến đổi . n7- n = n(n6-1) = n(n3+1)(n3-1) rồi áp dụng phương pháp 1 để làm được, còn một số em biết áp dụng phương pháp này sau khi đã được gợi ý cách phân tích (n7 – n) 2. Phương pháp 2: Phân tích thành nhân tử. Để chứng minh A(n): k ta phân tích K= p.q Nếu (p.q) = 1 Ta chứng minh : A(n) : p ịA(n): (p.q) A(n):q ị A(n):k - Nếu (p.q) ạ1. Ta lại phân tích : A(n) = B(n) .C(n) Và chứng minh: B(n):p ị B(n).C(n): (p.q) C(n):q ịA(n) :k Ví dụ: Chứng minh : A(n) = n(n+1) (n+2) :6 (nẻN) Khi chưa đưa ra phương pháp 2, một số em làm bài này áp dụng phương pháp 1, tức là xét mọi trường hợp về số dư khi chia cho 6, nhưng cách này gặp khó khăn. Khi đã nắm được phương pháp 2, thì gần 50% học sinh đã biết phân tích 6 = 2.3 và nên biết áp dụng đưa bài toán về chứng minh : n(n+1)(n+2) :2 n(n+1)(n+2) :3 Đến đây các em dễ dàng chứng minh được . 3. Phương pháp 3: Phân tích thành tổng. Để chứng minh : A(n): k, ta biến đổi A(n) thành tổng của nhiều hạng tử và chứng minh mỗi hạng tử chia hết cho K. Ví dụ: Chứng minh : (n3 – 13n) : 6 Khi đưa ra ví dụ này, ban đầu các em không tìm ra cách giải, vì nếu áp dụng đơn thuần phương pháp 1 và 2 thì sẽ gặp khó khăn. Khi đưa ra phương pháp 3 thì các em nắm bắt được cách giải ngay ( có khoảng 65% học sinh thực hiện được). Giải: A(n) = n3- 13n = (n3 – n) – 12n (n –1) n(n+1):6 ị A(n):6 12n:6 4. Phương pháp 4: Làm xuất hiện thừa số bằng K. Để chứng minh A(n) :k , ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó có một thừa số bằng k. Ví dụ: chứng minh: (3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n ) :10 Sau khi đưa ra phương pháp 4 đã có 45% học sinh biết cách phân tích: A(n) = 3n+2 – 2n+2+3n – 2n = (3n. 32 + 3n) – ( 2n . 22 + 2n) = 3n ( 32+1) – 2n (22 +1) = 3n (9+1) – 2n-1 .2 .(4+1) = 3n . 10 – 2n-1 . 10 = 10(3n – 2n ) : 10 Có khoảng 55% học sinh áp dụng sau khi gợi ý phân tích. Bài tập áp dụng: Để khắc sâu và cũng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng vận dụng, độc lập, sáng tạo của học sinh, giáo viên đưa ra một số bài tập để học sinh rèn luyện thêm. Bài 1: Chứng minh : n(n+2)(25n2 – 1):24 ("nẻN). Bài 2: Tìm n để các biểu thức sau nguyên. Bài 3: Chứng minh rằng : a, a+4b :13 Û 10a + b :13 b, 3 a+ 2b :17 Û 10a + b :17 (a,b ẻN). Với 3 bài tập này, đã có 80% học sinh làm được đầy đủ, số còn lại cũng làm được một đến hai bài. Kết quả đạt được sau khi thực hiện: Sau khi triển khai hoàn chỉnh chuyên đề “ Các phương pháp chứng minh chia hết” cho đối tượng học sinh khá và giỏi lớp 8, tôi đã khảo sát lại chất lượng học sinh với nội dung sau: 1: Chứng minh : A = k4 + 2k3 – 16k2 – 2k + 15 :16 (" k nguyên, lẽ) 2: Chứng minh: B = (n2+4n+5) không chia hết cho 8. 3: Chứng minh: C = (42n+2 – 1):15 ("nẻN) Kết quả đạt được, có khoảng 66,7% học sinh ( tức là 4/6 em) đã áp dụng giải đầy đủ cả 3 bài, trong đó có 3 em ( Tức 50%) trình bày tốt, còn lại các em cũng làm được từ 1 đến 2 bài. Một điều nữa các em đã không còn lúng túng hay e ngại trước những bài toán chứng minh chia hết, ngược lại đã có rất nhiều em tìm tòi thêm tài liệu tham khảo để tìm thêm các bài tập dạng này để thử sức, qua đó các em thêm phần yêu thích môn toán hơn. Phân III: kết luận I.Bài học kinh nghiệm: Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá giỏi, muốn khắc sâu, cũng cố kiến thức, rèn luyện tư duy lôgíc, sáng tạo, gây hứng thú học tập cho học sinh, ngoài việc giúp cho học sinh nắm vững kiến thức trong sách giáo khoa, giáo viên cần phải có sự đầu tư, tổng hợp kiến thức nâng cao, mở rộng, đào sâu nhưng kiến thức phù hợp với quan điểm hoạt động. Vân dụng tổng hợp, phức tạp, phát huy được các năng lực, tư duy toán học của học sinh. Đảm bảo tính khoa học, tính hợp lôgíc, tính sư phạm và đặc biệt là đảm bảo tính hiệu quả trong giảng dạy. Bên cạnh đó người giáo viên cần phải có trình độ kiến thức vững vàng, thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng, tâm huyết với nghề nghiệp, chăm lo gần gũi với học sinh. Giáo viên phải biết phối kết hợp với các đoàn thể địa phương , nhà trường như: Hội khuyến học xã, hội phụ huynh, đoàn đội trong nhà trường để phát huy nội lực một cách hiệu quả nâng cao chất lượng giáo dục của xã nhà cao hơn nữa đáp ứng yêu cầu của xã hội. Vì chuyên đề này là kiến thức sử dụng đối với học sinh khá, giỏi, nên cần phải có những hình thức tổ chức hợp lý và phù hợp với đối tượng học sinh. Bài tập áp dụng rất phong phú, đa dạng cần áp dụng tổng hợp, linh hoạt các kiến thức đòi hỏi ngừơi học phải có nhận thức và tư duy tương đối cao. Trong quá trình giải toán phải hiểu và sử dụng chính xác các thuật ngữ, ký hiệu toán học. 4.Trong quá trình ôn luyện và bồi dưỡng học sinh khá giỏi chú trọng đến kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và phải có kế hoạch bồi dưỡng thường xuyên, đều đặn để học sinh nắm bắt một cách hệ thống và lôgíc các kiến thức truyền đạt của giáo viên. Trên cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm và vận dụng vào việc giải các bài toán chứng minh chia hết, tôi đã trình bày một vài phương pháp nhỏ trong rất nhiều những phương pháp phát triển năng lực toán học của học sinh khá giỏi, thông qua chuyên đề “ Các phương pháp chứng minh chia hết”. Để thực hiện đề tài này, tôi đã kết hợp kinh nghiệm giảng dạy của bản thân với việc tham khảo tài liệu, tham khảo ý kiến và kinh nghiệm của bạn bè đồng nghiệp. Tuy nhiên trong quá trình nghiên cứu sẽ không tránh khỏi những hạn chế nhất định. Rất mong được sự góp ý của các thầy cô giáo đồng nghiệp để đề tài có sức thuyết phục và đạt hiệu quả cao hơn trong quá trình thực nghiệm. Tôi xin chân thành cám ơn! Người viết Lê Văn Sơn