Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp học toán hình học- Phần tứ giác Môn toán- lớp 8

Mục lục Phần thứ nhất: Mở đầu Trang I. Lý do chọn đề tài 02 II. Mục đích nghiên cứu 03 III. Đối tượng nghiên cứu………...……………………………………….03 IV. Phạm vi nghiên cứu...............................................................................03 V. Nhiệm vụ nghiên cứu 03 VI. Phương pháp nghiên cứu 03 VII. Thời gian nghiên cứu 03 Phần thứ hai: Nội dung Chương I: Cơ sở lý luận của đề tài 04 Chương II: Thực trạng của đề tài 05 Chương III: Giải quyết vấn đề 06 I. Những kiến thức cơ bản liên quan đến phương pháp học toán hình học phần tứ giác môn toán lớp 8 . 06 II. Những biện pháp tác động giáo dục và giải pháp khoa học tiến hành 06 1. Tứ giác:......................................................................................................06 2. Hình thang, hình thang cân:......................................................................07 3. Hình bình hành:.........................................................................................08 4. Hình chữ nhật:...........................................................................................09 5. Hình thoi:............................................................................................11 6. Hình vuông:.........................................................................................12 7. Phương pháp khai thác kiến thức từ hình vẽ để giải bài tập.....................14 Phần thứ ba: Kết luận và khuyến nghị 15 Tài liệu tham khảo 18 Phụ lục........................................................................................................19 Phần thứ nhất: Mở đầu I. Lý do chọn đề tài: Trong quá trình dạy học sinh môn toán lớp 8 có phần “ Tứ giác” tôi nhận thấy học sinh còn nhiều vướng mắc về phương pháp học, quá trình học, tiếp thu của học sinh trên lớp còn chậm, kỹ năng nhận dạng, ghi nhớ và suy luận các kiến thức mới còn rất yếu, khả năng vận dụng kiến thức vào giải các bài tập còn kém. Lí do là học sinh chưa có phương pháp học, chưa có cách suy luận và ghi nhớ các kiến thức đã học, chưa biết vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập. Mặt khác tính chất của các hình, dấu hiệu nhận biết của các hình được xây dựng theo hệ thống rất lôgic, tính chất của hình này được xây dựng bằng cách mở rộng từ tính chất của hình kia, do đó có những tính chất giống nhau, nên học sinh còn hay nhầm lẫn tính chất của các tứ giác với nhau. Mặc dù chương trình sách giáo khoa sắp xếp hệ thống và lôgic hơn sách cũ rất nhiều, có lợi thế để dạy học sinh về vấn đề này ( chẳng hạn như học sinh đã được học về định nghĩa, tính chất của hình bình hành thì có thể xây dựng tính chất của hình thoi từ hình bình hành…), nhưng tôi thấy để học sinh phát hiện và nêu ra được tính chất của hình mới từ hình đã học thì học sinh vẫn còn lúng túng, việc vận dụng các kiến thức vào làm bài tập còn chưa có lập luận chặt chẽ, chưa hợp lí. Chính vì vậy, trong khi giảng dạy về vấn đề này tôi nghĩ cần phải làm thế nào để học sinh biết ghi nhớ, biết xây dựng kiến thức mới từ những kiến thức đã có và biết áp dụng định nghĩa, tính chất của các hình đã học để tìm ra được phương pháp giải các bài tập. Từ đó học sinh sẽ nắm vững các kiến thức về tứ giác một cách có hệ thống, có kỹ năng vận dụng kiến thức để giải bài tập chặt chẽ hơn, có ý thức tìm tòi, sử dụng phương pháp học tập hợp lí, có hiệu quả hơn. Chính vì những lí do trên mà tôi chọn và trình bày kinh nghiệm “ Phương pháp học toán hình học- phần tứ giác” Môn toán- lớp 8. II. Mục đích nghiên cứu: Cung cấp cho học sinh lớp 8 một số kiến thức về cách học, phương pháp học toán hình học phần tứ để học sinh có thể tiếp thu và nhớ kiến thức lâu, có hệ thống ngay khi học bài mới. Có khả năng suy luận ra các kiến thức, các tính chất mới bằng hình vẽ và so sánh tính chất của các tứ giác dựa vào hình. Biết vận dụng kiến thức để lập luận làm bài tập chặt chẽ hơn. Đồng thời cũng điều chỉnh phương pháp dạy, cách thức truyền đạt kiến thức của giáo viên cho phù hợp, có hiệu quả hơn. III. Đối tượng nghiên cứu: + Khách thể: Học sinh lớp 8 + Đối tượng nghiên cứu: "Phương pháp học toán hình học phần tứ giác" Môn toán - lớp 8 IV. Phạm vi nghiên cứu Các phương pháp học toán hình học phần tứ giác, môn toán lớp 8. V. Nhiệm vụ nghiên cứu: - Tóm tắt một số phương pháp học tập nói chung, toán hình học nói riêng - Hướng dẫn học sinh một số phương pháp học toán hình học phần tứ giác, môn toán - lớp 8 VI. Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách giáo khoa, sách tham khảo… - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm ở những lớp học sinh trước để rút kinh nghiệm cho lớp học sinh sau và vừa dạy học vừa đúc rút, nghiên cứu và áp dụng. VII. Thời gian nghiên cứu: - Thời gian bắt đầu nghiên cứu: 20/08/2010. - Thời gian hoàn thành đề tài : 10/01/2011. Phần THứ HAI: Nội dung Chương I: Cơ sở lý luận của đề tài Với học sinh lớp 8 thì việc học phần “Tứ giác” gặp rất nhiều khó khăn do khả năng suy luận của học sinh còn chậm, học sinh chưa biết cách sắp xếp và sử dụng kiến thức một cách có hệ thống… Chính vì Vậy mà khi học phần này học sinh thường lúng túng không ghi nhớ được tính chất của các hình cũng như chưa có khả năng suy luận, tìm tòi, xây dựng ra kiến thức mới. Khi chưa hướng dẫn học sinh học bằng cách áp dụng phương pháp học mà đề tàiđưa ra, học sinh học thường vướng mắc như sau: Ví dụ 1: Cho hình vẽ: Cho biết đó là hình gì? Nêu tính chất của hình? + Học sinh phát hiện ra đó là hình thoi, nhưng chỉ nêu được tính chất về cạnh của hình thoi là các cạnh bằng nhau, các cạnh đối song song và bằng nhau chứ không nêu được các tính chất về góc và đường chéo. Ví dụ 2: Cho biết hình sau là hình gì? Học sinh chỉ nêu được đó là hình vuông mà quên mất rằng đó cũng là hình chữ nhật, hình bình hành hay hình thoi...chính vì vậy mà khi yêu cầu học sinh xây dựng dấu hiệu nhận biết hình vuông từ các hình đó, học sinh tỏ ra lúng túng, không biết phải thêm bớt điều kiện nào. Chương II: thực trạng của đề tài Khi chưa áp dụng đề tài tôi khảo sát lớp 8 trường TH & THCS Pá Hu với đề bài: Hình chữ nhật còn là những hình nào? Nêu dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật từ những hình đó? Tôi thấy học sinh còn rất lúng túng khi xây dựng dấu hiệu nhận biết, do chưa nắm vững tính chất của hình bình hành và hình thang cân, chưa ghi nhớ có hệ thống nên còn nhầm lẫn giữa tính chất của hai hình trên. Do vậy khi đưa ra dấu hiệu mới bị sai, nhầm lẫn hoặc thiếu. Kết quả đạt được như sau: Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu và kém 8 0 0% 1 5,9% 10 58% 6 35,3% Kết quả thấp là do học sinh vướng mắc những điều tôi đã nêu ra ( ở phần trên) và phần lớn các em chưa đưa ra được các dấu hiệu được xây dựng từ cạnh và đường chéo của hình thang cân và hình bình hành. Chương III: giải quyết vấn đề I. Những kiến thức cơ bản liên quan đến phương pháp học toán hình học phần tứ giác môn toán- lớp 8: - Kĩ năng vẽ hình và ghi nhớ hình vẽ. - Phương pháp học và ghi nhớ bằng kí hiệu và hình vẽ. - Phương pháp suy luận bằng cách so sánh các hình vẽ để nêu ra một số đặc điểm, tính chất mới nào đó của một hình. II. Những biện pháp tác động giáo dục và giải pháp khoa học tiến hành. Yêu cầu học sinh: - Biết vẽ hình chính xác, biết nhận dạng các đặc điểm của hình vẽ, sau đó giáo viên cung cấp tên gọi của hình là hình gì để từ đó học sinh nêu ra được định nghĩa và tính chất cũng như dấu hiệu nhận biết của hình đó. - Học sinh phải học và ghi nhớ bài một cách có hệ thống, lôgic theo trình tự các bài, các hình trong sách giáo khoa vì các hình, các kiến thức của bài mới, được xây dựng từ các hình, các bài đã học. - Đối với một tứ giác, học sinh phải lưu ý đến ba yếu tố đó là: Cạnh, góc và đường chéo để từ đó nêu đủ các tính chất cũng như các dấu hiệu nhận biết của các hình. - Từ chỗ nhận dạng được hình vẽ là hình gì học sinh có thể dựa vào hình vẽ để ghi nhớ định nghĩa, tính chất cũng như dấu hiệu nhận biết của hình đó mà không cần học và ghi nhớ máy móc. Khi cần nêu định nghĩa, tính chất cũng như dấu hiệu nhận biết của một hình nào đó học sinh chỉ cần vẽ hình là có thể nêu đầy đủ các kiến thức của hình. Từ các biện pháp trên tôi vận dụng để hướng dẫn học sinh học một số bài, hình tứ giác cụ thể như sau: 1. Tứ giác: - Khi học bài mới: Giáo viên vẽ hình và nêu tên đó là tứ giác và yêu cầu học sinh nêu các đặc điểm về số lượng cạnh, góc, số đo góc. Học sinh phải dựa vào trực quan để nêu ra được có 4 cạnh và có bốn góc từ đó sẽ củng cố và khắc sâu cái tên Tứ giác ( Tứ là 4) còn về góc phải dựa vào tổng ba góc trong một tam giác. (vẽ thêm đường chéo tứ giác thành 2 tam giác) ở phần này học sinh cần ghi nhớ định lí "Tổng bốn góc trong một tứ giác bằng 180 " do vậy cần tự làm thành thạo các bài tập tính góc như bài 1,2 A C D 800 1200 1100 B VD: Bài 1 (SGK.T66) Hình 5a. Học sinh nhận dạng được hình là tứ giác và bài yêu cầu tính góc. Do vậy học sinh cần tự đặt các câu hỏi liên quan đến góc như tổng các trong tứ giác bằng bao nhiêu? từ đó đưa ra lời giải. Bài giải Theo định lý tổng các góc của tứ giác ta có: x + 1100 1200 + 800 = 3600 x = 500. 2. Hình thang, hình thang cân: - Giáo viên cung cấp cho học sinh các định nghĩa về hình thang, hình thang vuông, hình thang cân. - Học sinh phải tự so sánh điểm giống và khác nhau giữa các hình. Từ đó rút ra tính chất về các cạnh, góc và đường chéo. - Vẽ được sơ đồ thể hiện mối liên hệ giữa hình các hình từ đó xây dựng được dấu hiệu nhận biết của các hình. Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. C D B A Hai góc kề một đáy bằng nhau Có một góc vuông - Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. - Hình thang cân là hình thang có hai đường chéo bằng nhau. - Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông hoặc - Hình thang vuông là tứ giác có hai cạnh đối song song và có một góc vuông. - ở hình thang cân học sinh cần khai thác các tính chất: + Về cạnh bên ( Hai cạnh bên bằng nhau) . + Về góc(các góc cùng kề một đáy bằng nhau, tổng hai góc đối bằng 180) + Về đường chéo ( Hai đường chéo bằng nhau) 3. Hình bình hành: ABCD là hình bình hành - Sau khi hình thành định nghĩa hình bình hành, Giáo viên sử dụng hình vẽ yêu cầu học sinh nêu dự đoán của mình về các tính chất về cạnh, góc, đường chéo Tính chất: - Các cạnh đối bằng nhau. - Các góc đối bằng nhau. - Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. - Học sinh có thể dự đoán trực quan hoặc đo đạc ước lượng để dự đoán dựa trên sự hướng dẫn của giáo viên. - Học sinh cần so sánh hình bình hành với tứ giác, hình thang để thấy được tứ giác, hình thang cần thêm những điều kiện nào thì trở thành hình bình hành. Kết quả việc so sánh này chính là các dấu hiệu nhận biết hình bình hành. - Sau khi học song bài, trong quá trình làm bài tập học sinh quên những kiến thức đã học về hình bình hành có thể dùng cách vẽ hình quan sát,so sánh để nhớ lại. 4. Hình chữ nhật: - Tứ giác ABCD là hình chữ nhật - Sau khi nhận dạng được hình chữ nhật, học sinh cần so sánh hình chữ nhật với các hình đã học để nêu ra tính chất của hình chữ nhật trên cơ sở tính chất của các hình đó. Từ việc so sánh cũng xây dựng được dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật. Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. C D B A Hai góc kề một đáy bằng nhau Có một góc vuông - Dựa vào hình vẽ ta thấy hình chữ nhật chính là hình thang, hình thang vuông, hình thang cân, hình bình hành. Do đó tính chất của hình chữ nhật được kết hợp xây dựng từ các hình đó. VD: Tính chất về đường chéo được kết hợp từ hình bình hành và hình thang cân phát biểu như sau: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau (Tính chất của hình thang cân) và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (Tính chất của hình bình hành). - Cũng dựa vào so sánh hình ta có thể thấy hình chữ nhật có thể xây dựng được từ: + Tứ giác với điều kiện có ba góc vuông. + Hình thang có hai góc kề một đáy vuông. + Hình thang cân có một góc vuông. + Hình thang cân có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. + Hình bình hành có một góc vuông. + Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau. Kết quả trên cũng chính là dấu hiệu nhận biết của hình chữ nhật. Như vậy có thể thấy nếu học sinh biết cách so sánh các hình cũng như khai thác tính chất của các hình thì việc học và ghi nhớ sẽ trở nên dễ dàng, không còn áp đặt nữa. 5. Hình thoi: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau ABCD là hình thoi AB=BC=CD=DA - Chúng ta cũng tiến hành so sánh các hình đã học với hình thoi để thấy được hình thoi có là những hình đó không? VD cần xem hình thoi có là hình chữ nhật không? Hình thoi có là hình bình hành không?....từ đó mà nêu ra tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình thoi. - Từ thực tế so sánh ta thấy hình thoi chính là hình bình hành do vậy hình thoi sẽ có đủ các tính chất của hình bình hành. Đó là tính chất về cạnh, tính chất về góc, tính chất về đường chéo. Ngoài ra ta thấy các cạnh và các góc, các đường chéo của hình thoi có thêm những điểm mới như các cạnh bằng nhau, hai đường chéo vuông góc...đó chính là căn cứ để ta xây dựng dấu hiệu nhận biết hình thoi từ hình bình hành. - Dấu hiệu nhận biết hình thoi là: - Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi - Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi - Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi - Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc là hình thoi. 6. Hình vuông: Tứ giác ABCD là hình vuông - Chúng ta cũng tiến hành so sánh các hình đã học với hình vuông để thấy được hình vuông có là những hình đó không? VD cần xem hình thoi có là hình chữ nhật không? Hình thoi có là hình bình hành không? Hình vuông có là hình thoi không....từ đó mà nêu ra tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình vuông. - Từ thực tế so sánh ta thấy hình vuông chính là hình thang vuông, là hình bình hành, là hình chữ nhật, là hình thoi do vậy hình vuông sẽ có đủ các tính chất của hình thang vuông, hình bình hành, hình chữ nhật và hình thoi. Đó là tính chất về cạnh, tính chất về góc, tính chất về đường chéo. Ngoài ra ta thấy các cạnh và các góc, các đường chéo của hình vuông có thêm những điểm mới như các cạnh bằng nhau, hai đường chéo vuông góc và bằng nhau...đó chính là những căn cứ để ta xây dựng dấu hiệu nhận biết hình vuông từ hình thang vuông, hình bình hành, hình chữ nhật và hình thoi. - Trong sách giáo khoa chỉ xây dựng các dấu hiệu nhận biết hình vuông từ hình chữ nhật và hình thoi. Tuy nhiên từ kết quả so sánh và sơ đồ trên ta thấy hoàn toàn có thể xây dựng dấu hiệu nhận biết hình vuông từ các hình khác ví dụ như: Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau và vuông góc với nhau là hình vuông.... 7. Phương pháp khai thác kiến thức từ hình vẽ để giải bài tập. - Hình học đòi hỏi khi giải bài tập phải vẽ được hình chính xác, biết đọc hình, biết khai thác hình vẽ để để tóm tắt những điều đã biết làm căn cứ để suy luận, suy diễn, chứng minh hay tìm ra lời giải. Để làm được điều đó người học cần phải có cách học, ghi nhớ các tính chất thông qua hình vẽ. Khi vẽ được hình của bài toán sẽ nhận dạng được đó là hình gì và hình đó cho ta biết điều gì?... - Khi phân tích một bài toán để tìm lời giải ta có thể sử dụng cách phân tích ngược đi từ kết luận quay lại giả thiết, qua các bước phân tích ta sẽ biết được cần phải chỉ ra cái gì, cần phải chứng minh điều gì trước, điều gì sau.... sau đây là ví dụ minh hoạ Bài tập 76 (tr106-SGK) GT ABCD là hình thoi MA=MB, NB=NC QA=QD, PD=PC KL MNPQ là hình chữ nhật * Phân tích tìm lời giải: - Muốn chứng minh MNPQ là hình chữ nhật thì phải chứng minh được MNPQ có 3 góc vuông hoặc MNPQ là hình bình hành có một góc vuông.(chọn TH 2) - Nếu muốn chứng minh MNPQ là hình bình hành có một góc vuông thì phải chỉ ra được các cặp cạnh đối song song và có một góc vuông hoặc một cặp cạnh đối song song và bằng nhau và có một góc vuông.(chọn TH1) . Đến đây bài toán được tìm ra lời giải nhờ vào khả năng nhận dạng, ghi nhớ các tính chất thông qua hình. Ta có lời giải như sau: Chứng minh: Xét ABC: MA=MB (GT), NB=NC (GT) MN là đường TB của ABC MN//AC, tương tự PQ là đường TB của ADC PQ//AC Suy ra MN//PQ Chứng minh tương tự MQ//NP Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành MN//AC và ACBD MNBD MQ//BD và BDMN MQMN. Hình bình hành MNPQ có nên là hình chữ nhật (đpcm) Phần THứ BA: Kết luận Và KHUYếN NGHị Khi áp dụng đề tài nghiên cứu này vào giảng dạy, hướng dẫn. Học sinh lớp tôi dạy đã nhận dạng được các hình, dựa vào hình đã nêu được định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình đó. Học sinh có khả năng nhớ một cách lôgic, có hệ thống về việc xây dựng các hình cũng như dấu hiệu nhận biết của các hình từ những hình khác, có khả năng vận dụng kiến thức để lập luận, chứng minh một số bài toán. Cụ thể khi làm phiếu điều tra lớp 8 trường TH và THCS xã Pá Hu với đề bài sau: Cho ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua điểm I. a) Tứ giác AMCK là hình gì? Vì sao? b) Tứ giác AKMB là hình gì ? Vì sao ? c) Tìm điều kiện của ABC để tứ giác AMCK là hình vuông. Kết quả nhận được như sau: Học sinh của tôi đã vẽ được hình và ghi được giả thiết, kết luận cho bài toán. Biết phân tích để tìm lời giải. Nhớ được kiến thức và vận dụng phù hợp vào việc chứng minh, giải quyết bài toán, không còn nhầm lẫn hay lúng túng khi đưa ra các kiến thức liên quan đến các hình nữa. Hầu hết đã trình bày được lời giải chặt chẽ. Kết quả cụ thể như sau: Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu và kém 8 0 0% 6 35,3% 9 52,9% 2 11,8% Khi nghiên cứu đề tài này tôi đã rút ra một số phương pháp học toán hình học phần tứ giác môn toán - lớp 8. Những bài học đó là: 1. Vẽ hình chính xác, biết nhận dạng các đặc điểm của hình vẽ, nêu ra được định nghĩa và tính chất cũng như dấu hiệu nhận biết của hình đó. 2. Học sinh phải học và ghi nhớ bài thông qua hình vẽ một cách có hệ thống, lôgic theo trình tự các bài, các hình trong sách giáo khoa. 3. Đối với một tứ giác, học sinh phải lưu ý đến ba yếu tố đó là: Cạnh, góc và đường chéo để từ đó nêu đủ các tính chất cũng như các dấu hiệu nhận biết của các hình. Khi quên định nghĩa hoặc tính chất của một tứ giác nào đó phải vẽ hình ra và đặt các câu hỏi về tính chất cạnh, góc, đường chéo như vậy sẽ có khả năng ghi nhớ bằng hình vẽ, nhớ lâu và không nhầm lẫn. 4. Từ chỗ nhận dạng được hình vẽ là hình gì học sinh nhớ được định nghĩa, tính chất cũng như dấu hiệu nhận biết của hình đó mà không cần học và ghi nhớ máy móc. Khi làm bài tập, nhờ việc nhận dạng hình vẽ cũng như nhớ kiến thức qua hình vẽ học sinh sẽ biết cách khai thác, suy luận để giải quyết bài tập mà không lúng túng. 5. Phương pháp phân tích ngược để tìm lời giải cho bài toán. Trên đây là một số phương pháp học toán hình học mà tôi đúc rút ra được trong quá trình dạy học để hướng dẫn, cung cấp cho học sinh qua phần tứ giác môn toán - lớp 8. Để những phương pháp, cách học mà tôi đã nêu ra ở trên đạt hiệu quả cao hơn khi cung cấp, hướng dẫn cho học sinh, tôi rất mong được sự ủng hộ đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để chúng ta cùng chung tay, góp sức giúp các em học sinh có phương pháp học phù hợp, các em thêm yêu thích phần tứ giác môn hình nói riêng, yêu thích và học tốt môn toán học nói chung. Tôi xin chân thành cảm ơn! Pá Hu, ngày 10 tháng 01 năm 2011 Người viết Nguyễn Văn Nghiệm Tài liệu tham khảo Phan Văn Đức, Nguyễn Hoàng Khanh, Lê Văn Trường – Tuyển tập 400 bài tập Toán 8- NXB Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh – 2005 Phạm Thu - Tổng hợp kiến thức toán THCS 8- NXB Đại học sư phạm – 2005 Sách giáo khoa Toán 8 – NXB Giáo dục – 2008 Bộ giáo dục và đào tạô - Một số vấn đề về đổi mới phương pháp dạy học ở trường trung học cơ sở - 2004 Phạm Đức Tài - Tài liệu tập huấn giáo viên thực hiện dạy học theo chuẩn kiến thức kỹ năng và phương pháp học tích cực môn toán học cấp THCS - 2010. Phụ lục: Đánh giá, xếp loại của hội đồng khoa học cấp trường ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………