Sáng kiến kinh nghiệm: Phương trình vô tỷ

Lời nói đầu Đứng trước yêu cầu của công cuộc đổi mới , giáo dục phải luôn luôn đi trước một bước , vì thế đòi hỏi ngành giáo dục nói chung và mỗi người thầy nói riêng phải gánh vác một trọng trách hết sức nặng nề. Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại xứng đáng với vị trí của nó trong xã hội thì các nhà giáo dục phải đổi mới ( học hỏi, nghiên cứu ) để đề ra những định hướng kịp thời. Trong quá trình giáo dục thì việc dạy học trong các nhà trường là chủ yếu, và trong mỗi nhà trường thì bản thân mỗi giáo viên phải luôn luôn phấn đấu nâng cao hiệu suất giờ lên lớp , có làm được như vậy thì mới nâng cao được chất lượng đào tạo, gây được uy tín đối với học sinh, củng cố niềm tin với phụ huynh học sinh và toàn xã hội. Là một giáo viên dạy toán THCS, trong những năm qua tôi đã đặt ra cho mình một nhiệm vụ là phải nghiên cứu tìm ra những phương pháp thích hợp cho giảng dạy , những vấn đề cụ thể phù hợp với đối tượng thực tế. Một trong những chuyên đề mà tôi tâm đắc nhất là " Phương trình vô tỷ ". Tôi đã tham khảo rất nhiều tài liệu viết về "Phương trình vô tỷ ", phần nào các tác giả đã đưa ra những bài toán tương đối đa dạng, tuy nhiên còn tản mạn trong nhiều cuốn sách khác nhau. Để giáo viên có tài liệu bồi dưỡng chuyên đề cho học sinh khá, giỏi - Tôi xin mạn phép các tác giả được lựa chọn ra một số bài toán, phân giải, giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức và nắm chắc chuyên đề trên. Phương trình vô tỷ mới được đưa vào trong chương trình toán lớp 9 cải cách giáo dục và mới chỉ là các dạng rất đơn giản, vì vậy việc dạy "Phương trình vô tỷ "là kiến thức mới và rất khó đối với giáo viên dạy toán cấp 2. Mặc dù số tiết học trong phân phối chương trình không có nhưng trong đề thi thường hay gặp dạng phương trình vô tỷ. "Phương trình vô tỷ " là một vấn đề dạy giải bài tập có một đặc thù riêng - Ta có thể đưa về các phương trình đã biết cách giải, thông qua đó mà tìm nghiệm của phương trình nói trên. Hệ thống bài tập về "Phương trình vô tỷ " có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh ( khá, giỏi ) dạy và học. Rèn luyện cho học sinh năng lực từ những kiến thức quen biết , nhận dạng và đưa những dạng bài tập chưa biết cách giải về dạng quen biết đã biết cách giải, có được hệ thống bài tập để ôn luyện cho học sinh thi cuối cấp cũng như thi vào PTTH. Phần nội dung 1- Định nghĩa Phương trình vô tỷ . Phương trình vô tỷ là phương trình đại số trong đó ít nhất một số hạng là biểu thức vô tỷ đối với ẩn số ( tức là ẩn số nằm trong dấu căn ). Trong chương trình THCS, ta thường gặp những phương trình vô tỷ mà chứa ẩn số trong các biểu thức dưới dấu căn bậc hai. 2- Đường lối chung . - Tìm miền xác định của phương trình . - Khử căn đưa về phương trình đại số. - Giải phương trình đại số . - Nhận định kết quả và trả lời. 3- Các phương pháp và ví dụ. a-Phương pháp nâng lên luỹ thừa. Dạng 1: Sơ đồ cách giải : Đ/k: 2 Ví dụ 1 : Giải phương trình Điều kiện : Với điều kiện trên, 2 vế không âm, bình phương 2 vế của (1) ta được phương trình tương đương: 2 x2 - 3x = 0 x = 0 hoặc x = 3. Đối chiếu với điều kiện trên ta thấy chỉ có x = 3 thoả mãn Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 3 * Nhận xét: Khi giải phương trình dạng trên , học sinh thường hay mắc sai lầm là không đặt điều kiện cho g . Chẳng hạn, ở ví dụ 1 nếu không đặt điều kiện thì khi giải phương trình x2 - 3x = 0 học sinh sẽ trả lời là phương trình có 2 nghiệm là: x1 = 0 ; x2 = 3, nhưng thay x= 0 vào phương trình (1) thì vế phải bằng 1 ; vế trái bằng -1. Sở dĩ có sai lầm trên vì học sinh chưa nắm chắc tính chất của luỹ thừa bậc hai : Dạng 2: - Tìm điều kiện dể phương trình có nghĩa : ` - Biến đổi 2 vế của phương trình không âm ( với phương trình chứa căn bậc hai ) ta bình phương 2 vế để được phương trình tương đương. Sau đó đưa phương trình về dạng đã biết cách giải. Ví dụ : Giải phương trình : . Chuyển vế : Điều kiện : Hai vế không âm, bình phương hai vế ta được: Bình phương 2 vế ta có : x 2 + x - 6 = 144 - 24 x + x2 x = 6 ( thoả mãn ) Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 6. Dạng 3: Cách giải tương tự như dạng 2. Ví dụ: Giải phương trình : Chuyển vế: Điều kiện: Hai vế không âm. Bình phương hai vế ta được: Do , 2 vế không âm. Bình phương 2 vế ta được: - 4x2 + 76x-336 = x2 -8x + 16 5x2 -84x + 352 =0 x2 =8 ( Thoả mãn ) Vậy phương trình có 2 nghiệm Dạng 4: Cách giải tương tự dạng 3. Ví dụ : Giải phương trình . Chuyển vế : Điều kiện : Bình phương 2 vế ta được: Bình phương 2 vế ta được: (xÊ 0 ) Bình phương 2 vế ta được: x 2 +9x =x2 9x = 0 x=0 ( Thoả mãn ). Vậy phương trình có một nghiệm x=0. Nhận xét : Khi giải phương trình vô tỷ ta cần chú ý đến việc tìm miền xác định của phương trình . Sau khi biến đổi 2 vế của phương trình không âm ( Với phương trình chứa căn bậc 2 ) ta bình phương 2 vế để được phương trình tương đương . Nếu bước khử căn vừa rồichưa khử hết được các căn thức bậc hai chứa ẩn, ta tiếp tục chuyển vế và đặt điều kiện để bình phương tiếp. Thực hiện các phép biến đổi tương đương để đưa phương trình về dạng phương trình quen thuộc ( bậc nhất hoặc bậc hai ). Giải phương trình trung gian rồi nhận định kết quả và trả lời về số nghiệm của phương trình đầu. Tuy nhiên với những phương trình chỉ có ẩn số nằm trong dấu căn bậc 2, tức là phương trình có dạng: ± ( a,b,c là hệ số ) ngoài cách giải nêu trên ta còn có thể khử căn bằng cách nhân 2 vế của phương trình với biểu thức liên hợp của vế trái . Ví dụ : Giải phương trình (1) Ta thấy " x Vậy miền xác định : Nhân hai vế của phương trình với : ta được phương trình tương đương: (2) Cộng vế theo vế phương trình (1) và (2) ta có phương trình tương đương : Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép x1 =x2 =0 b- Phương pháp đặt ẩn phụ. * Với những phương trình vô tỷ có dạng đặc biệt. Dùngphép biến đổi sau: Đặt Ta đưa phương trình về dạng phương trình bậc 2 : Ví dụ : Giải phương trình Đặt điều kiện : ` " x Đặt : ta có y2 +y -42 =0 Giải phương trình được : y1 =6 ( thoả mãn) Y2 = -7 ( loại ) Giải phương trình được : Vậy phương trình có nghiệm là : * Đối với phương trình có dạng : ta dùng phép biến đổi sau : Đặt Ví dụ giải phương trình (1) Đặt điều kiện : Đặt : Phương trình (1) có dạng : t2 + t- 2x + 1 = 13 -2x t2 + t - 12 = 0 Giải phương trình được : t1 = 3 ( thoả mãn ) t2 = -4 ( loại ) Hai vế không âm, bình phương 2 vế ta được : (xÊ 5 ) Bình phương 2 vế ta được : x 2- x- 2 = 25 -10x + x2 9x = 27 x =3 ( thoả mãn ) Vậy phương trình có một nghiệm x =3. Chú ý : Khi giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn dụ , ta cần hướng dẫn học sinh đặt điều kiện cho ẩn dụ. Số nghiệm của phương trình đầu phụ thuộc vào số nghiêm phương trình bậc hai trung gian và điều kiện có nghĩa của phương trình đầu . + Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì phương trình đầu vô nghiệm. + Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm nhưng nghiệm đó không thuộc miền xác định của phương trình đầu thì phương trình đầu vô nghiệm. + Trái lại, nếu các nghiệm số tìm được của phương trình bậc hai trung gian làm cho các ẩn số của phương trình đầu thuộc miền xác định của nó thì phương trình đã cho có nghiệm. c -Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ : Giải phương trình (1) Điều kiện : Nếu ta có phương trình : không thuộc khoảng đang xét . Nếu ta có phương trình : Nghiệm của phương trình là : + Nếu ta có phương trình : x-1 =9 x=10 ( thoả mãn ). Vậy phương trình có nghiệm : d - Phương pháp bất đẳng thức : Dạng 1: Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm. Ví dụ : Giải phương trình : Điều kiện để phương trình có nghĩa là . Với điều kiện này thì do đó vế trái của phương trình là số âm, còn vế phải không âm. Vậy phương trình vô nghiệm. Dạng 2 : Sử dụng tính đối nghịch ở 2 vế : Ví dụ : Giải phương trình : Ta có vế trái Vế phải . Vậy phương trình có nghiệm khi 2 vế đều bằng 5. Lúc đó x+1 =0 x=-1 Thử lại : VT = VP = 4+2-1=5 Vậy phương trình có 1 nghiệm x =-1 Dạng 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số . Ví dụ : Giải phương trình Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phương trình . + Với thì ; + Với thì ; Vậy x=3 là nghiệm của phương trình . Dạng 4 . Sử dụng điều kiện xảy ra dấu (=) ở bất đẳng thức không chặt. Ví dụ : Giải phương trình (1) Điều kiện : Ta có bất đẳng thức (a,b > 0) Dấu (=) xảy ra a=b Do đó (1) Giải phương trình được : ( thoả mãn ) e- Phương pháp đưa về hệ phương trình . Ví dụ: Giải phương trình : Điều kiện : Đặt ( y ³ 1 ) đ x-2 = y2 - 2y + 1  Thay vào phương trình đã cho ta được: y - 1 = x2 -2x + 2 ‚ Kết hợp  và ‚ ta có hệ: y2 -2y - x + 3 = 0 ƒ x2 - 2x -y +3 = 0 „ Trừ hai vế của hệ ta được: y2 - x2 - y + x = 0 Û ( y - x )( y + x - 1 ) = 0 y = x x + y = 1 -Nếu x=y Thay vào „ ta có x2 - 3x + 3 = 0 vô nghiệm -Nếu x + y = 1 đ y = 1 - x thay vào „ ta được: x2 - x + 2 = 0 vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Một số bài tập tham khảo Giải các phương trình sau: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, Hướng dẫn giải 1- Chuyển vế được Điều kiện : Bình phương 2 vếta được : x-1= 169 - 26x + x2 Û x2 -27x +170 =0 Giải phương trình được x1 =17 ( loại ) x 2 = 10 ( thoả mãn ) 2- Điều kiện :. Bình phương 2 vế ta được x - 2 = x2 - 4x + 4 Û x2 + 5x + 6 = 0 Giải phương trình được x1 = 2 ; x2 = 3 3 - điều kiện * Bình phương 2 vế ta được : x2 - 4x + 3 = x2 -2x + 1 Û 2x = 2 Û x = 1 (thoả mãn ) 4 - Chuyển vế ta được : Điều kiện : . Bình phương 2 vế ta được : Biến đổi được về phương trình : ( x<5) Bình phương 2 vế tiếp ta được : x2 - x - 2 = 25 - 10x + x2 Û 9x = 27 x = 3 ( thoả mãn ) 5- Lập phương 2 vế ta được : x + 1 + 7 - x + 3 Giải phương trình ta được: x1 = 1 ; x2 = 7 6 - Chuyển vế đưa về phương trình : Điều kiện * Bình phương 2 vế ta được : (**) Đối chiếu với điều kiện (*) và (**)thì không có giá trị nào của x thoả mãn Vậy phương trình vô nghiệm. 7 - Điều kiện (*) Bình phương 2 vế và biến đổi ta được phương trình . Điều kiện Û (**) Kết hợp điều kiện (*) và (**)thì x = 1 là nghiệm của phương trình . 8 - Điều kiện : Biến đổi phương trình về dạng phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối . Đáp số : x = 1 9 - Biến đổi phương trình về dạng : Điều kiện VP = VT Û Û Û 10 - Điều kiện : . Đưa phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối : (1) Nếu ta có (1) Û Phương trình có nghiệm Nếu thì (1) Û Û x = 2 Vậy phương trình có nghiệm : 11 - Điều kiện : rồi đưa phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối . Đáp số x= 3 12 - Điều kiện , đua về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối . Đáp số x = 2 13 - Điều kiện Phương trình đã cho có thể viết dưới dạng x2 - 6 + - 6 = 0 Đặt ta đượoc phương trình t 2 + t - 6 = 0 Giải phương trình trung gian được t1 = 2 ( thoả mãn ) t2 = - 3 < 0 ( loại ) Û x2 -6 = 4 Û x2 = 10 ị x = ± 14 - Đưa phương trình về dạng : (1) Ta thấy VT ³ 1+3 =4 VP Ê 4 ị (1) có nghiệm Û 2 vế đều bằng 4. Û x- 3 = 0 Ûx = 3 15 - Điều kiện : 4 Ê x Ê . Xét đ x2 - 10x + 27 = ( x-5)2 + 2 ³ 2 Phương trình có nghiệm Û cả 2 vế đều bằng 2 Û x-5 ị x=5 ( thoả mãn) 16 - Đặt ( y ³ 2) phương trình đã cho có dạng y - 2 = x2 - 4x -7 (1) ị x + 9 = y2 - 4y + 4 (2) Kết hợp (1) và(2) ta có hệ y2 - x - 4y - 5 = 0 (1) x2 - 4x - y - 5 = 0 (2) Trừ 2 vế ta được : ( x - y ) ( x + y - 3 ) = 0 ị + Nếu x = y thay vào (2) ta được x2 - 5x - 5 = 0 giải phương trình được x1,2 = + Nếu y = 3 - x thay vào (2)ta được x2 - 3x - 8 = 0 giải phương trình được x3,4 = 17 - Đặt : đ x2 + y2 = 2 Ta có hệ Û Đặt v = x+ y ; v = 2xy ị