Sáng kiến kinh nghiệm - Rèn kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh lớp 7

A. ĐẶT VẤN ĐỀ. Toán học là ngành khoa học cơ bản, Toán học có tác dụng lớn đối với các ngành khoa học khác. Đây là một khoa học suy diễn, mẫu mực về sự chính xác cao và suy luận chặt chẽ. Môn Toán có một vị trí quan trọng trong trường phổ thông, vì nó có khả năng to lớn trong việc thực hiện nhiệm vụ của nhà trường. đồng thời nó giúp cho học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ. việc tìm kiếm, chứng minh một định lý, tìm một lời giải hay cho một bài toán, có tác dụng rèn luyện cho học sinh các phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận qua đó có tác dụng tốt rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo. Trong Toán học có nhiều phân môn, mỗi phân môn có nét đặc trưng riêng của nó. Ở trường trung học cơ sở hiện nay, học sinh được học các phân môn số học, đại số và hình học. Riêng hình học là một phân môn rất khó với lứa tuổi học sinh cấp hai, vì tính trừu tượng của hình học khá cao. Có thể nói rằng, hầu hết các học sinh hiện nay gặp rất nhiều khó khăn trong việc học tập hình học, từ phần nắm bắt lý thuyết, các định nghĩa, các định lý, tiên đề, đến việc hoàn thiện các chứng minh dạng toán, các lập luận, suy luận để đến điều phải chứng minh. Hầu hết học sinh của các chưa cảm nhận được cái hay, cái đẹp ở hình học, rất ngại khi học hình học này vì nhiều nguyên nhân khác nhau dẫn tới kết quả học tập chưa cao, đặc biệt là việc tư duy chứng minh một bài toán hình học đối với các em còn nhiều khó khăn. Chính vì vậy việc rèn luyện cho học sinh hình thành và phát triền tư duy hình học và có kỹ năng chứng minh thành thạo một số bài toán chứng minh hình học cơ bản từ đó có khả năng khám phá những bài toán nâng cao là một yêu cầu cơ bản đối với việc giảng dạy phân môn hình học ở bậc THCS đặc biệt đối với học sinh lớp 7. Đối với học sinh lớp 7, việc chứng minh một bài toán hình học càng khó hơn khi các em bước đầu làm quen với các bước suy luận chứng minh hình học, các em phải tìm tòi, phải tưởng tượng, các em phải tìm lời giải trên cơ sở hình vẽ, kiểm nghiệm tính đúng đắn bằng các tính chất, định lý, chứ không phải như “ một cộng một bằng hai ” mà các em quen từ lâu, chính vì vậy việc “ Rèn kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh lớp 7” là yêu cầu rất quan trọng đối với giáo viên khi dạy học phân môn hình học. * * * B.NỘI DUNG Để rèn kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh, trước hết các em phải nắm vững các phương pháp chứng minh cơ bản của hình học 7 đó là: I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC 7. 1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau: Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể sử dụng một trong những cách sau: Chứng minh dựa vào tam giác cân, tam giác đều. Chứng minh dựa vào việc chứng minh hai tam giác bằng nhau. Chứng minh dựa vào đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất đường trung trực của tam giác Chứng minh dựa vào tính chất đường trung tuyến của tam giác. 2. Chứng minh hai góc bằng nhau. Để chứng minh hai góc bằng nhau chúng ta có thể sử dụng một trong những cách sau: Chứng minh dựa vào tính chất của tam giác cân, tam giác đều. Chứng minh dựa vào tính chất của hai đường thẳng song song. Chứng minh dựa vào tính chất của tia phân giác một góc, đường phân giác của tam giác. Chứng minh dựa vào việc chứng minh hai tam giác bằng nhau. Chứng minh hai góc cùng bù hoặc cùng phụ với một góc thứ ba. 3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau. Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta có thể: Dựa và định nghĩa chứng minh một trong các góc tạo thành bởi hai đương thẳng cắt nhau có số đo là 900 . Dựa vào quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song. Dựa vào tính chất của đường trung tuyến của tam giác vuông ứng với cạnh huyền thì bằng nửa độ dài cạnh huyền. Dựa vào tính chất ba đường cao của tam giác Dựa vào tính chất đường trung trực của đoạn thẳng,của tam giác. Dựa vào định lí Pytago. Dựa vào định lý về tổng 3 góc trong một tam giác áp dụng vào tam giác vuông. Dựa vào tính chất tia phân giác của hai góc kề bù. 4. Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau. Để chứng minh hai đường thẳng song song với nhau ta có thể: Dựa vào dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song. Dựa vào quan hệ giữa tính vuông góc và tính song. ( Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc hoặc song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau). 5. Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thế: Dựa vào tính chất điểm nằm giữa hai điểm. (AM + MB = AB ó M nằm giữa A và B). Dựa vào tính chất : Nếu A, B, C tạo thành một góc có số đo bằng 1800 thì A, B, C thẳng hàng. Dựa vào tính chất: Nếu hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba và có một điểm chung thì hai đường thẳng đó trùng nhau. Dựa vào tính chất tia phân giác của hai góc đối đỉnh. Chứng minh ba điểm đó cùng thuộc một tập hợp đường như: đường trung trực, đường cao, đường phân giác... ). 6. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy. Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta có thể chứng minh: Hai đường thẳng cắt nhau và đường thẳng còn lại đi qua giao điểm đó. Dựa vào tính chất các đường đồng quy trong tam giác. Muốn học sinh thành thạo giải một bài toán chứng minh hình học thì trước hết các em phải nắm được các phương pháp chứng minh cơ bản trên. 7. Chứng minh tính chất của một hình. Trong hình học 7 ta bắt gặp nhiều bài yêu cầu chứng minh một tam giác là tam giác cân, đều vuông... các đoạn thẳng là đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác. Về phương pháp chung ta có thế chứng minh các bài toán trên thông qua các phương pháp chứng minh trên III. RÈN KỸ NĂNG CHỨNG MINH HÌNH HỌC CHO HỌC SINH Việc học sinh được rèn luyện kỹ năng chứng minh hình là vô cùng quan trong. Muốn rèn luyện cho học sinh có khả năng phân tích, tư duy môt bài toán hình học sau khi các em đã được trang bị những kiến thức cơ bản và phương pháp chứng minh trên thì giáo viên phải: 1. Rèn kĩ năng vẽ hình: - Vẽ hình cần chính xác, rõ ràng,để tìm ra hướng giải toán - Không nên vẽ hình rơi vào trường hợp đặc biệt có khi khó chứng minh ( Ví dụ yêu cầu vẽ tam giác thì ta chỉ vẽ tam giác thường .) - Nhiều bài giáo viên yêu cầu học sinh cần vẽ hình theo kết luận. 2.Rèn kĩ năng suy luận và chứng minh: Để chứng minh được một bài toán hình bất kì nào thì học sinh phải được: a,Rèn kỹ năng vận định lí: Học sinh phải được rèn kỹ năng nhận dạng yêu cầu chứng minh nào đó trong bài có khả năng vận dụng những định lí nào? Xuất phát từ kết luận của bài toán, học sinh sẽ tư duy và kết hợp các giả thiết của bài cùng các kiến thức đã học để tìm cách chứng minh bài toán. b, Rèn cách trình một bài toán chứng minh. Sau khi học sinh đã tìm được lời giải cho bài toán nhiều học sinh sẽ lúng túng không biết trình bày như thế nào? Nhiều học sinh trình bày chưa khoa học, sắp xếp chưa đúng trình tự dẫn đến viêc chứng minh các ý tiếp theo gặp nhiều khó khăn. Vì vậy giáo viên phải yêu cầu học sinh trình bày tuần tự xuất phát từ giả thiết. Các kết luận sử dung nhiều hoặc nhiều kết luận sử dụng để phục vụ cho kết luận chung thì cần ký hiệu đánh dấu. . . 3.Rèn kĩ năng sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp: Để hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải, ta thường dùng phương pháp phân tích( từ kết luận đi đến giả thiết) và lúc trình bày lời giải thì theo phương pháp tổng hợp ( từ giả thiết đến kết luận). Vậy khi trình bày một lời giải thường sử dụng phương pháp phân tích để tìm cách chứng minh, rối dùng phương pháp tổng hợp để viết phần chứng minh. Khi hướng dấn học sinh tìm lời giải một bài tập thì giáo viên cần chú ý hướng dẫn cho học sinh các quy tắc suy luận. Trong quá trình giải toán , ta thường gặp hai quy tắc suy luận là quy tắc quynạp và quy tắc diễn dịch. - Quy nạp là suy luận đi từ cái riêng đến cái chung ,từ cụ thể đến tổng quát ,quy nạp thường là quy nạp hoàn toàn, ta phải xét hết các trường hợp có thể xảy ra. Diễn dịch là đi từ cái chung đến cái riêng, từ tổng quát đến cụ thể. 4Rèn kĩ năng đặc biệt hóa: Trong nhiều bài toán học giáo viên cần hướng dẫn học sinh có thể đưa giả thiết của bài toán về những trường hợp đặc biệt để tìm kết quả và phương pháp giải quyết bài toán. 5. Rèn kĩ năng tổng quát hóa: Trong nhiều bài toán sau khi giải quyết xong thì giáo viên có thể tổng quát hoá bài toán nhằm nâng cao tư duy hình học cho học sinh như: Thay hằng số bởi biến. Thay điều kiện trong bài toán bằng điều kiện rộng hơn. Thay vị trí đặc biệt của một điểm, của một hình bởi vị trí bất kì của nó , ví dụ thay trọng tâm tam giác bởi một điểm bất kì nằm trong tam giác. Bỏ bớt một điều kiện của giả thiết để có bài toán tổng quát hơn. Trên đây là một số kỹ năng mà giáo vên cần rèn luyện cho học sinh trong quá trình giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng dạy và học phân môn hình học . III. VẬN DỤNG VÀO SOẠN & DẠY MỘT TIẾT LUYỆN TẬP Việc rèn luyện cho học sinh các kỹ năng chứng minh trên trong quá trình giảng dạy đối với mỗi giáo viên là việc hết sức qua trọng. Để xây dưng một tiết học mà các em được rèn luyện các kỹ năng một cách phù hợp với bản thân là một nhiệm vụ không dễ đối với người thầy. Người thầy phải xác định rõ mục tiêu của từng tiết dạy. 1. Đối với dạy bài mới. - Giáo viên phải cung cấp các tri thức mới một cách nhẹ nhàng và tự nhiên giúp các em dễ tiếp thu. - Sau mỗi kiến thức trọng tâm giáo viên cần khắc sâu hoặc gợi mở các phương pháp chứng minh liên quan: VD: Sau khi dạy xong bài: Tính chất tia phân giác của một góc. Giáo viên có thể hỏi: Vậy qua bài hôm nay muốn chứng minh tia ON là tia phân giác của ta có thể chứng minh như thế nào? - Dạy học định lí nên thường xuyên theo phương pháp quy nạp để các em tự mình khám phá những kiến thức mới từ đó các em hiểu sâu và chắc. - Đối với mỗi kiến thức mới giáo nên là người nêu các tình huống có vấn đề cho các em khám phá cùng với các câu hỏi, hướng dẫn gợi mở của người thầy. 2. Đối với tiết luyện tập. - Trong các tiết luyện tập giáo viên thường xuyên quan tâm tới các kỹ năng của từng đối tượng, từ kỹ năng vẽ hình đến kỹ năng phân tích tìm lời giả - Đối với mỗi bài toán giáo viên cần hình thành cho học sinh thói quen phân tích giả thiết, kết luận để tăng khả năng tư duy khi đi tìm lời giải. - Sau mỗi bài giáo viên cần nhận xét rút kinh nghiệm về phương pháp, kỹ năng trình bày cho học sinh. - Đối với mỗi đối tượng học sinh giáo viên cần có yêu cầu cụ thể theo mức độ từ dễ đến khó. - Trong tiết luyện tập giáo viên nên phân thành các dạng bài và rút ra phương pháp giải. 3. Đối với tiết ôn tập Đối với những tiết ôn tập thì việc rèn luyện các kỹ năng được đưa ra một cách tổng quát, song song với đó là việc ôn luyện lại những kiến thức đã học của chương của kì..Chính vì vậy giáo viên phải: - Hệ thống các dạng bài, các phương pháp bên cạnh việc hệ thống các kiến thức. - Các bài tập đưa ra nên có tính chất tổng quát, tổng hợp nhiều kiến thức giúp các em có khả năng tư duy tổng hợp. - Đối với mỗi dạng toán sau một chương, một kỳ thì có nhiều phương pháp giải, phương pháp tư duy vì vậy giáo viên cần định hướng cụ thể cho học sinh tránh học sinh bị lan man không xác định được phương hướng. Sau đây tôi xin vận dụng vào soạn giảng một tiết luyện tập hình học 7: Tiết 34 LUYỆN TẬP -Về 3 trường hợp bằng nhau của hai tam giác- I. Mục tiêu: Sau khi học xong bài này học sinh cần nắm được: 1. Về kiến thức - Học sinh nắm vững ba trường hợp bằng nhau của hai tam giác. 2. Về kỹ năng: - Rèn kỹ năng vẽ hinh, kỹ năng phân tích , trình bày bài, kỹ năng chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. 3. Về thái độ: - Rèn tính cần thận, chính xác. Tinh thần làm việc độc lập, hợp tác. II. Chuẩn bị: Gv: Thước thẳng, compa IV. Tiến trình dạy học Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ghi bảng Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ Áp dụng những trường hợp bẳng nhau của hai tam giác đã biết vào tam giác vuông ta có những trường hợp nào? GV: yêu cầu học sinh chữa bài tập 43/sgk GV chốt lại các trường hợp bằng nhau của hai tam giác đã học HS: Trả lời câu hỏi HS chữa bài tập * Đặt vấn đề: Ở các bài trước chúng ta đã được nghiên cứu về các trường hợp bằng nhau của hai tam giác, hôm nay chúng ta sẽ tiếp tục vận dụng các trường hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. Hoạt động 2 : Tổ chức luyện tập GV Cho học sinh làm bài tập 44/sgk GV yêu cầu học sinh đọc đề rồi vẽ hình ghi giả thiết kết luận của bài toán. GV: Hai tam giác ABD và ∆ADC có những yếu tố nào bằng nhau? GV cho học sinh lên bảng chứng minh phần a. ? Có nhận xét gì về hai đoạn thẳng AB và AC => điều phải chứng minh. GV chốt lại vậy qua bài tập 44/sgk ta rút ra điều gì? GV cho học sinh đọc đè bài tập 60 SBT. GV Hướng dẫn học sinh vẽ hình và ghi giả thiết kết luận của bài toán ? Muốn chứng minh hai đoạn thẳng AB = BE ta có thể chứng minh như thế nào? GV cho học sinh lên bảng trình bày GV chốt lại phương dạng toán cho học sinh GV đọc bài cho học sinh Bài toán: Cho tam giác ABC có Â=900 và BC = 2AB, E là trung điểm của BC. Tia phân giác của cắt AC ở D. Chứng minh: a, DB là tia phân giác của b, BD= DC. c, Tính , của ? Muốn chứng minh DB là tia phân giác của ta cần chứng minh điều gì? ? Vậy muốn chứng minh hai góc bằng nhau ta có thể chứng minh hư thế nào? GV cho học sinh lên bảng CM GV nhận xét đánh giá bài làm của học sinh. ? vậy qua phần chứng minh vừa rồi ta rút ra nhận xét gì? GV cho học sinh chứng minh các phần còn lại . GV chốt để chứng minh hai đoạn thẳng hoặc hai góc bằng nhau ta có thể vận dung các trường hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng minh HS vẽ hình và ghi giả thiết kết luận HS quan sát hình vẽ và trả lời HS lên bảng trình bày HS khác nhận xét đánh giá bài làm của bạn HS là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. HS: Ta có thể vận dụng các trường hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. HS đọc đề và suy nghĩ HS vẽ hinh ,ghi giả thiết kết luận HS: ta có thể chứng minh hai tam giác bằng nhau HS khác nhận xét đánh giá bài làm của bạn HS đọc đề và vẽ hình , ghi giả thiết, kết luận, HS ta cần chứng minh HS: ta có thể chứng minh hai tam giác bằng nhau. HS chứng minh HS : Ta có thể chứng minh hai góc bằng nhau bằng cách chứng minh hai tam giác bằng nhau. HS lên bảng thực hiện 1. Vận dụng các trường hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. Bài 44/sgk (125) GT ∆ABC : . Phân giác của  cắt BC tại D KL a.∆ADB = ∆ADC b.AB = AC Chứng minh: Ta có: Xét ∆ABD và ∆BDC có: ∆ABD = ∆BDC ( g-c-g) ∆ABD = ∆BDC (cmt) AB = AC Bài tập 60 (SBT - 105) GT KL Chứng minh: Xét ∆ABD và ∆EBD có: 2.Vận dụng các trường hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng minh hai góc bằng nhau. Bài tập : GT KL a, DB là tia phân giác của b, BD = DC c, Tính , của a, Có E là trung điểm của BC => BC = 2 BE mà BC = 2 AB => BE = AB Xét ∆ABD và ∆EBD có: DB nằm giữa DA và DE => DB là tia phân giác của b, có ∆ABD = ∆EBD => => Xét ∆DEB và ∆DEC có EB = EC (gt) DE chung => ∆DEB = DEC ( c.g.c) => DB = DC. c, ∆DEB = ∆DEC => => = 2 Mà =>3=900 => Hoạt động 3: Củng cố Giáo viên chốt lại phương pháp vận dụng các trường hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau và được vận dụng thường xuyên trong các dạng toán chứng minh khác Hoạt động 4: Hướng dẫn về nhà - Làm bài tập 63 SBT và làm thêm bài tập Cho ABC, có Â> 900. Trong  vẽ ADAB và AD = AB, AEAC và AE = AC.Gọi M là trung điểm của DE Chứng mính AM BC - Đọc và ngiên cứu trước bài Tam giác cân. C. KẾT LUẬN Qua quá trình giảng dạy nhiều năm, tôi nhận thấy nếu học sinh nắm chắc được các kiến thức, có kỹ năng chứng minh thành thạo các bài toán hinh học ở lớp 7 thì lên các khối lớp tiếp theo các em sẽ say mê học tập bộ môn Toán hơn. Chính vì vậy đối với các thầy cô giảng dạy trực tiếp bộ môn Toán lớp 7, việc quan tâm đến rèn kỹ năng chứng minh cho học sinh là vô cùng cần thiết. Với những kinh nghiệm giảng dạy ít ỏi trên, kính mong sự đóng góp của các thầy cô để chúng ta nâng cao hiệu quả công tác giảng dạy hơn. Xin trân trọng cảm ơn!