Sáng kiến kinh nghiệm vê thêm yếu tố phụ đề giải bài tập hình học

đặt vấn đề Để tìm các phương pháp giải các bài toán hình học, có lúc vẽ thêm các yếu tố phụ làm cho việc giải bài toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn. tuy nhiên vẽ thêm các yếu tố phụ như thế nào là có hiệu quả, có lợi cho việc giải toán, đó là điều khó khăn và phức tạp. Đăc biệt đối với học sinh lớp 7 hình học còn rất mới đối với các em nên công việc đó lại càng lúng túng hơn. Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ mà là một sự sáng tạo nghệ thuật tuỳ theo yêu cầu của bài toán cụ thể. Bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài toán thuận lợi chứ không phải là công việc tuỳ tiện. Hơn nữa, việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo các bước dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản. nội dung. Việc vẽ thêm yếu tố phụ nhằm giúp ba vấn đề cơ bản sau: 1)Giúp giải được một số bài toán hình học mà nếu không vẽ thêm các yếu tố phụ có thể sẽ bế tắc. 2)Trình bày một số bài toán ngắn gọn hơn, hay hơn. 3)Phát hiện những vấn đề mới chưa được học bằng vốn kiến thức hạn chế mới được học. Trong phần hình học lớp 7, có nhiều dạng bài tập mà khi giải đòi hỏi học sinh phải biết định hướng để biết vẽ thêm đường phụ. Dạng toán 1: Toán chứng minh. Xét bài toán: Cho tam giác ABC có AB = AC. trên AB lấy điểm D, trên tia đối của CE lay điểm E sao cho BD = CE, DE cắt BC tại O.Chứng minh rằng: a) OD = OE. b) DE > BC. A D B C I O K E GV: a) Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta làm thế nào? HS nghĩ ngay đến việc chứng minh hai tam giác chứa hai cạnh bằng nhau. GV gợi ý: Hình vẽ trên có hai tam giác nào chứa cạnh OD, OE có thể bằng nhau không?Vậy việc tạo tam giác đó như thế nào? Sau đó học sinh có thể dựa vào giả thiết BD = CE để xác định cách vẽ thêm yếu tố phụ. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC, cắt BC tại I. Từ đó dựa vào giả thiết cho vào các kiến thức đã học, các em chứng minh được DOI = EOC (g.c.g) do đó OD =OE. Như vậy việc vẽ thêm đường thẳng DI // AC giúp các em giải bài toán dễ dàng hơn. b) Để chứng minh DE > BC, các em hãy tìm cách vẽ thêm sao cho DE và BC là 2 cạnh của 1 tam giác nào đó rồi so sánh các góc đối diện của chúng. Cách vẽ thêm: Qua B kẻ đường thẳng đường thẳng song song với AC qua E kẻ đường thẳng song song với BC chúng cắt nhau ở K. Sau đó chứng minh cho , mà Tam giác BKD cân tại B và có BC là tia phân giác của nên BC là đường cao .Lại có BC //KE (cách vẽ) hay tam giác DKE vuông tại K DE > KE. Và từ đó suy ra điều phải chứng minh. Như vậy việc vẽ thêm BK và EK giúp việc giải toán trở nên dễ dàng hơn hoặc có thể dẫn dắt gợi ý học sinh cách vẽ thêm yếu tố phụ khác. Hãy so sánh từng phần của 2 đoạn thẳng đó với nhau? Với sự gợi ý đó của GV, HS sẽ nghĩ đến việc so sánh OD với OB, OE với OC nhưng việc so sánh đó không đi đến hiệu quả. HS sẽ lại phải nghĩ đến phương án khác. A D C N B M O E Vẽ DM; EN cùng vuông góc với đt BC. So sánh OD > OM, OE > ON OD + OE > OM + ON DE > MN. Từ kết quả đó HS lại nghĩ đến việc so sánh MN với BC (MN= BC), Vậy việc giải bài toán theo hướng này đã thu được kết quả. Nhờ việc vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài toán đối với học sinh khá giỏi các em còn phát hiện thêm kiến thức mới "trong những tam giác có 1 góc bằng nhau, tổng 2 cạnh kề góc ấy không đổi thì tam giác cân có chu vi bé nhất”. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có , BD là tia phân giác của góc B. So sánh DA và DC. - Để giải quyết bài toán này GV nêu câu hỏi, đưa ra tình huống: để so sánh 2 đoạn thẳng nay ta phải làm thế nào? Liệu 2 đt này có bằng nhau không? Bằng trực quan HS khẳng định là không bằng nhau. Vậy muốn so sánh được phải làm thế nào? (cần tạo ra 1 tam giác mà có 2 cạnh có độ dài bằng AD và DC sau đó đi so sánh góc đối diện của chúng. Cách vẽ thêm: Trên BC lấy M sao cho BM= BA, HS dễ dàng chứng minh được DM= DA và DM BC. Từ đó so sánh DC > DM và DC > DA. Từ việc giải bài toán này nhờ vào việc vẽ thêm điểm M, giáo viên có thể thay đổi bài toán: bỏ thay bằng thì kết quả bài toán này còn đúng không? Học sinh lại vận dụng tương tự và rút ra kết luận DC > DA. ở ví dụ này việc vẽ thêm yếu tố phụ giúp HS giải dễ dàng đồng thời HS khá giỏi phát hiện thêm bài toán mới qua cách vẽ thêm cũng tương tự. B M A D C Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy D, trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD= CE. CMR: AB + AC < AD + AE. A I B D C E K GV: Hãy vẽ DI vuông góc với AB, EK vuông góc với AC. -So sánh AD + AE với AI + AK - SO sánh AI + AK với AB + AC Cách vẽ thêm thứ 2: Hãy tạo 1 đoạn thẳng bằng AB + AC bằng cách: Trên tia đối của CA lấy M sao cho CM = CA. A B D C E M -Hãy so sánh EM với AD - Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác AEM có AM < AE + EM = AE +AD hay AB + AC < AE + AD. Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có AB < AC, trung tuyến AM. Hãy so sánh góc với . - Nếu vẽ thêm yếu tố phụ thì việc giải bài toán này rất khó khăn. Vậy vẽ thêm như thế nào? A 1 2 B M C N GV gợi ý: để so sánh với hãy vẽ thêm như thế nào để tạo 1 tam giác có 2 góc bằng và . Hãy chú ý M la trung điểm của BC, từ đó học sinh có thể nghĩ đến việc vẽ thêm điểm N sao cho M cũng là trung điểm của AN. Ta có tam giác CAN có . Sau đó đi so sánh các cạnh đối diện của 2 góc đó. Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có AB < AC, vẽ phân giác AD, M là trung điểm BC. Qua M vẽ đường thẳng song song với AD cắt AC tại F, cắt BA tại E. Chứng minh rằng: CF = BE. GV: ở bài toán này không thể tạo ra 2 tam giác bằng nhau chưa 2 cạnh đó được, ta nên tìm đoạn thẳng trung gian bằng cả 2 đoạn đó. E A F B D M C Cách tạo thêm: trên tia đối của MF lấy điêm K sao cho MK = MF. Nối B với K. CM được CF= BK, từ đó HS khẳng định được CF= BK. Như vậy để chứng minh 2 đt bằng nhau, 2 góc bằng nhau, hoặc chứng minh đoạn thẳng này lớn hơn đoạn thẳng kia ta dựa vào 2 tam giác chứa 2 cạnh đó bằng nhau hoặc chứng minh 2 đoạn thẳng này cùng bằng đoạn thứ 3, dựa vào bất đẳng thức trong tam giác. Từ đó mà học sinh biết định hướng đẻ vẽ thêm các yếu tố phụ giúp cho việc giải toán đạt hiệu quả. Dạng toán 2: tính số đo góc Ví dụ 1: Tính các góc của tam giác ABC biếtđường cao AH, trung tuyến AM. Chia góc A thành 3 phần bằng nhau. A I B H M C - Đối với loại toán tính góc việc vẽ hình gặp nhiều khó khăn bởi vì chưa biết số đo góc của tam giác. Đối với bài này giáo viên cố ý vẽ ; . Khi đó học sinh dựa vào trực quan sẽ phán đoán . Từ đó ta có thể tìm được cách vẽ thêm yếu tố phụ: - Vẽ . - Học sinh giải được bài toán một cách dễ dàng. Ví dụ 2: Cho , , . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính . A H B C D GV gợi ý: , nếu vẽ , thấy xuất hiện điều gì đặc biệt? Học sinh nghĩ ngay đến , do đó , từ đó khảng định cân tại C và . Cũng từ đó cân tại H . Sau đó học sinh dễ dàng chứng minh được vuông cân kết hợp với các em sẽ tính được . Đối với bài tập này nếu không vẽ thêm thì việc giải bài toán sẽ gặp nhiều khó khăn. ở dạng toán tính góc khi học sinh phải vẽ thêm các yếu tố phụ tôi lưu ý học sinh phỉa khai tốt giải thiết của bài toán đồng thời phải chú ý đến những tam giác đặc biệt, những góc đặc biệt như: tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, vuông cân, góc 300, góc 600, góc 1350, góc 450. Kết luận Trên đậy là những kinh nghiệm của tôi khi hướng dẫn các em giải bài tập hình đòi hỏi phải vẽ thêm các yếu tố phụ. Việc vẽ thêm các yếu tố phụ giúp cho các em giải toán dễ dàng hơn, song việc vẽ thêm yếu tố phụ quả là khó khăn, phức tạp đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic, có trí tưởng tượng phong phú và óc sáng tạo linh hoạt, trên tinh thần phải nắm được kiến thức cơ bản và khai thác triệt để giả thiết bài toán cho. Tôi mới chỉ đưa ra 2 dạng toán là chứng minh, tính số đo góc mà đã thấy việc vẽ thêm yếu tố phụ rất phong phú, đa dạng thiếu nó thì việc giải toán gặp nhiều khó khăn. Trực Ninh tháng 5 năm 2006 Người viết Nguyễn Thị Hải