Sơ đồ quy trình rèn kỹ năng giải một số dạng toán cơ bản lớp 9 theo yêu cầu chuẩn kiến thức, kỹ năng

SƠ ĐỒ QUY TRÌNH RÈN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN LỚP 9 THEO YÊU CẦU CHUẨN KIẾN THỨC, KỸ NĂNG QUY ƯỚC VỀ SƠ ĐỒ QUY TRÌNH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN Khởi đầu Trường hợp chung Trường hợp riêng (1) Bước thực hiện Kết quả, trả lời, kết luận Bước thực hiện ( bằng cách ) Trường hợp Thực hiện tiếp, đi đến Bằng cách Trường hợp riêng (2) CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA x 0 TÌM CĂN BẬC HAI CỦA MỘT SỐ : Áp dụng x = x2 = a Tìm căn bậc hai số học của số dương a () Tìm các căn bậc hai của số dương a Tìm số b sao cho b 0 và b2 = a Tìm được 2 số: -số b ( sao cho b 0 và b2 = a ) -và số -b Chú ý: Học sinh nên thuộc một số số chính phương hay gặp : 1, 4, 9, 16, ...., 144, 169, ... để vận dụng vào tính toán nhanh. n tổng (n+1) Tham khảo: 1/ Chứng minh S1 = 1 + 2 + 3 + ….. + n = . HD: Nhóm theo từng cặp số hạng đầu, cuối: (1+ n) + [2 +(n-1)] + …. = 2/ Chứng minh S2 = 12 + 22 + 32 + …. + n2 = HD: Nhận xét: (x +1)3 – x3 = 3x2 + 3x + 1 Với x = 1 : 23 – 13 = 3.12 + 3.1 + 1 Với x = 2 : 33 – 23 = 3.22 + 3.2 + 1 Với x = 3 : 43 – 33 = 3.32 + 3.3 + 1 Với x = n: (n +1)3 – n3 = 3.n2 + 3.n + 1 (n +1)3 - 13 = 3( 12 + 22 + 32 + …. + n2 ) + 3( 1 + 2 + 3 + ….. + n ) + n = 3S2 + S1 + n = 3S2 + + n 2(n+1)3 – 2 = 6S2 + 3(n+1) + 2n S2 = = ….. = 3/ Chứng minh S3 = 13 + 23 + 33 + …. + n3 = HD: Nhận xét: (x +1)4 – x4 = 4x3 + 6x2 + 4x + 1 Với x = 1 : 24 – 14 = 4.13 + 6.12 + 4.1 + 1 Với x = 2 : 34 – 24 = 4.23 + 6.22 + 4.2 + 1 Với x = 3 : 44 – 34 = 4.33 + 6.32 + 4.3 + 1 Với x = n: (n +1)4 – n4 = 4n3 + 6.n2 + 4.n + 1 (n +1)4 – n4 = 4S3 + 6S2 + 4S1 + n Thế các giá trị S1 , S2 rồi rút gọn ta được: S3 = 13 + 23 + 33 + …. + n3 = SO SÁNH CÁC CĂN BẬC HAI : Quan sát đề So sánh và Trả lời: a < b Trả lời: a > b So sánh số không âm a và Trả lời: Trả lời: So sánh các căn thức bậc hai So sánh các căn bậc hai số học So sánh hai căn bậc hai số học rồi thêm (bớt) cùng một hạng tử Bình phương cả hai căn thức rồi so sánh hai bình phương của chúng sau khi đã xác định là hai số không âm ( áp dụng so sánh một số (hoặc một căn hoặc một tổng hai căn) với tổng hai căn). So sánh hai căn bậc hai số học rồi nhân cả 2 vế với cùng một số (đổi chiều nếu nhân với số âm) Đưa một thừa số vào trong dấu căn (hay ra ngoài dấu căn) Áp dụng một số công thức ( CM qua bài tập) VD: So sánh 2 và +1. Ta có: 1 < 2 nên 1 < . Từ đó : 1 + 1 < + 1 2 < + 1 VD: So sánh 1 và - 1. Ta có: > 2 > 2 -1 > - 1 1 > - 1 VD:So sánh 2và 10. Ta có: 10 = 2.5.Vì 31>25 =52 >2 > 22>10 VD: So sánh 2 và . Ta có : 4>3 2 > 4 > 2 VD: Với a > 0; b > 0. Chứng minh (Bài tập 26 (b)trang 16 Toán 9–Tập 1) Ta đưa về so sánh: a + b với . = a + b + 2. Vì 2> 0 nên a + b > VD: Với a > b > 0. Chứng minh ( Bài tập 31 (b) trang 19 Toán 9 – Tập 1) VD: So sánh 2và 10. Ta có: (2)2 = 4.31=124; 102 =100. Vì 124>1002>10 VD: So sánh 4 và 7. Ta có: (4)2 = 16.5 = 80 ; 72 = 49 (4)2 > 72 4 > 7 VD: So sánh + và . Ta có: (+)2 = 5 + 2.; = 10 = 5 + 5 (2.)2 = 24 ; 52 =25 + > VD: So sánh +2 và +. Ta có: (+2)2 = 7 + 4; (+)2 = 8 + 2 = 8 +4 +2 <+ (Kết hợp sử dụng đưa một thừa số ra ngoài dấu căn) VD: So sánh 16 và . Ta có : 16 = ; = Vì 162 > 162 - 1 . Do đó : 16 > VD: So sánh 8 và . Ta có : 82 = 64 = 32 + 32; ()2 = 32 + 2 2 = 2 ; 32 = 2.16 = 2; Vì > 8 > VD: So sánh 2 và 3. Ta có: 2==; 3 ==. Vì < 2< 3 ; So sánh với PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Thực hiện các phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, phối hợp các phương pháp. Trong đó cần chú ý: 1/Học sinh cần có thói quen biến đổi a = ( a 0) . VD: 7 = ; đưa một thừa số ra ngoài (vào trong) dấu căn, khai phương một tích … 2/ Sử dụng linh hoạt phương pháp tách một hạng tử, thêm bớt một hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung hay xuất hiện một hạng tử còn thiếu của một hằng đẳng thức. Quan sát biểu thức cần phân tích thành nhân tử Dùng hằng đẳng thức Tách một hạng tử Thêm bớt một hạng tử Đặt nhân tử chung Phối hợp nhiều phương pháp VD: 3 - = ()2 - = (-1 ) VD: == = VD: ( x, y không âm) ( a, b, x, y không âm) VD: a – b = ; x2 – 7 = x2 - = ( x - )(x - ) x2 + 2x + 2 = x2 + 2x + = ( x - )2 ; ; ; VD: 9 + 4 = 5 + 2..2 + 4 = ()2 + 2()(2) + 22 = (+ 2)2 23 - 8 = 7 – 2.. 4 + 16 = ()2 – 2()(4) + 42 = ( - 4)2 4 - 2 = 3 - 2..1 + 1 = ()2 - 2()(1) + 12 = ( - 1)2 15 - 6 = 32 - 6+ = ; 33 - 12 = 32 – 2(3)2()+ = 23 + 8 VD: Phân tích thành nhân tử: x + 2 ( với x 2 ). Ta có : x + 2= x + 2= x + 2 + 2 – 2 = 2 + 2 + x – 2 = (Nhận xét: a = ; b = ; thêm 2, bớt 2 )  TÌM x ĐỂ CĂN THỨC CÓ NGHĨA 1/ Trường hợp biểu thức đã cho chỉ có 1 căn thức bậc hai: Điều kiện của x Điều kiện của x thỏa mãn đồng thời (3) và (4) (6) KL: x ... (5) hoặc x ... (6) Lý luận: Biểu thức đã cho có nghĩa khi cả hai căn thức bậc hai đồng thời có nghĩa Tìm điều kiện của x để căn thức bậc hai thứ nhất có nghĩa (1) Tìm điều kiện của x để căn thức bậc hai thứ hai có nghĩa (2) Tìm điều kiện của x thỏa mãn đồng thời (1) và (2) Kết luận Biểu thức đã cho là tổng ( hiệu ), tích của 2 căn thức bậc hai: Biểu diễn tập hợp những giá trị của x trên trục số Biểu thức dưới dấu căn là phân thức có chứa biến ở mẫu trong các trường hợp cơ bản: Tử là hằng số, đa thức bậc nhất Mẫu là đa thức bậc nhất Tìm điều kiện của x thỏa mãn một trong hai trường hợp sau Mẫu > 0 (2) Tử 0 (1) Điều kiện của x Điều kiện của x Điều kiện của x thỏa mãn đồng thời (1) và (2) Trường hợp 1 (5) (6) Thừa số 2 0 (2) Thừa số 1 0 (1) Điều kiện của x Điều kiện của x Điều kiện của x thỏa mãn đồng thời (1) và (2) Thừa số 10 (3) Điều kiện của x Điều kiện của x Trường hợp 1 Trường hợp 2 Điều kiện của x thỏa mãn đồng thời (3) và (4) (5) KL: x ... (5) hoặc x ... (6) Biểu diễn tập hợp những giá trị của x trên trục số Quan sát biểu thức dưới dấu căn (BTDDC) Biểu thức dưới dấu căn là BT nguyên Đa thức bậc nhất Đa thức bậc hai Đặt BTDDC 0 Tìm điều kiện của x Kết luận Phân tích BTDDC thành nhân tử ( nếu cần ) Tìm điều kiện của x thỏa mãn một trong hai trường hợp sau Trường hợp biểu thức đã cho chỉ có 1 căn thức bậc hai Nhận xét: Tích hai số ab không âm khi và chỉ khi : Hoặc a 0 và b 0 Hoặc a 0 và b 0 Thừa số 2 0 (4) Nhận xét:Thương không âm Hoặc a 0 và b > 0 Hoặc a 0 và b < 0 Trường hợp 2 Tử 0 (3) Mẫu < 0 (4) Điều kiện của x TÍNH – RÚT GỌN BIỂU THỨC Nhận xét chung về biểu thức cần rút gọn Xác định các phép tính cần thực hiện để rút gọn Quan sát các dấu ngoặc (nếu có) Xác định các phép tính của các dấu ngoặc Quan sát từng dấu ngoặc (nếu có ) Tìm các phép tính trong từng dấu ngoặc Quan sát các hạng tử trong từng dấu ngoặc Xác định các phép tính giữa các hạng tử: Cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, khai phương … Xác định từng hạng tử: hằng số, biến; tử , mẫu có nhân tử chung, có dạng HĐT, có thể rút gọn, trục căn thức ở mẫu; BTDDC có dạng , tích, thương, có thể đưa thừa số ra ngoài, vào trong dấu căn, khử mẫu … Xác định các hạng tử tạo thành HĐT (nếu có) Xác định thứ tự thực hiện các phép tính Thực hiện lần lượt từng phép tính Kết quả Đưa một thừa số ra ngoài ( vào trong ) dấu căn Đối với mỗi hạng tử, có thể Biến đổi BTDDC thành dạng ; khử mẫu ….. Liên kết nhiều hạng tử, có thể Phân tích thành nhân tử: đặt nhân tử chung, biến đổi thành dạng ; ; quy đồng mẫu … Hạng tử là phân thức: Rút gọn, trục căn thức ở mẫu TÌM x THỎA MÃN BẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC Chuyển căn thức bậc hai chứa ẩn về một vế (vế trái) Biến đổi biểu thức dưới dấu căn thành dạng bình phương của một đa thức. Áp dụng hằng đẳng thức Kết luận: Giá trị cần tìm của x là ........ Với x , ta có Kết luận: Vậy 0 x < b < Tìm x thỏa mãn đẳng thức Quan sát đề Kết luận: Vậy x > b2 Kết luận: Vậy 0 x < b2 Vì x nên x < b2 Vì x nên x > b2 Tìm x không âm biết > b ( hay ; ) < b > b Tìm x thỏa mãn bất đẳng thức Tìm x biết ( hay ) với điều kiện (b > 0) Tìm điều kiện của x để các căn thức bậc hai xác định (1) Bình phương cả hai vế của bất đẳng thức Giải bất phương trình Kết hợp (2) với điều kiện của x (1) để chọn tập các giá trị của x Giá trị của x (2) Kết luận Trường hợp biểu thức chứa ẩn dưới dấu căn là bình phương của một đa thức Tìm x biết (b < 0) Vế trái không âm, vế phải âm nên không có giá trị nào của x thỏa mãn Trường hợp với điều kiện (b > 0) Trường hợp (b < 0) Không có giá trị nào của x thỏa mãn Giải tương tự như trường hợp bất đẳng thức ở trên Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ( VD: Tìm x thỏa mãn BĐT > 2 ) ( VD: Tìm x thỏa mãn BĐT < 3 ) Rút gọn vế phải Vế phải là một hằng số hay đa thức bậc nhất chứa x  Đưa về phương trình tích = 0 Tìm điều kiện của x (1) để các căn thức bậc hai xác định Chuyển tất cả các hạng tử về một vế (vế phải bằng 0) Phân tích biểu thức ở vế phải thành nhân tử thành dạng = 0 Giải phương trình = 0 ( Bình phương cả hai vế ) Đối chiếu nghiệm với (1) Kết luận Mẫu chứa ẩn Tìm điều kiện của x để các căn thức bậc hai xác định: , nghĩa là x thỏa mãn một trong hai trường hợp sau Rút gọn rồi đưa về các trường hợp ; ... Dạng A(x) 0 (1) và B(x) > 0 (2) Tìm x thỏa mãn (1) và (2) A(x) 0 (4) và B(x) < 0 (5) Tìm x thỏa mãn (4) và (5) Bình phương cả 2 vế của phương trình Giải phương trình vừa tìm được Kết luận ĐK của x (3) ĐK của x (6) Đối chiếu x thỏa mãn (5) hoặc (6) Giải phương trình = 0 ( Bình phương cả hai vế ) Đối chiếu nghiệm với (1) Dạng Tìm điều kiện của x để phân thức xác định: x thỏa mãn đồng thời hai bất đẳng thức A(x) 0 và B(x) > 0 ĐK của x (1) Đưa về dạng Giải phương trình vừa tìm được Kết luận Đối chiếu x thỏa mãn (1) VD: VD: Hoặc Bình phương cả hai vế VD:  CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC: Quan sát hai vế của đẳng thức A = B Chứng minh biểu thức ở vế trái và biểu thức ở vế phải cùng bằng biểu thức thứ ba: A = C ; B = C Kết luận Biến đổi biểu thức ở vế trái bằng biểu thức ở vế phải Kết luận Biến đổi biểu thức ở vế phải bằng biểu thức ở vế trái Kết luận VD: CM: 9 + 4 = (+ 2)2 . 9 + 4 = 5 + 22 + 4 = ()2 + 22 + 22 = (+ 2)2 VD: Chứng minh: 9 + 4 = (+ 2)2 . Ta có: (+ 2)2 = ()2 + 22 + 22 = 9 + 4 VD: Với n là số tự nhiên (số thực không âm).Chứng minh đẳng thức:= (n+1)2 – n2 Biến đổi vế trái ta được: = n + 1 + n = 2n + 1 Biến đổi vế phải ta được: (n+1)2 – n2 = n2 + 2n + 1 - n2 = 2n + 1 Từ đó ta có vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức đúng. VD: Với n là số tự nhiên (số thực không âm). CM: Khai triển vế trái: = …. = 2n+1- 2 Biến đổi vế phải: = ….= 2n+1- 2. Kết luận đẳng thức đúng. HÀM SỐ BẬC NHẤT: HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN. Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến Hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R x x1 < x2 y = f(x) f(x1) f(x2) f(x2) > f(x1) f(x2) < f(x1) a/ Hàm số đồng biến trên R ( gọi tắt là hàm số đồng biến) (Giá trị của biến x tăng lên, giá trị tương ứng f(x) cũng tăng lên) b/ Hàm số nghịch biến biến trên R ( gọi tắt là hàm số nghịch biến) (Giá trị của biến x tăng lên, giá trị tương ứng f(x) cũng tăng lên) HÀM SỐ BẬC NHẤT Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a, b là các số cho trước và a 0. Chú ý : Khi b = 0, hàm số có dạng y = ax . Tính chất: Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị x thuộc R và có tính chất sau: a/ Đồng biến trên R, khi a > 0. b/ Nghịch biến trên R, khi a < 0. Hàm số a < 0 a > 0 y = ax + b Hàm số nghịch biến Hàm số đồng biến XÁC ĐỊNH MỘT HÀM SỐ CÓ PHẢI LÀ HÀM SỐ BẬC NHẤT HAY KHÔNG? HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN HAY NGHỊCH BIẾN Quan sát hàm số y = f(x) Rút gọn vế phải: bỏ dấu ngoặc, thực hiện các phép tính +, - , x, : , lũy thừa Hàm số có dạng y = ax + b Trả lời: là hàm số bậc nhất Hàm số không có dạng y = ax + b Trả lời: Không phải là hàm số bậc nhất Xác định a0, a, b Chứng minh a > 0 Trả lời: đồng biến trên R Chứng minh a < 0 Trả lời: nghịch biến trên R ( a, b có thể là hằng số, đa thức, căn thức bậc hai … ) TÌM GIÁ TRỊ CỦA m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIỀN, NGHỊCH BIẾN Quan sát hàm số y = f(x) Rút gọn vế phải: bỏ dấu ngoặc, thực hiện các phép tính +, - , x, : , lũy thừa Hàm số đồng biến khi: a > 0 Đưa về dạng y = ax + b Xác định a ( a là biểu thức chứa m ) Tìm được giá trị của m để a > 0 Hàm số nghịch biến khi: a < 0 Kết luận Tìm được giá trị của m để a > 0 TÌM GIÁ TRỊ CỦA m ĐỂ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax + b ĐI QUA ĐIỂM A( x0 ; y0 ) CHO TRƯỚC Quan sát hàm số y = ax + b; xác định a, b; x0 , y0 Lý luận: Đồ thị hàm số đi qua A nên tọa độ của A thỏa mãn phương trình y = ax + b Thay x bằng giá trị hoành độ x0 của A, Thay y bằng giá trị tung độ y0 của A y0 = a x0 + b Tính được m Trả lời Chú ý: Điểm trên trục tung có hoành độ bằng 0 Tọa độ điểm nằm trên trục tung P ( 0; y) Điểm trên trục hoành có tung độ bằng 0 Tọa độ điểm nằm trên trục hoành Q ( x; 0) TÌM HỆ SỐ GÓC a CỦA HÀM SỐ y = ax + b Quan sát hàm số y = ax + b, đọc kỹ đầu bài, nắm giả thiết của bài toán Thế giá trị của x, y vào phương trình y = ax + b Cho biết một giá trị của x và giá trị tương ứng của y Trả lời Tính được a Tính được a Cho biết đường thẳng đi qua điểm A(xA ; yA ) Trả lời Cho biết đồ thị song song với đường thẳng có hàm số y = a’x + b’ Đặt a = a’ CM: b b’ Tính được a Trả lời TÌM GIÁ TRỊ CỦA m ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, TRÙNG NHAU (Mở rộng: Sách bài tập Toán 9 tập 1 (trang 61)) Quan sát hàm số y = ax + b, y = a’x + b’ xác định a, b, a’, b’ Hai đường thẳng cắt nhau Đặt a a’ Tính được m Trả lời Hai đường thẳng song song với nhau Đặt a = a’ Tính được m Đặt b b’ Tính được m (nếu có) Hoặc CM: b b’ Trả lời Trả lời Hai đường thẳng trùng nhau Đặt a = a’ Tính được m Đặt b = b’ Tính được m (nếu có) Hoặc CM: b = b’ Hai đường thẳng vuông góc với nhau Đặt a.a’ = -1 Tính được m Trả lời XÁC ĐỊNH HÀM SỐ y = ax + b ( tìm a và b ) Biết đường thẳng đi qua 2 điểm A(xA ; yA ); B(xB ; yB ) Lý luận: Giả sử đường thẳng đi qua A và B có dạng y = ax + b Thay xA , yA vào y = ax + b Rút gọn. Đưa b về 1 vế được (1) Thay xB , yB vào y = ax + b Rút gọn. Đưa b về 1 vế được (2) Đặt 2 vế phải của (1), (2) bằng nhau Tính được a Thế giá trị của a vào (1) hoặc (2) Tính được b Trả lời Mở rộng: CHỨNG MINH HỌ ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA LUÔN ĐI QUA MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH Cho hàm số y = mx + (2m + 1) (1) Với mỗi giá trị của m, ta có một đường thẳng xác định bởi (1). Như vậy ta có một họ đường thẳng xác định bở (1). Chứng minh rằng họ đường thẳng xác định bởi (1) luôn đi qua một điểm cố định. Hãy xác định tọa độ điểm đó. ( Bài tập 29, sách bài tập toán 9 tập 1, trang 61 ) (Ví dụ về sơ đồ quy trình trình bày lời giải một bài toán ). Lý luận: Giả sử M(xM ; yM ) là điểm mà họ đường thẳng (1) luôn luôn đi qua với mọi m, thì tọa độ xM , yM của M phải thỏa mãn (1) với mọi m (2) Thay xM , yM vào (1) yM = mxM + (2m+1) Lý luận: Phương trình (2) nghiệm đúng với mọi giá trị của m, do đó phải có các hệ số đều bằng 0 xM = -2 xM + 2 = 0 1 - yM = 0 yM = 1 và KL: Vậy họ đường thẳng (1) luôn luôn đi qua điểm cố định M(-2 ; 1) VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = Vẽ đồ thị hàm số y = x với x ( loại bỏ phần đường thẳng có x <0 ) Vẽ đồ thị hàm số y = - x với x ( loại bỏ phần đường thẳng có x >0 ) x khi x Lý luận: y = = -x khi x Quan sát các hệ số của hệ phương trình GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Phương pháp thế (Có hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng 1) Chọn phương trình mà một ẩn (giả sử là ẩn x) có hệ số bằng 1 (PT (1)) Biểu diễn ẩn x theo ẩn kia (y) : x = …….. Tính được giá trị của y từ (PT 2’) Được một phương trình mới chỉ còn 1 ẩn (PT 2’) Thế giá trị của ẩn x vào phương trình kia ( PT2) Lập hệ PT mới gồm hai phương trình (1) và (2’) (tương đương với hệ đã cho) Tính được giá trị của y từ (PT 2’) Thế giá trị của y vào (1) tính được x Trả lời Phương pháp cộng đại số (Các hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau) Trường hợp thứ nhất Các hệ số của cùng một ẩn đối nhau Cộng từng vế hai PT của hệ PT đã cho Được một PT mới (3) chỉ còn một ẩn (coi như khử được 1 ẩn) Cộng từng vế hai PT của hệ PT đã cho Lập hệ PT mới gồm hai phương trình (1) và (3) hay (2) và (3) (tương đương với hệ đã cho) Tính được giá trị của một ẩn từ (3) Thế giá trị của ẩn vừa tìm được vào (1) ( hoặc (2)) tính được giá trị của ẩn kia Trả lời (Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình bằng nhau và không đối nhau) Chia BCNN cho mỗi hệ số để tìm thừa số phụ tương ứng Trường hợp thứ hai Giải hệ phương trình theo trường hợp thứ nhất Phương pháp đặt ẩn phụ u, v Đưa về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Ví dụ: Đặt . Đặt Tìm BCNN của hai hệ số đó Chọn các hệ số của một ẩn dễ tìm BCNN Nhân hai vế của từng phương trình với thừa số phụ tương ứng GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Đọc kỹ đề bài để hiểu nội dung rõ bài toán. Xác định GT - KL Lập hệ phương trình Chọn 2 ẩn số (Thông thường gọi x, y là số phải tìm) ) Đặt điều kiện thích hợp cho 2 ẩn số x , y > 0 x, y: nguyên dương x, y: nguyên dương và x, y < .... ...................... Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết Viết lại từng dữ kiện bài toán cho (nói lên mối liên hệ giữa các đại lượng) Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn Tìm các đại lượng của bài toán Biểu diễn đại lượng chưa biết theo các đại lượng khác Lập 2 phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng Chú ý các dấu hiệu nói lên mối quan hệ giữa các đại lượng “bằng”, “lớn hơn”, “nhỏ hơn”, “có tổng bằng ...”, “hơn kém nhau....”, ..... Giải hệ phương trình trình Trả lời Chọn nghiệm thỏa mãn điều kiện của ẩn Đối chiếu nghiệm của hệ phương trình vừa tìm được với điều kiện của ẩn ở trên Nghiệm của hệ phương trình trình Kết luận : Vậy ............. Lập bảng biểu diễn các đại lượng trong bài toán theo ẩn đã chọn GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN ax2 + bx + c = 0 ( a ) Quan sát phương trình bậc hai, nhận xét các hệ số a, b, c b chẵn Đặt b’ = Tính > 0 Trả lời: phương trình có hai nghiệm phân biệt = 0 Trả lời: phương trình có nghiệm kép ( có suy từ công thức trên khi =0) < 0 Trả lời: phương trình vô nghiệm b chẵn Tính > 0 Trả lời: phương trình có hai nghiệm phân biệt Trả lời: phương trình có nghiệm kép ( có suy từ công thức trên khi cho=0) Trả lời: phương trình vô nghiệm = 0 < 0 Nhẩm nghiệm trong trường hợp đơn giản ( khi có S, P là các số nguyên) Thử vài cặp số, từ đó chọn cặp số có tổng bằng S, tích bằng P Kết luận GTTĐ của một hệ số bằng tổng các GTTĐ của hai hệ số kia Thế vào biểu thức a + b + c, nếu có a + b + c = 0 KL: PT có hai nghiệm x1 = 1; x2 = KL: PT có hai nghiệm x1 = -1; x2 = - Thế vào biểu thức a - b + c, nếu có a - b + c = 0 ĐỊNH LÝ VI-ÉT Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = o ( a 0 ) thì: x1 + x2 = x1 x2 = Chú ý: Ta có thể áp dụng Định lý Vi – Ét trong một số trường hợp sau: TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG S VÀ TÍCH P CỦA CHÚNG Giải phương trình x2 – Sx + P = 0 Xác định S, P ( Chú ý a = 1 ) Lý luận: Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 Nhẩm nghiệm trong trường hợp đơn giản ( khi có S, P là các số nguyên) Thử vài cặp số, từ đó chọn cặp số có tổng bằng S, tích bằng P Kết luận Kết luận KHÔNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍNH TỔNG, TÍCH, TỔNG CÁC BÌNH PHƯƠNG CỦA HAI NGHIỆM, BÌNH PHƯƠNG CỦA HIỆU HAI NGHIỆM, HIỆU HAI NGHIỆM Quan sát phương trình bậc hai, tìm các hệ số a, b, c Chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm a, c trái dấu Phương trình có hai nghiệm phân biệt Phương trình có hai nghiệm phân biệt Tính x1 + x2 = Tính x1x2 = Tính Trả lời Tính Tính Phương trình có nghiệm kép Chứng minh >0 (hay ’> 0) Chứng minh = 0 (hay ’= 0) PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Quan sát phương trình : hệ số a, b, c; số mũ của ẩn, mẫu thức chứa ẩn Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c =0 (a 0) ̣ (1) Đặt ẩn phụ là t, với x2 = t ; Điều kiện t 0 Ta được phương trình at2 + bt + c =0 ̣ (2) Giải phương trình at2 + bt + c =0 ̣ (2) Phương trình (2) vô nghiệm Phương trình trùng phương (1) vô nghiệm Phương trình trùng phương (1) vô nghiệm Phương trình (2) có 2 nghiệm âm x = Phương trình (2) có 1 nghiệm dương x2 = t Phương trình trùng phương (1) có 2 nghiệm Phương trình trùng phương (1) có 4 nghiệm x = x2 = t1 Phương trình (2) có 2 nghiệm dương x = x2 = t2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức Phân tích các mẫu thức thành nhân tử (nếu cần) Tìm điều kiện xác định của phương trình Tìm các nhân tử là biểu thức chứa biến Tìm x để mỗi biểu thức chứa biến 0 Điều kiện xác định của phương trình là x .... và x... Đối chiếu các nghiệm tìm được với ĐKXĐ của phương trình Loại bỏ nghiệm không thỏa mãn ĐKXĐ Kết luận Quy đồng mẫu hai vế của phương trình Khử mẫu Giải phương trình vừa nhận được Đặt mỗi biểu thức chứa biến 0 Phương trình tích Phương trình có dạng A(x)B(x) = 0 ( A(x) hoặc B(x) là PT bậc hai một ẩn) Giải phương trình B(x) = 0 Giải phương trình A(x) = 0 Kết luận Phương trình chưa có dạng A(x)B(x) = 0 Chuyển tất cả các hạng tử của phương trình về 1vế (trái)(đổi dấu) (khi đó vế phải bằng 0) Phân tích biểu thức ở trái thành nhân tử Trả lời Thực hiện cách giải như trường hợp trên Phương trình có dạng A(x)B(x) = 0 Trả lời VD: Đặt t = x2 + x ; ....... Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ TÌM m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ 2 NGHIỆM, NGHIỆM KÉP, VÔ NGHIỆM Quan sát phương trình bậc hai, xác định các hệ số a, b, c Phương trình vô nghiệm= P(m)< 0 Tính = b2 – 4ac ( hay ’ = b’2 – ac với b’ = ) = P(m) ( biểu thức chứa m) Tìm giá trị của m để P(m) < 0 Trả lời PT có 2 nghiệm phân biệt= P(m) >0 Tìm giá trị của m để P(m) > 0 Trả lời PT có nghiệm kép= P(m) = 0 Tìm giá trị của m để P(m) = 0 Trả lời Một số trường hợp cơ bản cụ thể RÚT GỌN Áp dụng hằng đẳng thức Tổng - hiệu các căn thức Áp dụng HĐTđể rút gọn VD: = = = -1 (vì ) Thực hiện quy tắc khai phương một tích, nhân các căn bậc hai, hằng đẳng thức, đưa một thừa số ra ngoài dấu căn, cộng trừ các căn thức đồng dạng VD: () VD: = 60 ; VD: ( Nhận xét : phân tích 75, 48, 300 thành tích của số chính phương với một số : 75 = 25.3; 48 = 16.3 ; 300 = 100.3 ) VD: ; VD: = 5 Trong biểu thức có các phân thức Tìm điều kiện của biến để phân thức, căn thức bậc hai có nghĩa (nếu cần) Nhân chia các phân thức Phân tích các tử, mẫu thành nhân tử Thực hiện nhân chia các phân thức Thực hiện quy tắc khai phương một thương, chia hai căn bậc hai, HĐT VD: ; = 4 VD: (Đổi số thập phân thành phân số thập phân) VD: với a -1,5 ; b < 0 ; với a < b < 0 Phân tích thành nhân tử (nếu cần) VD: với a < 0; b 0 ; VD: (với x 0; y 0; xy) TỔNG HỢP NHỮNG BÀI TOÁN VỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC NGUYÊN ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC BIỂU THỨC SỐ: 1/ 5= 5= 5. = 5.4 = 20 2/ = = = (-4)(27) = -108 3/ ( vì >0) 4/ ( vì ( 42 < 17) ) 5/ ( vì ) 6/ = BIỂU THỨC CHỨA CHỮ: ( Chú ý : nếu đề bài cho điều kiện của x thì căn cứ vào điều kiện đã cho để rút gọn ) 1/ Nếu x 0 = 3x – 2x = x Nếu x <0 = -3x – 2x = -5x 2/ Nếu x 4 = x – 4 + x – 4 = 2x – 8 Nếu x < 4 = x – 4 – ( x – 4) = 0 TỔNG ( HIỆU ) CÁC CĂN THỨC BẬC HAI BIỂU THỨC SỐ 1/ = … = ( Nhận xét : phân tích 75, 48, 300 thành tích của số chính phương với một số : 75 = 25.3; 48 = 16.3 ; 300 = 100.3 để đưa một thừa số ra ngoài dấu căn) 2/ = = … = 0 Đưa một thừa số ra ngo