Sử dụng kỹ năng nhân liên hợp để giải phương trình vô tỷ

1 SỬ DỤNG KỸ NĂNG NHÂN LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Nguyễn Văn Cường GV THPT Mỹ Đức A - Hà Nội Email : cuongvan12@gmail.com Trong đề thi đại học khối B năm 2010 có câu giải phương trình vô tỷ,câu này gây nhiều khó khăn cho học sinh khi làm bài thi.Để giúp học sinh nắm vững cách làm dạng phương trình trên,bài viết này tôi xin trình bày kỹ năng biến đổi sử dụng biểu thức liên hợp trong giải phương trình vô tỷ . Hy vọng rằng sẽ giúp ích cho các em làm tốt các dạng bài trên . a b a b a b - ± = m (a,b>0, a¹ b); 3 3 3 32 23 a b a b a ab b ± ± = +m Ví dụ 1 Giải phương trình 23 1 6 3 14 8 0x x x x+ - - + - - = (1) ( Khối B-2010) Phân tích: Ta tìm một số x ( 1 6 3 x- £ £ ) sao cho 3x+1 và 6-x là một số chính phương thỏa mãn phương trình trên .Dễ thấy x=5 thỏa (*).Vì vậy ta đưa phương trình trên về dạng (x-5)f(x)=0,nhưng định lý Bơzu chỉ đúng đối với f(x) là đa thức ,vì vậy ta cần làm xuất nhân tử chung x-5 từ vế trái của phương trình bằng phương pháp liên hợp. Muốn vậy tìm hai số a , b > 0 sao cho hệ phương trình sau có nghiệm x=5. 3 1 0 4 6 0 1 x a a b x b ì ì+ - = =ï ïÞí í - - = =ï ïî î Lời giải: TXĐ 1 6 3 x- £ £ (1)Û 2 3 5 5 ( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0 ( 5)(3 1) 0 3 1 4 1 6 x x x x x x x x x x - - + - + - - + - - = Û + + - + = + + + - Û 5 0 5 1 1 (3 1) 0(*) 3 1 4 1 6 x x x x x - = Û =é ê ê + + + = ê + + + -ë Ta thấy phương trình (*) vô nghiệm với 1 6 3 x- £ £ .Vậy x=5 là nghiệm dụy nhất . Ví dụ 2:Giải phương trình : 22 1 3 1 0x x x- + - + = ( ĐHKD-06) (2) Phân tích: Tương tự như trên ,ta thấy x=1 là một nghiệm của phương trình . Lời giải: Đk 1 2 x ³ .Viết lại phương trình như sau : ( )2 2( 1) 2( 2 1 1) 3 2 0 ( 1)( 2) 0 1 2 0 2 1 1 2 1 1 1 2 2 0(*) 2 1 1 x x x x x x x x x x x x x - æ ö- - + - + = Û + - - = Û - + - =ç ÷- + - +è ø =é êÛ ê + - = ê - +ë Đặt t= 2 1 0x - ³ , (*) 2 2 1 0 2 1 2 2t t t xÛ + - = Û = - Þ = - - . Vậy nghiệm của phương trình là x=1, 2 2x = - 2 Cách 2:Biến đổi 22 1 (2 1) 0x x x x- + - - - = ,Đặt t = 2 1 0x - ³ ta có x2- t2 = x-t Cách 3: biến đổi tương đương Ví dụ 3 Giải phương trình : ( )3 2 2 2 6x x x+ - = + + (3) (HVKTQS 2000) Phân tích : Nhận thấy x=3 là một nghiệm của nghiệm của phương trình .Ta sẽ đưa (2) về dạng (x-3)f(x)=0 như sau Lời giải: Viết lại phương trình (2): 2(x-3) + 8( 3) ( 6 3 2) 0 2( 3) 0 6 3 2 x x x x x x - + - - = Û - - = + + - 33 0 3 8 11 3 52 0 6 3 2 4 6 3 2 2 xx x x x x x x =- = éé =é êêÛ Û Ûê -êê - = + + - = =ë êê + + -ë ë Ví dụ 4 :Giải phưng trình 2 2 1 2 1 x x x x x - + = + (4) Phân tích: Ta thấy phương trình có nghiệm x= 1 2 ,ta phân tích như sau Lời giải: Đk 0 1x< £ ,(3) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 1 1 2 0x x x x x x x x x x xÛ + - = + Û - - + - - = ( ) ( ) 2 3 2 21 2 1 4 2 1 0 1 2 0 1 1 2 1 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x - æ ö- - + + Û + = Û - + =ç ÷ - + - + - + - +è ø 2 22 1 0(*) 1 1 2 1 2 x x x x x x x x x é + + + =ê - + - +êÛ ê =êë Nhận thấy (*) vô nghiệm với 0 1x< £ .Vậy 1 2 x = là nghiệm dụy nhất . Ví dụ 5:Giải phương trình : ( )9 4 1 3 2 3x x x+ - - = + (5) (HSG k12 Hà Nội -2010) Lời giải: Đk 2 3 x ³ ,Nhận thấy x=6 là một nghiệm của phương trình ,ta phân tích như sau (5) ( ) ( ) 36( 6) 27( 6)9 4 1 5 4 3 2 6 6 4 1 5 4 3 2 x x x x x x x x - -é ùé ùÛ + - + - - = - Û - = -ê úë û + + + -ë û 6 36 27 ( 6) 1 0 36 27 1 0(*)4 1 5 4 3 2 4 1 5 4 3 2 x x x x x x =é é ù êÛ - - - = Ûê ú ê - - =+ + + -ë û ê + + + -ë Rễ thấy phương trình (*) vô nghiệm. Cách khác : 3 (5) 9 3 9 4 1 3 2 4 1 3 2 x x x x x x +æ öÛ = + Û = + + -ç ÷+ + -è ø Bình phương hai vế ta cũng thu được x=6 Ví dụ 6 Giải phương trình : 2 212 5 3 5x x x+ + = + + (6) 3 Phan tích: Để phương trình có nghiệm thì : 2 2 512 5 3 5 0 3 x x x x+ - + = - > Û > Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình . Lời giải: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 (6) 12 4 3 6 5 3 3 2 12 4 5 3 2 2 2 3 0 2 12 4 5 3 x x x x x x x x x x x x x x - - Û + - = - + + - Û = - + + + + + æ ö+ + Û - - - = Û =ç ÷ + + + +è ø (Dễ dàng chứng minh được : 2 2 2 2 5 3 0, 312 4 5 3 x x x x x + + - - + + + + ) Ví dụ 7. Giải phương trình : 2 33 1 1x x x- + = - (7) Lời giải : Đk 3 2x ³ Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình ( ) ( ) ( )( )22 33 2 32 233 3 3 93 1 2 3 2 5 3 1 2 51 2 1 4 x x xx x x x x xx x é ù - + ++ê ú- - + - = - - Û - + =ê ú - +- + - +ê úë û Ta chứng minh : ( ) ( )22 3 32 2 23 3 3 1 1 2 1 2 1 4 1 1 3 x x x x x + + + = + < - + - + - + + 2 3 3 9 2 5 x x x + + < - + Vậy pt có nghiệm dụy nhất x=3 Ví dụ 8 Giải phương trình 22 4 2 5 1x x x x- + - = - - (8) (THTT) Lời giải: Đk: 2 4x£ £ (7) 2 3 3 ( 2 1) ( 4 1) 2 5 3 ( 3)(2 1) 2 1 4 1 x x x x x x x x x x - - Û - - + - - = - - Û - = - + - + - + 3 1 1 2 1(*) 2 1 4 1 x x x x =é êÛ ê - = + ê - + - +ë Nhận xét 1 1 2 1x £ - + ; 1 1 1 1 2 1 2 2 4 1 2 1 2 1 4 1x x x ³ = - Þ - £ - - + + - + - + Lại có 2x+1 5³ với mọi x thỏa 2 4x£ £ .Vậy (*) vô nghiệm .(7) có nghiệm x=3. Ví dụ 9 Giải phương trình 3 32 23 32 1 2 2 1x x x x+ + + = + + (9) Phân tích : VP 1 1 1VT x³ Þ ³ Þ ³ - .Nhận thấy nếu 2x2 = x+1 thì hai vế của pt bằng nhau gợi cho ta nghĩ đến việc phân tích ra thừa số chung là 2x2 -x – 1 Lời giải: (8) 3 32 23 3( 2 1 2) ( 2 1) 0x x x xÛ + - + + - + = 2 2 32 2 2 2 4 2 23 3 3 3 3 2 1 2 1 (2 1) (2 1)( 2) ( 2) 4 2 ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x x x - - - - Û + + + + + + + + + + + =0 4 2 32 2 2 2 4 2 23 3 3 3 3 2 1 0 1 1 0(*) (2 1) (2 1)( 2) ( 2) 4 2 ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x é - - = êÛ ê + = ê + + + + + + + + + +ë 1 1; 2 (*) x x vn é = - = -êÛ ê ë (Chú ý có thể dùng phương pháp hàm số) Ví dụ 10 Giải phương trình : 3 24 12 6x x+ + - = (10) Lời giải: Đk: 12x £ (10) 3 23 3 3 3 ( 24 3) ( 12 3) 0 0 12 3( 24) 3 ( 24) 9 x x x x xx x - - Û + - + - - = Û + = - ++ + + + 23 3 3 12 ( 24) 3 ( 24) 6 0(*) x x x x =é Û ê - - + - + - =êë Thay 36 24 12x x= + + - vào (*) ta có 23 3( 24) 4 ( 24) 0 24; 88x x x x+ + + = Û = - = - Thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn (9). Vậy nghiệm của (9) :x=2;x=-24;x=-88. Nhận xét: Một số phương trình vô tỷ được giải nhờ vào sự quan sát tinh tế, lựa chọn hợp lý biểu thức liên hợp trong mỗi phương trình.Ta xét Ví dụ sau Ví dụ 11 Giải phương trình ( )( )1 1 1 2 5x x x x+ + + + - = (11) Lời giải: Đk x 1³ - . Nhận xét rằng x=0 không là nghiệm của phương trình ,nhân cả hai vế của phương trình trên với 1 1 0x+ - ¹ ta có ( ) ( )1 2 5 1 1 1 2 5 1 1 2x x x x x x x x x+ + - = + - Û + + - = + - Û = Nhận xét: Qua lời giải trên cho thấy vai trò và tầm quan trọng của việc sử dụng biểu thức liên hợp .Bạn hãy giải theo hướng khác để thấy được tầm quan trọng của phương pháp này . Ví dụ 12 Giải phương trình : 2 22 3 5 2 3 5 3x x x x x+ + + - + = (12) Lời giải: Từ vế trái của phương trình dương,suy ra phương trình có nghiệm khi x >0 Nhân cả hai vế của phương trình với 2 22 3 5 2 3 5 0x x x x+ + - - + ¹ (12)Û ( )2 2 2 26 3 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2x x x x x x x x x x= + + - - + Û + + - - + = (*) Lấy (*) cộng với (12) theo vế ta có 22 2 3 5 2 3 4x x x x+ + = + Û = Thử lại ta thấy x=4 là nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ 13 Giải phương trình 2 3 2 6x x x- - = - Lời giải:Đk 3 2 x ³ ,pt tương đương ( 2 3 )( 2 3 ) 2( 3) 2 3 x x x x x x x - - - + = - - + 3 1 2( 3) ( 3) 2 0 2 3 2 3 x x x x x x x - é ùÛ = - Û - - =ê ú- + - +ë û , 1 2 2 3x x - - + >0 Ví dụ 14: Giải phương trình 2 9 20 2 3 10x x x+ + = + Lời Giải: ĐK 10 3 x ³ - ,pt ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 3 10 1 3 10 1 3 6 3 10 1 x x x x x + - + + Û + + = Û + + 5 ( )( ) ( ) ( ) ( ) 6( 3) 6 3 6 3 ( 6) 0 3 10 1 3 10 1 x x x x x x x é ù+ ê ú+ + = Û + + - = ê ú+ + + +ë û Û ( ) 6 ( 6) 3 10 1 x x + - + + = 0(*) Hoặc x=-3.Mặt khác x>-3 và 10 3 3 x- £ £ - phương trình (*) vô nghiệm Ví dụ 15 Giải phương trình 2 32 11 21 3 4 4x x x- + = - Lời giải: pt tương đương ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 233 3 2 23 33 3 3 4 4 2 4 4 2 4 4 4 12( 3) ( 3)(2 5) ( 3)(2 5) 4 4 2 4 4 4 4 4 2 4 4 4 x x x x x x x x x x x x - - - + - + - - - = Û - - = - + - + - + - + x=3 hoặc ( )32 12 2 5 0, 4 4 2 4 x t x t t - - = = - + + .x>3 ,2x-5>1 , 2 12 2 4t t+ + <1,cmtt x<3 ptvn Ví dụ 16: Giải phương trình 2 6 4 2 4 2 2 4 x x x x - + - - = + Lời giải : Đk x Î [ ]2;2- , Phương trình tương đương 2 2(3 2) 2(3 2) 2 4 2 2 4 x x x x x - - = + + - + x=3 hoặc 2 4 2 2x x+ + - = 2 4x + ( )( ) ( ) ( )4 2 2 2 2 4 0x x x xÛ + - + - + = ( )( )2 4 2(2 ) 4 2 0 2x x x x xÛ - + + + - = Û = Ví dụ 17 GPT: x-1+ 21 2 2x x x+ + - = + (1) +) ĐK: xÎ[-1;2] 2(1) ( ) ( 2 2 ) (1 1) 0 ( 1) 0 2 2 1 1 0 1 1 1 0(2) 2 2 1 1 x x PT x x x x x x x x x x x x Û - + - - + - + = Û - + - = + - + + =é êÛ ê - + - = ê + - + +ë +) Giải (2): 1 1 ( 1 2) (1 2 ) 1 2 1 2(2) ( 1) 0 ( 1) 0 ( 2 2 )(1 1) ( 2 2 )(1 1) 1 1 1 2 1 2( 1)[1 ] 0 1.Vay PT(1) có 2 nghiem x=0, x=1. ( 2 2 )(1 1) x x x x x xPT x x x x x x x xx x x x - -+ + - + - - + + + -Û - + = Û - + = + - + + + - + + + + + + -Û - + = Û = + - + + Ví dụ 18:Tìm a để bất phương tình sau có nghiệm ( )33 23 1 1x x a x x+ - = - - (13) Lời giải: Đk 1x ³ ;(13) ( ) ( )( ) 3 2 3 3 2 3 3 1 3 1 1 1 x x a x x x x a x x + - Û = Û + - + - = - - Xét hàm số g(x) = 3 23 1x x+ - >0 , đồng biến trên [ )1;+¥ h(x) = ( )31x x+ - >0, đồng biến trên [ )1;+¥ suy ra hàm f(x) = ( )( )33 23 1 1x x x x+ - + - đồng biến trên [ )1;+¥ nên f(x) (1) 3f³ = .Vậy a 3³ thì phương trình có nghiệm .