Sử dụng maple trong học tập, nghiên cứu và giảng dạy toán

Page 1 sö dông maple trong häc tËp, nghiªn cøu vµ gi¶ng d¹y to¸n NguyÔn Ch¸nh Tó Khoa To¸n, §HSP HuÕ Ch­¬ng 1. Giíi thiÖu vÒ phÇn mÒm Maple Maple lµ mét hÖ thèng tÝnh to¸n trªn c¸c biÓu thøc ®¹i sè vµ minh häa to¸n häc m¹nh mÏ cña c«ng ty Warterloo Maple Inc. ( ), ra ®êi kho¶ng n¨m 1991, ®Õn nay ®· ph¸t triÓn ®Õn phiªn b¶n 10. Maple cã c¸ch cµi ®Æt ®¬n gi¶n, ch¹y trªn tÊt c¶ c¸c hÖ ®iÒu hµnh, cã cÊu tróc linh ho¹t ®Ó sö dông tèi ­u cÊu h×nh m¸y vµ ®Æc biÖt cã tr×nh trî gióp ( Help) rÊt dÔ sö dông. Tõ phiªn b¶n 7, Maple cung cÊp ngµy cµng nhiÒu c¸c c«ng cô trùc quan, c¸c gãi lÖnh tù häc g¾n liÒn víi to¸n phæ th«ng vµ ®¹i häc. ¦u ®iÓm ®ã lµm cho nhiÒu n­íc trªn thÕ giíi lùa chän sö dông Maple cïng c¸c phÇn mÒm to¸n häc kh¸c trong d¹y häc to¸n tr­íc ®ßi hái cña thùc tiÔn vµ sù ph¸t triÓ n cña gi¸o dôc. 1.1. C¸c tÝnh n¨ng c¬ b¶n cña Maple. Cã thÓ nªu v¾n t¾t c¸c chøc n¨ng c¬ b¶n cña Maple nh­ sau:  lµ mét hÖ thèng tÝnh to¸n trªn c¸c biÓu thøc ®¹i sè;  cã thÓ thùc hiÖc ®­îc hÇu hÕt c¸c phÐp to¸n c¬ b¶n trong ch­¬ng tr×nh to¸n ®¹i häc vµ phæ th«ng;  cung cÊp c¸c c«ng cô minh häa h×nh häc thuËn tiÖn gåm: vÏ ®å thÞ tÜnh vµ ®éng cña c¸c ®­êng vµ mÆt ®­îc cho bëi c¸c hµm tïy ý trong nhiÒu hÖ täa ®é kh¸c nhau;  mét ng«n ng÷ lËp tr×nh ®¬n gi¶n vµ m¹nh mÏ cã kh¶ n¨ng t­¬ng t¸c víi c¸c ng«n ng÷ lËp tr×nh kh¸c;  cho phÐp trÝch xuÊt ra c¸c ®Þnh d¹ng kh¸c nhau nh­ LaTex, Word, HTML,...  Mét c«ng cô biªn so¹n gi¸o ¸n vµ bµi gi¶ng ®iÖn tö, thÝch hîp víi c¸c líp häc t­¬ng t¸c trùc tiÕp;  mét trî gi¸o h÷u Ých cho häc sinh vµ sinh viªn trong v iÖc tù häc; 1.2. CÊu tróc vµ giao diÖn. CÊu tróc tµi nguyªn cña Maple  Khi khëi ®éng Maple, ch­¬ng tr×nh chØ tù ®éng kÝch ho¹t nh©n cña Maple bao gåm c¸c phÐp to¸n vµ chøc n¨ng c¬ b¶n nhÊt. PhÇn nh©n chiÕm kho¶ng 10% dung l­îng cña toµn ch­¬ng tr×nh.  C¸c d÷ liÖu vµ ch­¬ng tr×nh cßn l¹i cña Maple ®­îc l­u gi÷ trong th­ viÖn Maple vµ ®­îc chia ra 2 nhãm: nhãm c¸c lÖnh c¬ b¶n vµ nhãm c¸c gãi lÖnh. Maple 9.0 cã kho¶ng 85 gãi lÖnh. Gãi lÖnh cã thÓ n¹p vµo b»ng: > with(plots): LÖnh cña Maple Page 2  LÖnh ®­îc gâ vµo trang lµm viÖc (worksheet) t¹i dÊu nh¾c lÖnh ">" vµ theo ngÇm ®Þnh ®­îc hiÓn thÞ b»ng font Courier mµu ®á. Mét lÖnh ®ùîc kÕt thóc bëi dÊu " :" hoÆc dÊu ";" vµ ®­îc ra lÖnh thùc hiÖn b»ng viÖc nhÊn Enter khi con trá ®ang ë trªn dßng lÖnh. > factor(2*x^102+x^100-2*x^3-x+60*x^2+30): >  KÕt qu¶ cña lÖnh ®­îc hiÓn thÞ ngay bªn d­íi dßng lÖnh nÕu dïng dÊu " ;". Cã thÓ dÔ dµng dïng chuét vµ bµn phÝm ®Ó thùc hiÖn c¸c chøc n¨ng b«i ®en, copy, paste, cut, delete...®èi víi d÷ liÖu trªn dßng lÖnh hay kÕt qu¶ thùc hiÖn. Sö dông dÞch vô trî gióp (Help) trong Maple Maple cã dÞch vô trî gióp kh¸ ®Çy ®ñ vµ thuËn lîi bao gåm có ph¸p, gi¶i thÝch c¸ch dïng vµ c¸c vÝ dô ®i kÌm. §Ó nhËn ®­îc trî gióp, cã thÓ:  NÕu ®· biÕt tªn lÖnh th× tõ dÊu nh¾c gâ vµo > ?factor  NÕu dïng mét gãi lÖnh th× khi n¹p gãi lÖnh, Maple sÏ hiÓn thÞ toµn bé lÖnh trong gãi ®ã.  Mét c¸ch th«ng dông n÷a lµ dïng tr×nh Help|Topic Search råi gâ vµo tõ khãa cÇn t×m. 1.3. L­u gi÷ vµ trÝch xuÊt d÷ liÖu.  Trang lµm viÖc cña Maple sÏ ®­îc l­u gi÷ b»ng file cã ®u«i ".mws". File ®­îc l­u gi÷ b»ng tr×nh File|Save. Mét file ®· cã ®­îc më b»ng File|Open.  Ngoµi viÖc l­u gi÷ b»ng ®Þnh d¹ng cña Maple nh­ trªn, d÷ liÖu cã thÓ ®­îc trÝch xuÊt thµnh c¸c ®Þnh d¹ng kh¸c nh­ Word, LaTex hay HTML. Tr Ých xuÊt b»ng File|Export. 1.4. C¸c m«i tr­êng lµm viÖc trong Maple Maple cã 2 m«i tr­êng lµm viÖc lµ to¸n vµ v¨n b¶n. Sau khi khëi ®éng, Maple tù ®éng bËt m«i tr­êng to¸n. Muèn chuyÓn sang m«i tr­êng v¨n b¶n, kÝch chuét vµo biÓu t­îng T trªn thanh c«ng cô hay vµo tr×nh Insert->Text. Ng­îc l¹i, tõ m«i tr­êng v¨n b¶n, kÝch chuét vµo dÊu "[>" trªn thanh c«ng cô hay vµo Insert ®Ó chuyÓn sang m«i tr­êng to¸n. > ifactor(58600); ( )2 3 ( )5 2 ( )293 > Ch­¬ng 2. S¬ l­îc vÒ c¸c tÝnh to¸n sè häc, ®¹i s è vµ gi¶i tÝch trong Maple 2.1 C¸c dÊu phÐp to¸n, hµm vµ h»ng sè c¬ b¶n C¸c phÐp to¸n vµ dÊu phÐp to¸n Có ph¸p Gi¶i thÝch VÝ dô ! giai thõa 100! ^ lòy thõa a^5 + céng a+b - trõ hoÆc sè ©m x -y * nh©n 2*x / chia 120/5 < nhá h¬n a<100 > lín h¬n b>100 >= lín h¬n hoÆc b»ng x>=1/2 <= nhá h¬n hoÆc b»ng x<=1/2 Page 3 = b»ng a=b := phÐp g¸n x:=2/3 C¸c hµm th«ng dông Có ph¸p Gi¶i thÝch VÝ dô sin, cos, tan c¸c hµm l­îng gi¸c sin(x) arcsin, arccos, arctan c¸c hµm LG ng­îc arcsin(x) abs hµm trÞ tuyÖt ®èi abs(x) exp hµm mò c¬ sè e exp(x) hay E^x log hay ln hµm logarit c¬ sè e log(x) hay ln(x) log[10] hµm logarit c¬ sè 10 log[10](x) sqrt khai c¨n bËc 2 sqrt(3) C¸c h»ng sè th«ng dông Có ph¸p H»ng sè Pi  exp(1) e infinity  > 2.1. C¸c tÝnh to¸n sè häc a) Maple cã thÓ lµm viÖc nh­ mét m¸y tÝnh bá tói hiÖn ®¹i > 5*3; > 120/7+2^100; Kh¶ n¨ng tÝnh to¸n sè häc cña Maple lµ rÊt lín, cã thÓ lµm viÖc víi nh÷ng sè cã ®Õn 228 = 268435456 ch÷ sè. > 300!; 30605751221644063603537046129726862938858880417357699941677674125947\ 65331767168674655152914224775733499391478887017263688642639077590\ 03154226842927906974559841225476930271954604008012215776252176854\ 25596535690350678872526432189626429936520457644883038890975394348\ 96254360532259807765212708224376394491201286786753683057122936819\ 43649956460498166450227716500185176546469340112226034729724066333\ 25858350687015016979416885035375213755491028912640715715483028228\ 49379526365801452352331569364822334367992545940952768206080622328\ 12387383880817049600000000000000000000000000000000000000000000000\ 000000000000000000000000000 > length(%); 615 Ta thÊy sè 300.000! cã 1.512.852 ch÷ sè, kho¶ng 20 ngµn dßng trªn mµn h×nh. > ifactor(1512852); Page 4 ( )2 2 ( )3 ( )11 ( )73 ( )157 > FermatPrime:=2^(2^n)+1; :=FermatPrime 2( )2n 1 > [seq(FermatPrime,n=1..6)]; [ ], , , , ,5 17 257 65537 4294967297 18446744073709551617 > map(ifactor,%); [ ], , , , ,( )5 ( )17 ( )257 ( )65537 ( )641 ( )6700417 ( )67280421310721 ( )274177 b) C¸c hµm trªn sè nguyªn > isprime(1388990297): > nextprime(123456789): > prevprime(123456789): > ilcm(786,120): > igcd(786,120): > irem(786,120): > iquo(786,120): > Ngoµi ra cßn cã c¸c lÖnh sau: max, min T×m sè lín nhÊt vµ nhá nhÊt trong tËp c¸c sè cho tr­íc. iroot T×m nghiÖm nguyªn xÊp xØ c¨n bËc n cña 1 sè nguyªn. isqrt T×m nghiÖm nguyªn xÊp xØ c¨n bËc 2 cña 1 sè nguyªn. mod C¸c phÐp to¸n trªn hÖ thÆng d­ modulo. rsolve Gi¶i ph­¬ng tr×nh hµm nhê c¸c c«ng thøc truy håi. convert ChuyÓn ®æi sè nguyªn sang c¸c hÖ c¬ sè kh¸c nhau. c) TÝnh to¸n chÝnh x¸c vµ gÇn ®óng  Khi lµm viÖc víi sè h÷u tû hoÆc c¨n thøc, Maple cã kh¶ n¨ng tÝnh to¸n víi kÕt qu¶ chÝnh x¸c. §iÒu nµy hÕt søc quan träng khi cÇn c¸c tÝnh to¸n nhiÒu b­íc. > A:=7/3+6^10/7; > 3^(2/5); > Pi;  Tuy nhiªn, khi cÇn Maple còng cã thÓ tÝnh gÇn ®óng víi ®é chÝnh x¸c tïy ý. > evalf(10/3); > B:=7.0/3+6^10/7; > evalf(3^(2/5),20); > evalf(Pi,100);  Maple lµm viÖc thuËn lîi trªn c¸c sè phøc: > (2+2*I)/(1-3*I); > sqrt(1+I); > evalf(%); d) TÝnh tæng, tÝch h÷u h¹n vµ v« h¹n 3.1. TÝnh tæng h÷u h¹n. Page 5 VÝ dô: TÝnh tæng  i 1 100 1 i 1 i4 . Ta cã thÓ hoÆc lµ dïng 2 lÖnh' > Sum((1+i)/(1+i^4),i=1..20); > value(%); HoÆc tÝnh trùc tiÕp: > sum((1+i)/(1+i^4),i=1..20); 3.2. TÝnh tæng v« h¹n. VÝ dô: TÝnh tæng  k 1  1 k2 . T­¬ng tù nh­ trªn, ta cã thÓ dïng > Sum(1/k^2,k=1..infinity); > value(%); HoÆc > sum(1/k^2,k=1..infinity); > Hoµn toµn t­¬ng tù víi tÝnh tæng, ta cã thÓ tÝnh c¸c tÝch h÷u h¹n vµ v« h¹n víi Maple. C¸ch lµm nh­ trªn víi viÖc thay lÖnh Sum hay sum bëi Product hay product. 2.3. C¸c tÝnh to¸n ®¹i sè 2.3.1. C¸c tÝnh to¸n trªn biÓu thøc ®¹i sè G¸n tªn cho biÓu thøc vµ trÞ cho biÕn Dïng phÐp ":=" ®Ó g¸n tªn vµ lÖnh "subs" ®Ó g¸n trÞ cho biÕn. > A:=a*x^2+b*x+c: > A1:=subs(a=1,b=2,c=I,A): BiÕn ®æi biÓu thøc ®¹i sè LÖnh khai triÓn víi expand > B:=(x+1)*(x-2)+3*x+2; > expand(A); > expand(sin(x+y)); > L:=exp(a+ln(b)); > expand(%); LÖnh ®¬n gi¶n biÓu thøc víi simplify > C:=cos(x)^5+sin(x)^4+2*cos(x)^2 -2*sin(x)^2-cos(2*x); > simplify(C); > simplify(sin(x)^2+ln(3*x)+cos(x)^2); > simplify(sin(x)^2+ln(3*x)+cos(x)^2,'trig'); > simplify(sin(x)^2+ln(3*x)+cos(x)^2,'ln'); L­u ý: LÖnh simplify lµ mét lÖnh rÊt "m¬ hå" do kh«ng cã mét tiªu chuÈn râ rµng cho sù ®¬n gi¶n hãa. NhiÒu khi ­u tiªn cña Maple trong viÖc ®¬n gi¶n mét bi Óu thøc kh«ng gièng nh­ kú väng cña ng­êi dïng. H¬n thÕ nã cÇn rÊt nhiÒu bé nhí ®Ó simplify. Trong ®a sè tr­êng hîp, lÖnh expand lµ mét lÖnh ®¬n gi¶n tèt h¬n. > ?seq Ng­îc l¹i víi expand lµ lÖnh factor vµ combine Page 6 > expand((x-2)*(x+3)); > factor(%); > expand(e^(2*x+y)+sin(2*x)); > combine(%); LÖnh chuÈn hãa víi normal, ®Æc biÖt dïng ®Ó ®¬n gi¶n c¸c ph©n thøc vÒ d¹ng chuÈn t¾c > PT:=(x^2-y^2)/(x^3+y^3+3*x^2*y+3*x*y^2); > normal(PT); > factor(PT); LÖnh convert cho phÐp chuyÓn c¸c biÓu thøc vÒ c¸c d¹ ng biÓu diÔn kh¸c nhau > convert(sin(x),exp); > M:=Matrix([[a,b],[x,y]]); > convert(M,'listlist'); > convert(M,set); > convert(%,list); LÖnh map cho phÐp g¸n lÖnh ®ång thêi cho nhiÒu biÕn trong b¶ng hay tËp. > bang:=[Pi/3,0,-Pi/2]; > map(sin,bang); > f:=x->x^2+x-1; > map(f,{-1,0,1}); > map(f,[-1,0,1]); chó ý sù kh¸c nhau cña hai kÕt qu¶ trªn. TÝnh to¸n trªn ®a thøc C¸c lÖnh th«ng dông LÖnh s¾p xÕp ®a thøc víi sort vµ collect > f:=x^2+1+3*x+4*x^4-3*x^5; > sort(f,x); > g:=y^3+x^2*y^2+a*x^3; > sort(g); > sort(g,[x,y]); > sort(g,[y,x]); > sort(g,[y,x],plex); > h:=x*y+x*y*z-3*y*z^2+x+z*x+y^3+x^4; > collect(h,x); > collect(h,y); > collect(h,z); X¸c ®Þnh hÖ sè vµ bËc víi lÖnh coeff vµ degree > h:=t^4-4*x^3*y*z+y^3-3*y*z^2+x*y+x*z+x; > sort(h); > degree(h); Page 7 > degree(h,y); > ldegree(h); > ldegree(h,x); > coeff(h,z); > coeff(h,z,2); > coeffs(h); > lcoeff(h,t); C¸c lÖnh cho phÐp chia ®a thøc víi rem, quo vµ divide > r:=rem(x^4+2*x^2+x-1,x^2+2*x+3,x); > r:=quo(x^4+2*x^2+x-1,x^2+2*x+3,x); > divide(x^4+2*x^2+x-1,x^2+2*x+3); > divide(x^2-y^2,x-y); > ?gcdex Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö víi lÖnh factor > LÖnh factor ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö trªn tr­êng sinh ra bëi tr­êng sè h÷u tû vµ c¸c hÖ sè cña ®a thøc. > factor(x^3+3); > factor(x^3+3,3^(1/3)); > factor(x^3+3,{(-3)^(1/2),3^(1/3)}); Tham sè cña lÖnh factor cã thÓ lµ real hay complex nÕu nh­ muèn ph©n tÝch thµnh nh©n tö trªn tr­êng sè thùc hay phøc. Chó ý r»ng khi ®ã kÕt qu¶ cho hÖ sè lµ c¸c sè gÇn ®óng. > factor(x^3+3.0); > factor(x^3+3,real); > factor(x^3+3,complex); Gi¶i ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh Víi lÖnh solve vµ fsolve > restart; > equs:={x+2*y-8,x^2-2*x-3}; > equ:=x^3+x^2-x; > sol1:=solve(equ); > sol:=solve(equ,{x}); Cã thÓ kiÓm tra l¹i kÕt qu¶ b»ng lÖnh eval: > sol[1];sol[2];sol[3]; > expand(subs(x=sol1[2],equ)); > expand(eval(equ,x=sol1[2])); > seq(expand(eval(equ,sol[i])),i=1..3); H·y thùc hiÖn viÖc thö l¹i víi sol1 trªn. KQ: Muèn thö l¹i víi sol1, cÇn dïng > eval(equ,x=sol1[1]); Cã thÓ trÝch xuÊt c¸c nghiÖm thµnh bé theo thø tù ®Þnh tr­íc víi c¸c nghiÖm nhiÒu thµnh phÇn. > equs; Page 8 > sols:=solve(equs,{x,y}); > x1:=eval(x,sols[2]); > seq(eval(x,sols[i]),i=1..2); Còng cã thÓ trÝch xuÊt c¸c nghiÖm thµnh bé theo thø tù ®Þnh tr­íc. > eval([x,y],sol1[2]); > eval([y,x],sol1[2]); C¸ch kh¸c ®Ó kiÓm tra nghiÖm lµ dïng lÖnh map: > map(subs,[sol[1],sol[2]],equ); Chó ý r»ng lÖnh map kh«ng thÓ t¸c ®éng trªn d÷ liÖu cã ®Þnh d¹ng tËp hîp: > map(subs,sol,equ); > map(subs,[sol],equ); H·y thö dïng lÖnh map víi nghiÖm cña equ cho trªn. LÖnh solve cã thÓ cho biÕt tÊt c¶ c¸c nghiÖm chÝnh x¸c cña ®a thøc 1 biÕn cã bËc kh«ng qu¸ 4, tøc lµ nghiÖm biÓu diÔn b»ng c¨n thøc. > solve(x^3+2*x+8); Tuy nhiªn, víi ph­¬ng tr×nh bËc 4, do nghiÖm b»ng c¨n thøc qu¸ phøc t¹ p vµ kh«ng cã tÝnh øng dông cao, Maple ngÇm ®Þnh ®­a ra nghiÖm d­íi d¹ng RootOf. Tuy nhiªn ta cã thÓ nhËn ®­îc nghiÖm chÝnh x¸c b»ng c¸ch chän _EnvExplicit:=true. > solve(x^4+x^3-9); > evalf(%); > _EnvExplicit:=true: > solve(x^4+x^3-9): Víi c¸c ®a thøc 1 biÕn cã bËc cao h¬n 5, lÖnh solve cho nghiÖm RootOf vµ cã thÓ nhËn ®­îc nghiÖm xÊp xØ b»ng evalf. > solve(x^7+x^5+x^2+x+1); > evalf(%,20); LÖnh solve ®Ó gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh siªu viÖt hoÆc chøa c¨n thøc. > solve(2*cos(x)^10-x+1,{x}); > evalf(%); > solve(ln(x)+x+1,x); > evalf(%); Khi gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh phøc t¹p, Maple th­êng chØ cho ta 1 nghiÖm. CÇn dïng c¸c ®¸nh gi¸ kh¸c ®Ó cã thÓ t×m ra c¸c nghiÖm kh¸c, hoÆc cã thÓ dïng lÖnh fsolve. §©y lµ lÖnh t×m nghiÖm xÊp xØ, vµ cã thÓ t×m nghiÖm víi c¸c ®i Òu kiÖn h¹n chÕ. > f:=3*2^x+2*3^x-5^x-1; > sol:=solve(f,x); > fsolve(f); > evalf(sol); > fsolve({f=0},{x},-4..0); LÖnh solve cã thÓ dïng ®Ó gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh vµ bÊt ph­¬ng tr×nh. Page 9 > pts:={x+y+2*t-1,3*x+2*y+3-t,x+y-t}; > solve(pts,{x,y,t}); > solve(x^2+3*x+1>0,x); > pts1:={x+y+2*t-1,3*x+2*y+3-t,x+y-t>0}; > solve(pts1,{x,y,t}); H¹n chÕ cña lÖnh solve  Kh«ng thÓ t×m nghiÖm 1 c¸ch triÖt ®Ó, nhÊt lµ víi c¸c hµm siªu viÖt hoÆc phøc t¹p. CÇn sö dông kÕt hîp víi ®å thÞ vµ c¸c ph­¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ kh¸c ®Ó t×m hÕt tÊt c¶ c¸c nghiÖm.  CÇn lu«n lu«n kiÓm tra l¹i nghiÖm b»ng c¸ch dïng lÖnh eval. > equ:=(x-2)^2/(x^2-4); > sol:=solve(equ,{x}); > eval(equ,sol); C¸c lÖnh t×m nghiÖm kh¸c LÖnh isolve ®Ó t×m nghiÖm nguyªn > isolve(2*x+3*y); > isolve(2*x-3); LÖng msolve ®Ó t×m nghiÖm nguyªn modulo p > msolve({2*x-7*y+1,3*x-7*y-5},9); So s¸nh víi: > solve({2*x-7*y+1,3*x-7*y-5}); > msolve(2^n=3,11); > solve(2^n=3); LÖnh rsolve ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n truy håi > restart; > rsolve({f(n)=f(n-1)+f(n-2),f(0)=1,f(1)=1},{f(n)}); §éc gi¶ quan t©m cã thÓ t×m hiÓu thªm c¸c lÖnh n©ng cao vÒ vÊn ®Ò nµy trong gãi lÖnh LREtools. LÖnh dsolve ®Ó gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh vi ph©n (xem phÇn tÝnh to¸n cña Maple víi gi¶i tÝch) > ?polytools 2.3.2. §¹i sè tuyÕn tÝnh víi c¸c gãi lÖnh linalg vµ LinearAlgebra Tõ version 7 trë ®i, Maple cung cÊp thªm 1 gãi lÖnh LinearAlgebra bªn c¹nh gãi lÖnh linalg ®· cã tr­íc ®©y. HÇu nh­ tÊt c¶ c¸c chøc n¨ng trong linalg ®Òu ®­îc tÝch hîp l¹i trong LinearAlgebra víi có ph¸p t­¬ng tù, céng thªm mét sè chøc n¨ng míi. Ma trËn vµ c¸c phÐp to¸n c¬ b¶n T¹o vÐc t¬, ma trËn víi c¸c lÖnh vector/Vector, matrix/Matrix vµ array/Array > restart; > u:=vector([a,b]); > U1:=Vector([a,b]); > U2:=Vector[row]([a,b]); > A0:=matrix([[a[11],a[12],a[13]], [a[21],a[22],a [23]]]) ; > B0:=Matrix([[b[11],b[12],b[13]],[b[21],b[22],b[23]]]) ; > A0[1,2];B0[1,2]; > a[11]:=0;b[11]:=0; > A0;B0; > evalm(A0); > A0[1,1]:=0; Page 10 > A:=matrix(3,2,[2,1,2,-2,a,b]); > A1:=matrix([[2,1],[2,-2],[a,b]]); > B:=Matrix([[2,1],[2,-2],[a,b]]); > B1:=|>; > whattype(A);whattype(B); > LinearAlgebra[Equal](B,B1); > linalg[equal](A,B1); Ma trËn còng cã thÓ t¹o nªn bëi lÖnh array/Array. Thùc ra lÖnh matrix mµ mét d¹ng d÷ liÖu ®Æc biÖt cña array. Tuy nhiªn ®iÒu ®ã kh«ng ®óng víi Matrix. > T:=array([[2,1],[2,-2],[a,b]]); > type(T,matrix); > T1:=Array([[2,1],[2,-2],[a,b]]); > type(T1,Matrix); > B+T1; Cã thÓ dïng lÖnh convert ®Ó chuyÓn c¸c d¹ng vÒ ma trËn > A;B; > B2:=convert(A,Matrix); > whattype(B2); > LL:=[[2,1],[2,-2],[a,b]]; > whattype(LL); > convert(LL,matrix);whattype(%); > convert(LL,Matrix);whattype(%); C¸c ma trËn ®­îc x©y dùng ®Æc biÖt > matrix(1,2,4);Matrix(1,2,3); > matrix(1,2);Matrix(1,2);Matrix(3); > M:=Matrix(3,3,shape=identity); RÊt nhiÒu tïy chän míi cho lÖnh Matrix. Dïng lÖnh ?Matrix nÕu muèn t×m hiÓu thªm. > f:=(i,j)->x^(i+j+1); > matrix(3,2,f); Truy xuÊt c¸c phÇn tö cña ma trËn > B:=Matrix([[2,1],[2,-2],[a,b]]); > B[3,1]; > convert(B,Vector[row]); > convert(B,set); > C:=Matrix(5,(i,j)->2*i+j); §Ó trÝch xuÊt mét phÇn hay toµn bé mét dßng hay cét, ta dïng: > C[5,1..3], C[3..5,2];C[2,1.. -1];C[1..-1,4]; §Ó trÝch xuÊt mét ma trËn con, thay thÕ c¸c täa ®é b»ng c¸c kho¶ng: > C[3..5,1..3]; Page 11 C¸c phÐp to¸n trªn ma trËn > restart; > with(LinearAlgebra): > A:=Matrix([[a,1,c],[2,-b,1]]); > B:=Matrix([[x,y,1],[c,2,z]]);  PhÐp céng ma trËn > A+B; > Add(A,B); > A-B;  PhÐp céng ma trËn víi 1 sè ®­îc xem nh­ céng víi mét ma trËn h»ng: > 2+A;  PhÐp nh©n v« h­íng > 3*A; > 3 . A; NÕu muèn dïng phÐp nh©n b»ng " ." th× ph¶i cã kho¶ng trèng sau phÐp to¸n.  PhÐp nh©n hai ma trËn > C:=RandomMatrix(3,2); > C.A; Chó ý kh«ng cÇn kho¶ng trèng sau phÐp to¸n " ." . C¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp vµ phÐp chuyÓn vÞ > with(LinearAlgebra): A := ||>; > RowOperation(A, 3, 3); > ColumnOperation(A, [1,3]); > RowOperation(A, [1,3], -2); Dßng thø 1 ®­îc thay bëi (d1-2*d3). > A:=RandomMatrix(3,2); > Transpose(A); §Þnh thøc vµ ma trËn nghÞch ®¶o > restart;with(LinearAlgebra): > A:= Matrix([[b[11],b[12],b[13]],[b[21],b[22],b[23]],[b[31],b[32],b[33]]]) ; > Determinant(A); > > C:=RandomMatrix(3,3); > MatrixInverse(C); §a thøc ®Æc tr­ng. Gi¸ trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng > with(LinearAlgebra): M := ||>; Page 12 > CharacteristicPolynomial(M,x); > solve(%,x); > Eigenvalues(M,output='list'); > Eigenvectors(M); C¸c cét cña ma trËn bªn ph¶i lµ c¸c vÐc t¬ riªng øng víi c¸c gi¸ trÞ riªng cho trong cét bªn tr¸i. C¸c d¹ng chuÈn t¾c D¹ng rót gän Gauss vµ Gauss -Jordan §©y lµ d¹ng chuÈn t¾c øng dông trong khi gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn > restart;with(LinearAlgebra): > A:=RandomMatrix(4,6); > b:=; > GaussianElimination(A); > GaussianElimination(A,'method'='FractionFree'); > ReducedRowEchelonForm(); D¹ng chuÈn t¾c Jordan > with(LinearAlgebra): A := |||>; J := JordanForm(A); > Eigenvalues(A, output='list'); > Q := JordanForm(A, output='Q'); > Q^(-1) . A . Q; > D¹ng chuÈn t¾c h÷u tû > restart; > with(LinearAlgebra): A := ||||>; > FrobeniusForm(A); > factor( CharacteristicPolynomial(A, x) ); > (F,Q):=RationalCanonicalForm(A,output=['F','Q']); > FrobeniusForm(A,output='Q'); > Q^(-1) . A . Q; ChiÒu vµ c¬ së cña kh«ng gian vÐc t¬ Bµi tËp Cho hÖ pttt:      x1 2 x2 6 x3 8 x4 14 x5 3 x6 0     2 x1 4 x2 x3 8 x4 5 x5 x6 0, ,[     3 x1 x2 4 x3 9 x4 10 x5 0     3 x1 2 x2 x3 12 x4 x5 4 x6 0, ,     5 x1 7 x2 11 x3 11 x4 19 x5 9 x6 0] ; 1) H·y lËp ma trËn hÖ sè cña hÖ. 2) Chøng tá r»ng ma trËn trªn cã thÓ nhËn c¸c cét cña x1, x2,x3 lµm c¬ së cñ kh«ng gian nghiÖm 3) BiÓu thÞ tuyÕn tÝnh x4,x5,x6 qua x1,x2,x3. 4) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh trªn. Page 13 > restart; > with(LinearAlgebra):A := |||>; > RowSpace(A); > GramSchmidt(%); > ColumnSpace(A); > B := Matrix(5,6,[[-1,2,6,-8,-14,3],[2,4,1,-8,5,-1],[-3,1,4,-9,-10,0],[3,-2,-1,12,-1,4],[5,7,11,-11,-19,9]]); > GenerateEquations(B,[x1,x2,x3,x4,x5,x6]); > > Rank(B); > ColumnSpace(B); > RedB:=ReducedRowEchelonForm(B); > B1:=DeleteColumn(B,4..6);Rank(B1); > B2:=ColumnSpace(B): > v1:=B1[1..-1,1];v2:=B1[1..-1,2]:v3:=B1[1..-1,3]:v4:=B[1..-1,4];v5:=B[1..-1,5]:v6:=B[1..-1,6]: > ||>; > NullSpace(B); HÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh > restart; > with(LinearAlgebra): > sys := [ 3*x[1]+2*x[2]+3*x[3] -2*x[4] = 1, x[1]+ x[2]+ x[3] = 3, x[1]+2*x[2]+ x[3]- x[4] = 2 ];var:=[x[1],x[2],x[3],x[4]]; > (A, b) := GenerateMatrix(sys,var); > A1:=GenerateMatrix(sys,var,augmented=true); > LinearSolve(A1); > LinearSolve(A,b); > GenerateEquations(A,[x1,x2,x3,x4],); > GenerateEquations(A1,[x1,x2,x3,x4]); 2.4. C¸c tÝnh to¸n gi¶i tÝch a) X¸c ®Þnh hµm vµ lÖnh map Hµm 1 biÕn: > f:=x->a*x^2+b*x+c; > f(2); Víi hµm nhiÒu biÕn: > g:=(x,y,z)->x^2+y^2-z^2; > g(3,4,5); Hµm tõng ®o¹n cã thÓ ®Þnh nghÜa bëi lÖnh piecewise(), cÊu tróc ®­îc minh häa qua vÝ dô sau: > f:=piecewise(x<0,1,x<1,x,x<2,3 -x,sin(x)+2); Page 14 LÖnh map th­êng dïng ®Ó x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña 1 hµm t¹i mét d·y c¸c gi¸ trÞ c ña biÕn > f:=x->x^2-x+1; > lst:=[-2,-1,-1/2,0,1,2,3/2,4]; > map(f,lst); b) C¸c phÐp tÝnh to¸n c¬ b¶n b1) T×m giíi h¹n > limit(exp(x),x=-infinity); > limit(exp(x),x=infinity); > Limit(exp(x),x=-infinity)=limit(exp(x),x=-infinity);; > limit(1/x,x=0); b2) TÝnh ®¹o hµm LÖnh diff hoÆc D cho phÐp tÝnh ®¹o hµm cña hµm 1 biÕn hoÆc ®¹o hµm riªng. Có ph¸p ®­îc minh häa qua c¸c vÝ dô sau: > diff(7*x^2 + 4*x^3, x); diff(5*x^2 - Pi*x^3, x); > g:=x->x^2-exp(x)+sin(x); > D(g); b3) TÝch ph©n  TÝnh tÝch ph©n bÊt ®Þnh b»ng lÖnh int(hµm, biÕn). > int(x^2-x+2,x); > Int(x^2-x+2,x); > value(%);  TÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh int(hµm, miÒn). > restart; > f:=x->x-2*sin(x)+1; > int(f,-5..8); Ch­¬ng 3. C«ng cô vÏ h×nh vµ minh häa trong Maple 3.1. VÏ h×nh trong hÖ täa ®é Descartes a) LÖnh plot vµ plot3d ®Ó vÏ ®å thÞ hµm hiÖn vµ tham sè  LÖnh vÏ h×nh ®¬n gi¶n vµ th«ng dông nhÊt lµ plot (trong mÆt ph¼ng) vµ plot3d (trong kh«ng gian 3 chiÒu). C¸c lÖnh nµy n»m trong phÇn nh©n cña Maple. Có ph¸p: plot(f(x),x=a..b,options) vµ plot3d(f(x,y),x=a..b,y=c..d,options) . > ?plot > plot(x*sin(3*x),x=0..2*Pi); Chó ý r»ng lÖnh trªn vÏ ®å thÞ hµm y x ( )sin 3 x víi x tõ 0 ®Õn  . T­¬ng tù lÖnh sau vÏ ®å thÞ hµm z ( )f ,x y trong miÒn chØ ra: > plot3d(x*sin(3*y),x=-1..1,y=0..Pi); KÝch chuét trªn h×nh vÏ, ta cã thÓ quay h×nh vÏ ®Ó xem b»ng c¸c gãc ®é tïy ý. Trªn thanh c«ng cô míi, cã c¸c tïy chän ®Ó xem. H·y sö dông!  Cã thÓ vÏ nhiÒu ®å thÞ trong cïng mét h×nh: > plot({x*sin(3*x),x^2+2*x-4},x=-2*Pi..2*Pi); Khi kÝch chuét trªn h×nh vÏ, cã c¸c tïy chän trªn thanh c«ng cô míi. H·y sö dông! > plot3d([x*sin(3*y),x-y],x=-1..1,y=-Pi..Pi,color=[red,blue]); Víi gãi lÖnh plots, cã thÓ dïng lÖnh display. Page 15 b) Save h×nh vÏ b»ng c¸c ®Þnh d¹ng kh¸c nhau H·y trë l¹i ®å thÞ: > plot3d({x*sin(3*y),x-y},x=-1..1,y=-Pi..Pi); Khi kÝch nót ph¶i cña chuét, phÝa d­íi c¸c c«ng cô ®iÒu chØnh h×nh vÏ lµ nót Export As, cho phÐp ta l­u gi÷ h×nh vÏ ra c¸c ®Þnh d¹ng kh¸c nhau. Xem lÖnh ?plotsetup ®Ó biÕt thªm c¸ch ®iÒu chØnh h×nh vÏ khi save. c) §å thÞ cña hµm tham sè Cã 3 d¹ng hµm tham sè øng víi ®­êng cong trong mÆt ph¼ng, mÆt trong kh«ng gian vµ ®­êng cong trong kh«ng gian. Trong mÆt ph¼ng, có ph¸p lµ: plot([ f(t), g(t), t=a..b], options). VÝ dô: > plot([3*cos(t),sin(t),t=0..2*Pi]): §å thÞ mÆt ph¼ng trong kh«ng gian, có ph¸p lµ: plot3d([ f(s,t), g(s,t), h(s,t)], s=a..b, t=c..d, options). > plot3d([ 2*t-3*s^2*sin(t), s*t, 2*s-3*cos(t)], s=-2..2, t=-2..2); Víi ®­êng cong tham sè trong kh«ng gian, dïng lÖnh spacecurve trong gãi lÖnh plots. Có ph¸p: spacecurve([f(t),g(t),h(t)],t=a..b,options). > with(plots): > spacecurve([sin(3*t)*cos(t),sin(3*t)*sin(t),t],t=0..Pi,shading=z); d) Gãi lÖnh plots Víi gãi lÖnh plots, Maple cung cÊp rÊt nhiÒu c«ng cô cho viÖc vÏ c¸c d¹ng ®å thÞ kh¸c nhau LÖnh pointplot vµ pointplot3d ®Ó vÏ tõng ®iÓm Trong mÆt ph¼ng: > with(plots): > pointplot({[1,3],[2,4],[3,4]}): HoÆc: > pointplot([1,3,2,4,3,4]): > f:=n->n/(n+1); > pointplot({seq([n,f(n)],n=1..50)},symbol=box): H·y sö dông c¸c tïy chän "circle,diamond,cross" cña symbol. Còng cã thÓ ®iÒu chØnh cì cña ®iÓm b»ng options symbolsize, cì ngÇm ®Þnh lµ 10pt. T­¬ng tù, trong kh«ng gian, lÖnh vÏ tõng ®iÓm ®­îc dïng nh­ sau: > pointplot3d({[3,2,-1],[2,3,4],[5,6,0]}): Ta ph¶i thay cì hoÆc h×nh d¹ng cña ®iÓm th× míi dÔ nh×n thÊy trong kh«ng gian > pointplot3d([0,1,1,1,-1,2,3,0,5],symbol=box ,axes=BOXED): > pointplot3d([0,1,1,1,-1,2,3,0,5],symbol=box,symbolsize=18 ,axes=BOXED): Chó ý ViÖc vÏ tõng ®iÓm còng cã thÓ thùc hiÖn víi lÖnh plot vµ plot3d th«ng th­êng mµ kh«ng cÇn ph¶i kÝch ho¹t gãi lÖnh plots. Khi ®ã trong options cña plot vµ plot3d, chän style=point. LÖnh display ®Ó biÓu diÔn nhiÒu ®å thÞ trªn cïng mét h×nh > with(plots): > S:=plot3d(4-x^2-2*y^2,x=-4..4,y=-3..3): Page 16 > P:=plot3d(6-4*y,x=-4..4,y=-3..3): > display(S): > display(S,P): Râ nÐt vµ mÞn hãa ®å thÞ a) Lµm râ nÐt cña ®å thÞ b»ng tïy chän thickness > f:=x->exp(x/2); > plot({f(x),f(-x)},x=-3..3,thickness=4): Gi¸ trÞ ngÇm ®Þnh cña thickness lµ 0. Gi¸ trÞ cao nhÊt lµ 15. b) MÞn hãa b»ng c¸ch t¨ng gi¸ trÞ cña numpoints hay víi grid. > plot3d((x^2+y^2)/sin(x*y),x=-1..1,y=-1..1,axes=normal): so s¸nh víi: > plot3d((x^2+y^2)/sin(x*y),x=-1..1,y=-1..1