Toán 11 - Bài: Giới hạn

GIỚI HẠN A: Giới hạn dãy số: Kiến thức cần nhớ: Định lý1: (Điều kiện cần để dãy số có giới hạn) Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bị chặn. Định lý2: (Tính duy nhất của giới hạn) Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Định lý3: (Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn) (Định lý Vaiơstrat). Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn. Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn. Định lý4: (Giới hạn của một dãy số kẹp giữa hai dãy số dần tới cùng một giới hạn) Cho ba dãy số (un), (vn), (wn). Nếu ta có và lim vn = lim wn = A thì lim un = A. Định lý5: (Các phép toán trên các giới hạn của dãy số). Nếu hai dãy số có giới thì ta có: Định lý6: Nếu Tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với là: S=u1+u2+...+un+...= . Số e: Định lý7: Nếu thì Ngược lại, nếu thì Giới hạn của hàm số: Kiến thức cần nhớ: 1/ Một số định lý về giới hạn của hàm số: Định lý1: (Tính duy nhất của giới hạn) Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới a thì giới hạn đó là duy nhất. Định lý2: (Các phép toán trên các giới hạn của hàm số). Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khi thì: Định lý3: (Giới hạn của một hàm số kẹp giữa hai hàm số cùng dần tới một giới hạn) Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) cùng xác định trên một khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a). Nếu với mọi điểm x của khoảng đó và nếu thì Định lý4: Nếu khi , hàm số f(x) có giới hạn L và nếu với mọi giá trị x đủ gần a mà f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0) thì (hoặc ). Định lý5: Nếu (vàvới mọi x đủ gần a) thì Ngược lại, nếu thì 2/ Giới hạn một bên : Định nghĩa: Số L được gọi là giới hạn bên phải( hoặc bên trái) của hàm số f(x) khi x dần tới a, nếu với mọi dãy số (xn) với xn > a (hoặc xn < a) sao cho limxn = a thì limf(xn) = L. Ta viết: (hoặc ). Định lý: Điều kiện ắc có và đủ để là đều tồn tại và bằng L. 3/ Các dạng vô định: Khi tìm giới hạn của hàm số, ta có thể gặp một số trường hợp sau đây. Ta cần tìm: 1/ mà . 2/ mà . 3/ mà và . 4/ mà hoặc . BÀI TẬP ÁP DỤNG A. GIỚI HẠN DÃY SỐ Bài tập 1: Tính các giới hạn: Bài tập 2: Tính các giới hạn: Bài tập 3: Tính các giới hạn: ) B. GIỚI HẠN HÀM SỐ Bài tập 1: Tính các giới hạn: Dạng Bài tập 2: Tính các giới hạn: Bài tập 3: Tính các giới hạn: Bài tập 4: Tính các giới hạn: Bài tập 5: Tính các giới hạn: Tính các giới hạn bằng cách thêm, bớt lượng liên hợp. Bài tập 6: Tính các giới hạn: Dạng Bài tập 7: Tính các giới hạn: ĐS: Bài tập 8: Tính các giới hạn: ĐS: Dạng Bài tập 9: Tính các giới hạn: ĐS: Dạng : Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác: Cho biết : Bài tập 10: Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau: ĐS: ------------------------------------ Hết ---------------------------------------- HÀM SỐ LIÊN TỤC Kiến thức cần nhớ: 1. Hàm số liên tục tại một điểm: Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm (a; b) nếu: . Nếu tại điểm xo hàm số f(x) không liên tục, thì nó được gọi là gián đoạn tại xo và điểm xo được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x). Theo định nghĩa trên hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) là liên tục tại điểm (a; b) nếu và chỉ nếu và tồn tại và 2. Hàm số liên tục trên một khoảng: a. Định nghĩa: Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy. Hàm số f(x) xác định trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó là liên tục trên khoảng (a; b) và . Lưu ý: Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó. b. Một số định lý về tính liên tục: Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương ( vớid mẫu khác 0) của những hàm số liên tục tại một điểm là liên tục tại điểm đó. Định lý 2: Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xá định của nó. Định lý 3: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b], thì nó đạt được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và mọi giá trị trung gian giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Hệ quả. Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c(a; b) sao cho f(c) = 0. Nói cách khác: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a; b). MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng 1: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số: Bài tập: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau: Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số: Bài tập 1: Cho hàm số: Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 1. Bài tập 2: Cho hàm số: Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 2. Bài tập 3: Cho hàm số: Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 0. Bài tập 4: Cho hàm số: Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 1. Bài tập 5: Cho hàm số: Định a để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 1. Bài tập 6: Cho hàm số: Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 2. Bài tập 7: Cho hàm số: Định a để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 0. Bài tập 8: Cho hàm số: Định a để hàm số f(x) liên tục trên R. Bài tập 9: Cho hàm số: Định a để hàm số f(x) liên tục trên R. Bài tập 10: Cho hàm số: Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số. Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm: Bài tập 1: CMR các phương trình sau đây có nghiệm: Bài tập 2: CMR phương trình có 3 nghiệm trong khoảng (-2; 2). Bài tập 3: CMR phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Bài tập 4: CMR phương trình có ít nhất hai nghiệm. Bài tập 5: CMR các phương trình sau co ùhai nghiệm phân biệt: --------------------------------------- Hết --------------------------------------------- CẤP SỐ CỘNG Kiến thức cần nhớ: 1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai. Gọi d là công sai, theo định nghĩa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2, ...). Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau. Để chỉ rằng dãy số (un) là một cấp số cộng,ta kí hiệu u1, u2, ..., un, .... Số hạng tổng quát Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức: un = u1 + (n - 1)d Tính chất các số hạng của cấp số cộng Định lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là (k 2). Tổng n số hạng đàu của một cấp số cộng Định lí: Để tính Sn tacó hai công thức sau: Sn tính theo u1 và d Sn tính theo u1 và un BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1: Xác định số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây: tìm u15. tìmu20. ĐS: Bài tập 2: Xác định cấp số cộng có công sai là3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30. Giải: Ta có: mà nên Với ta có cấp số cộng Với ta có cấp số cộng Bài tập 3: Cho cấp số cộng: Tìm số hạng đầu và công sai của nó. Giải: Bài tập 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165. Giải: Gọi cấp số cộng là: u3 - 3d, u3 - d, u3, u3 + d, u3 + 2d Theo giả thiết ta có: Với d = 2 ta có Với d = -2 ta có Bài tập 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 1140. Giải: Xét cấp số cộng Theo bài ra ta có: Với d = 7 ta có Với d = ta có Bài tập 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai là 25. Giải: Đặt 3 cạnh cần tìm là: với Theo định lí Pitago ta có: Với x=100 ta có cấp số cộng tương ứng 3 cạnh là: 75,100,125 Bài tập 7: Cho cấp số cộng u1, u2, u3, ... Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147. Tính u1 + u6 + u11 + u16. Giải: Ta có: u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 (u1 + u16) + (u4 + u13) + (u7 + u10) = 147 (2u1 + 15d) + (2u1 + 15d) + (2u1 + 15d) = 147 3(2u1 + 15d) = 147 2u1 + 15d = 49 Mặt khác: u1 + u6 + u11 + u16 = (u1 + u16) + (u6 + u11) = (2u1 + 15d) + (2u1 + 15d) = 2(2u1 + 15d) = 2.49 = 98. Suy ra: u1 + u6 + u11 + u16 = 98. Bài tập 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80. Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. Giải: Ta có: S15 = (u1 + u15). Mặt khác ta có: u3 + u13 = (u1 + 2d) + (u1 + 12d) = u1 + (u1 + 14d) = u1 + u15 = 80. Do đó:S15 = (u1 + u15) = .80 = 600. Bài tập 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó. Giải: Ta có: S11 = 176 = (u1 + u11) (2u1 + 10d) = 176 (1) và u11 - u1 = 30 (u1 + 10d) - u1 = 30 10d = 30 d = 3 (2) Thay (2) vào (1) ta được: u1 = 1 Do đó: Cấp số cộng cần tìm là: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31 Bài tập10: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3. Tính a10. Giải: Ta có: a10 = a1 + (10 - 1)(-3) = 4 + 9(-3) = -23 Bài tập 11: Tính u1, d trong các cấp số cộng sau đây: ĐS: 1/ u1 = và d = ; 2/ u1 = 3 và d = 4. 3/ u1 = 0 và d = ; 4/ u1 = và d = . Bài tập 12: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u14 = 18. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên. Giải: Theo giả thiết ta có: Vậy: S20= Bài tập 13: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = 3. Tính u20 và S20. ĐS: u20 = 74, S20 = 910 Bài tập 14: Cho cấp số cộng (un) có a10 = 10, d = -4. Tính u1 và S10. ĐS: u1 = 46, S10 = 280 Bài tập 15: Cho cấp số cộng (un) có u6 = 17 và u11 = -1. Tính d và S11. ĐS: d = và S11 = 187 Bài tập 16: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u4 = 18. Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên. ĐS: S20 = 1350 ------------------------------------------ Hết ------------------------------------------------- CẤP SỐ NHÂN Kiến thức cần nhớ: Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội. Gọi q là công bội, theo định nghĩa ta có un+1 =un.q (n = 1, 2, ...). Đặc biệt: Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, 0, 0, ..., 0, ... Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, u1, ..., u1, ... Nếu u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, ..., ... Để chỉ dãy số (un) là một cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu u1, u2, ..., un, .... Số hạng tổng quát Định lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức: un = u1 (q) Tính chất các số hạng của cấp số nhân Định lí: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) đều có giá trị tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng kề bên nó, tức là: Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân. Cho một cấp số nhân với công bội q 1 u1, u2, ...,un, ... Định lí: Ta có: (q 1) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết: 1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u1 = 243 vàu6 = 1 2/ Cho q = , n = 6, S6 = 2730. Tìm u1, u6. Giải: 1/ Ta có: Vậy cấp số nhân là: 243, 81, 27, 9, 3, 1 2/ Ta có: và Bài tập 2: Cho cấp số nhân có: u3 = 18 và u6 = -486. Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó Giải: Ta có: Lấy (2) chia (1) vế theo vế ta được: Thế q = -3 vào (1) ta được: u1 = 2 Vậy ta có: u1 = 2, q = -3 Bài tập 3: Tìm u1 và q của cấp số nhân biết: Giải: Ta có: Lấy (2) chia (1) vế theo vế ta được: q = 2 Thay q = 2 vào (1) ta được: Vậy u1 = 12, q = 2. Bài tập 4: Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có: u3=12, u5=48. Giải: Ta có: q = 0, u = 0 không là nghiệm của hệ Chia (2) cho (1) vế theo vế ta được: . Thay vào (1) tacóù: * q = 2, ta có cấp số nhân 3, 6, 12, 24, ... * q = -2, ta có cấp số nhân -3, -6, -12, -24, ... Bài tập 5: Tìm u và q của cấp số nhân (un) biết: Giải: Ta có: Lấy (2) chia (1) vế theo vế ta được: Thay q = 3 vào (1) ta được u1 = 1 Vậy u1 = 1, q = 3. Bài tập 6: Tìm cấp số nhân (un) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai. Giải: Theo bài ra ta có: Từ Thay q = 3 vào (1) ta được: 40u1 = 360 u1 = 9 Ta có cấp số nhân: 9, 27, 81, 243 Thay q = -3 vào (1) ta được: u1 = -18 Ta có cấp số nhân: -18, 54, -162, 486. Bài tập 7: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó. Giải: Gọi u1, u2, u3 là ba số hạng của cấp số cộng công sai d Theo bài ra u1, u2-1, u3 +1 lập thành cấp số nhân Ta có: Với d = 4 thì u1 = 3 ta có cấp số cộng: 3, 7, 11 Với d = -5 thì u1 = 12 ta có cấp số cộng: 12, 7, 2 ---------------------------------------- Hết ---------------------------------------------------