Toán tăng trưởng

Toán tăng trưởng Bài 1: a/ Một người gửi vào ngân hàng một số tiền là a đồng với lãi suất là m% một tháng. Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra. Hỏi sau n tháng người ấy nhận được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi ? b/ áp dụng bằng số: a = 10000000, m = 0,8; n = 12. Bài 2: Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền là a đồng với lãi suất là m % một tháng. Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra. Hỏi cuối tháng thứ n người ấy nhận được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi ? Với a = 1000000 đ, m = 0,8; n = 12. Bài 3: a/ Tại một thời điểm nào đó, dân số của một quốc gia B là a người; tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm của nước đó là m %. Hãy xây dựng công thức tính số dân của quốc gia B đến hết năm thứ n. b/ Dân số nước ta năm 2001 là 73,6 triệu người. Hỏi dân số nước ta đến năm 2010 là bao nhiêu (tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là 1,2 %) ? c/ Đến năm 2020, muốn cho dân số nước ta có khoảng 100 triệu người thì tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là bao nhiêu ? Bài 4: a/ Một người được lĩnh lương khởi điểm là 700 000 đ/ tháng. Cứ ba năm anh ta lại được tăng lương thêm 7%. Hỏi sau 36 năm làm việc anh ta được lĩnh tất cả bao nhiêu tiền ? b/ Hàng tháng, bắt đầu từ tháng lương đầu tiên , anh ta gửi tiết kiệm 100 000 đ với lãi suất 0,4% /tháng. Hỏi khi về hưu (sau 36 năm) anh ta tiết kiệm được bao nhiêu tiền ? Bài 5: Một người mua nhà trị giá 200 000 000 đ theo phương thức trả góp. Mỗi tháng anh ta trả 3 000 000 đ. a/ Hỏi sau bao lâu anh ta trả hết số tiền trên. b/ Nếu anh ta phải chịu lãi suất của số tiền chưa trả là 0,4% / tháng và mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ hai anh ta vẫn trả 3 000 000 đ thì sau bao lâu anh ta trả hết số tiền trên ? Bài 6: a/ Bạn An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1 000 000 đ với lãi suất 0,58% / tháng (không kì hạn). Hỏi bạn An phải gửi bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1300 000 đ ? b/ Với cùng số tiền ban đầu và cùng số tháng đó, nếu bạn An gửi tiết kiệm có kì hạn 3 tháng với lãi suất 0,68%/ tháng thì bạn An sẽ nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu ? Biết rằng trong các tháng của kì hạn, chỉ cộng thêm lãi chứ không cộng vốn và lãi tháng trước để tính lãi tháng sau. Hết một kì hạn, lãi sẽ được cộng vào vốn để tính lãi trong kì hạn tiếp theo (nếu còn gửi tiếp), nếu chưa đến kì hạn mà rút tiền thì số tháng dư so với kì hạn sẽ được tính theo lãi suát không kì hạn. Bài 7: Một sinh viên được gia đình gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền là 20 000 000 đ với lãi suất tiết kiệm là 0,4% / tháng. a/ Hỏi sau 5 năm số tiền trong sổ sẽ là bao nhiêu ? b/ Nếu mỗi tháng anh sinh viên rút ra một số tiền như nhau vào ngày ngân hàng tính lãi thì hàng tháng anh ta rút ra bao nhiêu tiền (làm tròn đến trăm đồng) để sau đúng 5 năm số tiền vừa hết. c/ Nếu không gửi tiết kiệm mà hàng tháng anh sinh viên vẫn sử dụng một số tiền như nhau đê sau 5 năm số tiền vừa hết thì hàng tháng anh ta “bị thiệt” bao nhiêu so với anh ta gửi tiết kiệm. d/ Nếu gửi tiết kiệm mà hàng tháng anh sinh viên không rút tiền ra thì sau 5 năm trung bình một tháng anh ta có thêm được bao nhiêu tiền so với gửi tiết kiệm mà hàng tháng không rút tiền ra . Bài 8: Để chuẩn bị cho con vào đại học, một gia đình gửi tiết kiệm số tiền là 7 500 000 đ với lãi suất kép. Ngân hàng có ba hình thức gửi tiền tiết kiệm như sau: Gửi cò kì hạn 1 năm (sau 1 năm mới được tính lãi) với lã suất 10% (trên 1 năm) Gửi có kì hạn 4 tháng (sau 4 tháng tính lãi một lần) với lãi suất 2, 5% (trên 4 tháng) Gửi không kì hạn (sau 1 tháng tính lãi một lần) với lãi suất 0,5% (trên một tháng) Trong thời gian 3 năm 11 tháng, bạn hãy tìm cách gửi tối ưu nhất, tính số tiền lớn nhất có thể nhận được. Lời giải: Bài 1: a/ Kí hiệu lãi suất m% là x, số tiền cả gốc lẫn lãi sau năm thứ n là An . Sau một năm tổng số tiền cả gốc lẫn lãi là: A1 = a + a. m% = a(1 + m%) = a(1 + x) Sau 2 năm tổng số tiền là: A2 = a(1 + x) + a(1 + x) + x = a(1 + x) 2 Làm tương tự, sau 3 năm ta có A3 = a(1 + x)2 + a(1 + x)2. x = a(1 + x)3 Sau 4 năm ta có: A4 = a(1 + x)4. Sau 5 năm ta có: A5 = a(1 + x)5 Sau n năm, số tiền cả gốc lẫn lãi là: An = An – 1(1 + x) = a(1 + x)n – 1(1 + x) = a(1 + x)n hay An = a(1 + x)n = a(1 + m%)n b/ áp dụng bằng số với a = 10 000 000 đ, m = 0,8; n = 12: A12 = 10 000 000 .(1 + 0,008)12 (= 11003386,93) Bài 2: Giả sử người ấy bắt đầu gửi a đồng vào ngân hàng từ đầu tháng giêng với lãi suất là x. Cuối tháng giêng số tiền trong sổ tiết kiệm của người ấy sẽ là a(1 + x). Vì hàng tháng người ấy tiếp tục gửi vào tiết kiệm a đ nên số tiền gốc của đầu tháng 2 sẽ là: a(1 + x) + a = a[1 + x) + 1] = [(1 + x)2 – 1] = [(1 + x)2 – 1] đ Số tiền cuối tháng 2 sẽ là: [(1 + x)2 – 1](1 + x) =[(1 + x)3 – (1 + x)] Vì đầu tháng người ấy tiếp tục gửi vào a đồng nên số tiền gốc của đầu tháng 3 là: [(1 + x)3 – (1 + x)] + a = [(1 + x)3 – (1 + x) + x] = [(1 + x)3 – 1] Số tiền trong sổ cuối tháng 3 là: [(1 + x)3 – 1](1 + x) = [(1 + x)4 – (1 – x)] Vì hàng tháng người ấy tiếp tục gửi vào tiết kiệm a đ nên số tiền gốc của đầu tháng 4 sẽ là: [(1 + x)4 – (1 + x)] + a = [(1 + x)4- 1] Tương tự, số tiền trong sổ tiết kiệm cuối tháng thứ n – 1 là: [(1 + x)n-1- 1](1 – x) = [(1 + x)n- (1 + x)] Số tiền của đầu tháng thứ n là [(1 + x)n- (1 + x)] + a = [(1 + x)n- 1] Số tiền cả gốc lẫn lãi vào thời điểm cuối tháng thứ n là:[(1 + x)n- 1](1 + x) áp dụng bằng số: a = 1 000 000 đ; m = 0,8; n = 12 ta có: A12 = Số tiền lãi sau 1 năm là: A12 – 12. 1 000 000 = 642 675 đ Bài 3: a/ Nếu lấy thời điểm nào đó làm mốc điều tra dân số, giả sử dân số của quốc gia B là a (số liệu điều tra), thì: Sau 1 năm, dân số sẽ là: a +m%.a = a(1 + m%) Sau 2 năm, dân số sẽ là: a(1 + m%) + m%. (1 + m%)a = a(1 + m%)2 Sau 3 năm dân số sẽ là: a(1 + m%)2 + m%(1 + m%)2. a = a(1 + m%)3 Tương tự sau n năm, dân số của quốc gia B sẽ làa(1 + m%)n – 1 + m%.a(1 + m%)n – 1 = a(1 + m%)n b/ Coi ngày điều tra dân số năm 2001 và năm 2010 trùng nhau thì từ năm 2001 đến 2010 là 9 năm. Vậy dân số nước ta tính đến năm 2010 là: 76,3. (1 + 1,2%)9 = (84,947216) (triệu người) c/ Từ năm 2001 đến năm 2020 là 19 năm, do đó ta có 76,3. (1 + m%)19 = 100, từ đây suy ra: m% = - 1 Tính trên máy: (0,0143) làm tròn: m 1,4% Bài 4: Gọi số tiền lương khởi điểm anh ta được lĩnh là x0 đồng. Như vậy, trong 3 năm (36 tháng) đầu mỗi tháng anh ta lĩnh x0 đồng. Cứ 3 năm anh ta được tăng lươngthêm r%/ tháng. Vây sau 3 năm (bắt đầu từ tháng thứ nhất của năm thứ tư) anh ta được lĩnh hàng tháng là: x1 = x0 đ Ba năm tiếp theo anh ta được lĩnh hàng tháng là: x2 = x1 = x02 đ Cứ sau 3n năm ( n = 1, 2, 3, 4, …, 11), bắt đầu từ tháng thứ nhất của năm thứ 3n + 1, anh ta lại được tăng lương, và lần tăng lương cuối cùng là vào tháng thứ nhất của năm thứ 34. Như vậy sau 36 năm làm việc, anh ta được tăng lương 11 lần và tiền lương hàng tháng trong ba năm thứ 3n + 1, 3n + 2, 3n + 3 là: xn = xn-1 = x0n, n = 1; 2; 3; 4; …; 11. Vậy số lương anh ta lĩnh trong toàn bộ thời gian làm việc là: S = 36.x0 + 36.x1+ 36 . x2+ … + 36x11 = 36(x0 + x1 + x2 + … + x11) S = 36.x0.(1 + + … + 11) = 36. x0. (12 – 1) : áp dụng: x0 = 700 000 đ, r = 7%. Tính trên máy (450 788 972). Đs: 450 788 972 đ (khoảng 451 triệu đồng) Bài 5: a/ Số thời gian để anh ta trả hết nợ là: 200 000 000 : 3 000 000 66,667 hay 67 tháng. b/ Gọi số tiền anh ta nợ ban đầu là A, lãi suất anh ta phải trả là r%/ tháng, số tiền anh ta trả là x Sau tháng thứ nhất anh ta nợ là: A + .A = A = Ak. Anh ta đã trả x đồng, vậy còn nợ lai là A.k – x Sau tháng thứ hai anh ta còn nợ là (A.k – x)- x = A.k2 – x(k + 1) Sau tháng thứ ba anh ta còn nợ là: (A.k2 – x(k + 1))k – x = Ak3 – x(k2 + k + 1) = Ak3 –x. Sau tháng thứ n anh ta còn nợ: An = (Akn-1 – x.)k – x = Akn – x. = kn. + An = Sau n tháng anh ta trả xong nợ, nghĩa là An = 0 suy ra: áp dụng: Với a = 200 000 000 , r = 0,4, x = 3 000 000 ta có : = 1,2636364. Thử với n =77, 78 KL Cần 78 tháng hay 6 năm rưỡi để trả hết số nợ. Bài 6: a/ 46 tháng b/ 46 tháng = 15 quý + 1 tháng nên số tiền nhận được sau 46 tháng gửi có kì hạn là: 1 000 000 (0,0068. 3)15 . 1, 0058 = 1 361 659,061 đồng. Bài 7: a/ Gọi số tiền gửi lúc đầu là x0 đồng với lãi suất r%/ tháng Sau tháng thứ nhất số tiền sẽ là x1 = x0 + x0 = (1 + )x0 Sau tháng thứ hai số tiền trong sổ sẽ là: x2 = x1 + x1 = (1 + )x1 = (1 + )2.x0 Sau tháng thứ n số tiền trong sổ là: xn = xn-1 + xn-1 = (1 + )(1 + )n-1 = (1 + )n. áp dụng với x0 = 20 000 000, r = 0,5, n = 60 x60 = 25412814,37 b/ Gọi số tiền anh sinh viên rút ra hàng tháng như nhau là x. Sau tháng thứ nhất số tiền là; x1 = x0 + x0 = (1 + )x0 = kx0, với k = 1 + Vì rút ra x đồng nên trong sổ còn là: y1 = x1 – x = (1 + )x0 – x = kx0 – x Số tiền sau tháng thứ 2 là: x 2 = y1k = (kx0 – x) k = k2x0 – xk. Vì rút ra x đồng nên số tiền trong sổ là: y2 = x2 – x = k2x0 – xk – x = k2x0 – x(k + 1) Số tiền sau tháng thứ 3 là: x3 = y2k = [k2x0 – x(k + 1)]k = k3.x0 – xk(k + 1) Vì rút ra x đồng nên trong sổ còn là: y3 = x3 – x = k3.x0 – xk(k + 1) = k3.x0 – x(k2 + k + 1) = k3.x0 – x. Tương tự: Số tiền sau tháng thứ n là: xn = yn- 1.k = ( kn-1.x0 – x.)k = kn.x0 – x. Vì rút ra x đồng nên trong sổ còn là: yn = kn.x0 – x.- x = kn.x0 – x. Sau N tháng số tiền trong sổ băng 0, tức là yN = kN.x0 – x.= 0 Suy ra x = kN.x0 áp dụng : KQ: 375600