Tóm tắt kiến thức toán lớp 11

Tô Vĩnh Hoài TÓM TẮT KIẾN THỨCTOÁN 11 Trang 1 TRƯỜNG THPT THỦ KHOA NGHĨA CHÂU ĐỐC – AN GIANG TÓM TẮT KIẾN THỨC TOÁN LỚP 11 Tô Vĩnh Hoài Tô Vĩnh Hoài TÓM TẮT KIẾN THỨCTOÁN 11 Trang 2 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1; Giá trị các Hàm số lượng giác của góc đặc biệt Góc HSLG 00 0 0 6 30 p 0 4 45 p 0 3 60 p 0 2 90 p 0180 p 0 3 2 270 p 0360 2p sin 0 1 2 2 2 3 2 1 0 1- 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1- 0 1 tan 0 3 3 1 3 0 0 cot 3 1 3 3 0 0 2 ; Các hệ thức cơ bản a; cos2x + sin2x = 1 b; =tan x cos x sin x c; coscot x = x x sin d; 2 2 1 1 + =tan x cos x e; 2 2 1 1 + cot x = sin x f; tanx . cotx = 1 3; GTLG của góc liên quan đặc biệt ( Công thức quy gọn góc ) a; Góc đối nhau – a và a ° cos ( – a) = cos a ° sin( – a) = – sin a ° tan( – a) = – tan a ° cot( – a) = – cotg a b; Góc bù nhau a và p-a ° cos ( p-a ) = – cos a ° sin ( p-a ) = sin a ° tan ( p-a ) = – tan a ° cot ( p-a ) = – cot a c; Góc phụ nhau a và 2 p - a ° cos( 2 p - a ) = sin a ° sin( 2 p - a ) = cos a ° tan ( 2 p - a ) = cot a ° cot( 2 p - a ) = tan a Tô Vĩnh Hoài TÓM TẮT KIẾN THỨCTOÁN 11 Trang 3 d; Góc hơn kém nhau p : a và p + a ° cos ( p + a ) = – cos a ° sin ( p + a ) = – sin a ° tan ( p + a ) = tan a ° cot ( p + a ) = cot a e; Góc hơn kém nhau 2 p : 2 p + a và a ° cos( 2 ap + ) = – sin a ° sin( 2 ap + ) = cos a ° tan ( 2 ap + ) = – cot a ° cot( 2 ap + ) = – tan a f; Tổng quát ° cos ( )pa+k.2 = cos a ° sin ( )pa+k.2 = sin a ° tan ( )pa+k. = tan a ° cot ( )pa+k. = cot a 4; Công thức cộng a; ( )sin a±b = sinacosb ± cosasinb b; ( ) cos a±b = cosacosb sinasinb c; ( )  a ± b 1 a. b tan tantan a±b = tan tan 5; Công thức nhân a; cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a b; sin2a = 2sina . cosa ( sina.cosa = a2sin. 2 1 ) c; 3cos3 4cos 3cosa a a= - d; 3sin3 3sin 4sina a a= - 6; Công thức hạ bậc a; 2 2 21+cos2a 1-cos2a 1-cos2acos a = ; b; sin a = ; c; tan a = 2 2 1+cos2a 7; Công thức biến đổi tích thành tổng a; coa.cosb = 2 1 [ cos(a –b) + cos(a + b) ] b; sina.sinb = 2 1 [ cos(a –b) – cos(a + b) ] Tô Vĩnh Hoài TÓM TẮT KIẾN THỨCTOÁN 11 Trang 4 c; sina.cosb = 2 1 [ sin(a – b) + sin(a + b) ] 8; Công thức biến đổi tổng thành tích a; cosa + cosb = 2cos 2 a b+ cos 2 a b- b; cosa – cosb = –2sin 2 a b+ sin 2 a b- c; sina + sinb = 2sin 2 a b+ cos 2 a b- d; sina – sinb = 2cos 2 a b+ sin 2 a b- 9; Công thức bổ sung a; æ ö æ öç ÷ ç ÷ è ø è ø cosa ± sina = 2cos a = 2sin ± a 4 4 p p b; ÷ ø ö ç è æ ±=± 4 sin2cossin paaa 10; Hệ thức lượng trong tam giác a; ° a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA ° cosA = bc acb 2 222 -+ b; Định lí Hàm số Sin R C c B b A a 2 sinsinsin === §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC y = sinx y = cosx TXĐ =D Là hàm số lẻ Hàm số tuần hoàn, chu kỳ p2 Tập giá trị é ù= -ë ûT 1;1 Hàm số đồng biến trong ( ) ( )p pp p- + + Îk k k2 22 ; 2 Hàm số nghịch biến trong ( ) ( )p pp p+ + Îk k k32 22 ; 2 TXĐ =D Là hàm số chẵn Hàm số tuần hoàn, chu kỳ p2 Tập giá trị é ù= -ë ûT 1;1 Hàm số đồng biến trong ( ) ( )p p p- + Îk k k2 ; 2 Hàm số nghịch biến trong ( ) ( )p p p+ Îk k k2 ; 2 Tô Vĩnh Hoài TÓM TẮT KIẾN THỨCTOÁN 11 Trang 5 y = tanx y = cotx TXĐ { }p p= + Î D k k2\ ; Là hàm số lẻ Hàm số tuần hoàn, chu kỳ p Tập giá trị = T Hàm số đồng biến trong ( ) ( )p pp p- + + Îk k k2 2; Có các đường tiệm cận p p= + Îx k k 2 ; TXĐ { }p= Î D k k\ ; Là hàm số lẻ Hàm số tuần hoàn, chu kỳ p Tập giá trị = T Hàm số nghịch biến trong ( ) ( )p p p+ Îk k k; Có các đường tiệm cận p= Îx k k; 1; Tìm tập xác định của hàm số a) ( ) ( ) P x y Q x = xác định khi ( ) 0Q x ¹ b) ( )y P x= xác định khi ( ) 0P x ³ c) ( ) ( ) P x y Q x = xác định khi ( ) 0Q x > d) ( ) ( )sin ; os y f x y c f x= = xác định khi f(x) xác định e) ( )tany f x= xác định khi ( ) ( ) 2 f x k kp p¹ + Î f) ( )coty f x= xác định khi ( ) ( )f x k kp¹ Î g) ( ) ( ) ( ) 2 f x a k tan f x t ana f x k p p p ¹ +ì ï¹ Û í ¹ +ïî h) ( ) ( ) ( ) f x a k cot f x cota f x k p p ¹ +ìï¹ Û í ¹ïî 2; Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số a) Áp dụng các tính chất của bất đẳng thức và với x" ta có : 1 sin 1; 1 cos 1x x- £ £ - £ £ ; 2 20 sin 1; 0 cos 1x x£ £ £ £ Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2sin 3y x= - x" Î ta có: 1 sin 1 2 2sin 2 5 2sin 3 1x x x- £ £ Û - £ £ Û - £ - £ - Tô Vĩnh Hoài TÓM TẮT KIẾN THỨCTOÁN 11 Trang 6 Vậy GTLN của hàm số bằng – 5 ; GTNN của hàm số bằng – 1 . b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sin cosy a x b x c= + + x" Î ta có: 2 2 2 2sin cosa b a x b x a b- + £ + £ + 2 2 2 2sin cosc a b a x b x c c a bÛ - + £ + + £ + + Vậy GTLN của hàm số bằng 2 2c a b+ + ; GTNN của hàm số bằng 2 2c a b- + . PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1; Phương trình lượng giác cơ bản a ; Phương trình sinx = m · Điều kiện có nghiệm : 1£m · Tìm góc a sao cho sina = m . ( )1: sinSDMT a m-= Ta được sinx = sina và áp dụng : p p p é = + = Û ê = - + Îë 2 sin sin 2 ( ) u v k u v u v k k Z Hay é = +ê ê = - +ë 0 0 0 360 180 360 u v k u v k nếu trong pt có cho độ · Trường hợp đặc biệt sinu = 0 u kpÛ = sin 1 2 ; sin 1 2 2 2 u u k u u kp pp p= Û = + = - Û = - + · Nếu m không phải là giá trị đặc biệt có thể sử dụng p p p p p é æ ö= + = Û - £ £ç ÷ê = - + è øë arcsin 2 sin arcsin 2 2arcsin 2 u m k u m Vôùi m u m k · ( )sin sina a- = - ; cos sin ; osu sin 2 2 u u c up pæ ö æ ö= - - = -ç ÷ ç ÷ è ø è ø b; Phương trình cosx = m · Điều kiện có nghiệm : 1£m · Tìm góc a sao cho cosa = m . ( )1: osSDMT a c m-= Tô Vĩnh Hoài TÓM TẮT KIẾN THỨCTOÁN 11 Trang 7 Ta được =cos cosx a và áp dụng 2 cos cos 2 ( ) u v k u v u v k k p p = +é = Û ê = - + Îë Z Hay é = + ê ê = - +ë 0 0 360 360 u v k u v k nếu trong pt có cho độ · Trường hợp đặc biệt cosu = 0 2 u kp pÛ = + cos 1 2 cos 1 2u u k u u kp p p= Û = = - Û = + · Nếu m không phải là giá trị đặc biệt có thể sử dụng ( )p p p = +é = Û £ £ê = - +ë arccos 2 cos 0 arccos arccos 2 u m k u m Vôùi m u m k · ( ) p pa p a a a a aæ ö æ ö- = - = - - = +ç ÷ ç ÷ è ø è ø cos cos ; sin os ; sin os 2 2 c c c; Phương trình tanx = m ( )2x kp p¹ + · Tìm góc a sao cho tana = m . ( )1: tanSDMT a m-= · Ta được tanx = tana và áp dụng tan tanu v u v kp= Û = + Hay = + 0180u v k nếu trong pt có cho độ · Đặc biệt p p p= Û = = ± Û = ± +tan 0 ; tan 1 4 u u k u u k · Nếu m không phải là giá trị đặc biệt có thể sử dụng p p p æ ö= Û = + - < <ç ÷ è ø tan arctan arctan 2 2 u m u m k Vôùi m · ( ) p pa a a a a aæ ö æ ö- = - = - - = +ç ÷ ç ÷ è ø è ø tan tan ; cot tan ; cot tan 2 2 d; Phương trình cotx = m ( )x kp¹ · Tìm góc a sao cho cota = m . 1 1: tanSDMT a m -æ öæ ö= ç ÷ç ÷è øè ø · Ta được cot cotx a= và áp dụng p= Û = +cot cotu v u v k Tô Vĩnh Hoài TÓM TẮT KIẾN THỨCTOÁN 11 Trang 8 Hay = + 0180u v k nếu trong pt có cho độ · Đặc biệt cot 0 ; cot 1 2 4 gu u k gu u kp pp p= Û = + = ± Û = ± + · Nếu m không phải là giá trị đặc biệt có thể sử dụng ( )p p= Û = + < <cot arccot 0 arccotu m u m k Vôùi m · ( ) p pa a a a a aæ ö æ ö- = - = - - = +ç ÷ ç ÷ è ø è ø cot cot ; tan cot ; tan cot 2 2 e; Chú ý : Không viết công thức nghiệm dạng 00 3602 kxhaykax +=+= ap 2; Phương trình bậc cao chỉ chứa 1 hàm số lượng giác a; Dạng phương trình 1. – 10 1 – 1sin sin . . . sin 0 n n n na x a x a x a+ + + + = 2. – 10 1 – 1cos cos . . . cos 0 n n n na x a x a x a+ + + + = 3. 10 1 – 1 tan tan . . . tan 0 n n n na x a x a x a -+ + + + = 4. – 10 1 – 1cot cot . . . cot 0 n n n na x a x a x a+ + + + = b; Phương pháp Đặt t = sinx ( hay cosx ; tanx ; cotx ) với t = sinx hay t = cosx phải có điều kiện 1£t ta được phương trình – 1 0 1 – 1 . . . 0 n n n na t a t a t a+ + + + = giải lấy nghiệm t thích hợp và áp dụng phương trình cơ bản Chú ý: 2 2cos2 2cos 1 1 2sinx x x= - = - ; 2 2 2 2sin 1 os ; os 1 sinx c x c x x= - = - c; Ví dụ Giải phương trình c1 ; cos2x – 3cosx – 4 = 0 Û 2cos2x – 3cosx – 5 = 0 ( 1 ) Đặt t = cosx ( điều kiện 1£t ) ta được ( 1 ) Û 2t2 – 3t – 5 = 0 51 ( ) 2 t hay t loaïiÛ = - = Với t = – 1 ta có cosx = – 1 pp 2kx +=Û c2 ; tan3x – tan2x – 3tanx + 3 = 0 Đặt t = tanx ta được t3 – t2 – 3t + 3 = 0 3; Phương trình bậc nhất đối với sinx ; cosx a; Dạng phương trình : asinx + bcosx = c Tô Vĩnh Hoài TÓM TẮT KIẾN THỨCTOÁN 11 Trang 9 b; Điều kiện có nghiệm : 222 cba ³+ c; Cách giải : Chia 2 vế của phương trình cho 22 ba + Ta được phương trình 222222 cossin ba cx ba bx ba a + = + + + Đặt 2222 sincos ba b ba a + =Þ + = aa Ta được ( ) 2222 sinsincoscossin ba cx ba cxx + =+Û + =+ aaa d; Ví dụ Giải phương trình )1(1cossin3 =+ xx Cách 1 : Vì a2 + b2 = 3 + 1 = 4 > c2 = 1 . Ta có ( 1 ) 2 1 6 sincos 6 cossin 2 1cos 2 1sin 2 3 =+Û=+Û pp xxxx 22 6 6sin sin ( )26 6 5 22 36 6 x kx k x k Z x kx k p p pp p p pp p pp é =+ = + éêæ ö êÛ + = Û Û Îêç ÷ ê = +è ø ê + = + ëêë 4; Phương trình đẳng cấp đối với sin , cosx a; Dạng phương trình ( ) – 10 1 . . . . 0 1n n nna sin x a sin x cosx a cos x+ + + = b; Cách giải * Khi cosx = 0 (ta xét 0a ) · Nếu 0 0a = ta có ( )1 0 0Û = (đúng) 2x k p pÞ = + là nghiệm của phương trình · Nếu 0 0a ¹ Từ (1) )0(0sin 0 ¹=Þ akhix ( Vô lí vì 2 2sin os 1x c x+ = ) * Khi cosx ¹ 0 chia cả 2 vế của pt cho cosn x ta được pt – 1 0 1 . . . 0 n n na tan x a tan x a+ + + = Tô Vĩnh Hoài TÓM TẮT KIẾN THỨCTOÁN 11 Trang 10 · Với pt ( )2 2 2 2sin sin cos cos 0 sin cosa x b x x c x d ta thay d d x x+ + + = = + c; Ví dụ Giải phương trình 3sin2x + ( 3 – 3 )sinxcosx – 3 cos2x = 0 ( 1 ) · Khi cosx = 0 ( 1 ) Û sinx = 0 (Vô lí vì 2 2sin os 1x c x+ = ) · Khi cosx ¹ 0 Ta có ( 1 ) Û 3tan2x + ( 3 – 3 )tanx – 3 = 0 5; Phương trình lượng giác khác Để giải một phương trình lượng giác chưa phải là dạng quen thuộc ta có thể kết hợp nhiều dạng khác nhau , có thể phân tích phương trình đă cho thành tích các thừa số , hoặc áp dụng tính chất bất đẳng thức đưa về hệ phương trình để giải 6; Nhận dạng tam giác Phương pháp Từ điều kiện đă cho lập phương trình hay hệ phương trình và áp dụng công thức quy gọn góc ( chú ý góc bù hay phụ nhau ) để tìm các ẩn số là các góc A , B , C của tam giác . Lưu ý điều kiện của các góc thuộc ( )0;p ĐẠI SỐ TỔ HỢP 1; Phép đếm a; QUI TẮC CỘNG Giả sử để hoán thành một hành động (H) ta có thể thực hiện qua các trường hợp A hoặc B hoặc C … (mỗi trường hợp đều hoàn thành công việc) Nếu A có m cách ; B có n cách ; C có p cách thì (H) có m + n + p …cách b; QUI TẮC NHÂN Giả sử để hoàn thành một hành động (H) ta cần thực hiện qua các bước A ; B ; C … liên tiếp nhau Nếu A có m cách ; B có n cách ; C có p cách thì (H) có m . n . p …cách 2; Giai thừa cho n Î a; n! = 1.2.3.4…n Ví dụ 6! = 1.2.3.4.5.6 = 720 b; Qui ước 0! = 1 c; Qui tắc ngắt giai thừa n! = k!.(k + 1)(k + 2)…n Ví dụ 10! = 8!.9.10 3; Hoán vị Tô Vĩnh Hoài TÓM TẮT KIẾN THỨCTOÁN 11 Trang 11 a; Hoán vị : Cho A có n- phần tử , mỗi cách sắp thứ tự n- phần tử của A gọi là một hoán vị b; Số hoán vị : Pn = n! Ví dụ: Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau Giải : Mỗi cách lập một số là một hoán vị của 4 phần tử.. Vậy có P4 = 4! = 24 số 4; Chỉnh hợp a; Chỉnh hợp : Cho tập A có n phần tử mỗi bộ sắp thứ tự gồm k phần tử của A ( ; 0 )k k nÎ < £ gọi là một chỉnh hợp chập k của n b; Số chỉnh hợp chập k của n : ( ) ! ( 1)( 2).... ! k n k thöøa soá nA n k n k n n k = = - + - + -  Ví dụ : Một nhóm học sinh có 10 người , có bao nhiêu cách chọn 3 người để làm 3 công việc khác nhau. Giải : Mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 của 10 Vậy có ( ) 72010.9.8!7 10.9.8.!7 !7 !10 !310 !103 10 ====- =A 5; Tổ hợp a; Tổ hợp : Cho tập A có n phần tử mỗi tập hợp gồm k phần tử của A ( ; 0 )k k nÎ £ £ gọi là một tổ hợp chập k của n b; Số tổ hợp chập k của n : ( )!.! ! knk nC kn - = Ví dụ : Một nhóm học sinh có 10 người , có bao nhiêu cách chọn 3 người để làm 3 công việc giống nhau Giải : Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 3 của 10 Vậy có ( ) 120!7.3.2.1 10.9.8.!7 !7.!3 !10 !310.!3 !103 10 ===- =C c; Tính chất 11 10 1 ++ +- =+=== kn k n k n kn n k n n nn CCCCCCC 6; Cách phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp : Chỉnh hợp đ̣i hỏi thứ tự c̣òn tổ hợp không cần thứ tự tức là khi thay đổi thứ tự các phần tử mà kết quả thay đổi thì là chỉnh hợp c̣òn kết quả không thay đổi thì là tổ hợp Tô Vĩnh Hoài TÓM TẮT KIẾN THỨCTOÁN 11 Trang 12 NHỊ THỨC NIUTƠN 1; Khai triển nhị thức Niutơn ( ) nnnnnnnnnnnnn bCabCbaCbaCaCba +++++=+ ---- 11222110 ... Số hạng tổng quát thứ k + 1 của khai triển : kknknk baCT - + =1 2; Tam giác Pascan ( Giá trị của knC ) Cách lập A + B C Muốn tìm knC ta tìm số ở ḍòng n cột k . Ví dụ 15 4 6 =C (ḍòng 6; cột 4 ) n \ k 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 BÀI TẬP 1; Từ các chữ số 0.1, 2 . 3 ,4 , 5 , 6 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số : a ; Chia hết cho 5 Gọi số cần tìm là ABCDE A có 6 cách chọn ; B có 7 cách chọn ; C có 7 cách chọn; D có 7 cách chọn ; E có 2 cách chọn . Vậy có : 6.7.7.7.2 = 4116 số b; Đôi một khác nhau chia hết cho 2 Gọi số cần tìm là ABCDE E { }6,4,2,0Î · E = 0 E có 1 cách chọn . A có 6 cách chọn B có 5 cách chọn. C có 4 cách chọn D có 3 cách chọn Vậy có : 1.6.5.4.3 = 360 số · E { }6,4,2Î E có 3 cách chọn. A có 5 cách chọn B có 5 cách chọn C có 4 cách chọn D có 3 cách chọn Vậy có : 3.5.5.4.3 = 900 số Tô Vĩnh Hoài TÓM TẮT KIẾN THỨCTOÁN 11 Trang 13 Vậy có 360 + 900 = 1260 số c; Các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau Gọi số cần tìm là ABCBA A có 6 cách chọn ; B có 7 cách chọn ; C có 7 cách chọn . Vậy có 6.7.7 = 294 số 2; Từ các chữ số 1 , 2 . 3 ,4 , 5 , 6 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau . Tính tổng các số đó Mỗi cách lập một số là một chỉnh hợp chập 4 của 6 . Vậy có 3603.4.5.646 ==A số Trong các số đã lập với mỗi số x thì tồn tại một số y sao cho x + y = 7777 Vậy tổng các số đó là ( 360 : 2 ) . 7777 = 1399860 3; Cho đa giác có n cạnh Đa giác có n cạnh thì có n đỉnh a; Qua 2 đỉnh lập được 1 đoạn thẳng ( gồm cạnh và đường chéo ) Vậy có 2 3 2 )1( 22 nnnnnnCn - =- - =- đường chéo b; Lập được bao nhiêu tam giác · Qua 3 đỉnh lập được 1 tam giác . Vậy có 3nC tam giác · Qua một đỉnh hợp với 2 cạnh kề nó lập được một tam giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác nên có n tam giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác · Qua một cạnh hợp với một đỉnh không kề cạnh đó của đa giác lập được một tam giác chỉ có một cạnh là cạnh của tam giác nên có n( n – 4) tam giác chỉ có một cạnh là cạnh của tam giác · Vậy có 3nC – n – n (n – 4) = 3 nC – n 2 + 3n tam giác không chứa cạnh nào của tam giác 4; Trong khai triển 10 2 3 2 ÷ ø ö ç è æ + x x a; Tìm số hạng chính giữa của khai triển b; Tìm số hạng không chứa x của khai triển Giải Số hạng tổng quát thứ k + 1 của khai triển kkk k kk k xCx xCT 530102 103 101 2 2)( --+ =÷ ø ö ç è æ= Tô Vĩnh Hoài TÓM TẮT KIẾN THỨCTOÁN 11 Trang 14 a; Số hạng chính giữa của khai triển là 55510 5 6 80642 xxCT == b; Tk + 1 là số hạng không chứa x 60530 =Û=-Û kk Vậy số hạng không chứa x là 134402 610 6 7 == CT 5; Chứng minh một đẳng thức a; Từ khai triển của ( ) nnnnnnnnnn xCxCxCxCCx +++++=+ -- 112210 ...1 · Cho x = 1 ta được nnn n nnnn CCCCC 2... 1210 =+++++ - · Cho x = – 1 ta được ( ) 01...210 =-+-+- nnnnnn CCCC · Cho x = a ta được ( )0 1 2 2 1 1... 1 nn n n nn n n n nC aC a C a C a C a- -+ + + + + = + b; Từ khai triển của ( )2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 22 2 2 2 21 ... n n n n n n n n n nx C C x C x C x C x - -+ = + + + + + Cho x = – 1 ta đđược 0 1 2 2 2 1 2 1 2 22 2 2 2 2... 0 n n n n n n n n nC C x C x C x C x - -- + - - + = 0 2 4 2 1 3 5 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2C C C ... C C C C ... C n n n n n n n n n n -Û + + + + = + + + + c; Vì 2 12 1 2 1C C , , 2 1 k n k n n k k n + - + += " Î £ + nên ta có 0 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1C C C ... C C C C ... C n n n n n n n n n n n n n - + + + + + + + + + + ++ + + + = + + + + 6; Giải phương trình Để giải phương trình ta cần đặt điều kiện cho ẩn số và áp dụng công thức tổ hợp , chỉnh hợp đưa về phương trình đại số để giải XÁC SUẤT 1. Tập hợp W tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu a) Gieo n con súc sắc thì 6nW = b) Gieo n đồng tiền thì 2nW = c) Lấy k viên bi trong thùng có n viên thì knCW = d) Thùng 1 có m viên, thùng 2 có n viên . Lấy k viên ở thùng 1 và h viên ở thùng 2 thì .k hm nC CW = Tô Vĩnh Hoài TÓM TẮT KIẾN THỨCTOÁN 11 Trang 15 2. Một biến cố A liên quan tới phép thử T là AW Ì W . Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T thộc AW . Mỗi phần tử của AW gọi là kết quả thuận lợi cho A 3. Hai biến cố A, B gọi là xung khắc nếu A, B không đồng thời xảy ra. 4. Hai biến cố A, B gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia. 5. Xác suất của A là ( ) AP A W = W ( X là số phần tử của tập X ) 6. 1 2, ,..., kA A A là các biến cố đôi một xung khắc th? ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2... ...k kP A A A P A P A P A= + + +   7. A là biến cố đối của biến cố A thì ( ) ( )1P A P A= - 8. 1 2, ,..., kA A A là các biến cố độc lập thì ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2... ...k kP A A A P A P A P A= 9. X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là { }1 2, ,..., nx x x a. Kỳ vọng của X là ( ) 1 n i i i E X x p = =å với ( ) ( ), 1,2,3,...,i ip P X x i n= = = b. Phương sai của X là ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 n n i i i i i i V X x p hay V X x pm m = = = - = -å å trong đó ( ) ( ), 1,2,3,...,i ip P X x i n= = = và ( )E Xm = c. Độ lệch chuẩn ( ) ( )X E Xs = DĂY SỐ - CẤP SỐ DĂY SỐ I/- Tính đơn điệu của dăy số 1/- Định nghĩa : Cho dăy số (un) nếu với *n" Î ta có : a; un < un + 1 thì dăy số (un) là dăy số tăng b; un > un + 1 thì dăy số (un) là dăy số giảm c; Một dăy số tăng (hay giảm) gọi là dăy số đơn điệu 2/- Cách xét tính đơn điệu của dăy số Phương pháp : Để xét tính đơn điệu của dăy số ta có thể áp dụng tính chất bất đẳng thức để suy ra trực tiếp . Hoặc xét hiệu M = un + 1 – un a, Nếu un + 1 – un > 0 , *n" Î thì (un) là dăy số tăng Tô Vĩnh Hoài TÓM TẮT KIẾN THỨCTOÁN 11 Trang 16 b, Nếu un + 1 – un < 0 , *n" Î thì (un) là dăy số giảm c, Ngoài 2 trường hợp trên thì (un) là dăy số không tăng, không giảm Nếu 0nu n> " ta có thể xét 1 n n u u + 1 1n n u u + · > thì (un) là dăy số giảm 1 1n n u u + · < thì (un) là dăy số tăng 3/- Ví dụ : Xét tính đơn điệu của dăy số sau : a; un = n2 + 1 Cách 1 : *n" Î ta có 1 £ n < n + 1 Û n2 < (n + 1)2 Û n2 + 1< (n + 1)2 + 1 Û ; un < un + 1 nên (un) là dăy số tăng Cách 2 : *n" Î ta có un + 1 – un = (n + 1)2 + 1 – [n2 + 1] = (n + 1)2 – n2 = 2n + 1 > 0 *n" Î nên (un) là dăy số tăng b; un = 2 1 5 7n n- + *n" Î ta có un + 1 – un = ( ) ( )2 2 1 1 5 71 5 1 7 n nn n - - ++ - + + ( ) ( ) ( ) 22 2 2 22 5 1 5( 1) 4 2 ( 1) 5( 1) 7 5 71 5( 1) 7 5 7 n n n n n n n n nn n n n - - + + + - = = é ù é ù+ - + + - +é ù+ - + + - + ë ûë ûë û Vì n2 – 5n + 7 > 0 *n" Î và 4 – 2n > 0 khi n < 2 ; 4 – 2n < 0 khi n>2. Vậy (un) là dăy số không tăng , không giảm c; un = (–1) n.n Ta có u1 = –1 ; u2 = 2 ; u3 = –3 . Vậy (un) là dăy số không tăng , không giảm II/- Tính bị chặn của dăy số 1/- Định nghĩa Cho dăy số (un) nếu với *n" Î ta có: a; nM saocho u M$ £ thì dăy số (un) bị chặn trên b; nm saocho u m$ ³ thì dăy số (un) bị chặn dưới c; Dăy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dăy số bị chặn Tô Vĩnh Hoài TÓM TẮT KIẾN THỨCTOÁN 11 Trang 17 2/- Ví dụ Xét tính bị chặn của dăy số 2 3 1n nu n - = + Ta có un = 2 5 1n - + . V́ *n" Î ta có 1 < n + 1 5 5 55 5 0 3 2 2 1 1 1n n n Û < Û - < < Û - < - < + + + Vậy (un) là dăy số bị chặn CẤP SỐ CỘNG 1/- Định nghĩa ( n u ) là một cấp số cộng nếu *n" Î , $d sao cho 1n u + = n u + d d : công sai ; n u là số hạng tổng quát thứ n . Ví dụ ° 1 , 3 , 5 , 7 , . . . . . là cấp số cộng có công sai d = 2 ° 2 , 1 , 0 , –1 ; –2 , . . . là cấp số cộng có công sai d = – 1 2/- Tính chất a; Số hạng tổng quát thứ n : 1 ( 1) nu u n d= + - b; (un) là cấp số cộng thì un –1 + un + 1 = 2un Hay 3 số a ; b ; c lập thành cấp số cộng Û a + c = 2b 3/- Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng ( ) ( )11 2 1S 2 2 + -é ù+ ë û= =nn n u n dn u u Bài tập Vấn đề 1 Chứng minh một dăy số là cấp số cộng Phương pháp Cách 1 : Chứng minh un + 1 – un = d . d là 1 số không đổi *n" Î Cách 2 : Chứng minh un – 1 + un + 1 = 2 un, *n" Î , n >1 Ví dụ 1/- Cho (un) với un = 1 – 3n . Chứng minh rằng (un) là cấp số cộng Ta có un + 1 – un = 1 – 3(n + 1) – (1 – 3n) = –3 *n" Î Vậy (un) là cấp số cộng có công sai d = –3 2; Chứng minh rằng 3 số dương a; b; c lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 1 1 1; ; b c c a a b+ + + lập thành cấp số cộng .Ta có Tô Vĩnh Hoài TÓM TẮT KIẾN THỨCTOÁN 11 Trang 18 1 1 1 1 1 2SC ; ;C b c c a a b a b b c a c Û + = + + + + + + ( )( ) ( )( ) ( )( )2a c a b a c b c a b b cÛ + + + + + = + + Û a +2 ab +2 bc +2 ca + c = 2 ab +2 bc +2 ca +2b Û a + c = 2b Û a, b, c lập thành cấp số cộng Vấn đề 2 Xác định cấp số cộng Phương pháp để xác định 1 cấp số cộng từ điều kiện đă cho áp dụng công thức un = u1 + (n – 1).d và ( )12 1S 2 + -é ùë û=n n u n d đưa về hệ phương trình ẩn số u1 và d Ví dụ 1/- Xác định u1 và d của cấp số cộng biết 2 3 5 1 6 10 17 u u u u u - + =ì í + =î Ta có 2 3 5 1 6 10 17 u u u u u - + =ì í + =î 1 1 1 1 1 ( 2 ) 4 10 5 17 u d u d u d u u d + - + + + =ì Û í + + =î 1 1 1 3 10 1 2 5 17 3 u d u u d d + = =ì ì Û Ûí í+ = =îî 2/- Giữa 2 số a ; b hăy đặt thêm k số nữa để được cấp số cộng Ta có cấp số cộng có k + 2 số hạng nên u1 = a ; uk +2 = b Û u1 + (k + 1)d = b Û a + (k + 1)d = b Û 1 b ad n - = + Áp dụng un + (n – 1)d ta lần lượt tính được các số cần tìm Vấn đề 3 Tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm lập thành cấp số cộng 1/- Phương trình 3 2 0ax bx cx d+ + + = có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng Ph trình có 3 nghiệm x1; x2; x3 lập thành cấp số cộng Þ x1 + x3 = 2x2 Tô Vĩnh Hoài TÓM TẮT KIẾN THỨCTOÁN 11 Trang 19 Theo định lí Viet ta có x1 + x2 + x3 = b a - Û 3x2 = b a - Û x2 = 3 b a - x2 là nghiệm của p. trình nên thay x2 vào p. trình ta tìm được giá trị tham số Thử lại : Thay giá trị tham số vào phương trình và giải để kiểm tra ,chú ý phương trình có 1 nghiệm là x2 = 3 b a - Ví dụ : Tìm m để phương trình : x3 – 3x2 + 2mx + m – 1 = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Giả sử phương tŕnh (1) có 3 nghiệm x1; x2; x3 lập thành cấp số cộng Þ x1 + x3 = 2x2 . Theo định lí Viet ta có x1 + x2 + x3 = b a - = 3 Û 3x2 = 3 Û x2 = 1 x2 = 1 là nghiệm của phương trình (1) Û 1 – 3 + 2m + m – 1 = 0 Û m = 1 Khi m = 1 ta có (1) Û x3 – 3x2 + 2x = 0 Û x (x2 – 3x + 2) = 0 Û 2 0 0 1 23 2 0 x x x xx x = =é é Ûê ê = Ú =- + = ëë Ta có (1) có 3 nghiệm 0 ; 1 ; 2 lập thành cấp số cộng . Vậy m = 1 2/- Phương trình 4 2 0ax bx c+ + = có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Đặt t = x2 ( )0t ³ ta được at2 + bt + c = 0 (2) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt Û phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt t1 ; t2 thoả 0 < t1 < t2 . Khi đó (1) có 4 nghiệm phân biệt 2 1 1 2; ; ;t t t t- - lập thành cấp số cộng Û 2 1 1 2 1 2 12 3 9t t t t t t t- = Û = Û = Vì t1 ; t2 là nghiệm của (2) theo định lí Viet ta có 1 2 1 110 10 b b bt t t t a a a + = - Û = - Û = - Từ điều kiện t1 là nghiệm của pt (2) ta tìm được giá trị tham số và thử lại Tô Vĩnh Hoài TÓM TẮT KIẾN THỨCTOÁN 11 Trang 20 CẤP SỐ NHÂN 1/- Định nghĩa Dăy số (un) được gọi là cấp số nhân nếu $ q sao cho un +1= un.q Î"n N* . q được gọi là công bội của cấp số nhân Nếu u1 = 0 thì CSN 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; . . . . . q tuỳ ý Nếu q = 0 thì CSN u1; 0; 0; 0; . . . . . . Nếu q = 1 thì CSN u1; u1; u1; . . . . . . 2/- Tính chất a; Số hạng tổng quát un = u1.qn – 1 b ; un – 1 . un + 1 = ( un) 2 ( với n > 1 ) hay CSN a; b; c Û a.c = b2 c ; Tổng n số hạng đầu tiên q = 1 thì Sn = n.u1 q ¹ 1 thì 1 1S . 1 - = - n n qu q CSN lùi vô hạn là