Tuyển tập các chuyên đề Đại số lớp 9

Trang 1 TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 17 QUANG TRUNG Cần Thơ 2013 Địa chỉ: 17 Quang Trung – Xuân Khánh – Ninh Kiều – Cần Thơ Điện thoại: 0939.922.727 – 0915.684.278 – (07103)751.929 Trang 2 Chủ đề 1 RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN ------- Phần I: KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các hằng đẳng thức 1)  2 2 2a b a 2a.b b    2)  2a b a 2 ab b     a,b 0 3)  2 2 2a – b a - 2a.b b  4)  2a b a 2 ab b     a,b 0 5)    2 2a – b a – b . a b  6)    a b a b . a b     a,b 0 7)  3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b     8)  3 3 2 2 3a – b a – 3a b 3ab – b  9)    3 3 2 2a b a b . a – ab b    10)   3 3a a b b a b a b a ab b        a,b 0 11)    3 3 2 2a b a b . a ab b     12)   3 3a a b b a b a b a ab b        a,b 0 13)  2 2 2 2a b c a b c 2ab 2bc 2ca        14) 2( a b c) a b c 2 ab 2 bc 2 ca         a,b,c 0 15) 2a a TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 17 QUANG TRUNG Đ/c: 17 Quang Trung – Xuân Khánh – Ninh Kiều – Cần Thơ ĐT: 0939.922.727 – 0915684.278 – 07103.751.929 Trang 3 Phần II: PHÂN DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Rút gọn biểu thức không có điều kiện. Bài 1. Tính a) 10. 40 b) 5. 45 c) 2. 162 d) 5. 125 e) 9 169 f) 12,5 0,5 Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau A 4 2 3  B 13 160 53 4 90    C 3 5 3 5    D 2 5 125 80 605    E 15 216 33 12 6    Bài 3. Tính các giá trị sau a) 10 2 10 8 5 2 1 5     b) 2 8 12 5 27 18 48 30 162      c) 2 3 2 3 2 3 2 3      d) 16 1 42. 3. 6. 3 27 75   e) 4 32 27 6 75 3 5   f) 3 5.(3 5) 10 2    g) 8 3 2 25 12 4 192  k) 2 3 ( 5 2)  Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau 15 12 1A 5 2 2 3      8 32 18B 6 5 14 9 25 49    15 5 5 2 5C 3 1 2 5 4       2 3 6 8 16D 2 3 2        E (4 15)( 10 6) 4 15    F (5 4 2)(3 2 1 2 )(3 2 1 2 )      Dạng 2: Rút gọn biểu thức có điều kiện Bài 1. Rút gọn biểu thức a) 2x 5 x 5   (Với x 5  ) b) 2 2 x 2 2.x 2 x 2    (với x 2  ) c) 29x 2x (với x 4) e) 23(a 3) (với a 3 ) f) 2 2b (b 1) (với b < 0) Trang 4 Bài 2. Rút gọn biểu thức A= (x y y x )( x y) x y    (với x>0 và y>0) B= x 1 2 x 2 5 x x 2 x 2 4 x        (với x 0 và x 4 ) C= a b a b a b a b      (với a 0, b 0  và a b ) Bài 3. Cho biểu thức: (2 x y)(2 x y)  a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định. b) Rút gọn biểu thức với điều kiện trên. Bài 4. Cho biểu thức 1 1 a 1 a 2A : a 1 a a 2 a 1               a) Tìm điều kiện để A xác định. b) Rút gọn A. Bài 5. Cho biểu thức 3 3 2x 1 x x 1B : x x x 1 1 xx 1                 a) Tìm điều kiện để B xác định. b) Rút gọn B. Bài 6. Cho biểu thức x x 9 3 x 1 1C : 9 x3 x x 3 x x                 a) Tìm điều kiện để C xác định. b) Rút gọn C. Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau 2 2 x 4 4A 2 x 4x 4     (với x 2 ) a a b b a b b a a bB : a b a b a b                  (vớia;b 0;a b  ) 2 1x x 4C 2x 1     (với 1x 2   ) 3 3ab b ab a 2 a 2 bD : a ba b a b            (với a;b 0;a b  ) Trang 5 Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến Bài 1. Cho biểu thức 2A 2x x 6x 9    . Tính giá trị của A khi x 5  Bài 2. Cho biểu thức 1 1B 1 x 1 x     . Tính giá trị của biểu thức khi x = 4. Bài 3. Cho biểu thức 2 1 1C 1 a : 1 1 a 1 a             . Tính giá trị của biểu thức C tại a = 1 và a = 3 2 3 . Bài 4. Cho biểu thức 1 1 1 1D : x 1 x 1 x 1 x 1 x                 Tính giá trị của biểu thức tại x 5  Bài 5. Cho biểu thức x 1 1 8 x 3 x 2E : 1 9x 13 x 1 1 3 x 3 x 1                   Tính giá trị của biểu thức tại x 3 2 2  Bài 6. Cho biểu thức A= 215a 8a 15 16  a. Rút gọn A. b. Tính giá trị của A khi 3 5a 5 3   Dạng 4: Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức. Bài 1. Cho biểu thức: 2A 4x 4x 12x 9    . Tính giá trị của x, biết A 15  Bài 2. Cho biểu thức a a a a aB : b aa b a b a b 2 ab                  Biết rằng khi a 1 b 4  thì B = 1. Tìm a; b. Bài 3. Cho biểu thức (16 x ) x 3 2 x 2 3 x 1C : x 4 x 2 x 2 x 4 x 4               Tìm x khi biết C = 4. Trang 6 Bài 4. Cho biểu thức a 1 2a a a 1 2a aD 1 : 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a 1                       a) Tìm a biết D 1  b) Tìm a biết D 4  Bài 5. Cho biểu thức 3 3a b a bA a b a b ab        a) Tìm điều kiện của a, b để A xác định. b) Rút gọn A. c) Tìm điều kiện của a, b để A 0 Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên Chú ý: a b U(a) b    Bài 1. Cho biểu thức a 2 2 a a 1A . a 1 1 a 2 a a            . Tìm giá trị của m để A nhận giá trị nguyên. Bài 2. Cho biểu thức   a 1 a b3 a 3a 1B : a ab b a a b b a b 2a 2 ab 2b               a) Rút gọn B với a 0,b 0,a b   . b) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức B nhận giá trị nguyên. Bài 3. Cho biểu thức a 2 1 a 3a 3 9aC 1 a 2 a a a 2            Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức C đạt giá trị nguyên. Bài 4. Cho biểu thức x 2 x 1 x 5 x 12A 9 xx 3 x 3          a) Tìm điều kiện để A xác định. b) Rút gọn A. c) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Dạng 6. Tìm giá trị của biến khi biết dấu của biểu thức. Bài 1. Cho biểu thức x 1 1 2A : x 1x 1 x x x 1               . Tìm x để A 0 Bài 2. Cho biểu thức x x 3 3 x 1 1A : 9 x3 x x 3 x x                 (với x 0, x 9  ) Trang 7 a) Rút gọn A. b) Tìm x sao cho A 1  Bài 3. Cho biểu thức 1 1 a 1 a 2A : a 1 a a 2 a 1               a) Tìm điều kiện xác định của A. b) Rút gọn A. c) Tìm a để A 0 Bài 4. Cho biểu thức a 2 a 1 a 1A : 2a a 1 a a 1 1 a             (với a 0,a 1  ) a) Rút gọn A. b) Chứng minh rằng: 0 A 2  Bài 5. Cho biểu thức 2x 2 x 2 1 xA . x 1 x 2 x 1 2                a) Rút gọn A. b) Chứng minh rằng nếu 0 x 1  thì A 0 c) Tính giá trị lớn nhất của A. BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1. Cho biểu thức A = 2x x 2x x 2(x 1) 1. x x 1 x x 1 x x 1             a. Rút gọn A. b. Tính giá trị của biểu thức A biết x 4 c. Tính giá trị của x biết 1 A 3  d. Chứng minh rằng A > 0. e. Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên. f. Tìm giá trị của x để 1A 4  Bài 2. Cho biểu thức 2 1 1P 1 x : 1 1 x 1 x             (với 1 x 1   ) a. Rút gọn biểu thức P. b. Tìm x để P 1 Trang 8 Bài 3. Cho biểu thức x x 1 x 1A x 1 x 1       a. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của biểu thức A khi 9x 4  c. Tìm tất cả các giá trị của x để A 1 Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau a. 2 3 3 27 300  b.   1 1 1: x x x 1 x x 1        Bài 5. Cho biểu thức x 2 x 1 x 1P x 1x x 1 x x 1          a. Rút gọn P. b. Chứng minh 1P 3  với 0 x 1  Bài 6. Cho biểu thức M= x x 1 x x 1 1 x: x x x x x x             a. Rút gọn M. b. Tìm x nguyên để M nguyên. Bài 7. Cho biểu thức A= x 1 1 x 4 x 2 x 2      (với 0 x 4  ) a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của biểu thức A khi x 25 c. Tìm giá trị của x để 1A 3   Bài 8. Cho biểu thức N= n 1 n 1 n 1 n 1      (với 0 n 1  ) a. Rút gọn biểu thức N. b. Tìm n nguyên để N nguyên. Trang 9 Chủ đề 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ---------- Phần I. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa. 2. Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm. Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm. ax by c a 'x b 'y c '      (a,b,c,a ',b ',c ' 0) + Hệ có vô số nghiệm nếu: a b c a' b ' c '   + Hệ vô nghiệm nếu: a b c a' b ' c '   + Hệ có nghiệm duy nhất nếu: a b a' b '  3. Các phương pháp giải hệ ax+by=c a'x+b'y=c'    a) Phương pháp cộng đại số. b) Phương pháp thế. Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trước khi áp dụng các phương pháp giải hệ. Phần II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải hệ phương trình không chứa tham số Bài 1. Giải các hệ phương trình sau a) 2x y 7 4x 3y 4      b) 17x 4y 2 13x 2y 1      c) 12x 5y 9 120x 30y 34      d) 2x y 2 5x 3y 5 2       e)    3 x 7 4 y 5 4x 3y 8 0         f) x 2 y 3 1 5x 2 4y 3 8       g)     3.x 1 2 y 1 1 2 x 3.y 1         k) 3x 2 2y 7 2x 3 3y 2 6        Trang 10 Bài 2. Giải các hệ phương trình. a) 3x 3y 8 1 x y 4 2        b) 2 3 2 x y 1 1 5 x y         c) 4 9 1 2x 1 y 1 3 2 13 2x 1 y 1 6              d) 2 1 1 y y 1 2 8 x y         Dạng 2: Giải hệ phương trình khi biết giá trị của tham số Bài 1. Cho hệ phương trình 2 2 3mx (n 3) 6 (m 1)x 2ny 13         a. Giải hệ phương trình với m 2 ;n 1  b. Giải hệ phương trình với m 1 ;n 3   Dạng 3: Giải biện luận phương trình có chứa tham số Ví dụ: Cho hệ phương trình mx y 2 2x y 1      Giải và biện luận hệ theo m. Bài giải Ta có mx y 2 (2 m)x 3 (1) 2x y 1 2x y 1 (2)             Xét phương trình    1 : 2 m x 3   Nếu 2 m 0 m 2     thì phương trình (1) có dạng 0.x 3 . Do phương trình này vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.  Nếu 2 m 0 m 2     thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất là 3x 2 m   . Thay vào phương trình (2) ta có: 6 4 my 2x 1 1 2 m 2 m         Vậy với m 2  thì hệ có nghiệm duy nhất: 3x 2 m   và 4 my 2 m    Dạng 4: Tìm giá trị tham số khi biết dấu các nghiệm của hệ phương trình Bài 1. Cho hệ phương trình x 2y 5 mx y 3      Tìm m để x 0, y 0  Trang 11 Bài 2. Cho hệ phương trình 2 2 x my m m 1 mx 3y m 4m          Tìm m để x 0, y 0.  Dạng 5: Tìm giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình 1. Tìm 1 giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình Phương pháp giải Cho hệ phương trình ax by c (1) a 'x b 'y c ' (2)      có nghiệm 0 0 x x y y     Thay 0 0x x ; y y  lần lượt vào (1) giải.  Thay 0 0x x ; y y  lần lượt vào (2) giải. Ví dụ 1 Cho hệ phương trình: 2 3x 2y 7 (1) (5n 1)x (n 2)y n 4n 3 (2)          Tìm n để hệ có nghiệm    x;y 1; 2  Bài giải  Thay    x;y 1; 2  vào (1) ta có  3.1 2. 2 7   thoả mãn. Vậy    x;y 1; 2  là nghiệm của (1).  Thay    x;y 1; 2  vào (2) ta có 2(5n 1) 2(n 2) n 4n 3      2 n 07n 3 n 4n 3 n(n 11) 0 n 11             Vậy n 0 hoặc n 11 thì hệ đã cho có nghiệm     x; y 1; 2  Ví dụ 2 Cho hệ phương trình 2 2 15m(m 1)x my (1 2m) (1) 3 4mx 2y m 3n 6 (2)            Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x 1; y 3.  Bài giải ĐK để hệ có nghiệm duy nhất là 12.5m.(m 1) m.4m 3    Thay x 1; y 3  vào (1) ta có 2 2 25m 5m m 1 4m 4m m 1 m 1           Thay x 1; y 3  vào (2) Trang 12 ta có 2 m 0 4m 6 m 3m 6 m(m 1) 0 m 1            Vậy m 1 thì hệ có nghiệm x 1;y 3.  2. Tìm 2 giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình Phương pháp giải Cho hệ phương trình ax by c (1) a 'x b 'y c ' (2)      có nghiệm 0 0 x x y y    Thay 0 0x x ; y y  vào cả hệ pt ta có 0 0 0 0 ax by c a 'x b 'y c '      Sau đó giải phương trình chứa ẩn là tham số. Ví dụ Cho hệ phương trình 2mx (n 2)y 9 (m 3)x 2ny 5        Tìm m; n để hệ có nghiệm x 3; y 1   Bài giải Thay x 3; y 1   vào hệ phương trình ta có: 6m (n 2)( 1) 9 3m 2n 4 m 2 3(m 3) 2n( 1) 5 12m 2n 14 n 5                        Vậy với m 2;n 5  thì hệ có nghiệm x 3; y 1.   Dạng 6: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y Phương pháp giải Cho hệ pt ax by c (1) a 'x b 'y c ' (2)      có nghiệm thoã mãn  px qy d 3   Do  x; y là nghiệm của hệ và thoã mãn (3) Suy ra  x;y là nghiệm của      1 , 2 , 3  Kết hợp 2 phương trình đơn giản nhất.  Tìm nghiệm thay vào phương trình còn lại. Giải pt chứa ẩn là tham số. Ví dụ 1 Cho hệ phương trình 3x 2y 8 (1) 3mx (m 5)y (m 1)(m 1) (2)          Tìm m để hệ có nghiệm  x; y thoã mãn  4x 2y 6 3   Bài giải Điều kiện có nghiệm: 3.(m 5) 6m 0 m 5     . Trang 13  Do   x; y là nghiệm của hệ và thoã mãn (3) nên (x;y) là nghiệm của (1),(2),(3).  Kết hợp (1) với (3) ta có: 3x 2y 8 x 2 4x 2y 6 y 1                Thay x 2, y 1    vào (2) ta được: 2 26m (m 5) m 1 m 5m 4 0        m 1 m 4     (thoả mãn) Vậy với m 1 hoặc m 4 thì hệ có nghiệm thoả mãn 4x 2y 6.   Ví dụ 2 Cho hệ phương trình mx y 5 (1) 2mx 3y 6 (2)      Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn      2m 1 x m 1 y m 3    Bài giải Điều kiện có nghiệm m.3 2.m m 0    Từ (1) y 5 mx.   Thay vào (2) ta có: 2mx 3.(5 mx) 6   9x m   ( m 0 )  Thay 9x m  vào y 5 – mx ta có y 5 9 4.    Vậy với m 0 hệ có nghiệm 9x m  và y 4   Thay 9x m  ; y 4  vào (3) ta được 9(2m 1). (m 1)( 4) m m      2918 4m 4 m 5m 14m 9 0 (m 1)(m 9) 0 m              m 1 9m 5      (thoả mãn) Vậy với m 1 hoặc 9m 5  thì hệ có nghiệm duy nhất thoã mãn (3). Dạng 7: Tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm nguyên Chú ý  a m U(a) m    (a,m )  a m  và b m  m U(a,b)  Trang 14 Ví dụ 1 Cho hệ phương trình (m 2)x 2y 5 (1) mx y 1 (2)       Tìm m để hệ có nghiệm nguyên. Bài giải  Từ (2) ta có y mx 1  . Thay vào (1) ta được    m 2 x 2 mx –1 5   73mx 2x 7 x(3m 2) 7 x 3m 2          ( 2m 3   )  Thay vào 7 4m 2 y mx –1 y .m 1 y 3m 2 3m 2          (3) Để  7x 3m 2 U(7) 1; 7 3m 2             + Với 3m 2 7 m 3      . Thay m 3  vào (3), ta có y 2 (nhận). + Với 53m 2 7 m 3     (loại) + Với 13m 2 1 m 3      (loại) + Với 3m 2 1 m 1      . Thay m 1  vào (3) ta có y 6 (nhận). Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì m 3  hoặc m 1  Ví dụ 2 Cho hệ phương trình (m 3)x y 2 (1) mx 2y 8 (2)       Tìm m để hệ có nghiệm nguyên. Bài giải  Từ (1) ta có  y 2 – m – 3 x y 2 mx 3x      Thay vào (2) ta có  mx 2 2 – mx 3x 8 mx 6x 4 x(6 m) 4          4x 6 m    đk: ( m 6 )  Thay vào (1) ta có 24 6my 6 m    ( m 6 ) (3)  Để  4x 6 m U(4) 1; 2; 4 6 m              + Với 6 – m 1 m 5   thay vào (3) ta có y 6   (nhận) + Với 6 – m 1 m 7    thay vào (3) ta có y 18  (nhận) + Với 6 – m 2 m 4   thay vào (3) ta có y 0 (nhận) Trang 15 + Với 6 – m 2 m 8    thay vào (3) ta có y 17  (nhận) + Với 6 – m 4 m 2   thay vào (3) ta có y 3  (nhận) + Với 6 – m 4 m 10    thay vào (3) ta có y = 9 (nhận) Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì  m 2;4;5;7;8;10 Dạng 8: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x, y nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Ví dụ 1 Cho hệ phương trình 2 2 mx y m (1) 2x my m 2m 2 (2)         a. CMR hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m b. Tìm m để biểu thức 2x 3y 4  nhận giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó. Bài giải a. Ta có 2m.m ( 2).1 m 2 0 m      . Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m. b. Rút y từ (1) ta có  2y mx – m 3 Thế vào (2) ta được  2 22x m mx – m m +2m+2  2 3 22x m x m m 2m 2      2 3 22x m x m m 2m 2      2 2x(2 m ) (m 1)(m 2)     x m 1   Thay vào (3) 2y m(m 1) m m y m       . Thay x m 1  và y m vào 2x 3y 4  ta được 2 2 2 5 25 5(m 1) 3m 4 m 5m 5 m 2. .m 2 4 4               25 5 5m 2 4 4          . Do 25m 0 2       . Vậy  2 5min x 3y 4 4     khi 5m 2   Ví dụ 2 Cho hệ phương trình 2 2 3mx y 6m m 2 (1) 5x my m 12m (2)          Tìm m để biểu thức 2 2A 2y +x nhận GTLN. Tìm giá trị đó. Bài giải  Từ (1) ta có 2y 3mx – 6m m 2   . Trang 16 Thay vào (2) ta có:  2 25x m 3mx – 6m +m+2 m +12m  2 3 2x(5 3m ) 6m 10m 2m(5 3m )      x m 1    Thay x 2m vào 2y 3mx – 6m m 2   ta được y m+2.  Thay x 2m; y m 2   vào A ta được: 2 2 2 2 2 2 A 2(m 2) (2m) 2(m 4m 4) 2(m 4m 4 8) 2(m 4m 4) 16 2(m 2) 16 16.                       Vậy MaxA 16 khi m 2 Dạng 9: Tìm hệ thức liên hệ giữa x; y không phụ thuộc vào tham số Ví dụ Cho hệ phương trình 2mx 3y 5 (1) x 3my 4 (2)       a. CMR hệ luôn có nghiệm duy nhất. b. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Bài giải a. Ta có   22m.3m – 3. 1 6m 3 0 m     Vậy hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của m b. Rút m từ (1) ta được 5 3ym 2x   thay vào (2) ta có: 2 22x 8x 15y 9y 0.    Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Bài 1. Cho hệ phương trình (m 1)x y m x (m 1)y 2        Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m Bài 2. Cho hệ phương trình 2 2 5x ay a 12a 3ax y 6a a 2          Tìm hệ thức liên hệ giữa x; y không phụ thuộc vào a. BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1. Cho hệ phương trình 2 2x 3y 7 3mx (m 3)y m 6m 3         Tìm m để hệ có nghiệm    x;y 2;1 Trang 17 Bài2. Giải hệ phương trình: 2 1 1 2 m 1 n 1 2 1 1 m 1 n           Bài 3. Cho hệ phương trình (m 1)x 2ny 2 3mx (n 2)y 9        a. Giải hệ phương trình với m 1; n 3   b. Tìm m, n để hệ có nghiệm x 3; y 1.   Bài 4. Cho hệ phương trình 2 3x 2y 8 mx (3m 1)y m 1         Tìm m để hệ có nghiệm  x; y thoả mãn 4x – 2y 6.  Bài 5. Cho hệ phương trình x my 3 2x 3my 5      Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoã mãn  2m –1 x –10my 4m 5  Bài 6. Cho hệ phương trình (m 2)x y 3 mx 3y 7       a. Giải hệ phương trình với m 1  b. Tìm m để x 0, y 0  Bài 7. Cho hệ phương trình mx my m mx y 2m      Tìm m để nghiệm của hệ thoã mãn x 0, y 0  Bài 8. Cho hệ phương trình: (m 1)x 2y 5 mx y 1       a. Giải hệ phương trình với m 2 b. Tìm m để hệ có nghiệm nguyên. Bài 9. Cho hệ phương trình (m 3)x y 2 mx 2y 5       Tìm m để hệ có nghiệm nguyên. Bài 10. Cho hệ phương trình 2 2 3mx y 6m m 2 5x my m 12m          Tìm m để biểu thức 2 2A 2y – x nhận GTLN. Tìm giá trị đó. Trang 18 Chủ đề 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN ------ Phần I. LÝ THUYẾT I. Định nghĩa II. Phân loại 1. Phương trình khuyết c có dạng 2ax bx 0 (a,b 0)   Phương pháp giải: 2 x 0 ax bx 0 x(ax b) 0 bx a            2. Phương trình khuyết b có dạng 2ax c 0 (a,c 0)   Phương pháp giải: 2 2 cax c 0 x a       Nếu c 0 a   thì phương trình vô nghiệm.  Nếu c 0 a   thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 1 2 c cx ;x a a      3. Phương trình bậc hai đầy đủ: 2ax bx c 0 (a,b,c 0)    Phương pháp giải: Tính 2b 4ac    0  thì phương trình vô nghiệm.  0  thì phương trình có nghiệm kép: 1 2 bx x 2a     0  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 1 2 b bx ;x 2a 2a         Phần II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình khi biết giá trị của tham số. Bài 1. Giải phương trình 2x 5x 6 0   . Bài 2. Giải phương trình 23x 12x 6 3 0   Bài 3. Giải phương trình 2x 2( 3 1)x 2 3 0    Dạng 2: Tìm giá trị tham số khi biết số nghiệm của phương trình.  Đặt điều kiện 2ax bx c 0 (a 0)     Tính  hoặc ' Trang 19 - Để phương trình vô nghiệm thì 0  hoặc ' 0  - Để phương trình có nghiệm kép thì 0  hoặc ' 0  - Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì 0  hoặc ' 0  Tổng quát: Để chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt Cách 1: Chứng minh a.c 0  Cách 2: Chứng minh 0 a 0     Bài 1. Cho phương trình 2 2x (2m 3)x m 2m 1 0      a) Tìm m để phương trình vô nghiệm. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Bài 2. Cho phương trình 2(m 3)x 2(m 5)x m 1 0      Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Bài giải Điều kiện m 3 0 m 3     Xét 2' (m 5) (m 3)(m 1) 6m 22        Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì 11' 0 6m 22 0 m 3         Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi 11 m 3 3     Bài 3. Cho phương trình 2x 2(m 3)x 2m 6 0     Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Bài giải Xét 2 2' (m 3) (2m 6) m 4m 3        Để phương trình có nghiệm kép thì 12 2 m 1 ' 0 m 4m 3 0 m 3             Vậy phương trình có nghiệm kép khi m 1  hoặc m 3  Bài 4. Cho phương trình 2(2m 10)x (3m 15)x m 1 0      Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Bài giải Điều kiện 2(m 5) 0 m 5    Xét (m 5)(m 53)    Để phương trình có nghiệm kép thì 0 (m 5)(m 53) 0 m 53        Vậy phương trìng có nghiệm kép khi m 53. Trang 20 Dạng 3: Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt Bài 1. Cho phương trình 2 27x (3m 1)x m 1 0     CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Bài giải Ta có    2 2a.c 5. m –1 5 m 1 0 m       Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Bài 2. Cho phương trình 2x 2(m 3)x 2m 4 0     CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Bài giải Ta có 2 2 2' (m 3) (2m 4) m 4m 4 9 (m 2) 9 0             với mọi m. Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Bài 3. Cho phương trình 2 2(m m 3)x 2(m 3)x 5 0      CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Bài giải Ta có 2 21 11a m m 3 (m ) 0 2 4        với mọi m. 2 2 2 2 2 2 ' (m 3) 5(m m 3) m 6m 9 5m 5m 15 1 696m m 24 6(m ) 0 m 2 2                     Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Dạng 4: Giải và biện luận phương trình bậc hai 2ax bx c 0   Phương pháp giải  Nếu a 0 thì phương trình trở thành bx cy 0  - Nếu b 0 thì phương trình có nghiệm cx b   - Nếu b = 0 và c 0 thì phương trình vô nghiệm. - Nếu b = 0 và c = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.  Nếu a 0 thì phương trình trở thành phương trình bậc hai có biệt số 2b 4ac   (hay 2' b ' ac   ) - Nếu 0 ( ' 0)    thì phương trình vô nghiệm. - Nếu 0 ( ' 0)    thì phương trình có nghiệm kép 1 2 bx x 2a    - Nếu 0 ( ' 0)    thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt Trang 21 1 b b ' 'x 2a a         và 2 b b ' 'x 2a a         Bài 1. Giải và biện luận phương trình 2(m 2)x 2(m 1)x m 0     Bài 2. Giải và biện luận phương trình 2(m 3)x 2mx m 6 0     BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1. Giải các phương trình sau a) 23x 7x 2 0   b) 2(5 2)x 10x 5 2 0     Bài 2. Cho phương trình 25x 12x m 3 0    Tìm m để phương trình sau có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. Bài 3. Xác định m để phương trình 2 2(m 1)x mx 5 0    vô nghiệm Bài 4. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR phương trình 2 2 2 2 2 2b x (b c a )x c 0     vô nghiệm Bài 5. Xác định m để phương trình 2(m 2)x 2(m 1)x m 0     có đúng một nghiệm. Bài 6. Cho phương trình 2 2(5m 1)x (31m 13)x 6 0     CMR phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Bài 7. Cho phương trình 2x 2(m 4)x 6m 1 0     CMR phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Bài 8. Xác định m để 2 phương trình 2x mx 2 0   và 2x 2x m 0   có nghiệm chung. Trang 22 Chủ đề 4 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ------ I. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Toán chuyển động Cần nhớ  Ba đại lượng S, v, t  Quan hệ: S SS v.t t v v t      Chú ý: Vxuôi = Vthực + Vnước ; Vngược = Vthực + Vnước. BÀI TẬP Bài 1. Hai người đi trên hai con đường vuông góc với nhau và xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm, sau 3 giờ họ cách nhau 15km. Tìm vận tốc và quãng đường biết rằng nếu hai người đó cùng xuất phát từ một điểm và đi ngược chiều nhau thì mỗi giờ họ cách nhau 7km. Bài 2. Một người dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian nhất định. Nếu người đó tăng vận tốc thêm 10km/h thì thời gian đi hết quãng đường AB giảm đi 1giờ Nếu người đó giảm vận tốc đi 10km/h thì thời gian đi hết quãng đường AB tăng 2giờ so với dự định.