Ứng dụng cấp số trong các bài toán về dãy số

ỨNG DỤNG CẤP SỐ TRONG CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ. GV. Vũ Hữu Viên 1. Dãy tuyến tính cấp một ( hay là cấp số ‘ cộng – nhân”): a.Kiến thức cơ bản: Xét dãy (xn) : ;với a,b là các hằng số thực () * Nếu a = 1: (xn) là cấp số cộng (CSC) với công sai b. * Nếu b = 0: (xn) là cấp số nhân (CSN) với công bội a. Công thức tổng quát (CTTQ) của (xn) trong hai trường hợp này đã được xác định. * Nếu : Ta có Đặt , ta có (yn) là CSN và từ đó có CTTQ của (xn). Chú ý: Với a, b là các biểu thức đặc biệt của n; ta cũng có thể đưa dãy về cấp số cộng – nhân. b. Các bài toán áp dụng: BT1: Cho dãy (xn) : ;Tính tổng S = . * ,với . ( yn) là CSN với y1 = và công bội q = nên . * S = . BT2: Cho dãy (xn) : . Tìm CTTQ của dãy. Tính giới hạn. * ; với . ( yn) là CSN với y1 = 1 và công bội q = nên . Vậy . * Ta có ,với . Mà nên . BT3: Cho dãy (xn) : ; với hằng số a > 0. Tìm CTTQ của dãy, tìm a để dãy hội tụ. Giải: ; với . Với a = 2: ( yn) là CSC với y1 = và công sai d = nên . Vậy hội tụ đến . Với:, với. Ta có nên . Vậy . Nếu : . Nếu . 2. Dãy tuyến tính cấp hai: a. Kiến thức cơ bản: Xét dãy (xn) : ;với a,b là các hằng số thực. Cách 1: Tìm CTTQ nhờ phương trình đặc trưng ( miễn nêu vì không thuộc phạm vi của bài viết này) Cách 2: Dùng cấp số. Ta tìm các hằng số c, q sao cho: , tức là là hai nghiệm của phương trình (1). Với . Xét các trường hợp: * , Vậy , với là CSC với công sai d = Vậy , suy ra . * (1) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 ; Khi đó: là CSN với công bội q = t1 hoặc t2, và ta có: Suy ra: . Đặc biệt khi (1) có một nghiệm bằng 1( a + b = 1), nghiệm kia là – b : ta có * (1) có hai nghiệm phức . Khi đó: . * Đối với dãy (xn) : ; Ta biến đổi: , với : chọn , và có tìm (un) như trên và suy ra xn. Với : : (vn) là cấp số cộng nhân. b. Bài toán áp dụng: Các bài toán liên quan đến dãy tuyến tính cấp hai rất đa dạng, do khuôn khổ của bài viết có hạn nên chỉ nêu một số bài toán đặc biệt sau: BT4: Cho hai dãy (xn) và (yn) dương, thoả mãn: xn , yn, xn+1 lập thành cấp số cộng và yn, xn+1, yn+1 lập thành cấp số nhân. Biết x1 = 1, y1 = 4; Tìm CTTQ của (xn) và (yn). Suy ra các số hạng nguyên dương của dãy (xn). * Từ giả thiết ta có: * Vậy nên là CSC , công sai d = . Suy ra ; . * Với n = 4k + 1, n = 4k + 2: xn nguyên dương. BT5: Cho dãy số (xn): . Chứng minh rằng: là số chính phương. * có a + b = 1 nên ta biến đổi như sau: ; Vậy Suy ra . * . BT6: Tìm CTTQ của dãy số (xn): . BT7: Cho dãy số (xn): . Chứng minh rằng với mọi n. 3.Dãy phân tuyến tính: a. Bài toán mở đầu: Cho dãy (x n) xác định bởi , đặt , chứng minh (yn) là cấp số cộng, suy ra công thức tổng quát của (xn).” * Giải: Từ công thức truy hồi của (xn) ta có : , và . Vậy (yn) là cấp số cộng với y1 = ½ và công sai d = -1 nên . b. Bài toán tổng quát: Xét dãy (xn) : (*) Qua bài toán mở đầu nói trên, ta có thể đưa ra cách biến đổi dãy (*) theo một cách tổng quát như sau : Với điều kiện dãy (*) không suy biến : .Ta cần xác định các hằng số ,A,B sao cho : (1) , với thì : (1) . Suy ra : (2) Như vậy , với lớp dãy (*) thoả điều kiện phương trình : có nghiệm tức là : (3) ; ta có thể đưa (*) về cấp số “ cộng nhân” : yn+1 = Ayn + B ,với . * Chú ý : điều kiện (a – d)2 + 4bc :thoả mãn với lớp dãy có f(xn) nghịch biến. * Một số trường hợp đặc biệt : 1/ b = 0 : (3) a.c.d 0 , khi đó (*) luôn đưa về được cấp số : với yn = và . Bài toán mở đầu ở trên thuộc trường hợp này. 2/ a = 0 : (3) . +Xét lớp dãy thoả d2 + 4bc = 0 chọn yn = và + Tổng quát : chọn 3/ d = 0 : (3) Xét tương tự trường hợp 4.2 4/ a = d: (3) Chọn . c.Bài toán áp dụng : * BT 8. Cho dãy .Tìm công thức tổng quát. Xét sự hội tụ. Giải :Áp dụng trường hợp 2. Đặt ta có , y1 = . . Ta có : limxn = -1 , vậy dãy hội tụ. *BT 9. Cho dãy . Tìm công thức tổng quát. Biện luận theo a sự hội tụ của dãy . Giải : * Nếu a = -2 xn = -2 limxn = -2 * Nếu a = 1 xn = 1 limxn = 1 * Nếu : có hai cách đưa dãy về cấp số như sau a/. Đặt . . Vậy = Do lim yn = . b/. Đặt Ta cũng có công thức tương tự : xn = . * BT 10: Cho dãy . Tính lim(n(1+xn)) và tìm mọi số hạng nguyên của dãy. Giải :Áp dụng trường hợp 4, đặt . Vậy : ,Suy ra : * Từ CTTQ của xn ta có Vậy x1 là số hạng nguyên duy nhất. * BT 11: Cho dãy số (xn) : . Tuỳ theo giá trị của , tính . * Nếu : dãy không xác định. * Nếu : nên =1; nếu : nên . * Nếu : Do a = d = 1 nên áp dụng trường hợp 4. Đặt . Ta có và ; và . Vậy . * BT 12: Tìm công thức tổng quát của dãy số (xn): HD: Đặt , ta có dãy (yn) thoả . * BT 13: Tham khảo (đề thi HSG quốc gia 2004) Cho dãy (xn): a.Tìm để dãy có giới hạn hữu hạn. Tính limyn. b. ( Bổ sung ) : Tìm để x5 = 2005.