Vài nét về vẽ đường phụ qua một số bài toán

Vµi nÐt vÒ vÏ ®­êng phô qua mét sè bµi to¸n Ch­¬ng II “®­êng trßn’’– to¸n 9 I. PhÇn më ®Çu I.1. LÝ do chän ®Ò tài Trong khi tìm các phương pháp giải toán hình học, có lúc việc vẽ thêm các yếu tố hình phụ làm cho việc giải toán trở lên dễ dàng và thuận tiện hơn. Trong thực tế giải toán hình học trừ một số bài toán dễ không phải vẽ thêm hình phụ còn lại phần lớn các bài toán phải vẽ thêm hình phụ mới giải được. Vậy vẽ thêm hình phụ như nào để bài toán có lời giải hay và ngắn gọn là việc khiến cho chúng ta phải đầu tư suy nghĩ. Với chương II –“ Đường Tròn” SGK toán (Hình học) lớp 9 vấn đề này được thể hiện như thế nào? Khi lượng kiến thức còn đơn giản và quá ít. Hơn nữa đây là chương đầu cho việc nghiên cứu về đường tròn. Mặt khác học sinh còn quá bỡ ngỡ về các dạng toán liên quan đến đường tròn mà nhiều bài khi chứng phải lại đòi hỏi kẻ thêm các yếu tố phụ. Với đối tượng học sinh học tương đối tốt như học sinh lớp 9A1, học sinh trung bình như lớp 9A2 phải dạy như thế nào?. Để vẽ hình và làm bài toán hình ở một số hình tương đối nhanh xong không ít học sinh quá vất vả đối với các em. Vì thế để dạy các bài toán cần phải vẽ thêm các yếu tố phụ đối với các em không dễ dàng chút nào. Trong chương trình lớp 9 việc đưa các bài tập phải vẽ thêm các yếu tố phụ mới giải được cách dễ dàng tương đối nhiều, đặc biệt trong chương II – “Đường Tròn”. Trong quá trình giảng dạy một số các giáo viên thường bắt các học sinh công nhận các đường kẻ thêm mà không giải thích hoặc hướng dẫn lí do vì sao lại suất hiện đường phụ đó mà không xuất hiện các đường phụ khác. Không giải thích tại sao phải vẽ thêm thì bài toán mới giải được một cách dễ dàng. Vì vậy học sinh thường rất lúng túng trong khi gặp các bài toán phải vẽ thêm các yếu tố phụ thì mới giải được hoặc cũng có thể vẽ thêm các đường phụ xong vẽ một cách bừa bãi mà không hiểu mục đích. VËy c¬ së vÏ thªm ®­êng phô cho mçi bµi to¸n lµ g×? Gi¸o viªn d¹y nh­ thÕ nµo ®Ó häc sinh vÏ thªm h×nh phô qua mét sè bµi to¸n trªn líp. Nªn t«i mạnh dạn đưa ra suy nghĩ của mình thông qua một số bài toán cụ thÓ trong SGK còng nh­ trong s¸ch bµi tËp to¸n 9 tËp 1- Ch­¬ng II h×nh häc và một số bài toán khác. I.2. Môc ®Ých nghiªn cøu: H­íng dÉn häc sinh biÕt cơ sở để vÏ thªm c¸c ®­êng phô cña một số bµi to¸n trong ch­¬ng còng nh­ rèn tư duy vÏ h×nh phô cho c¸c bµi to¸n h×nh nãi chung khi gặp những bài toán phức tạp của môn hình. I.3. Thêi gian vµ ®Þa ®iÓm: §Ò tµi ®· ®­îc nghiªn cøu trong nh÷ng n¨m häc t«i d¹y häc sinh líp 9 (2000-2001; 2004-2005; 2006-2007; 2008-2009) ®Æc biÖt ¸p dông nhiÒu trong n¨m häc 2008-2009 trªn hai líp 9A1;9A2 cña tr­êng trung häc c¬ së thÞ trÊn Tríi huyÖn Hoµnh Bå. I.4. §ãng gãp míi vÒ lÝ luËn, vÒ thùc tiÔn: - Qua viÖc h­íng dÉn häc sinh vÏ thªm h×nh phô ®Ó lµm bµi tËp trong ch­¬ng c¸c em cã thÓ thÊy r»ng: kh«ng thÓ lµm mét c«ng viÖc g× tuú tiÖn, cÇn ph¶i suy nghÜ, t­ duy ®óng ®¾n th× lµm viÖc míi cã hiÖu qu¶. - Häc sinh biÕt vÏ thªm h×nh phô ®Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n khã mµ kh«ng thÊy phøc t¹p. - Vận dụng vào giải bài tập. II. Néi dung: II.1. Tæng quan: Muốn làm một bài toán hình ta phải nắm vững phương pháp suy xét vấn đề, tìm hiểu và suy đoán từng bước một. Phương pháp chủ yếu để tìm lời giải cho một bài toán hình là phương pháp phân tích đi lên: Giả sử Z là kết luận ta thừa nhận Z. Nếu Z đúng thì Y cũng đúng. Nếu Y đúng thì X cũng đúng....... Tóm lại :.(A là giả thiết, Z là kết luận). Đây là một phương pháp suy luận có lí. Bằng các suy luận có lí và các khái niệm, định lí cơ bản đã học ta khẳng định được tính đúng đắn của Z. Để làm được điều đó có những bài toán hình không khó khăn lắm xong cũng không ít bài toán đòi hỏi phải suy luận, phải vẽ thêm hình để tạo ra những đường kẻ mới một cách có lí mới có thể làm được. - Trong ch­¬ng tr×nh hình học lớp 9 ®­îc chia thµnh 4 ch­¬ng trong ®ã ch­¬ng II vµ ch­¬ng III nãi tíi ®­êng trßn.Trong chương II : Đường tròn (SGK To¸n 9 tËp 1 - phÇn h×nh häc), víi kiÕn thøc ®¬n gi¶n , më ®Çu cho viÖc nghiªn cøu vÒ ®­êng trßn ®­îc ph©n phèi trong 16 tiÕt häc víi néi dung cơ bản thÓ hiÖn qua 6 ®Þnh lÝ c¬ b¶n như sau: Định lí về đường kính và dây cung Định lí liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Định lí về tiếp tuyến của đờng tròn Định lí dấu hiệu nhận biết đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn Định lí hai tiếp tuyến cắt nhau Định lí đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau, tiếp xúc nhau Ngoài ra với một số bài tập để rút ra định lí: “ Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông nằm trên trung điểm của cạnh huyền”; “một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông”. Tóm lại lượng kiến thức trong chương để cho học sinh vận dụng làm một bài toán hình nói chung về đường tròn còn ít. Để giải nhiều bài toán nếu học sinh có được kiến thức về góc với đường tròn: góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây,... thì có lẽ lời giải đơn giản nhiều. Với lượng kiến thức còn quá ít để học sinh giải một bài tập thường là khó khăn. Với một bài tập giải phải vẽ thêm yếu tố phụ thì càng khó khăn hơn. Vậy hướng dẫn học sinh vẽ hình phụ ra sao với kiến thức của chương? II.2. Néi dung: Thùc tÕ cho thÊy kh«ng cã ph­¬ng ph¸p chung cho viÖc vÏ thªm yÕu tè phô khi gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh häc. Ngay mét bµi to¸n cã thÓ cã nhiÒu c¸ch vÏ thªm h×nh phô kh¸c nhau. C«ng viÖc s¸ng t¹o nµy kh«ng thÓ tuú tiÖn ®­îc. ViÖc vÏ h×nh phô ph¶i tu©n theo c¸c bµi to¸n c¬ b¶n mµ chóng ta ®· biÕt cũng như các yếu tố đã biết trong bài hoặc yêu cầu cụ thể của từng bài toán. Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô cụ thể: VÝ dô1: Bµi tËp 16/106 SGK to¸n 9 tËp 1: Cho ®­êng trßn (O), ®iÓm A n»m bªn trong ®­êng trßn. VÏ d©y BC vu«ng gãc víi OA t¹i A, vÏ d©y EF bÊt k× ®i qua A vµ kh«ng vu«ng gãc víi OA. H·y so s¸nh ®é dµi d©y BC vµ EF. Víi bµi nµy gi¸o viªn có thể h­íng dÉn qua hÖ thèng nh÷ng c©u hái sau: ? Dù ®o¸n quan hÖ ®é dµi hai ®o¹n th¼ng AB vµ EF? (BC<EF) ? Cã c¸ch nµo so s¸nh ®é dµi hai ®o¹n th¼ng kh«ng b»ng nhau? (Quan hÖ gi÷a c¹nh vµ gãc ®èi diÖn trong tam gi¸c. Quan hÖ gi÷a ®­êng xiªn vµ h×nh chiÕu cña nã, bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c, ®­êng kÝnh vµ d©y cung, kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn ®­êng trßn...) ? §Ó so s¸nh hai d©y BC vµ EF ta sö dông c¸ch nµo? (Kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y trong ®­êng trßn) ? §· cã kho¶ng c¸ch tõ mçi d©y ®Õn t©m ch­a? ? VËy ®Ó xuÊt hiÖn kho¶ng c¸ch tõ t©m O ®Õn d©y EF ta lµm thÕ nµo? (KÎ OK EF) Bµi to¸n ®­îc ph©n tÝch d­íi d¹ng s¬ ®å sau: Tõ dù ®o¸n BC < EF KÎ OKEF Dùa vµo quan hÖ c¹nh huyÒn vµ c¹nh gãc vu«ng trong tam gi¸c OAK Víi bµi to¸n nµy nhê vÏ OKEF råi sö dông ®Þng lÝ quan hÖ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y mµ häc sinh ®· so s¸nh ®­îc BC< EF mét c¸ch dÔ dµng. Qua bài toán ta thÊy nếu so s¸nh ®é dài 2 ®o¹n th¼ng ta có thÓ dựa vào quan hệ khoảng cách từ tâm đến dây, do vậy cần vẽ thêm đường vuông góc( khoảng cách từ tâm đến dây). VÝ dô 2: Bµi tËp 21/131 s¸ch bµi tËp to¸n 9- tËp 1 Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB. D©y CD c¾t ®­êng kÝnh AB t¹i I gäi H&K theo thø tù lµ ch©n c¸c ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ A&B ®Õn CD. Chøng minh CH= DK. §Ó lµm bµi nµy häc sinh rÊt khã kh¨n nÕu nh­ kh«ng vÏ thªm ®­êng phô. Gi¸o viªn h­íng dÉn häc sinh nh­ sau: - Bµi to¸n cho ®­êng kÝnh, d©y ? Ta th­êng nghÜ ®Õn kiÕn thøc nµo? (§Þnh lÝ quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®­êng kÝnh vµo d©y.) ? §· cã ®­êng kÝnh vu«ng gãc víi d©y ch­a? ? Ta th­êng kÎ ®­êng nµo? (OMCD). ? Khi ®ã M cã ®Æc ®iÓm g×? (M lµ trung ®iÓm cña CD) ? VËy muèn chøng minh CH = DK ta chØ cÇn chøng minh ®iÒu g×? (MH=MK). - VÊn ®Ò ®Æt ra chøng minh M lµ trung ®iÓm HK. - Dùa vµo gi¶ thiÕt bµi to¸n (AH//OM//BK v× cïng CD, cã O lµ trung diÓm cña AB.) ? §Ó chøng minh M lµ trung ®iÓm HK dùa vµo ®Þnh lÝ nµo? (§­êng th¼ng song song víi mét c¹nh tam gi¸c vµ qua trung ®iÓm c¹nh thø hai (hoÆc víi h×nh thang)). ? ë ®©y cã ba ®iÓm A,B,K nghÜ tam gi¸c nµo? (Tam gi¸c ABK) ? §Ó cã tam gi¸c ABK ta ph¶i lµm g×? (Nèi AK c¾t OM t¹i N (hoÆc nèi HB)) Tõ ®ã bµi to¸n ®· ®­îc chøng minh ®­îc chøng minh mét c¸ch dÔ dµng nhê kÎ OMCD, nèi AK c¾t OM t¹i N ( hoÆc nèi HB). Bài toán cho đường kính, dây trong đường tròn thường cho học sinh thấy đường phụ vẽ thêm để sử dụng định lí đường kính và dây cung trong đường tròn. Ví dụ 3: Cho đường tròn (O;R) hai dây cung AB và CD (AB > CD) hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M. Chứng minh: MA+ MB > MC+ MD H­íng dÉn häc sinh ph©n tÝch ®Ó vÏ thªm h×nh phô: ? Cho c¸c d©y trong ®­êng trßn ta th­êng nghÜ tíi kÎ thªm yÕu tè nµo? (§­êng kÝnh vu«ng gãc víi d©y) ? §Ó xuÊt hiÖn ®­êng kÝnh vu«ng gãc víi d©y ta lµm nh­ thÕ nµo? (KÎ ) Tõ c¸ch kÎ häc sinh dÔ dµng nh×n thÊy ngay lêi gi¶i bµi to¸n: Cã: MA+ MB = (MH + HB) + (MH - HB) = 2MH T­¬ng tù MC+ MD = 2MK do AB > CDOH MK §iÒu ph¶i chøng minh. Tõ bµi to¸n trªn nÕu thay ®æi mét trong hai d©y cña ®­êng trßn trªn trë thµnh tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn(). Ta cã bµi to¸n sau: 3.1.Cho ®iÓm A ë ngoµi ®­êng trßn (O;R). VÏ c¸t tuyÕn ABC vµ tiÕp tuyÕn AM cña ®­êng trßn(O)(M lµ tiÕp ®iÓm). Chøng minh r»ng . NÕu kÎ ®Ó ®¹t ®­îc AB+ AC= 2AH. Bµi to¸n ®­a ®­îc vÒ chøng minhvµ ®iÒu nµy cã ®­îc tõ hai tam gi¸c vu«ng MAO vµ HAO. Tõ bµi tËp trªn ta cã thÓ më réng bµi to¸n : 3.2. Cho ®iÓm A ë ngoµi ®ưêng trßn (O), ®­êng th¼ng d qua A c¾t (O) t¹i B,C. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña D ®Ó AB+ AC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Qua vÝ dụ ta thấy ®©y trong đường trßn thường nghĩ đến kẻ đường vu«ng gãc từ t©m đến d©y, nếu cho trung điểm của d©y thường nối trung điểm với t©m của đường trßn. VÝ dô 4: Bµi t©p 61/136 s¸ch bµi tËp to¸n 9 tËp 1 Cho nöa ®­êng trßn(O) cã ®­êng kÝnh AB. VÏ c¸c tiÕp tuyÕn Ax, By ( Ax, By vµ nöa ®­êng trßn cïng thuéc nöa mÆt ph¼ng bê AB). Gäi M lµ mét ®iÓm bÊt k× thuéc nöa ®­êng trßn tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t Ax, By theo thø tù ë C, D. Chøng minh r»ng ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng AB. Gi¸o viªn cã thÓ hái: ? Bµi to¸n cho c¸c tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta th­êng nghÜ tíi kÎ thªm ®­êng nµo? (§­êng nèi tõ t©m ®Õn ®iÓm ®ã) Nèi OC, OD ? Dù ®o¸n tam gi¸c COD lµ tam gi¸c g×? (Vu«ng t¹i O) ? §­êng trßn ®­êng kÝnh CD sÏ cã t©m lµ ®iÓm nµo? (Trung ®iÓm I cña CD) ? H·y x¸c ®Þnh trung ®iÓmI cña CD? ? §­êng trßn (I) tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng AB nªn b¸n kÝnh cña (I) cã quan hÖ g× víi AB? (Vu«ng gãc víi AB t¹i mét ®iÓm thuéc AB) ? Dù ®o¸n vu«ng gãc t¹i ®iÓm nµo? (T¹i ®iÓm O) ? V× sao? (OI=R; OI //AC //BD) Nèi IO VËy ®Ó gi¶i ®­îc bµi to¸n trªn häc sinh cÇn biÕt nèi OC, OD, x¸c ®Þnh I lµ trung ®iÓm cña CD, nèi IO. Tõ bµi to¸n trªn häc sinh cã thÓ gi¶i ®­îc bµi to¸n sau khi thay c¸c yÕu tè cña bµi nh­ sau: 4.1.Cho ®o¹n th¼ng AB, hai ®­êng th¼ng d vµ d’ lÇn l­ît vu«ng gãc víi AB t¹i A vµ B. M lµ trung ®iÓm cña AB, lÊy C,D lÇn l­ît trªn d vµ d’ sao cho . Chøng minh r»ng CD lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. H×nh a H×nh b H­íng dÉn häc sinh t×m c¸ch vÏ ®­êng phô:(NÕu ch­a lµm bµi trªn) C¸ch 1:(H×nh a) ? Dù ®o¸n ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB tiÕp xóc víi CD t¹i ®iÓm nµo? (Gi¶ sö ®iÓm H) ? §iÓm H ph¶i cã vÞ trÝ nh­ thÕ nµo? (H thuéc CD, MHCD) ? VËy ph¶i kÎ thªm ®­êng nµo? ? Cho d//d’ nghÜ tíi tø gi¸c ACDB lµ h×nh g×? (H×nh thang) ? H×nh thang ACDB cã M lµ trung ®iÓm cña AB ta th­êng nghÜ tíi ®­êng phô nµo? (§­êng trung b×nh cña h×nh thang) ? VËy ta ph¶i lµm g× ®Ó xuÊt hiÖn ®­êng trung b×nh trong h×nh thang ACDB? (X¸c ®Þnh N lµ trung ®iÓm cña CD) Lêi gi¶i ®­îc thÓ hiÖn qua s¬ ®å ph©n tÝch sau: §­êng trßn ®­êng kÝnh AB tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng CD Ý AM= MH(KÎ MHCD) Ý Ý Ý Ý d//MN Ý LÊy N lµ trung ®iÓm cña CD (KÎ MN//d) C¸ch 2:(H×nh b) §Ó chøng minh ph¶i cã thªm yÕu tè nµo b»ng nhau? () ? Th­êng t¹o ra 2 gãc b»ng nhau nh­ thÕ nµo? (2 tam gi¸c b»ng nhau, gãc cña 2 ®­êng th¼ng //...) Þ T¹o ra 1 gãc b»ng gãc c¸ch kÐo dµi CM c¾t d’ t¹i E. VËy ®iÓm phô ®Ó lµm bµi trªn chÝnh lµ ®iÓm E. Ngoµi ra trong giê luyÖn tËp gi¸o viªn cã thÓ ®­a thªm mét sè bµi to¸n kh¸c: Ví dụ 5: cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O; 2cm). Chứng minh rằng tam giác này có diện tích và chu vi bằng nhau. Hướng dẫn: - Bài toán liên quan tới tính chu vi, diện tích. ? Vậy để tính chu vi của tam giác ta phải biết những yếu tố nào? (Độ dài các cạnh của tam giác) ? Liên quan tới diện tích ta thường có cách tính như thế nào? (Dựa vào công thức tính diện tích hoặc dựa vào tính chất diện tích đa giác) ? Với bài toán cho đường tròn nội tiếp tam giác. Vậy các cạnh của tam giác có quan hệ như thế nào với đường tròn? (Tiếp xúc với đường tròn) Do vậy các cạnh của tam giác chính là tiếp tuyến của đường tròn. ? Cho tiếp tuyến cắt nhau nghĩ tới đường phụ nào? (Đường nối từ điểm cắt nhau của hai tiếp tuyến đến tâm, kẻ đường vuông góc từ tâm tới đường thẳng để tìm tiếp điểm) - Học sinh sẽ nối OA,OB,OC, kẻ OD,OE, OF lần lượt vuông góc với các cạnh BC,AC, AB. Qua trên ta thấy nếu bài toán cho tiếp tuyến thì đường cần vẽ thêm là đường nối từ tâm đến tiếp điểm; cho hai tiếp tuyến cắt nhau thường vẽ thêm đường nối từ điểm đó đến tâm (VD4;5) Ví dụ 6: Bµi tËp 79/139 – s¸ch bµi tËp to¸n 9 tËp 1 Cho hai ®­êng trßn(O) vµ (O’) tiÕp xóc ngoµi t¹i A. Gäi CD lµ tiÕp tuyÕn chung ngoµi cña hai ®­êng trßn(). TÝnh sè ®o TÝnh ®é dµi CD biÕt OA= 4,5cm; O’A= 2cm. H­íng dÉn ? Cho tiÕp tuyÕn th­êng nghÜ tíi kÎ ®­êng nµo? (B¸n kÝnh vu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn t¹i tiÕp ®iÓm) ? T¹i sao? ( §Ó x¸c ®Þnh tiÕp ®iÓm cña ®­êng th¼ng vµ ®­êng trßn). ? Cho hai ®­êng trßn(c¾t nhau, tiÕp xóc, kh«ng c¾t nhau), th­êng nghÜ tíi ®­êng nµo? ( §­êng nèi t©m, d©y chung nÕu hai ®­êng trßn c¾t nhau, tiÕp tuyÕn chung trong hoÆc chung ngoµi) ? Dù ®o¸n sè ®o =? ( B»ng 900) ? Cã c¸ch nµo chøng minh =900? (Trùc tiÕp, gi¸n tiÕp...ë phÇn nµy th­êng chøng minh dùa vµo tÝnh chÊt trung tuyÕn thuéc mét c¹nh b»ng c¹nh Êy lµ mét c¹nh lµ vu«ng) ? T¹o ra trung tuyÕn cña CAD=c¹nh CD b»ng c¸ch nµo? (KÎ tiÕp tuyÕn chung trong t¹i A cña hai ®­êng th¼ng c¾t CD t¹i M). TiÕp tuyÕn chung trong chÝnh lµ ch×a kho¸ gi¶i bµi to¸n nµy. VÝ dô 7: Cho ®­êng trßn (O;R) tiÕp xóc ngoµi víi ®­êng trßn(O’;r) tại A. Mét tiÕp tuyÕn chung ngoµi tiÕp xóc víi ®­êng trßn (O)vµ (O’) lÇn l­ît t¹i B vµ C. VÏ TÝnh ®é dµi BC theo R vµ r? Chøng minh r»ng ba ®­êng th¼ng OC,OB’ vµ AH ®ång qui t¹i trung ®iÓm cña AH ? Cho hai ®­êng trßn tiÕp xóc nhau ta th­êng nghÜ tíi vÏ thªm ®­êng phô nµo? (TiÕp tuyÕn chung trong hoÆc tiÕp tuyÕn chung ngoµi, ®­êng nèi t©m) ? NÕu kÎ tiÕp tuyÕn chung trong AM th× ®iÓm M cã vÞ trÝ nh­ thÕ nµo trªn BC? (M lµ trung ®iÓm cña BC) ? VËy ®Ó tÝnh BC ta qui vÒ tÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng nµo? (MA hoÆc MB hoÆc MC) ? Cho b¸n kÝnh cña hai ®­êng trßn ta cã thÓ tÝnh ®­îc ®o¹n th¼ng nµo? (TÝnh ®­îc MA v× MA2=OA.O’A = R.r) ? §Ó chøng minh c©u b, h·y dù ®o¸n 3 ®­êng th¼ng trªn ®i qua ®iÓm nµo? ? NÕu gäi D lµ giao ®iÓm cña OC vµ AH th× ta cÇn ph¶i chøng minh ®iÒu g×? (D qua trung ®iÓm cña AH vµ D qua trung ®iÓm cña O’B) VËn dông ®Þnh lÝ TalÐt trong tam gi¸c OBC chøng minh ®­îc DA=DH Víi bµi to¸n trªn sÏ gi¶i ®­îc mét c¸ch dÔ dµng nÕu vÏ thªm tiÕp tuyÕn chung trong AM, D lµ giao ®iÓm cña OC vµ AH. Tóm lại: Cho hai ®­êng trßn cắt nhau, tiÕp xóc nhau ta th­êng nghÜ tíi vÏ thªm ®­êng phô: TiÕp tuyÕn chung trong hoÆc tiÕp tuyÕn chung ngoµi, ®­êng nèi t©m,... Ví dụ 8: Cho hai đường tròn tròn đồng tâm O có bán kính R v à r (R >r). A và M là hai điểm thuộc đường tròn nhỏ. Qua M vẽ dây BC của đường tròn lớn sao cho BC vuông góc với AM. Tính MA2 + MB2 + MC2 theo R và r. Hướng dẫn: ? Bài toán yêu cầu chứng minh điều gì? (Tổng bình phương của các đoạn thẳng) ? Có tổng bình phương các đoạn thẳng thường nghĩ tới kiến thức nào? (Định lí Pitago; ....) ? Muốn sử dụng định lí Pitago phải có điều kiện gì? (Có tam giác vuông) ? Bài toán có tam giác vuông chưa? (Chưa có) ? Làm xuất hiện tam giác vuông như thể nào? (Nối AO cắt (O;r) tại D) ? Cho dây BC thường nghĩ tới đường phụ nào? (Kẻ ) ? H có vị trí như thế nào trên BC, MD? (Trung điểm của BC, MD) ? OH có vị trí gì trong tam giác AMD? (OH là đường trung bình trong tam giác AMD) ? OH có quan hệ như thế nào với MA? () Muốn tính AM ta chỉ cần tính OH(AM2 = 4OH). Khi đó để giải quyết bài toán ta chỉ cần tính MB2+MC2. Vậy để giải được bài toán trên ta phải vẽ thêm đường phụ là OH vuông góc với BC, gọi D là giao điểm của đường tròn(O;r) với AO. Phân tích theo sơ đồ bài toán được thể hiện như sau: MA2 + MB2 + MC2 (2OH)2 (BH- MH)2 + (CH+MH)2 Kẻ (BH-MH)2 + (BH+MH)2 Kẻ AO cắt (O;r) tại D Gọi D là giao điểm của BC và đường tròn(O;r), Kẻ Kẻ(). Ta có H là trung điểm của BC và MD (Định lí đường kính vuông góc và dây cung). Ta có: OH là đường trung bình của tam giác MAD nên Ta có: MB2 + MC2=(BH- MH)2 + (CH+MH)2=(BH-MH)2 + (BH+MH)2 = 2BH2+2MH2 vuông tại H ta có: OH2 + HB2 = OB2 = R2(Định lí Pitago) vuông tại H ta có: OH2 + MH2 = OM2 = r2(Định lí Pitago) Nên MA2 + MB2 + MC2= 4OH2+2BH2+2MH2 = 2(OH2+BH2) +2(OH2+MH2) =2R2+2r2 * Nếu gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta thấy G thuộc AH và AG=AH và nhận thấy G là trọng tâm của tam giác AMD. Ta có bài toán mở rộng sau: 8.1.Cho hai đường tròn tròn tâm O có bán kính R và r (R >r). A và M là hai điểm thuộc đường tròn nhỏ(A di đ ộng, M cố định). Qua M vẽ dây BC của đường tròn lớn sao cho BC vuông góc với AM. a) Chứng minh MA2+ MB2+ MC2 không phụ thuộc vào vị trí của A. b) Trọng tâm G của tam giác ABC là điểm cố định. Ch ứng minh tổng bình phương các đoạn thẳng ta thường đưa v ề định lí Pitago bằng cách kẻ thêm đường vuông góc để sử định lí đường kính và dây cung trong đường tròn. VÝ dô 9: Cho ®­êng trßn (O;R), AC, BD lµ hai ®­êng kÝnh. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña hai ®­êng kÝnh AC,BD ®Ó SABCD lµ lín nhÊt. H­íng dÉn: Bµi to¸n liªn quan tíi cùc trÞ vÒ diÖn tÝch. ? Dù ®o¸n ABCD lµ h×nh g× ? V× sao? ?TÝnh SABCD nh­ thÕ nµo? (SABCD= AB.AD = AH.BD) ? AH.BD cã yÕu tè nµo kh«ng ®æi? ( BD kh«ng ®æi (= ®­êng kÝnh AC do tÝnh chÊt h×nh ch÷ nhËt ABCD)) ? SABCD lín nhÊt khi nµo? (AH lín nhÊt) ? Muèn xuÊt hiÖn AH ta ph¶i lµm g×? (KÎ ®­êng cao AH cña ABD). §­êng cao AH lµ ch×a kho¸ ®Ó chøng minh bµi nµy. Qua bµi to¸n cho thÊy: Khi có diện tích tam giác thường nghĩ tới đường cao Kẻ đ­êng cao TÊt nhiªn trong bµi to¸n cã thÓ kh«ng kÎ thªm ®­êng cao mµ vÉn gi¶i ®­îc. mµ (Kh«ng ®æi) Theo cosi tæng kh«ng ®æi tÝnh lín nhÊt khi vµ chØ khi AB= AD hay ABCD lµ h×nh vu«ng tøc VÝ dô 10: Cho 2 ®­êng trßn (O;R) vµ (O’;r) tiÕp xóc ngoµi t¹i A. Qua A vÏ hai tia vu«ng gãc, c¾t c¸c ®­êng trßn (O) vµ(O’) lÇn l­ît t¹i B vµ C. TÝnh diÖn tÝch lín nhÊt cña tam gi¸c ABC. Hướng dẫn: ? ABC là tam giác gì? (Tam giác vuông) ? Để tính diện tích của tam giác vuông ta thường phải biết yếu tố nào? (2 cạnh góc vuông) - Có AB và AC là 2 dây của đường tròn. ? Để tìm mối liên hệ giữa 2 dây AB và AC với bán kính của các đường tròn đã cho ta làm như thế nào? (Ta vẽ đường kính vuông góc với hai dây này). Trình bày lời giải sơ lược: - Vẽ OH AB; OK AC. Do OH // AC và ba điểm O, A,O’ thẳng hàng nên: - Áp dụng bất đẳng thức 2ab a2 +b2 ta được: Vậy (dấu “=” xảy ra ). Do đó Max SABC= Rr. VÝ dô 11: cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp ®­êng trßn (O;R). Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c. KÎ . Chøng minh AH = 2OK. H­íng dÉn ? Khi cho trùc t©m cña tam gi¸c ABC ta nghÜ tíi giao cña ba ®­êng nµo? (3 ®­êng cao cña tam gi¸c) ? Tõ yªu cÇu cña bµi to¸n ph¶i chøng minh AH= 2OK hay OK=AH ta nghÜ tíi kiÕn thøc nµo? (§­êng trung b×nh cña tam gi¸c cã mét c¹nh lµ AH, O lµ trung ®iÓm cña mét c¹nh, K lµ trung ®iÓm cña c¹nh kia) ? §iÓm O trong bµi to¸n cã ®Æc ®iÓm g×? (T©m cña ®­êng trßn) ? §o¹n th¼ng cã O lµ trung ®iÓm cã ®Æc ®iÓm g×? (Lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn (O) hoÆc ®èi xøng qua O)? ? VËy ®Ó xuÊt hiÖn ®­êng kÝnh hoÆc hai ®iÓm ®èi xøng nhau qua O ta vÏ thªm ®­êng nµo? VÏ D ®èi xøng víi A qua O (hay vÏ ®­êng kÝnh AD). Nèi HD lóc nµy chØ cÇn chøng minh K lµ trung ®iÓm cña DH. ? K ®· lµ trung ®iÓm cña ®o¹n thẳng nµo? (Trung ®iÓm cña BC do ®­êng kÝnh víi d©y) ? Nếu K lµ trung ®iÓm cña HD n÷a th× tø gi¸c BHCD lµ h×nh g×? Nèi BD, CD ®Ó t¹o tø gi¸c BHCD HÖ thèng c©u hái cña bµi to¸n ®­îc thÓ hiÖn qua s¬ ®å ph©n tÝch nh­ sau: AH=2 OK OK =AH OK lµ ®­êng trung b ình cña (KÎ ®­êng kÝnh AD, nèi HD) O lµ trung ®iÓm cña AD K lµ trung ®iÓm cña HD §­êng kÝnh AD K lµ trung ®iÓm cña BC BHCD lµ h×nh b×nh hµnh Nèi CD, BD Gi¶ thiÕt Tãm l¹i: NÕu bµi to¸n yªu cÇu chøng minh ®o¹n th¼ng nµy gÊp ®«i ®o¹n th¼ng kia gi¸o viªn cã thÓ h­íng dÉn häc sinh cã thãi quen nhËn xÐt ®Ó vÏ thªm ®­êng phô b»ng c¸ch vÏ ®­êng trung b×nh trong tam gi¸c. Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau (Trung ®iÓm) cã thÓ dùa vµo tÝnh chÊt hai ®­êng chÐo cña tø gi¸c ®Æc biÖt: h×nh b×nh hµnh, hÝnh ch÷ nhËt, h×nh thoi, h×nh vu«ng; tÝnh chÊt ®­êng trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn trong tam gi¸c vu«ng... Tõ viÖc h­íng dÉn häc sinh vÏ h×nh phô ®Ó gi¶i bµi tËp trªn gi¸o viªn cã thÓ ®Æt thªm c©u hái më réng bµi to¸n: ? NÕu ABC kh«ng ph¶i lµ tam gi¸c nhän bµi to¸n cßn ®óng kh«ng? HoÆc më réng mét sè bµi to¸n sau: 11.1. Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp trong ®­êng trßn(O;R). H lµ trùc t©m, G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. Chøng minh H,G,O th¼ng hµng. 11.2. Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O;R). Gäi M, N, P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh BC, AC, AB. VÏ c¸c ®êng th¼ng MM’//OA; NN’//OB; PP’//OC. Chøng minh r»ng c¸c ®­êng th¼ng MM’, NN’, PP’ ®ång qui. 11.3. Cho ®­êng trßn (O;R) vµ ®iÓm P cè ®Þnh ë ngoµi ®­êng trßn, vÏ tiÕp tuyÕn PA vµ c¸t tuyÕn bÊt k× PBC (A;B;C trªn (O)). T×m quÜ tÝch trùc t©m H cña tam gi¸c ABC. 11.4. Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp trong ®­êng trßn(O) cã ®­êng cao AN vµ CK ()®­êng trßn (O’) t¹i ®iÓm thø hai M. Chøng minh r»ng (O lµ trung ®iÓm cña AC) VÝ dô 12: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), đường kính AC. Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = 3AB. Đường thẳng Dy vuông góc với DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại E. Chứng minh rằng tam giác BDE cân. Hướng dẫn: Cách 1: ? Dự đoán tam giác BDE cân tại đâu? ? Có những cách nào để chứng minh một tam giác là cân? ? Dựa vào giả thiết đã cho để chọn cách chứng minh? ? Cho AD = 3AB em hiểu như thế nào? (AD = BD hoặc BD=2 AB hoặc BD= AD....) ? Nếu gọi I là trung điểm của BD thì EI là đường gì của EDB? (EI là trung tuyến của EDB) ? Vậy muốn chứng minh EDB cân tại E thì phải chỉ ra EI đồng thời là đường nào nữa? (EI đồng thời là đường cao: EI BD) ? Nếu gọi F là giao điểm của CD với đường tròn (O), AC là đường kính ta thường nghĩ tới đường phụ nào? (Nối FA) ? Nhận xét CB và AF trong ADC? (Là 2 đường cao trong ADC) ? Khi có hai đường cao trong tam giác ta thường nghĩ tới kiến thức nào? (Tính chất ba đường cao trong tam giác) ? Gọi H là giao điểm của AH và CB, kẻ DH thì DH có quan hệ như thế nào với AC? (DH AC) ? Nhận xét tứ giác AEDH là hình gì? (AEDH là hình bình hành) Kẻ đường chéo EH cắt AD tại K ? K là trung điểm của AD nên K có vị trí như thế nào trong đoạn thẳng BI? (K là trung điểm của BI) ? Vậy có nhận xét gì về tứ giác BEIH? (Tứ giác BEIH là hình bình hành) ? Muốn có tứ giác BEIH ta phải làm gì? (Nối HI) Hệ thống câu hỏi trên được thể hiện qua sơ đồ phân tích sau: EDB cân tại E EIBD BI= ID Gọi I là trung điểm của BD EI // BC EIHB là hình bình hành (Gọi F là giao điểm của đường tròn với DC gọi giao điểm của BC với AF là H, nối HI) EK = EH BK = KI (Gọi K là giao điểm của EH với BI) AK = KD AEDH là hình bình hành (Nối AF) ED//AH; AE//DH DE DC; AF DC và Ax AC; HD AC Giả thiết Vậy đường phụ cần vẽ ở đây là: Gọi I là trung điểm của BD, F là giao điểm của CD với (O), H là giao điểm của AF với BC, K là giao điểm của AD và EH; nối IH. Khi đó để chứng minh được bài toán trên học sinhh chỉ cần chứng minh các tứ giác AEDH và tứ giác EIHB là hình bình hành lời giải của bài toán. Ngoài ra với cách phân tích khác ta có thể dẫn dắt học sinh vẽ thêm đường phụ khác: Cách 2: - Giáo viên cũng cho học sinh dự đoán tam giác BDE cân tại E và hướng chứng minh dựa và đường trung tuyến đồng thời là đường cao như trên bằng cách vẽ EI với AD (I AD); để chứng minh EI đồng thời là đường cao ta phải chứng minh I là trung điểm của BD ? Dựa vào giả thiết hãy nhận xét góc A và góc D? (Bằng 900) ? Nếu thì tam giác DEC nội tiếp đường tròn có đường kính là đoạn thẳng nào? (Nội tiếp đường tròn có đường kính là đoạn thẳng EC) ? Tương tự với tam giác AEC? (Tam giác AEC nội tiÕp ®­êng trßn ®­êng kÝnh EC) ? Cã đường kÝnh thường nghÜ tíi ®iÓm phô nµo? C¸ch 3: - NhËn xÐt bµi to¸n cho c¸c gãc vu«ng: Þ nghÜ tíi tam gi¸c vu«ng cã hai gãc nhän phô nhau b»ng c¸ch lËp luËn nh­ c¸ch1 Þ Chøng minh dùa vµo ®êng cao ®ång thêi lµ ®­êng trung tuyÕn Þ tam gi¸c c©n ÞVÏ ®­êng cao EI () Lóc nµy chøng minh c¸c cÆp Tõ (1) vµ (2) kÕt hîp víi AD=3AB Þ BD=2AB Þ AB=BI=ID Þ §iÒu ph¶i chøng minh Víi c¸ch 3 chØ cÇn vÏ thªm ®ưêng phô lµ lµ ®ñ ®Ó chøng minh bµi to¸n. Tãm lại: Víi 3 c¸ch trªn th× c¸ch vÏ ®­êng phô trong tr­êng hîp thø 3 lµ ®¬n gi¶n nhÊt. Xong chøng minh ®¬n gi¶n th× häc sinh th­êng chän c¸ch vÏ 1 hoÆc 2. NhiÒu bµi tËp ®Ó gi¶i th­êng vÏ thªm ®­êng phô cµng phøc t¹p th× chøng minh cµng ®¬n g