Vẽ hình phụ thế nào cho cơ lợi - 02 - Xây dựng cho học sinh quy trình vẽ hình phụ theo các mức độ từ đơn giản đến phức tạp

Vẽ hình phụ thế nào cho cơ lợi - 02 Xây dựng cho học sinh quy trình vẽ hình phụ theo các mức độ từ đơn giản đến phức tạp . a ) Biết lấy thêm điểm và đặt tên cho điểm . * Ví dụ 1 : ( Bài 14 - SGK Hình học lớp 8 - Trang 37 , xuất bản năm 2003 ) Cho hình vuông ABCD . E , F theo thứ tự là trung điểm của AB , BC a) Chứng minh CE DF b) Gọi M là giao điểm của CE và DF . Chứng minh AM = AB . - Đối với câu a : GV có thể hướng dẫn học sinh chứng minh trực tiếp mà không cần phải nhờ đến việc vẽ thêm hình phụ . - Đối với câu b : Rõ ràng học sinh không dễ dàng chứng minh được ngay AM = AB . Muốn vậy GV cần lưu ý học sinh suy nghĩ đến tính tương tự của các điểm A , B , C , D và E với F . Theo kết quả ở câu a , nếu có hai trung điểm của hai cạnh của hình vuông thì ta có kết quả nào ? Rõ dàng học sinh liên hệ đến việc lấy thêm trung điểm của CD để có sự liên hệ AK DF . Từ đó vì AE = CK = DK và AK // CE suy ra AK đi qua trung điểm của DM . - Có thể hướng dẫn học sinh theo sơ đồ sau : AM = AB AM = AD Tam giác AMD cân tại A Chọn cách chứng minh . * Điểm lưu ý học sinh chính là việc lấy thêm hình phụ là điểm K và nối hai điểm A với K . b ) Nối hai điểm cho trước , vẽ đường thẳng , tia đi qua hai điểm cho trước . * Ví dụ : Bài 11 - Trang 39 - SGK Hình học lớp 9 Nhà xuất bản Giáo dục - năm 1999 . Cho đường tròn tâm O và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn Qua M vẽ một cát tuyến cắt đường tròn ở A và B . Chứng minh rằng tích MA . MB không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến qua M . - Hướng dẫn : GV cho học sinh đọc kỹ đề , tìm cách vẽ hình . Hầu hết học sinh vẽ được hình trong trường hợp chỉ có một cát tuyến và mất phương hướng chứng minh + Điểm M có đặc điểm gì ? Vậy có mấy trường hợp về vị trí của điểm M đối với đường tròn tâm O . + Nói rằng tích MA . MB không đổi có nghĩa là gì ? ( Học sinh suy nghĩ và hiểu rằng : Giá trị của biểu thức bằng hằng số ) + Giá trị của biểu thức liên quan đến số đo đoạn thẳng . Vậy hãy tìm các yếu tố không đổi liên quan có trong bài toán ? ( Học sinh suy nghĩ chỉ ra : bán kính của đường tròn nhưng thường không chỉ ra được độ dài tiếp tuyến kẻ từ M ) + GV gợi ý để học sinh kẻ tiếp tuyến , bởi vì tiếp tuyến có thể coi là trường hợp đặc biệt của cát tuyến khi A’ và B’ trùng nhau . + Vậy tương tự như tích MA . MB ta đề xuất chứng minh gì ? Chứng minh : MA . MB = MN2 . ( MN = k không đổi ) Trong trường hợp điểm M nằm trong đường tròn thì MA . MB = R2 - OM2 Đến đây học sinh tự chứng minh . + GV hướng dẫn học sinh việc chứng minh tích MA . MB không đổi còn được hiểu như là việc chứng minh các tích MA . MB bằng nhau . Đó chính là sự so sánh các giá trị của cùng một đại lượng , vì vậy phải có hai đối tượng để so sánh , nghĩ tới việc vẽ thêm cát tuyến thứ hai khác với cát tuyến ban đầu và chứng minh MA . MA = MA’ . MB’ . + Hình phụ ở đây là việc nối hai điểm cho trước và đường thẳng đi qua hai điểm . + Khai thác : - Phương pháp chứng minh một đại lượng không đổi : . Đưa ra hai tình huống khác nhau , so sánh hai giá trị của đại lượng đó . . Định lượng giá trị của đại lượng từ các yếu tố không đổi trong bài toán . - Nghiên cứu bài toán đảo : Cho học sinh nghiên cứu bài toán đảo sẽ được thêm hai cách chứng minh 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn . + Bài toán 1 : Cho góc xOy , trên cạch Ox lấy hai điểm A và B , trên cạnh Oy lấy hai điểm C và D sao cho OA . OB = OC . OD . Chứng minh 4 điểm A , B , C , D cùng nằm trên một đường tròn . + Bài toán 2 : Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại O . Trên các tia Ox , Ox’ , Oy , Oy’ lần lượt lấy các điểm A , B , C , D sao cho OA . OB = OC . OD . Chứng minh 4 điểm A , B , C , D cùng nằm trên một đường tròn . c ) Vẽ thêm hình để liên kết các yếu tố đã cho . d ) Vẽ thêm hình để khai thác bài toán , “ Chuyển lạ về quen ”.