Bài giảng môn học Toán học lớp 11 - Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản (6 tiết)

Giáo án Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản (6 tiết) I. Mục tiêu. 1. Kiến thức. HS nắm được: ã Phương trình lượng giác sinx = a, điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm của phương trình sinx = sina. ã Phương trình lượng giác cosx = a, điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm của phương trình cosx = cosa. ã Phương trình lượng giác tanx = a, điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm của phương trình tanx = tana. ã Phương trình lượng giác cotx = a, điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm của phương trình cotx = cota. 2. Kỹ năng. ã Sau khi học xong bài này HS cần giải thành thạo các phương trình lượng giác cơ bản. ã Giải được phương trình lượng giác dạng sinf(x) = sina, cosf(x) = cosa. ã Tìm được điều kiện của các phương trình dạng tanf(x) = tana, cotf(x) = cota. 3. Tư duy và thái độ. ã Tự giác, tích cực trong học tập. ã Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp cụ thể. ã Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống. II. Tiến trình dạy học. Sử dụng phương pháp gợi mở vấn đáp. III. Tiến trình dạy học. Tiết 1 Ngày 05/09/2008. Tiết thứ 5. A. Đặt vấn đề. Câu hỏi 1. Hãy điền vào các ô trống sau đây: 0 sinx + 1 cos3x+ 2 tan2x -3 cot(-3x) + 2 Câu hỏi 2. Cho sinx = , khi đó phương trình có nghiệm duy nhất x = . Đúng hay sai? B. Bài mới. Hoạt động 1.Mở đầu ã GV cho HS đọc và tóm tắt bài toán. ?1 Để tìm t ta cần giải phương trình nào? ?2 Đặt x = t ta được phương trình nào? ã GV kết luận về những phương trình lượng giác cơ bản: sinx = m, cosx = m, tanx = m, cotx = m. Trong đó x là ẩn số (x ẻ R) và m là một số cho trước. Đó là các phương trình lượng giác cơ bản. Hoạt động 2 1. Phương trình sinx = m. ã Thực hiện H1 trong 3’ Mục đích. Bước đầu, học sinh tự tìm tòi cách tìm nghiệm của phương trình (dựa vào đường tròn lượng giác hoặc suy ra từ hệ thức quen thuộc sin = ). GV cho học sinh tìm ra nhiều hơn một nghiệm, rồi đặt vấn đề làm thế nào tìm được tất cả các nghiệm của phương trình. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Nêu một số nghiệm mà em biết? Câu hỏi 2 Phương trình có vô số nghiệm. Đúng hay sai? Gợi ý trả lời câu hỏi 1 x = hoặc x = . Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Đúng. ã GV dựa vào hình 1.19 và cho học sinh tìm một số nghiệm khác nửa. Sau đó rút ra quy luật của nghiệm dựa vào tính tuần hoàn của hàm số y = sinx để nêu công thức nghiệm.: ã GV đặt ra các câu hỏi sau: ?3 Có số a nào mà sina = ? ?4 Có số a nào mà sina = -? ?5 Có số a nào mà sina = a với |a | Ê 1? ã GV đưa ra vấn đề sau: ?6 Nếu sinx = sina thì x = a là nghiệm ? Đúng hay sai? ã GV đưa ra công thức nghiệm Nếu a là một nghiệm của phương trình (1), nghĩa là sina = m thì Ta nói rằng x = a + k2p và x = p - a + k2p là hai họ nghiệm của phương trình (1). ã GV đưa ra chú ý: Kể từ đây, để cho gọn ta quy ước rằng nếu trong một biểu thức nghiệm của phương trình lượng giác có chứa k mà không giải thích gì thêm thì ta hiểu rằng k nhận mọi giá trị thuộc Z. ã Thực hiện ví dụ 1 Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Tìm nghiệm của phương trình sinx = -. Câu hỏi 2 Tìm nghiệm của phương trình sinx = Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Vì < 1 nên có số a để sina = . Do đó sinx = Û sinx = sina ã Thực hiện H2 trong 5’ Mục đích. Khắc sâu công thức (Ia). Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Tìm góc lượng giác a mà sina = Câu hỏi 2 Giải phương trình sinx = . sina = Gợi ý trả lời câu hỏi 1 a = Gợi ý trả lời câu hỏi 2 ã Thực hiện H3 trong 5’. Mục đích. Tìm hiểu ý nghĩa hình học của tập nghiệm của một phương trình lượng giác (nhờ đồ thị). ã GV treo hình 1.20 chuẩn bị sẵn ở nhà. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của hai đồ thị nào? Câu hỏi 2 Hãy chỉ ra các nghiệm theo yêu cầu của bài toán. Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Là giao điểm của đồ thị hai hàm số y = sinx và y = Gợi ý trả lời câu hỏi 2 ã GV nêu các chú ý: 1) Khi m ẻ (0; ± 1), công thức (1a) có thể viết gọn như sau: 2) Dễ thấy rằng với m cho trước mà |m| Ê 1, phương trình sinx = m có đúng một nghiệm nằm trong đoạn [-; ]. Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arcsinm (đọc là ác-sin m). Khi đó Vậy ở ví dụ 1 câu 2) có thể viết 3) Từ (1a) ta thấy rằng: Nếu a và b là hai số thực thì sinb = sina khi và chỉ khi có số nguyên k để b = a + k2p hoặc b = p - a + k2p , k ẻ Z. ã Thực hiện ví dụ 2 Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Nhắc lại công thức nghiệm (Ia) Câu hỏi 2 Hãy giải phương trình đã cho. Gợi ý trả lời câu hỏi 1 GV cho HS nhắc lại Gợi ý trả lời câu hỏi 2 ã Thực hiện H4 trong 5’ Mục đích. Sử dụng chú ý 3) để giải phương trình sinP(x) = sinQ(x). Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Nhắc lại ý chính của chú ý 3. Câu hỏi 2 Giải phương trình sin2x = sinx. Gợi ý trả lời câu hỏi 1 GV cho HS nhắc lại Gợi ý trả lời câu hỏi 2 sin2x = sinx Tiết 2 Ngày 08/09/2008. Tiết thứ 6. Hoạt động 3 2. Phương trình cosx = m ã GV đặt vấn đề như sau: ?7 Có tồn tại số a nào mà cosa = 5 không? ?8 Tập xác định của hàm số y = cosa? ?9 Khi |a| > 1 phương trình cosa = a có nghiệm hay không? ?10 Khi |a| Ê 1 có số a nào mà cosa = a không? ?11 Khi a là nghiệm của phương trình cosx = a thì -a có phải là nghiệm hay không? ?12 Chu kì tuần hoàn của hàm số y = cosx là bao nhiêu? ã Sau đó GV nêu công thức nghiệm của phương trình cosx = m: Nếu a là một nghiệm của phương trình (II), nghĩa là cosa = m thì (IIa) ã Thực hiện H5 trong 3’ Mục đích. Luyện kĩ năng vận dụng công thức (IIa). Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Chỉ ra một số a mà cosa = . Câu hỏi 2 Giải phương trình sau cosx = - Gợi ý trả lời câu hỏi 1 a = Gợi ý trả lời câu hỏi 2 ã GV nêu chú ý trong SGK 1) Đặc biệt, khi m ẻ {0; ±1}, công thức (IIa) có thể viết gọn như sau 2) Dễ thấy rằng với mọi số m cho trước mà |m| Ê 1, phương trình cosx = m có đúng một nghiệm nằm trong đoạn [0; p]. Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arccosm (đọc là ác-côsin m). Khi đó Mà cũng thường được viết là x = ± arccosm + k2p. 3) Từ (IIa) ta thấy rằng: Nếu a và b là hai số thực thì cosb = cosa khi và chỉ khi có số nguyên k để b = a + k2p hoặc b = -a + k2p, k ẻ Z. ã Thực hiện H6 trong 5’ Mục đích. Sử dụng chú ý 3) để giải phương trình cosP(x) = cosQ(x). Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Nhắc lại ý chính trong chú ý 3. Câu hỏi 2 Giải phương trình đã cho. Gợi ý trả lời câu hỏi 1 GV cho HS nhắc lại. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 cos(2x + 1) = cos(2x – 1) Cos (2x+ 1) = cos(2x – 1) Dễ thấy phương trình 2x +1 = 2x – 1 + k2p vô nghiệm, còn 2x + 1 = -(2x – 1) + k2p Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là . Hoạt động 4 ã Một số câu hỏi củng cố các mục 1 và 2. ?13 Phương trình sinx = sina có nghiệm là và a. Đúng; b. Sai. ?14 Phương trình sinx = a có nghiệm là khi a < 1 a. Đúng; b. Sai. ?15 Phương trình sinx = a có nghiệm là khi a > - 1 a. Đúng; b. Sai. ?16 Phương trình sinx = a có nghiệm là khi |a |< 1 a. Đúng; b. Sai. ?17 Phương trình cosx = cos a có ngiệm là x = a + k2p, k ẻ Z. a. Đúng; b. Sai. ?18 Phương trình cosx = cos a có ngiệm là x = -a + k2p, k ẻ Z. a. Đúng; b. Sai. ?19 Phương trình cosx = cos a có ngiệm là x = ±a + k2p, k ẻ Z. a. Đúng; b. Sai. ?20 Phương trình cosx = a có nghiệm là khi a < 1 a. Đúng; b. Sai. ?21 Phương trình cosx = a có nghiệm là khi a > - 1 a. Đúng; b. Sai. ?22 Phương trình cosx = a có nghiệm là khi |a |< 1 a. Đúng; b. Sai. ?23 Phương trình cosx = a có nghiệm là khi |a |Ê 1 a. Đúng; b. Sai. Tiết 3 Ngày 10/09/2008. Tiết thứ 7. Hoạt động 5 3. Phương trình tanx = a ã GV đặt vấn đề như sau: ?26 Có tồn tại số a nào mà tana = 5 không? ?27 Tập xác định của hàm số y = tanx? ?28 Với mọi a, phương trình tanx = a luôn có nghiệm, đúng hay sai? ã GV kết luận Điều kiện của phương trình : x ạ + kp (k ẻ Z). Nếu a là một nghiệm của phương trình (III), nghĩa là tana = m thì tanx = m Û x = a + kp. (IIIa) ã Thực hiện ví dụ 3 Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Giải phương trình tanx = tan-1 Câu hỏi 2 Giải phương trình tan = 3 Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Vì -1 = tan(-) nên tanx =-1 Û x = -+kp. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Gọi a là một số mà tana = 3. Khi đó tan= 3 Û = a + kp Û x= 3a + k3p ã GV nêu chú ý trong SGK: Dễ thấy rằng với mọi số m cho trước , phương trình tanx = m có đúng một nghiệm nằm trong khoảng (-; ). Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arctanm (đọc là ác-tang m). Khi đó tanx = m Û x = arctanm +kp. 2) Từ (IIIa) ta thấy rằng: Nếu a và b là hai số thực mà tana, tanb xác định thì tanb = tana khi và chỉ khi có số nguyên k để b = a + kp. ã Thực hiện H7 trong 3’ Mục đích. Sử dụng chú ý 2) để giải phương trình tanP(x) = tanQ(x). Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Hãy nêu ý chính của chú ý 2) Câu hỏi 2 Nêu điều kiện của phương trình. Câu hỏi 3 Giải phương trình tan2x = tanx Gợi ý trả lời câu hỏi 1 GV cho HS trả lời và kết luận Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Với điều kiện cos2xcosx ạ 0 Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Tan2x = tanx Û 2x = x + kp Û x = kp ã Một số câu hỏi ôn tập phần 3 ?32 Phương trình tanx = tana có nghiệm là x = a + k2p, kẻ Z a. Đúng; b. Sai. ?33 Phương trình tanx = tana có nghiệm là x = a + kp, kẻ Z a. Đúng; b. Sai. ?34 Phương trình tanx = tana có nghiệm là x = a + - kp, kẻ Z a. Đúng; b. Sai. ?35 Phương trình tanx = tana có điều kiện xác định là x ạ + kp, kẻ Z a. Đúng; b. Sai. ?36 Phương trình tanx = tana có điều kiện xác định là x ạ kp, kẻ Z a. Đúng; b. Sai. Tiết 4 Ngày 13/09/2008. Tiết thứ 8. Hoạt động 6 4. Phương trình cotx = a ã GV đặt vấn đề như sau: ?29 Có tồn tại số a mà cota = -5 không? ?30 Tập xác định của hàm số y = cotx? ? 31 Với mọi a, phương trình cotx = a luôn có nghiệm, đúng hay sai? ã GV kết luận Điều kiện của phương trình: x ạ kp (kẻ Z) Nếu a là một nghiệm của phương trình (IV), nghĩa là cota = m thì cotx = m Û x = a + kp (IVa) ã Thực hiện ví dụ 4 Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Giải phương trình cotx = - Câu hỏi 2 Giải phương trình cot3x = -2 Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Gọi a là một số mà cota = -, tức là tana = -3 (chẳng hạn, bằng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta tìm được a ằ 1,249). Khi đó Cotx = - Û x = a + kp . Gợi ý trả lời câu hỏi 2 ã GV nêu chú ý trong SGK: Dễ thấy rằng với mọi số m cho trước, phương trình cotx = m có đúng một nghiệm nằm trong khoảng (0; p). Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arccotm (đọc là ác-côtang m). Khi đó cotx = m Û x= arccotm + kp. ã Thực hiện H8 trong 3’ Mục đích. Khắc sâu và luyện kĩ năng vận dụng công thức (IVa). Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Hãy nêu điều kiện xác định của phương trình Câu hỏi 2 Giải phương trình cot() = tan Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Điều kiện x ạ - + k3p. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Hoạt động 7 5. Một số điều cần lưu ý ã GV cho HS đọc một số điều cần lưu ý trong SGK và tóm tắt lại những ý đó. ã Thực hiện ví dụ 5. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Đơn vị trong ví dụ là gì? Câu hỏi 2 Giải phương trình sin(x+200) = . Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Độ. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Vì = sin600 nên ã Thực hiện H9 Mục đích. Tạo lập thói quen khi viết công thức nghiệm với số đo độ. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Giải phương trình: cos(3x – 150) = - Câu hỏi 2 Giải phương trình tan5x = tan 250. Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 tan5x = tan250 Û 5x = 250 + k1800 Û x = 50 + k3600. Hoạt động 8 Tóm tắt bài học 1. Xét phương trình sinx = m. Trường hợp |m| > 1. Phương trình (1) vô nghiệm vì |sinx| Ê 1 với mọi x. Trường hợp |m| Ê 1. Phương trình trở thành sinx = sina và nghiệm là x = a +k2p, x = p - a +k2p, k ẻ Z. 2. Xét phương trình cosx = m. Trường hợp |m| > 1. Phương trình (1) vô nghiệm vì |cosx| Ê 1 với mọi x. Trường hợp |m| Ê 1. Phương trình trở thành cosx = cosa và nghiệm là x = ± a +k2p, k ẻ Z. 3. Phương trình tanx = m Điều kiện của phương trình : x ạ + kp (k ẻ Z). Nghiệm của phương trình là x= arctan a + kp , k ẻ Z. Phương trình tanx = tana có nghiệm là x = a + kp, kẻ Z. Nếu số đo a được cho bằng độ thì phương trình có nghiệm là x= a + k1800, kẻ Z. 4. Phương trình cotx = m Điều kiện của phương trình: x ạ kp (k ẻ Z). Nghiệm của phương trình là x= arccot a + kp , k ẻ Z. Phương trình cotx = cota có nghiệm là x = a + kp, kẻ Z. Nếu số đo a được cho bằng độ thì phương trình có nghiệm là x= a + k1800, kẻ Z. --------&------- Luyện tập (2 tiết) Ngày 16/09/2008. Tiết thứ 9 - 10. I. Mục tiêu 1. Kiến thức. HS ôn tập lại: ã Phương trình lượng giác cơ bản. ã Những ứng dụng của phương trình lượng giác. ã Tìm nghiệm của phương trình lượng giác khi các họ nghiệm có nghiệm chung. 2. Kĩ năng. ã Giải thành thạo phương trình lượng giác. ã Giải được phương trình lượng giác dạng sinf(x) = sing(x), cosf(x) = cosg(x). ã Tìm được điều kiện của các phương trình dạng tanf(x) = tang(x), cotf(x) = cotg(x). 3. Tư duy và thái độ. ã Tự giác, tích cực trong học tập. ã Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp cụ thể. ã Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống. II. Tiến trình dạy học. A. Kiểm tra bài cũ. Câu hỏi 1 Nhắc lại các công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản. Câu hỏi 2 Tìm các điều kiện của phương trình lượng giác cơ bản. B. Bài mới Bài 14. Hướng dẫn. Sử dụng các công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản. Đáp số. a. b. Vì -= sin() nên c. d. Vì 0 < < 1 nên có số a sao cho cosa = . Do đó Bài 23 Mục đích. Thông qua bài tập này ôn tập lại một số công thức nghiệm Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Hãy giải phương trình 2sinx + = 0. Từ đó tìm tập xác định. Câu hỏi 2 Hãy giải phương trình Cos2x = cosx. Từ đó tìm tập xác định của phương trình. Câu hỏi 3 Tìm tập xác định của các phương trình cos và Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Ta có sinx = - tức là x = Hoặc x = Vậy tập xác định của hàm số đã cho là Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Cos2x – cosx = 0 Tập xác định là Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Bài 24 Mục đích. Đây là bài toán thực tế. Yêu cầu học sinh phải thiết lập các phương trình lượng giác và giải chúng theo yêu cầu của bài toán. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Hãy tìm h khi t = o. Câu hỏi 2 Khi d = 2000 hãy tìm t dương nhỏ nhất Câu hỏi 3 Khi d = -1236. Hãy tìm t dương nhỏ nhất. Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Vì t = 0 nên Do đó h = |d| ằ 3064,178 (km) Gợi ý trả lời câu hỏi 2 D = 2000 Chú ý rằng t > 0, ta thấy ngay giá trị nhỏ nhất của t là t = 25. Gợi ý trả lời câu hỏi 3 D = -1236 (với kẻ Z và ) Dễ thấy giá trị dương nhỏ nhất của t là 37. Bài 25 Mục đích. Đây là bài toán thực tế. Yêu cầu học sinh phải thiết lập các phương trình lượng giác và giải chúng theo yêu cầu của bài toán. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Chiếc gàu ở thấp nhất khi nào? Câu hỏi 2 Hãy tìm x khi Câu hỏi 3 Chiếc gàu ở cách mặt nước 2m khi nào? Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Chiếc gàu ở vị trí thấp nhất khi Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Û x = k (với k ẻ N*). Điều đó chứng tỏ rằng chiếc gàu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0 phút; 1 phút; 2 phút; 3 phút. Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Chiếc gàu cách mặt nước 2 mét khi , nghĩa là tại các thời điểm (phút); do đó lần đầu tiên nó cách mặt nước 2 mét khi quay được phút (ứng với k = 0).