Bài tập chương III: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

11U GT 11 Bài tập chương III Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân ******* Đ1. Phương pháp quy nạp toán học CMR: 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n2 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = . CMR: 2n > 2n + 3 (n 4) b) (1 + a)n > 1 + na (a > 0, n 2) c) d) CMR: (13n - 1) chia hết cho 12 b) (19n - 1) chia hết cho 9. c) chia hết cho 5 (). c) chia hết cho 19. (). Đ2. Dãy số Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: un = 2n2 - n + 1 c) un = 1 - 3n un = d) un = 2n + sinn Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un = 5n c) e) un = d) un = 4n - 3 f) . 4) Cho (un )xác định bởi: Tìm số hạng tổng quát. 5) Cho (un )xác định bởi: (n dấu căn). Chứng minh dãy tăng và bị chăn trên. 8) Cho (un )xác định bởi: (n dấu căn). Chứng minh dãy tăng và bị chặn trên. Chứng minh: . 11) Viết 5 số hạng đầu của dãy số: . Đ3 Cấp số cộng Cho cấp số cộng: , 3 ... Tính u10. Cho biết: Tính u1, d. Tìm S20 của 1 cấp số cộng biết: . Chứng minh rằng: a2, b2, c2 là cấp số cộng khi và chỉ khi là cấp số cộng. Cho cấp số cộng với các số hạng dương: u1, u2, ... un, ... Chứng minh rằng: ... . Và đảo lại. Cho ABC. Chứng minh rằng: tan, tan, tan lập thành csc khi và chỉ khi cosA, cosB, cosC lập cấp số cộng. Giải phương trình; 1 + 4 + 7 + ... + x = 287 (x là số hạng thứ n của cấp số cộng). 2 + 4 + 8 + ... + y = 1022 ( y là số hạng thứ n của cấp số nhân). (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + ... + (x + 28) = 155. Tìm x biết: 4x - 3, 2x2 + 4, 7x + 5 là cấp số cộng. a) Tìm un và n biết: u1 = 2, d= 5, sn = 245. b) Tìm 4 số biết: 4 số đó lập thành 1 csc có tổng bằng 5 và tổng bình phương bằng 245. 10) Cho 4 số nguyên lập thành một cấp số cộng có tổng bằng 20, tích bằng 384. Tìm 4 số đó. 11) Tìm cấp số cộng biết: a) b) c) d) 12) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: . 13) . 14) Chứng minh rằng: . 15) Cho ABC có: 16) Cho ABC có: 17) Xen giữa các số 1 và 25 năm số, tạo với 2 số đã cho 1 cấp số cộng. 18) Tìm csc gồm 3 số hạng có tổng bằng 21, tổng các bình phương của chúng bằng 309 19) Cho hệ: Tìm tổng các nghiệm của hệ. 20) Ba số: có thể là 3 số hạng cùng có mặt trong 1 cấp số cộng được không? Đ4 Cấp số nhân Ba số dương lập cấp số cộng có tổng bằng 21. Thêm lần lượt 2, 3, 9 vào 3 số đó ta được cấp số nhân. Tìm 3 số của cấp số cộng. Cho 2 số 2 và 54. Điền vào giữa 2 số ấy 2 số sao cho 4 số mới lập cấp số nhân. Cho 2 số 3 và 48. Xen giữa 3 số để được cấp số nhân. Tìm cấp số nhân có tổng 4 số hạng đầu bằng 15, tổng bình phương bằng 85. Cho cấp số cộng và cấp số nhân cùng có 3 số hạng. Số hạng đầu của chúng bằng 3, các số hạng thứ 3 giống nhau. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng nhiều hơn số hạng thứ 2 của cấp số nhân là 3. Tìm 2 cấp số ấy. Ba số nguyên có tổng bằng 15 lập thành cấp số cộng. Lần lượt thêm 1, 1, 4 vào chúng được cấp số nhân. Tìm cấp số cộng. Ba số dương có tổng là 114 có thể coi là 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số nhân hoặc là u1, u4, u25 của 1 cấp số cộng. Tìm 3 số ấy. Cho 1 dãy số gồm 4 số nguyên. Ba số hạng đầu lập cấp số cộng, 3 số hạng cuối lập cấp số nhân. Tổng số hạng đầu và số hạng cuối bằng 37, tổng 2 số hạng giữa bằng 36. Tìm 4 số ấy. Cho 4 số lập csn. Theo thứ tự ta bớt đi 2, 1, 7, 27 thì được cấp số cộng. Tìm cấp số nhân. Tính tổng: Xác định cấp số nhân biết: a) b) Tính các góc của tam giác vuông có độ dài 3 cạnh lập thành cấp số nhân. Tìm 3 số có tổng bằng 146 là 3 số hạng đầu của 1 cấp số nhân, đồng thời là các số hạng thứ nhất, thứ 17 và 19 của 1 cấp số cộng. 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949. (1000 chữ số sau dấu phẩy)