Bài tập toán trung học phổ thông

BàI TậP TOáN TRUNG HọC PHổ THÔNG Người soạn: An Viết Lương. *********************************** phương trình vô tỷ không chứa tham số A. Phương pháp biến đổi tương tương. Bài 1. Giải các phương trình sau: a. ; b. ; c. ; d. ; e. ; f. ; g. ; h. . i. ; j. . B. Phương pháp đặt ẩn phụ. Bài 2. Giải các phương trình sau: Bài 3. Giải các phương trình sau: Bài 4. Giải các phương trình sau: Bài 5.Giải phương trình sau: . C. Phương pháp bất đẳng thức: Bài 6. Giải các phương trình sau: D. Các dạng khác. Bài 7. Giải các phương trình sau: Phương trình vô tỷ chứa tham số. Bài 1.Cho phương trình: a. Giải phương trình khi . b. Tìm để phương trình có nghiệm. Bài 2. Cho phương trình: a. Giải phương trình khi b. Tìm để phương trình có nghiệm. c. Tìm để phương trình có nghiệm duy nhất. Bài 3. Tìm để phương trình: có nghiệm Bài 4. Biện luận số nghiệm của phương trình: Bài 5. Tìm để phương trình có nghiệm duy nhất Bài 6. Tìm để phương trình có nghiệm duy nhất Bài 7. Tìm để phương trình có nghiệm duy nhất Bài 8. Tìm để phương trình có nghiệm duy nhất. Bài 9. Tìm để phương trình có nghiệm duy nhất Bất phương trình vô tỷ A. Phương pháp biến đổi tương tương Bài 1. Giải các bất phương trình sau Bài 2. Giải các bất phương trình sau: Bài 3. Giải các bất phương trình sau: B. Phương pháp đặt ẩn phụ Bài 4. Giải các bất phương trình sau: Bài 5. Giải các bất phương trình sau: Bài 6 . Giải các bất phương trình sau: Bài 7 . Giải các bất phương trình sau: C. Các dạng khác. Bài 8 . Giải các bất phương trình sau: Bài 9. Giải các bất phương trình sau: Phương trình mũ và lôgarit I. Phương trình mũ. A. Phương pháp đưa về cùng cơ số: Bài 1. Giải các phương trình sau: Bài 2. Giải các phương trình sau: Bài 3. Giải các phương trình sau: B. Phương pháp đặt ẩn phụ Bài 1. Giải các phương trình sau: Bài 2. Giải các phương trình sau: Bài 3. Tìm để các phương trình sau có nghiệm: Bài 4. Tìm để các phương trình sau có nghiệm: Bài 5. Tìm để phương trình sau có nghiệm duy nhất: Bài 6. Tìm để phương trình sau có hai nghiệm thoả mãn : Bài 7. Tìm để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt: Bài 8. Tìm để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: Bài 9. Tìm để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt C. Phương pháp hàm số. Bài 1. Giải các phương trình sau: Bài 2. Giải các phương trình sau: Bài 3. Giải các phương trình sau: D.Phương pháp điều kiện cần và đủ. Bài 1. Tìm để các phương trình sau có nghiệm duy nhất: Bài 2. Tìm để hai phương trình sau tương đương: Bài 3. Tìm để hai phương trình sau tương đương: II. Phương trình logarit. A. Phương pháp biến đổi tương đương. Bài 1. Giải các phương trình sau: Bài 2. Giải các phương trình sau: Bài 3. Giải và biện luận phương trình sau: Bài 4. Tìm để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: Bài 5. Tìm để phương trình sau có nghiệm duy nhất: Bài 6. Tìm để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt : B. Phương pháp đặt ẩn phụ Bài 1. Giải các phương trình sau: Bài 2. Giải phương trình sau: Bài 3. Giải phương trình sau: Bài 4. Giải phương trình sau: Bài 5. Xác định để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt: Bài 6. Xác định để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt thuộc : C. Phương pháp hàm số: Bài 1. Giải các phương trình sau: Bài 2. Giải các phương trình sau: Bài tập về bất đẳng thức A. Phương pháp tìm và sử dụng bất đẳng thức trung gian Bài 1. Cho . Chứng minh bất đẳng thức: . Bài 2. Cho . Chứng minh bất đẳng thức: B. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Bài 1. Cho . Chứng minh rằng: . Bài 2. Cho . Chứng minh rằng: . Bài 3. a. Chứng minh rằng: Với ta có: . b. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Bài 4. Cho . Chứng minh rằng: . Bài 5. Cho . Chứng minh rằng: a. b. Bài 6. . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Bài 7. . Tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của biểu thức: . Bài 8. . Tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của biểu thức: . Bài 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:. Trong đó: . Bài10.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:. Trong đó: . Bài 11. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: Bài 12. Cho . Chứng minh rằng: Bài 13. . Chứng minh rằng: . Bài 14. . Chứng minh rằng: Bài 15. a. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của . b.Cho . Tìm giá trị lớn nhất của . Bài 16. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của . Bài 17. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: Bài 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: Bài 19. Cho tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: Bài 20. Cho . Chứng minh rằng: Bài 21. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Bài 22. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Bài 23. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Bài 24. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Bài 25. Cho .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . Bài 26. Cho .Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: . Bài 27. Cho .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . Bài 28. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: Bài 29. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Bài 30. Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Bài 31. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . B. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunyakowski (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz). Bài 1. Chứng minh rằng với mọi , ta luôn có: . Bài 2. Chứng minh rằng với mọi , ta luôn có: . Bài 3. Chứng minh rằng với mọi , ta luôn có: Bài 4. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Bài 5. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Bài 6. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . Bài 7. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: . Bài 8. Cho . Chứng minh rằng: . D.Phương pháp hàm số: I) Phương pháp sắp thứ tự các biến: Bài 1. Chứng minh rằng với các số thực bất kì thoả mãn: , ta có các bất đẳng thức: Bài2.Cho ba số dương . Chứng minh rằng: Bài tập về giới hạn của hàm số 1. Tính giới hạn dạng: . Trong đó: là các đa thức,. Bài 1. Tính các giới hạn sau: 2. Tính giới hạn dạng: . Trong đó: chứa các căn thức đồng bậc,. Bài 2. Tính các giới hạn sau: Bài 3. Tính các giới hạn sau: 3. Tính giới hạn dạng: . Trong đó: chứa các căn thức không đồng bậc,. Bài 4. Tính các giới hạn sau: Bài tập về hàm số I. Hàm đa thức bậc ba . 1.Tiếp tuyến Bài 1. Cho hàm số (C). 1. Khảo sát hàm số. 2. Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận điểm uốn là tâm đối xứng. 3. Chứng minh rằng tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến của (C). 4. Tìm toạ độ các điểm mà từ có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị của hàm số (C). Bài 2. Cho hàm số (Cm) 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) Tại giao điểm của (Cm) với . 2. Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn trên hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8. Bài 3. Cho đồ thị (C): . Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 1. Có hệ số góc ; 2. Tạo với chiều dương một góc ; 3. Song song với ; 4. Vuông góc với ; 5. Tạo với một góc ; 6. Tạo với một góc ; Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua đến; (C): Bài 5. Cho hàm số (C). Tìm trên đường thẳng những điểm mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến (C). 2. Cực trị. Bài 1. Tìm để các hàm số: có cực đại, cực tiểu. Bài 2. Tìm để hàm số: đạt cực trị tại thoả mãn:. Bài 3. Tìm để hàm số: đạt cực trị tại thoả mãn:. Bài 4. Tìm để hàm số đạt cực tiểu tại . Bài 5. Tìm toạ độ của các điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số . Bài 6. Tìm để đồ thị hàm số có đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng . Bài 7. Tìm để đồ thị hàm số có đường thẳng đi qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng . Bài 8. Tìm để đồ thị hàm số có các điểm cực đại,cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng . 3. Tương giao. Bài 1. Cho . Tìm để cắt tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. Bài 2. Tìm để cắt tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 0. Bài 3. Cho . Chứng minh rằng đồ thịluôn cắttại đúng một điểm . Bài 4. Tìm để cắt tại Một điểm Hai điểm Ba điểm. Bài 5. Tìm để cắt tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Bài 6. Tìm để cắt tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân. II. Hàm đa thức bậc bốn trùng phương . Bài 1. Tìm để đồ thị hàm số: có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều. III. Hàm số phân thức Bài 1. Cho hàm số (H). 1. Khảo sát hàm số. 2. Tìm trên (H) những điểm M có toạ độ nguyên. 3. Chứng minh rằng giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. 4. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (H) đến hai tiệm cận là một số không đổi. 5. Tìm trên (H) những điểm M có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 6. Chứng minh rằng nếu tiếp tuyến tại điểm M bất kỳ thuộc (H) cắt hai tiệm cận tại A và B thì M là trung điểm của AB và diện tích tam giác IAB là không đổi. Tìm toạ độ điểm M thuộc (H) để chu vi tam giác IAB là nhỏ nhất.(I là giao điểm của hai tiệm cận). 7. Tìm trên hai nhánh của (H) toạ độ hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 2. Cho hàm số (H). 1. Khảo sát hàm số. 2. Chứng minh rằng giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. 3. Tìm trên (H) những điểm M có toạ độ nguyên. 4. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (H) đến hai tiệm cận là một số không đổi. 5. Tìm trên (H) những điểm M có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 6. Chứng minh rằng nếu tiếp tuyến tại điểm M bất kỳ thuộc (H) cắt hai tiệm cận tại A và B thì M là trung điểm của AB và diện tích tam giác IAB là không đổi. Tìm toạ độ điểm M thuộc (H) để chu vi tam giác IAB là nhỏ nhất.(I là giao điểm của hai tiệm cận). 7. Tìm trên hai nhánh của (H) toạ độ hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB đạt giá trị nhỏ nhất. 8. Cho hai điểm . Tìm toạ độ của điểm M trên cung AB sao cho diện tích tam giác MAB là lớn nhất. 9. Tìm toạ độ của điểm M trên (H) sao cho tổng khoảng cách từ M đến đường thẳng đạt giá trị nhỏ nhất. Bài tập về đường tròn Dạng 1. Lập phương trình của đường tròn Bài 1. Cho hai điểm . Hãy viết phương trình đường tròn: a. Tâm , bán kính . b. Đường kính . Bài 2. Lập phương trình đường tròn đi qua và có tâm thuộc đường thẳng , bán kính . Bài 3. Lập phương trình đường tròn đi qua và có, bán kính . Bài 4. Lập phương trình đường tròn đi qua và có tâm thuộc đường thẳng . Bài 5. Lập phương trình đường tròn có tâm và tiếp xúc với tại. Bài 6. Lập phương trình đường tròn có bán kính và tiếp xúc với hai đường thẳng: . Bài 7. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm: . Bài 8. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm: . Bài 9. Lập phương trình đường tròn nội tiếp : . Bài 10. Lập phương trình đường tròn nội tiếp : . Dạng 2. Tiếp tuyến của đường tròn. Bài 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C): tại . Bài 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C):, biết tiếp tuyến đó đi qua: . Bài 3. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C):, biết . Bài 4. Cho đường tròn (C): và . a. Chứng minh rằng nằm ngaòi đường tròn (C). b. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) xuất phát từ . Bài 5. Cho hai đường tròn: . a. Tìm tâm của hai đường tròn trên. b. Lập phương trình tiếp tuyến của hai đường tròn trên. Bài tập về các đường cônic Dạng 1.Lập phương trình các đường cônic. Bài 1. Cho hai điểm và điểm . Lập phương trình của Elíp đi qua và nhận làm hai tiêu điểm. Tìm toạ độ của điểm. Bài 2. Cho hai điểm và điểm . Lập phương trình của Hyperbol đi qua và nhận làm hai tiêu điểm. Tìm toạ độ của điểm. Bài 3. Lập phương trình chính tắc của Elíp , biết: a.Trục lớn có độ dài 26 và tâm sai bằng. b. Bài 4. Lập phương trình chính tắc của Elíp , biết tiêu cự bằng 6 và Bài 5. Cho hai đường tròn . Các điểm lần lượt di động trên sao cho là phân giác của góc .Gọi là trung điểm của . Tìm quỹ tích của điểm . Bài 6. Cho hai điểm .Tìm quỹ tích điểm : . Bài 7. Cho điểm và đường tròn .Tìm quỹ tích tâm các đường tròn đi qua và tiếp xúc với . Bài 8. Cho Elíp a. Tìm toạ độ các đỉnh, các tiêu điểm, tính tâm sai của Elip. b. Lập phương trình chính tắc của Hyperbol có cùng hình chữ nhật cơ sở với elip trên. Bài 9. Lập phương trình chính tắc của Hyperbol. Biết: a. Độ dài trục ảo bằng 6, hai tiệm cận vuông góc với nhau. b. Đi qua điểm và mỗi tiệm cận tạo với trục hoành một góc . Bài 10. Lập phương trình của Parabol có đỉnh là gốc toạ độ trong mỗi trường hợp sau: a. Đường chuẩn là . b. Đi qua , nhận làm trục đối xứng. Bài 11. Cho điểm . a. Lập phương trình của Parabol có đỉnh là gốc toạ độ và tiêu điểm là . b. . Tính . c. Qua dựng đường thẳng thay đổi luôn cắt tại hai điểm . Chứng minh rằng tích khoảng cách từ và tới là một hằng số. Bài 12. Cho đường thẳng . a. Lập phương trình của Parabol có đỉnh là gốc toạ độ nhận làm trục đối xứng và chắn trên một đoạn bằng . b. Gọi là tiêu điểm của . Lập phương trình đường tròn tâm và tiếp xúc với . Dạng 2. Tiếp tuyến của các đường cônic. Bài 1. Cho điểm . Lập phương trình tiếp tuyến của cônic trong mỗi trường hợp sau: a. : . b. : . c. : . Bài 2.Cho điểm và elip . a. Chứng minh rằng qua kẻ được hai tiếp tuyến đến . b. Xác định phương trình hai tiếp tuyến đó và viết phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của với hai tiếp tuyến nói trên. Bài 3. Cho đường thẳng , và Hyperbol . Lập phương trình tiếp tuyến của song song với . Bài 4. Cho đường thẳng , và Parabol . a. Lập phương trình tiếp tuyến của vuông góc với . b. Gọi là tiếp điểm của và . Hãy lập phương trình đường tròn tâm tiếp xúc với . Bài 5. Cho Elip Lập phương trình tiếp tuyến của . Biết tiếp tuyến : a. Đi qua . b. Đi qua . c. Song song với đường thẳng . d. Vuông góc với đường thẳng . e. Tạo với đường thẳng một góc bằng . Bài 6. Cho Hyperbol Viết phương trình tiếp tuyến của Hyperbol, biết tiếp tuyến đó: a. Đi qua . b. Đi qua . c. Song song với đường thẳng . d. Vuông góc với đường thẳng . e. Tạo với đường thẳng một góc bằng . Bài 7. Cho Parabol Viết phương trình tiếp tuyến của Parabol, biết tiếp tuyến đó: a. Đi qua . b. Đi qua . c. Song song với đường thẳng . d. Vuông góc với đường thẳng . e. Tạo với đường thẳng một góc bằng . Bài 8. Lập phương trình tiếp tuyến chung của: và . Bài 9. Lập phương trình tiếp tuyến chung của: và . Bài 10. Lập phương trình tiếp tuyến chung của: và . Bài 11. Lập phương trình tiếp tuyến chung của: và . Bài 12. Lập phương trình tiếp tuyến chung của: và . Dạng 3. Các dạng bài toán khác. Bài 1. Cho Hyperbol: . Tìm toạ độ điểm sao cho: a. Có toạ độ là các số nguyên. b. Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc . Bài 2. Cho Hyperbol: , Và đường thẳng . a. Tìm toạ độ giao điểm của và (với). b. Tìm toạ độ điểm sao cho tam giác cân tại . Bài 3. Cho Hyperbol: , Và đường thẳng . a. Tìm toạ độ giao điểm của và . b. Tìm toạ độ điểm sao cho tam giác có diện tích bằng 30. Bài 4. Cho Hyperbol: . Tìm toạ độ điểm sao cho độ dài ngắn nhất (ở đây ). Bài 5. Cho Hyperbol: . a. Chứng minh rằng tích khoảng các từ điểm bất kỳ trên đến hai tiệm cận là không đổi. Tìm toạ độ của sao cho tổng khoảng các từ điểm đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. b. Chứng minh rằng tiếp tuyến của tại điểm bất kỳ trên cắt hai tiệm cận tại thì là trung điểm của và diện tích tam giác không đổi. Phương pháp toạ độ trong không gian A. Đường thẳng và mặt phẳng. Bài 1. Lập phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng . Bài 2. Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và song song với trục . Bài 3. Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng: . Bài 4. Lập phương trình đường thẳng đi qua cắt và vuông góc với đường thẳng: Bài 5. Tìm véctơ chỉ phương của đường thẳng: . Bài 6. Cho đường thẳng: a. Tìm giao điểm của với mặt phẳng . b. Lập phương trình đường thẳng đi qua giao điểm đó, vuông góc với và nằm trong mặt phẳng . Bài 7. Cho đường thẳng: a. Tìm giao điểm của với mặt phẳng . b. Lập phương trình đường thẳng đi qua giao điểm đó, vuông góc với và nằm trong mặt phẳng . Bài 8. Cho đường thẳng: a. Tìm giao điểm của với mặt phẳng . b. Lập phương trình đường thẳng đi qua giao điểm đó, vuông góc với và nằm trong mặt phẳng . Bài 9. Cho hai đường thẳng: Lập phương trình đường thẳng song song với và cắt cả hai đường thẳng trên. Bài 10. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và điểm . Bài 11. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm và cắt đồng thời hai đường thẳng: Bài 12. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm và cắt đồng thời hai đường thẳng: Bài 13. Lập phương trình hình chiếu của đường thẳng: trên Bài 14. Lập phương trình hình chiếu của đường thẳng: trên Bài 15. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và gốc toạ độ. Bài 16. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng: . Bài 17. Lập phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng: Bài 18. Cho hai đường thẳng: a. Chứng minh rằng và là hai đường thẳng chéo nhau. b. Viết phương trình mặt phẳng chứa và song song với c. Viết phương trình hình chiếu của lên . d. Tìm toạ độ giao điểm của và . e. Viết phương trình đường vuông góc chung của và f. Tính khoảng cách giữa và g. Tính góc giữa và . Bài 19. Cho hai đường thẳng: a. Chứng minh rằng và là hai đường thẳng chéo nhau. b. Viết phương trình mặt phẳng chứa và song song với c. Viết phương trình hình chiếu của lên . d. Tìm toạ độ giao điểm của và . e. Viết phương trình đường vuông góc chung của và f. Tính khoảng cách giữa và g. Tính góc giữa và . Bài 20. Lập phương trình mặt phẳng song song với và cách nó một khoảng bằng 6. Bài 21. Lập phương trình mặt phẳng vuông góc với và cách điểm một khoảng bằng 3. Bài 22. Lập phương trình mặt phẳng đi qua đường thẳng và cách điểm một khoảng bằng . Bài 23. Lập phương trình mặt phẳng đi qua trục và cách điểm một khoảng bằng . Bài 24. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và cách đều hai điểm Bài 25. Cho điểm và đường thẳng . Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và cách một khoảng lớn nhất. Bài 26. Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng Bài 27. Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Bài 28. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: Bài 29. Lập phương trình mặt phẳng song song với các đường thẳng: và cách đều chúng. Bài 30. Tính góc tạo bởi hai đường thẳng: Bài 31. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng: Bài 32. Tính góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng . B. Mặt cầu Bài 1. Cho ba điểm . a. Chứng mình rằng bốn điểm: không đồng phẳng b. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện c. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại . Bài 2. Cho bốn điểm . a. Chứng mình rằng bốn điểm: không đồng phẳng. b. Tính thể tích của tứ diện c. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó d. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm .Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của nó. Bài 3. Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm và có tâm thuộc đường thẳng Bài 4. Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm và có tâm thuộc đường thẳng . Bài 5. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm và có tâm thuộc mặt phẳng Bài 6. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm và có tâm thuộc mặt phẳng Bài 7. Lập phương trình của mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng và đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng: Bài 8. Lập phương trình mặt cầu có tâm và cắt mặt phẳng theo một đường tròn có bán kính Bài 9. Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu: Và đi qua đường thẳng Bài 10. Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu: Và đi qua đường thẳng Bài 11. Lập phương trình của mặt cầu có bán kính và đi qua đường tròn: . Bài 12. Trong không gian với hệ toạ độ cho ba điểm . 1. Viết phương trình mặt cầu tâm và đi qua điểm , Viết phương trình mặt phẳng qua điểm có véc tơ pháp tuyến . 2. Chứng minh rằng cắt mặt cầu theo một đường tròn . 3. Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của . Bài 13. Trong không gian với hệ toạ độ cho hai mặt phẳng song song: Và điểm Nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng đó. Gọi là mặt cầu bất kỳ đi qua và tiếp xúc đồng rhời với . 1. Chứng tỏ rằng bán kính của là một hằng số. Tính bán kính đó. 2. Gọi là tâm mặt cầu. Chứng tỏ rằng thuộc một đường tròn cố định. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó. Bài 14. Cho mặt cầu và mặt phẳng . a. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu . b. Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng c. Mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn . Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn . d. Gọi tâm mặt cầu là . Tìm toạ độ của điểm đối xứng với qua . Lời giải. phương trình vô tỷ B. Phương pháp đặt ẩn phụ. Bài 3. Giải các phương trình sau: Giải. a. Đặt: , ta có: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Lại có: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: Ta có: Do đó ta có phương trình: Với , ta có: . Kết luận: Phương trình có hai nghiệm: b. Đặt Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: Lại có: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: Vậy Ta có: Vậy, ta có phương trình: Với , ta có: Kết luận: Phương trình có nghiệm . c. Đặt , ta có: Do đó, ta có phương trình: *) Với , ta có phương trình: : Phương trình quen thuộc. *) Với , Ta có phương trình: . Vô nghiệm d. Đặt Ta có: Ta có Phương trình không thể có nghiệm dương, ta loại trường hợp này. Với , ta có: Kết luận: Phương trình có nghiệm e. Đk: . Đặt Ta có phương trình: *) Với , Ta có: *) Với , ta có: Kết luận: Phương trình có bốn nghiệm: ;;; f. Đặt Ta có phương trình: Do đó, ta có: Đặt . Ta có: *)Với *) Với Kết luận: Phương trình có hai nghiệm: g. Đặt: . Ta có phương trình: *) Với *) Với Hệ này vô nghiệm. Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất: Bài 4. Giải các phương trình sau: Giải: a) Đặt: . Từ (1) ta có Từ ta có hệ phương trình: Kết luận: Phương trình có một nghiệm là: . b) Giải: Đặt . Ta có: . Do đó, ta có: . Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất: . c. Đặt: . Ta có hệ: . Vậy là hai nghiệm của phương trình: . Do đó ta có: , hoặc +) Với d. Giải: Đặt: . Ta có phương trình: Đặt . Ta có hệ phương trình: Vậy, ta có: . Từ đó ta có: Kết luận: Phương trình đã cho vô nghiệm. e. Đặt *) . Thoả mãn phương trình. *) . Thoả mãn phương trình. *) . Thoả mãn phương trình. Kết luận: Phương trình có ba nghiệm: . f. Giải: Đặt . Ta có phương trình: Đặt . Ta có hệ phương trình: Với . Do đó ta có: . Từ đó ta có: . Kết luận: Phương trình có nghiệm: . g. . Đặt Vậy, ta có: hoặc *) (Thoả mãn phương trình) *) (Thoả mãn phương trình) Kết luận: Phương trình có hai nghiệm: và h. Giải: Đặt . Ta có phương trình: Đặt . Ta có hệ phương trình: . Từ đó ta có: . Kết luận: Phương trình có nghiệm: . Bài 7. Giải các phương trình sau: Giải d. e. Đặt , Ta có phương trình: Đặt: , Ta có hệ phương trình: Vậy, ta có: Từ *) , nghiệm này thoả mãn phương trình Kết luận: Phương trình có nghiệm là f. Điều kiện: Giải: Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là . g. Đk: . Với điều kiện trên, ta có: Kết luận: Phương trình có tập nghiệm: h. Đk: . Với điều kiện trên, ta có: Nghiệm này thoả mãn điều kiện. Kết luận: Phương trình có nghiệm . i. Đk Với điều kiện trên, ta có Kết hợp với điều kiện trên, ta có nghiệm của phương trình là Phương trình vô tỷ chứa tham số. Bài 1.Cho phương trình: a. Giải phương trình khi . b. Tìm để phương trình có nghiệm. Giải: Đk: . Đặt . Ta có: +) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi +) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Do đó, ta có: Lại có Phương trình trở thành: b. có nghiệm khi và chỉ khi có nghiệm thoả mãn . Xét hàm số trên đoạn Có Vậy là hàm số nghịch biến trên . Do đó Vậy, để phương trình có nghiệm thì điều kiện cần và đủ là: Bài 2. Cho phương trình: a. Giải phương trình khi b. Tìm để phương trình có nghiệm. c. Tìm để phương trình có nghiệm duy nhất. Giải Đk: . Đặt . Ta có: +) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi +) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Do đó, ta có: Lại có Phương trình trở thành: b. có nghiệm khi và chỉ khi có nghiệm thoả mãn . Xét hàm số trên đoạn Có Vậy là hàm số nghịch biến trên . Do đó Vậy, để phương trình có nghiệm thì điều kiện cần và đủ là: c. Nhận xét: Nếu là nghiệm của phương trình thì cũng là nghiệm của phương trình. Điều kiện cần: Để phương trình có nghiệm duy nhất thì . Vậy, ta có: Điều kiện đủ: Với , thay vào phương trình, giải phương trình này thấy có nghiệm duy nhất . Bài 3. Tìm để phương trình: có nghiệm Cách giải: ĐK: đồng biến trên Bài 4. Biện luận số nghiệm của phương trình: Cách giải: Sử dụng đạo hàm Bất đẳng thức. A. Phương pháp tìm và sử dụng bất đẳng thức trung gian Bài 1. Cho . Chứng minh bất đẳng thức: . Giải: Phân tích: -Ta liên tưởng đến một bất đẳng thức có dạng: -(*) là một bất đẳng thức đối xứng đối với nên ta dự đoán khi thì ta có đẳng thức. - Khi thì , nên ta dự đoán . Khi đó ta cũng có: Từ (1);(2);(3) ta có: . Do đó nếu chọn được thoả mãn (1) thì ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Từ , Thay vào (1) ta có: . i) Chọn . ii)Chọn Vậy ta có . Vậy ta có: . Có thể chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp biến đổi tương đương. Tương tự ta