Bài tập tổng hợp phần hàm số

bài tập tổng hợp phần hàm số Bài 1. Cho hàm số: (Cm) 1. Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại thoả mãn 2. Cho có hoành độ x = 3 và (D) là đt đi qua A và có hệ số góc bằng -2. Tìm m để (D) cắt (Cm) tại A, B, C sao cho A là trung điểm của BC. 3. Khi m = 4, hãy khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số và chứng tỏ rằng trên (C) không thể tồn tại 2 điểm sao cho 2 tiếp tuyến tại hai điểm ấy vuông góc. 4. Hãy xác định a để trên (C) có 2 điểm P, Q sao cho: HD. 1. 2. m = 9 3. Bài 2. Cho hàm số: 1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. 2. CMR phương trình : (1) luôn có một nghiệm dương với mọi m. 3. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. HD. 1. 2. Ta có và Vậy với mọi m, phương trình luôn có nghiệm dương. 3. Với , phương trình (1) trở thành: , phương trình này có nghiệm duy nhất. Với , Pt (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hàm số có CĐ, CT và các giá trị cực trị cùng dấu, tức là: Bài 3. Cho hàm số: (C) 1. Tìm a để các điểm cực đại, cực tiểu của (C) đối xứng qua đường thẳng y = x 2. Tìm a để đường thẳng y = x cắt (C) tại 3 điểm M, N, P sao cho MN = NP Kết quả: 1. 2. Bài 4. Cho hàm số: (C) 1. Tìm m để (C) tiếp xúc với Ox 2. Tìm m để với mọi HD. 1. 2. BPT Đặt , ta có Ta cần tìm m sao cho Lập bảng biến thiên hàm số, suy ra Bài 5. Cho hàm số: 1. Tìm m để 2. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 1 3. Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn và M là điểm bất kỳ trên (D). Tuỳ theo vị trí của M, hãy biện luận số tiếp tuyến của (C) đi qua M. HD. 1. ĐKBT Lập bảng biến thiên của F(x), suy ra 2. là điểm thuộc (D). Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua M với (C) là nghiệm của phương trình: Vậy nếu thì qua M có đúng 1 tiếp tuyến Nếu thì qua M có 2 tiếp tuyến tới (C) Bài 6. Cho hàm số: 1. Tìm m để cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ không nhỏ hơn 1. 2. Tìm m để có CĐ, CT, đồng thời khoảng cách giữa các điểm CĐ, CT là bé nhất. HD. 1. Không tồn tại giá trị m 2. Hàm số có CĐ, CT với mọi m. Dùng cách tính giá trị cực trị của hàm đa thức. Suy ra: và Bài 7. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 2. CMR điều kiện cần và đủ để A, B, C là 3 điểm thẳng hàng nằm trên (C) là , với lần lượt là hoành độ các điểm ấy. 3. Giả sử A, B, C là ba điểm nằm trên (C) và thẳng hàng. Tiếp tuyến với (C) tại A, B, C tương ứng cắt (C) tại A’, B’, C’. CMR A’, B’, C’ thẳng hàng. 4. Điểm M di động trên đường thẳng (D): . Biện luận số tiếp tuyến có thể vẽ được từ M tới (C). HD. 2. ĐK cần: Giả sử A, B, C nằm trên (C) và thẳng hàng. Gọi (D): là đường thẳng đi qua A, B, C. Khi đó là nghiệm của phương trình: Theo định lí Viet, ta có: ĐK đủ: Giả sử A, B, C nằm trên (C) và có hoành độ thoả mãn ta chứng minh A, B, C thẳng hàng. Gọi (D): là đường thẳng đi qua A, B và giả sử (D) cắt (C) tại C’ có hoành độ , vậy là nghiệm của phương trình: Theo định lý Viet Mà nên , tức là C’ trùng với C, hay A, B, C thẳng hàng. 3. Hoành độ của các điểm A’, B’, C’ tương ứng là: mà nên , theo câu 2, suy ra A’, B’, C’ thẳng hàng. 4. . Phương trình hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) là: Suy ra, kết quả biện luận: - Nếu thì có 1 tiếp tuyến qua M - Nếu thì có 2 tiếp tuyến qua M - Nếu thì có 3 tiếp tuyến qua M Bài 8. Cho (C): 1. Tìm các điểm cố định của (C) 2. Tìm m để (C) tiếp xúc với trục hoành. 3. Tìm quỹ tích tâm đối xứng của (C) HD. 1. Có hai điểm cố định: (2; 0), (-2; 0) 2. m = -1 3. Toạ độ điểm đối xứng của (C) thoả mãn hệ phương trình: Vậy, quỹ tích là đường cong: Bài 9. Cho (Cm): 1. Tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng nối CĐ, CT của (Cm); 2. CMR (Cm) luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng; 3. Tìm a để đường thẳng x = a cắt (Cm) tại các điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau. HD. 3. YCBT, tức là tại x = a thì hệ số góc tiếp tuyến không phụ thuộc m. Suy ra: Bài 10. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số: CMR, (H) nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng. 2. CMR, Parabol (P): tiếp xúc với (H). Xác định tiếp điểm và viết PTTT chung của (H) và (P) tại điểm đó. 3. Xét vị trí tương đối của (P) và (H) (tức là xác định mỗi khoảng trên đó (P) nằm phía trên hay phía dưới (H) HD. 2. Tiếp điểm: . Phương trình tiếp tuyến chung: 3. Trên khoảng (-2; 0), (P) nằm phía dưới (H). Bài 11. Cho hàm số: 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số. 2. Tìm điểm trên (H) những điểm có khoảng cách tới trục hoành bằng 2 lần khoảng cách tới trục tung. 3. CMR với mọi , đường thẳng cắt đường cong (H) tại hai điểm phân biệt, trong đó ít nhất một giao điểm có hoành độ lớn hơn 2. Bài 12. Cho hàm số 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm những điểm sao cho tổng các khoảng cách từ nó đến hai tiệm cận nhỏ nhất. 3. CMR trên (C) tồn tại vô số cặp điểm sao cho tiếp tuyến của (C) tại các cặp điểm ấy song song. 4. CMR tiếp tuyến tại điểm M0 bất kỳ của (C) tạo với 2 đường tiệm cận của nó một tam giác có diện tích không đổi. 5. Tìm điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. 6. Tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 cắt các đường tiệm cận tại A, B. CMR M0 là trung điểm của AB. 7. Tìm hai điểm P, Q trên hai nhánh của (C) sao cho PQ ngắn nhất. HD. 2. Gọi lần lượt là các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận. Ta có: . Vậy (không đổi) Suy ra nhỏ nhất 6. Giao điểm của tiếp tuyến với các tiệm cận là: . Rõ ràng M0 là trung điểm của AB 7. (Với m, n dương) là hai điểm thuộc 2 nhánh của (C), ta có: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: Bài 13. Cho hàm số: , có đồ thị (Hm) 1. CMR (Hm) luôn tiếp xúc nhau tại 1 điểm cố định. Viết PTTT chung tại điểm cố định đó. 2. Gọi (H) là đồ thị của hàm số khi m = 2. Tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến thuộc về 2 nhánh của (H). HD. 2. , ĐKBT tương đương với PT: có hai nghiệm thoả mãn: , suy ra kết quả: a > 2 Bài 14. Cho (C): 1. CMR, (C) nhận và làm trục đối xứng. 2. Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ M đến các trục toạ độ là nhỏ nhất. Kết quả: Khoảng cách nhỏ nhất là: Bài 15. Cho , có đồ thị 1. Tìm m để tại giao điểm của đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến song song với đường thẳng (D) 2. Tìm trên đường thẳng những điểm mà không có đường cong nào của họ đi qua. HD. 1. Đồ thị cắt Ox tại Tại tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 (song song với đường thẳng (D)) nên ta có: +. Thay lần lượt vào pt (*) ta có: +. Tiếp tuyến là: 2. Kết quả: 2 < y < 10 Bài 16. Cho đường cong (C) có phương trình: 1. CMR đường thẳng (D):