Bài tập về quy nạp Toán Học

Bài tập về quy nạp toỏn học ! Bài tập 1 :Chứng minh cỏc hằng đẳng thức sau bằng quy nạp toỏn học: a/ 1 + 2 + ... + n = {n(n+1)}/{2} b/ c/ Bài tập 2 : Cho n là sụ nguyờn dương. Chứng minh rằng: a) b) . giải cõu a: Giả sử btđ đến n .ta cần cm : Điều này đỳng bởi vỡ b) .Giả sử bdt đến n .ta cần cm : Mà bài tập 3 1) chứng minh a>=0; cú n dấu căn 2) cho chứng minh n\in N sao 3) chứng tỏ với m số nguyờn dương phõn biệt ta cú Giải 2) cho chứng minh n \in N^* Với n=1 => đỳng. Giả sử thỡ và Ta phải chứng minh và thỡ Ta cú : (hiển nhiờn đỳng theo giả thiết quy nạp). 1) chứng minh ; cú n dấu căn Bài này :Đặt ta thấy 1 dấu căn đỳng Giả sử đỳng với Cm đỳng với là xong !!! ta thấy : ( cả 2 vế > 0) ( Thay ) bài tập 3: 1.Số 2^(2^n) + 1 cú là số nguyờn tố ( với n là số tự nhiờn ) ? 2. Số n^p - n cú là bội số của p ( với p là số nguyờn dương lẻ , n là số nguyờn dương ) ? 3. Cho Số U(n) thỏa : U(0)= 2 , U(1) = 3 và U(n+1) = 3.U(n) - 2.U(n-1) với n là số tự nhiờn . Giỏ trị của U(2008) là bao nhiờu ? Giải cõu 3:Xột U(n)=2^(n)+1 (1)Với n=0 thỡ U(0)=2 (đỳng)Giả sử (1) đỳng với n = k(k >= n)tức là U(k)=2^k+1Ta chứng minh (1) đỳng với n=k+1Thật vậy , ta cú U(k+1)=3.U(k)-2.U(k-1)=3.(2^k+1)-2.[2^(k-1)+1]=2.2^k+1=2^(k+1)+1 (đỳng với mụi n thuục N)Vậy U(2008)=2^2008+1 Cõu 2:Với n=1 thỡ 1^p-1=0 chia hết cho pGiả sử k^p-k la bội số của p với n=kXột n=k+1 thỡ A=(k+1)^p-k-1= pC0*k^p+ pC1*k^(p-1)+ pC2*k^(p-2)+pC3*k^(p-3)+...+pC(p-1)*k^1+pCp*k^0-k-1 = k^p+ pC1*k^(p-1)+ pC2*k^(p-2)+pC3*k^(p-3)+...+pC(p-1)*k^1+1-k-1= k^p-k+ pC1*k^(p-1)+ pC2*k^(p-2)+pC3*k^(p-3)+...+pC(p-1)*k^1ta cú k^p-k là bội số của p mà pC1 = p!/(h!(p-1)!)chia hết cho nờn pC1*k^(p-1) chia hết cho p Cmtt cú pC2*k^(p-2) chia hết cho p pC3*k^(p-3) chia hết cho p ... pC(p-1)*k^1 chia hết cho p Do đú A chia hết cho p => (k+1)^p-(k+1) là bội số của p => n^p-n là bội số của p ( theo nguyờn lớ quy nạp)Cõu 1: cỏi này Ơ le đó chứng minh sai với n=5:2^3=322^32=42949672974294967297/641=6700417Cõu 2: cũng sai: 2^9-9=510 khụng chia hết 9 em nghĩ nú đỳng với p là số nguyờn tố, nhưng chưa chứng minh được.Cõu 3: em dựng sai phõn:dóy cú phương trỡnh đặc trưng là:x^2-3x+2=0 giải được x=1 hoặc x=2nờn cụng thức tổng quỏt cú dạng:u(n) = p.1^n + q.2^nvới u(0)=2, U(1)=3, rỏp vào cụng thức trờn ta được hệ, giải hệ đú được p=1, q=2nờn u(n)= 1^n + 2^n = 2^n +