Bài toán xác định thiết diện của hình chóp

BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA HèNH CHểP 1. Thiết diện của hình chóp 1.1. Thiết diện qua ba điểm cho trước 1.1.1.Ba điểm nằm trên ba cạnh không đồng phẳng của hình chóp Cách giải: Xác định mặt phẳng chứa hai điểm cho trước. Xác định giao điểm của đường thẳng đi qua hai điểm đó với giai tuyến của mặt phẳng chứa nó với mặt phẳng chứa điểm còn lại Nối các đoạn thẳng với các giao điểm và điểm cho trước để xác định mặt phẳng cắt các cạnh của hình chóp * Chú ý trong khi xác định thiết diện cần dự đoán mặt phẳng sẽ cắt những cạnh nào của hình chóp để dễ xác định Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành, gọi M,N,P theo thứ tự là trung điểm của SA, BC, CD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP) Bài 2: Cho hình chóp tứ giác SABCD với AD không song song với CB. Gọi M, N là trung điểm của SB và SC. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN) Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD ba điểm A’; B’; D’ nằm trên ba cạnh SA ; SB ; SD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’D’) Bài 4: Cho tứ diện ABCD . Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Trên đường thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (HKM). Bài 5: Cho hình chóp SABCD trên SA, SB lấy hai điểm M, N sao cho SM= 2MA , NB = 2SN và trên trung điểm DC lấy điểm Q. Xác định thiết diện tạo bời hình chóp và mặt phẳng (MNQ) Bài 6: Cho hình chóp SABCD , M là điểm trên BC, N là điểm trên SD xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BMN) Bài 7: Cho hình chóp SABCD AD không song song với BC. Gọi trung điểm SC là M , trên SB lấy điểm N sao cho 3SN = 2NB. Xác định thiết diện với hình chóp SABC cắt bởi mặt phẳng (DMN). Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD . M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tìm thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) Bài 9: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Trên BC và BD kéo dài lấy E và F sao cho CE=DF=a. Gọi M là trung điểm AB . Tìm thiết diện của tứ diện với mp(MEF) và tính tỉ số diện tích thiết diện với BCD Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD trên SD lấy điểm N xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (BCN) 1.1.2.Có hai điểm nằm trên hai cạnh còn một điểm nằm trên một mặt của hình chóp Xác định giao tuyến của các mặt, xác định giao điểm của đường nối hai điểm trên 2 cạnh đã cho với giao tuyến. Xác định giao điểm của đường nối điểm đó với điểm thứ ba trên mặt đã cho với các cạnh của hình chóp. Nếu hai điểm trên hai cạnh không cùng thuộc một mặt bên thì tìm giao với các cạnh kéo dài và xác định các giao điểm thuộc mặt phẳng cắt. Đặc biệt hai điểm nằm trên hai đường chéo nhau cần xác định một mặt phẳng chứa một điểm trên cạnh và điểm trên mặt đã cho. Bài 1: Cho tứ diện ABCD gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên BC sao cho BN = 2NC, K là trọng tâm của tam giác ACD. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MNK). Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD có AB không song song với CD . Trên SA lấy điểm M, SB lấy điểm N sao cho MN//AB. Gọi O là điểm bất kỳ nằm trong tam giác SCD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNO) Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Lấy M, N trên AC và AD sao cho AM = 3MC, AN =2ND, O là điểm nằm trên đường trung tuyến BB’ của BCD sao cho OB’=2OB. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MNO) với tứ diện. Bài 4: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là tứ giác có hai cặp cạnh đối không song song. Gọi M và P là trung điểm của SA và BC. G là trọng tâm tam giác SCD. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MPG) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD . Trên AD và SC lấy hai điểm E và F sao cho AE = 3ED ; SF = 2SC. Gọi K là trọng tâm của tam giác SAB . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (EFK) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD .Trên các đoạn thẳng AD và SC lấy hai điểm E và F. Gọi K là điểm bất kỳ nằm trong tam giác SAB thuộc mặt phẳng (SAB) . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (EFK). Bài 7: Cho tứ diện ABCD gọi M và N là hai điểm trên cạnh BC và CD. E là điểm bất kỳ trong tam giác ABD xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (EMN) 1.1.3.Có một điểm nằm trên cạnh còn hai điểm kia nằm trên hai mặt khác Tìm mặt phẳng chứa hai trong ba điểm đã cho sau đó tìm giao điểm của đường thẳng nối hai điểm ấy với một mặt thích hợp của hình chóp. Xác định giao điểm của các cạnh hình chóp với mặt phẳng thiết diện. Bài 1: Cho tứ diện ABCD . Gọi E, F ,M là trung điểm của BD , CD và BC. Trên AE, AF lấy hai điểm I , J sao cho AI = IE , AJ = 2JF. Xác định thiết diện với tứ diện cắt bởi mp(MIJ) Bài 2: Cho hình chóp S.ABC gọi E,F là trọng tâm của các tam giác SBC, và SCD. M là trung điểm của SA . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MEF) Bài 3: Cho tứ diện ABCD , M là điểm trên cạnh AB, N và P lần lượt nằm trong tam giác BCD và tam giác ACD. Xác định thiết diện cắt tứ diện bởi mặt phẳng MNP. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD . M là trung điểm của SA, N và P lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC và tam giác ACD. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP). 1.1.4.Ba điểm nằm trên ba mặt khác nhau Xác định mặt phẳng chứa hai trong ba điểm và giao tuyến của nó với mặt không chứa điểm nào. Xác định giao điểm của đường thẳng nối hai điểm với giao tuyến trên và xác định các giao điểm của đường thẳng nối các giao điểm với các cạnh của hình chóp. Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G là trung điểm các cạnh BD, BC, CD. Trên AE, AF, AG lấy các điểm M,N,P sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với mặt phẳng (BCD). Xác định thiết diện với tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP). Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD . Trên các mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (SCD) lấy các điểm M, N, P nằm trong tam giác tạo bởi ba đỉnh tương ứng của các mặt sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với mặt phẳng đáy. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) Tuỳ theo vị trí của các điểm M,N,P biện luận nghiệm hình của bài toán. Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD . Trên các mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (ABC) lấy các điểm M,N,P nằm trong tam giác tạo bởi ba đỉnh tương ứng. Sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với bất kỳ cạnh nào của hình chóp. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) và biện luận nghiệm hình của bài toán. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD . Trên các mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (ADC) lấy các điểm M,N,P nằm trong tam giác tạo bởi ba đỉnh tương ứng. Sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với bất kỳ cạnh nào của hình chóp. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) và biện luận nghiệm hình của bài toán. Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD trên mp(SAB), mp(SCD) lấy các điểm M,N nằm trong tam giác tạo bởi ba đỉnh tương ứng và lấy điểm P nằm trong đoạn BC. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) 1.1.5.Thiết diện có một điểm nằm trong khối của hình chóp Tìm cách chuyển điểm trong khối chóp ra mặt ngoài của hình chóp bằng cách xác định giao tuyến của mặt phẳng chứa điểm nằm trong khối chóp và một điểm nằm trên mặt hoặc cạnh của khối chóp. Xác định giao điểm của đường thẳng giao tuyến với đường thẳng nối hai điểm của mặt phẳng thiết diện cho trước. Chuyển về bài xác định thiết diện có các điểm cho trước nằm trên mặt của hình chóp đã nêu trên. Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD , tứ giác ABCD có AB không song song với CD. Gọi G là trọng tâm của DABD, I là trung điểm của SG. Xác định thiết diện với chóp cắt bởi mặt phẳng (CDI) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I = AC ầ BD, O là trung điểm SI, gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD xác định thiết diện cắt bởi hình chóp với mặt phẳng (MNO) Bài 3: Cho tứ diện ABCD gọi G là trọng tâm tam giác BCD, I là trung điểm của AG, M và N lần lượt là trung điểm của BC và BD. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNI). Bài 4: Cho Cho tứ diện ABCD gọi G là trọng tâm tam giác BCD, I là điểm trên đoạn AG sao cho 2AI = IG, M và N lần lượt là trung điểm của CD và AD. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNI). Bài 5: Cho Cho tứ diện ABCD gọi G là trọng tâm tam giác BCD, I là điểm trên đoạn AG sao cho AI = 2IG, M và N lần lượt là các điểm trên AB và CD sao cho MB = 2AM, DN = 3NC. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNI). Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi M và N là trung điểm của AB và BC . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI) Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi M và N là trung điểm của BC và CD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi M và N là trung điểm của AB và CD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI) Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi M và N là trung điểm của SA và BC . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI) Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi M và N là trung điểm của SA và SC . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI) 1.2.Thiết diện song song Để xác định thiết diện song song cần xác định mặt phẳng thiết diện song song với những đường thẳng chứa cạnh nào của hình chóp. Vận dụng tính chất song song đó xác định các đường thẳng tương ứng và tìm giao điểm của mặt phẳng thiết diện với hình chóp. 1.2.1.Đi qua hai điểm và song song với một đường thẳng Xác định mặt phẳng chứa một điểm đường cho trước, xác định đường thẳng đi qua điểm và song song với đường cho trước qua đó xác định giao điểm với các cạnh của hình chóp 1.2.2.Đi qua một điểm và song song với một mặt Dựng các đường thẳng song song với các giao tuyến của mặt phẳng cho trước với các mặt bên với điều kiện các đường thẳng này cần dựng phải đi qua các điểm cho trước. Xác định các giao điểm với các cạnh của hình chóp với các đường thẳng được xác định. 1.2.3.Đi qua một điểm và song song với cặp đường thẳng chéo nhau Từ các điểm đã cho lần lượt dựng các đường thẳng song song với hai đường thẳng chéo nhau với điều kiện các đường thẳng đó phải nằm trên các mặt của hình chóp để xác định các giao điểm với các cạnh Các bài tập minh hoạ cho thiết diện song song Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD . M và N là hai điểm trên AB và CD, (P) là mặt phẳng qua MN và song song với SA. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng . Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD . M và N là hai điểm bất kỳ trên SB và CD, là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (). Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Đoạn IJ nối trung điểm I của AB và trung điểm J của CD. Giả sử AB ^ CD , mp() qua diểm M trên IJ và song song với AB và CD. Xác định thiết diện của ABCD với mặt phẳng (). Thiết diện là hình gì ? Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là trung điểm của SB. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng () trong hai trường hợp sau. a) () qua M và song song với SO và AD. b) () qua O và song song với AM và SC Bài 5: Cho hình chóp SABC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC. Trên đoạn BM lấy điểm H, mặt phẳng (P) qua H và song song với CM và BN cắt hình chóp theo một thiết diện . Tìm thiết diện đó. Bài 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi H là giao điểm các đường chéo của đáy. I là điểm trên đoạn AH. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) đi qua I và song song với các đường thẳng SA và BD cắt hình chóp. Bài 7: Cho hình chóp SABC gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC; E là điểm tuỳ ý trên AB. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng () đi qua E và song song với các đường AM và BN cắt hình chóp. Bài 8: Cho hình chóp SABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm cạnh SB. Trên đoạn thẳng SM lấy điểm E. Mặt phẳng () đi qua E và song song với các đường thẳng AM, SG. Tìm thiết diện tạo bởi mp() cắt hình chóp. Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H là giao điểm của hai đường chéo đáy. Tìm thiết diện tạo bởi mp(P) đi qua H, song song với AB và SC cắt hình chóp Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, M là điểm trên đoạn AC. Mặt phẳng P đi qua M song song với các đường thẳng AG và BD cắt hình chóp theo một thiết diện. Tìm thiết diện đó. Bài 11: Cho hình chóp SABC . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, SC. Trên đoạn AM ta lấy điểm H. Mặt phẳng (P) đi qua H song song với CM và BN cắt hình chóp theo một thiết diện. Hãy tìm thiết diện đó. Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD đáu ABCD là hình bình hành. Gọi H là giao điểm các đường chéo đáy. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua H và song song với mặt phẳng (SAB) cắt hình chóp. Bài 13: Cho tứ diện ABCD gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD , E là điểm chia BC theo tỉ số BE:EC = 2 : 1. Trên đoạn thẳng AM lấy điểm H. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua H và song song với mặt phẳng (MNE) cắt tứ diện đã cho. Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD, SC. Trên đoạn AM lấy điểm K . Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua K song song với (MNE) cắt hìh chóp. Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD. Trên đoạn AC lấy điểm K . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua K song song với mp(AMN) cắt hình chóp. Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm SC, H là giao điểm các đường chéo đáy hình chóp. Trên đoạn AH lấy điểm M . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua M song song với mp(BDE) cắt hình chóp. Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm của SC , M là một điểm di dộng trên cạnh SA , () là mặt phẳng luôn đi qua C’M và song song với BC. Xác định thiết diện mà () cắt hình chóp S.ABCD . Khi nào thiết diện là hình bình hành ? Bài 18: Cho tứ diện ABCD gọi G1; G2 ; G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB. Tìm thiét diện của tứ diện với mặt phẳng G1G2G3 1.3.Thiết diện vuông góc 1.3.1.Thiết diện qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng Mặt phẳng được xác định khi biết ba điểm không thẳng hàng vận dụng vấn đề đó mặt phẳng cũng được xác định khi biết hai đường thẳng cắt nhau, hai đường thẳng song song với nhau, biết một điểm thuộc nó và một đường thẳng vuông góc với nó. Do vậy mặt phẳng được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một đường vuông góc với nó cho ta xác định được một mặt phẳng đi qua một điẻm vuông góc với một đường thẳng và có thể phát biểu thành mệnh đề như sau : “Nếu n đường thẳng trong không gian cùng đi qua một điểm M và vuông góc với đường thẳng cho trước thì chúng đồng phẳng”Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d cho trước có hai trường hợp sảy ra : Trường hợp 1: Nếu có hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với d và a không song song với b thì ta có (P) // a và (P) // b (Có thể (P) chứa một hoặc hai đường thẳng đó). Vận dụng các phương pháp xác định thiết diện song song đã nêu trước để xác định thiết diện Trường hợp 2: Nếu không có hai đường thẳng cùng vuông góc với d ta dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d trong đó có ít nhất một đường đi qua điểm cho trước. Mặt phẳng được xác định chính là (P) sau đó vận dụng các kiến thức đã nêu xác định thiết diện. Chú ý : Đế xác định đường thẳng thứ hai trong trường hợp hai cần nắm trắc định lí ba đường vuông góc và điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB AD, AB AC, AD AC, gọi G là trọng tâm tâm tam giác BCD. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(P) đi qua G và vuông góc với AD. Bài 2: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều có SA (ABC). Gọi () là mặt phẳng qua C và vuông góc với SB. Xác định thiết diện của hình chóp với mp(). Bài 3: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC nhọn và SA (ABC). Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng qua S và vuông góc với BC. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông và SA (ABCD). Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. Hỏi (P) cất hình chóp theo thiết diện là hình gì ? Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông và SA (ABCD). Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. Hỏi (P) cất hình chóp theo thiết diện là hình gì ? Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD đấy ABCD có ACBD = O, SO mp(ABCD), gọi I là trung điểm của SO. Xác định thiết diệt của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua I và vuông góc với SA. Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A và AB//DC. Có SA mp(ABCD) . Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC. 1.3.2.Thiết diện đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua A,B và vuông góc với mặt phẳng (SCD). Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Gọi E và F lần lượt là trọng tâm của hai tam giác SBC và SAB. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua E, F và vuông góc với mặt phẳng SCD. Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Gọi E và F lần lượt là trọng tâm của hai tam giác SBC và SAD. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua E, F và vuông góc với mặt phẳng SCD. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Gọi E và F lần lượt là trọng tâm của hai tam giác SAC và SAB. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua E, F và vuông góc với mặt phẳng SCD. Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song.Gọi M và N là trung điểm của SA và SC . Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng chứa M,N và vuông góc với mp(SBD). Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có SA mp(ABCD) gọi I là điểm trên đoạn SA sao cho 2AI = IS. J là điểm trên đoạn DC sao cho DJ = 2 JC. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua I,J và vuông góc với mặt phẳng (SBD). CHệễNG II: ẹệễỉNG THAÚNG VAỉ MAậT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN QUAN HEÄ SONG SONG I. ẹệễỉNG THAÚNG VAỉ MAậT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN 1. Xaực ủũnh moọt maởt phaỳng + Ba ủieồm khoõng thaỳng haứng thuoọc maởt phaỳng. (mp(ABC), (ABC)) + Moọt ủieồm vaứ moọt ủửụứng thaỳng khoõng ủi qua ủieồm ủoự thuoọc maởt phaỳng. (mp(A,d)) + Hai ủửụứng thaỳng caột nhau thuoọc maởt phaỳng. (mp(a, b)) 2. Moọt soỏ qui taộc veừ hỡnh bieồu dieón cuỷa hỡnh khoõng gian + Hỡnh bieồu dieón cuỷa ủửụứng thaỳng laứ ủửụứng thaỳng, cuỷa ủoaùn thaỳng laứ ủoaùn thaỳng. + Hỡnh bieồu dieón cuỷa hai ủửụứng thaỳng song song laứ hai ủửụứng thaỳng song song, cuỷa hai ủửụứng thaỳng caột nhau laứ hai ủửụứng thaỳng caột nhau. + Hỡnh bieồu dieón phaỷi giửừ nguyeõn quan heọ thuoọc giửừa ủieồm vaứ ủửụứng thaỳng. + ẹửụứng nhỡn thaỏy veừ neựt lieàn, ủửụứng bũ che khuaỏt veừ neựt ủửựt. VAÁN ẹEÀ 1: Tỡm giao tuyeỏn cuỷa hai maởt phaỳng Muoỏn tỡm giao tuyeỏn cuỷa hai maởt phaỳng ta coự theồ tỡm hai ủieồm chung phaõn bieọt cuỷa hai maởt phaỳng. Khi ủoự giao tuyeỏn laứ ủửụứng thaỳng ủi qua hai ủieồm chung ủoự. 1. Cho hỡnh choựp S.ABCD. ẹaựy ABCD coự AB caột CD taùi E, AC caột BD taùi F. a) Tỡm giao tuyeỏn cuỷa caực caởp maởt phaỳng (SAB) vaứ (SCD), (SAC) vaứ (SBD). b) Tỡm giao tuyeỏn cuỷa (SEF) vụựi caực maởt phaỳng (SAD), (SBC). 2. Cho hỡnh choựp S.ABCD, coự ủaựy ABCD laứ hỡnh bỡnh haứnh taõm O. M, N, P laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa BC, CD, SO. Tỡm giao tuyeỏn cuỷa mp(MNP) vụựi caực maởt phaỳng (SAB), (SAD), (SBC) vaứ (SCD). 3. Cho tửự dieọn ABCD. Goùi I, J laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa AC vaứ BC. K laứ moọt ủieồm treõn caùnh BD sao cho KD < KB. Tỡm giao tuyeỏn cuỷa mp(IJK) vụựi (ACD) vaứ (ABD). 4. Cho tửự dieọn ABCD. Goùi I, J laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa AD vaứ BC. a) Tỡm giao tuyeỏn cuỷa 2 maởt phaỳng (IBC) vaứ (JAD). b) M laứ moọt ủieồm treõn caùnh AB, N laứ moọt ủieồm treõn caùnh AC. Tỡm giao tuyeỏn cuỷa 2 maởt phaỳng (IBC) vaứ (DMN). 5. Cho tửự dieọn (ABCD). M laứ moọt ủieồm beõn trong DABD, N laứ moọt ủieồm beõn trong ACD. Tỡm giao tuyeỏn cuỷa caực caởp maởt phaỳng (AMN) vaứ (BCD), (DMN) vaứ (ABC). VAÁN ẹEÀ 2: Tỡm giao ủieồm cuỷa ủửụứng thaỳng vaứ maởt phaỳng Muoỏn tỡm giao ủieồm cuỷa moọt ủửụứng thaỳng vaứ moọt maởt phaỳng ta coự theồ tỡm giao ủieồm cuỷa ủửụứng thaỳng ủoự vụựi moọt ủửụứng thaỳng naốm trong maởt phaỳng ủaừ cho. 1. Cho tửự dieọn ABCD. Treõn AC vaứ AD laàn lửụùt laỏy caực ủieồm M, N sao cho MN khoõng song song voựi CD. Goùi O laứ moọt ủieồm beõn trong BCD. a) Tỡm giao tuyeỏn cuỷa (OMN) vaứ (BCD). b) Tỡm giao ủieồm cuỷa BC vaứ BD vụựi maởt phaỳng (OMN). 2. Cho hỡnh choựp S.ABCD. M laứ moọt ủieồm treõn caùnh SC. a) Tỡm giao ủieồm cuỷa AM vaứ (SBD). b) Goùi N laứ moọt ủieồm treõn caùnh BC. Tỡm giao ủieồm cuỷa SD vaứ (AMN). 3. Cho tửự dieọn ABCD. Goùi M, N laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa AC vaứ BC. K laứ moọt ủieồm treõn caùnh BD vaứ khoõng truứng vụựi trung ủieồm cuỷa BD. Tỡm giao ủieồm cuỷa CD vaứ AD vụựi maởt phaỳng (MNK). 4. Cho tửự dieọn ABCD. M, N laứ hai ủieồm laàn lửụùt treõn AC vaứ AD. O laứ moọt ủieồm beõn trong BCD. Tỡm giao ủieồm cuỷa: a) MN vaứ (ABO). b) AO vaứ (BMN). HD: a) Tỡm giao tuyeỏn cuỷa (ABO) vaứ (ACD). b) Tỡm giao tuyeỏn cuỷa (BMN) vaứ (ABO). 5. Cho hỡnh choựp S.ABCD, coự ủaựy laứ hỡnh thang, caùnh ủaựy lụựn AB. Goùi I, J, K laứ ba ủieồm laàn lửụùt treõn SA, AB, BC. a) Tỡm giao ủieồm cuỷa IK vụựi (SBD). b) Tỡm caực giao ủieồm cuỷa maởt phaỳng (IJK) vụựi SD vaứ SC. HD: a) Tỡm giao tuyeỏn cuỷa (SBD) vụựi (IJK). b) Tỡm giao tuyeỏn cuỷa (IJK) vụựi (SBD vaứ (SCD). VAÁN ẹEÀ 3: Chửựng minh ba ủieồm thaỳng haứng, ba ủửụứng thaỳng ủoàng qui + Muoỏn chửựng minh ba ủieồm thaỳng haứng ta coự theồ chửựng minh chuựng cuứng thuoọc hai maởt phaỳng phaõn bieọt. + Muoỏn chửựng minh ba ủửụứng thaỳng ủoàng qui ta coự theồ chửựng minh giao ủieồm cuỷa hai ủửụứng thaỳng naứy laứ ủieồm chung cuỷa hai maởt phaỳng maứ giao tuyeỏn laứ ủửụứng thaỳng thửự ba. 1. Cho hỡnh choựp S.ABCD. Goùi I, J laứ hai ủieồm coỏ ủũnh treõn SA vaứ SC vụựi SI > IA vaứ SJ < JC. Moọt maởt phaỳng (P) quay quanh IJ caột SB taùi M, SD taùi N. a) CMR: IJ, MN vaứ SO ủoàng qui (O =ACBD). Suy ra caựch dửùng ủieồm N khi bieỏt M. b) AD caột BC taùi E, IN caột MJ taùi F. CMR: S, E, F thaỳng haứng. c) IN caột AD taùi P, MJ caột BC taùi Q. CMR PQ luoõn ủi qua 1 ủieồm coỏ ủũnh khi (P) di ủoọng. 2. Cho maởt phaỳng (P) vaứ ba ủieồm A, B, C khoõng thaỳng haứng ụỷ ngoaứi (P). Giaỷ sửỷ caực ủửụứng thaỳng BC, CA, AB laàn lửụùt caột (P) taùi D, E, F. Chửựng minh D, E, F thaỳng haứng. 3. Cho tửự dieọn ABCD. Goùi E, F, G laàn lửụùt laứ ba ủieồm treõn ba caùnh AB, AC, BD sao cho EF caột BC taùi I, EG caột AD taùi H. Chửựng minh CD, IG, HF ủoàng qui. 4. Cho hai ủieồm coỏ ủũnh A, B ụỷ ngoaứi maởt phaỳng (P) sao cho AB khoõng song song vụựi (P). M laứ moọt ủieồm di ủoọng trong khoõng gian sao cho MA, MB caột (P) taùi A/, B/. Chửựng minh A /B/luoõn ủi qua moọt ủieồm coỏ ủũnh. 5. Cho tửự dieọn SABC. Qua C dửùng maởt phaỳng (P) caột AB, SB taùi B1, B. Qua B dửùng maởt phaỳng (Q) caột AC, SC taùi C1, C/ BB/ CC caột nhau taùi O/; BB1, CC1 caột nhau taùi O1. Giaỷ sửỷ O/O1 keựo daứi caột SA taùi I. a) Chửựng minh: AO1, SO/, BC ủoàng qui. b) Chửựng minh: I, B1, B/ vaứ I, C1, C/ thaỳng haứng. VAÁN ẹEÀ 4: Xaực ủũnh thieỏt dieọn cuỷa moọt hỡnh choựp vụựi moọt maởt phaỳng Muoỏn xaực ủũnh thieỏt dieọn cuỷa moọt hỡnh choựp vụựi maởt phaỳng (P) ta coự theồ laứm nhử sau: + Tửứ ủieồm chung coự saỹn, xaực ủũnh giao tuyeỏn ủaàu tieõn cuỷa (P) vụựi moọt maởt cuỷa hỡnh choựp (coự theồ laứ maởt phaỳng trung gian). + Cho giao tuyeỏn naứy caột caực caùnh cuỷa maởt ủoự cuỷa hỡnh choựp, ta seừ ủửụùc caực ủieồm chung mụựi cuỷa (P) vụựi caực maởt khaực. Tửứ ủoự xaực ủũnh ủửụùc caực giao tuyeỏn mụựi vụựi caực maởt naứy. +Tieỏp tuùc nhử treõn cho tụựi khi caực giao tuyeỏn kheựp kớn ta ủửụùc thieỏt dieọn. 1. Cho hỡnh choựp S.ABCD, coự ủaựy laứ hỡnh bỡnh haứnh taõm O. Goùi M, N, I laứ ba ủieồm treõn AD, CD, SO. Tỡm thieỏt dieọn cuỷa hỡnh choựp vụựi maởt phaỳng (MNI). 2. Cho tửự dieọn ủeàu ABCD, caùnh baống a. Keựo daứi BC moọt ủoaùn CE=a. Keựo daứi BD moọt ủoaùn DF=a. Goùi M laứ trung ủieồm cuỷa AB. a) Tỡm thieỏt dieọn cuỷa tửự dieọn vụựi maởt phaỳng (MEF). b) Tớnh dieọn tớch cuỷa thieỏt dieọn. HD: b) 3. Cho hỡnh choựp S.ABC. M laứ moọt ủieồm treõn caùnh SC, N vaứ P laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa AB vaứ AD. Tỡm thieỏt dieọn cuỷa hỡnh choựp vụựi maởt phaỳng (MNP). HD: Thieỏt dieọn laứ 1 nguừ giaực. 4. Cho hỡnh choựp S.ABCD. Trong SBC, laỏy moọt ủieồm M. Trong SCD, laỏy moọt ủieồm N. a) Tỡm giao ủieồm cuỷa MN vaứ (SAC). b) Tỡm giao ủieồm cuỷa SC vụựi (AMN). c) Tỡm thieỏt dieọn cuỷa hỡnh choựp S.ABCD vụựi maởt phaỳng (AM