Các bài toán quỹ tích tổng hợp

I/ CÁC QUỸ TÍCH CƠ BẢN: PHƯƠNG PHÁP CHUNG: 1/ Phần thuận: Điểm M có tính chất T Þ M thuộc hình H Giới hạn quỹ tích ( nếu có ) 2/ Phần đảo: Điểm M’ thuộc hình H ( đã giới hạn) Þ M’ có tính chất T. 3/ Kết luận quỹ tích: Quỹ tích các điểm M là hình H ( đã giới hạn ) Chú ý: Muốn tìm quỹ tích ( tập hợp điểm ),cần chú ý các điểm sau: a/ Nêu rõ các điểm cố định, các phần tử không đổi. b/ Tìm sự liên hệ giữa điểm chuyển động với điểm cố định, các phần tử không đổi CÁC QUỸ TÍCH CƠ BẢN: Hình vẽ Tính chất T Quỹ tích ( hình H ) 1/ * A, B cố định * M cách đều A, B MA = MB Điểm M di động trên đường trung trực của đoạn thẳng AB 2/ Góc xOy không đổi M cách đều Ox, Oy MH = MK Điểm M di động trên tia phân giác của góc xOy 3/ ( d ) // ( d’ ) MH = MK M cách đều ( d ) và (d’) Điểm M chuyển động trên xy, song song và cách đều (d ) và ( d’) 4/ không đổi : cho trước MH = M’K = Điểm M chuyển động trên hai đường thẳng xy và x’y’ song song với và cách một khoảng không đổi 5/ Ax : cố định Góc MAx bằng không đổi Điểm M thuộc hai tia At và At’ đối xứng nhau qua Ax và hợp với Ax thành một góc không đổi 6/ Ax cố định Góc MAx bằng 900 Điểm M chuyển động trên đường thẳng vuông góc với Ax tại A 7/ O cố định OM = R không đổi Điểm M chuyển động trên đường tròn tâm O, bán kính R 8/ AB cố định M nhìn đoạn AB dưới một góc vuông không đổi Điểm M chuyển động trên đường tròn đường kính AB 9/ AB không đổi cho trước không đổi không đổi Điểm M chuyển động trên hai cung tròn AMB và AM’B chứa góc và đối xứng nhau qua AB ( nhận AB làm dây chung ) II/ BÀI TẬP: Bài 1:Từ điểm B bất kì trên đường tròn tâm O kẻ đường vuông góc BH với tiếp tuyến của đưòng tròn tại điểm A cho trước. Gọi I là giao điểm thứ hai của BH với đường tròn (O), gọi B’ là điểm đối xứng của B qua tâm O. Chứng minh rằng cung IA bằng cung AB Chứng minh rằng BA là phân giác của góc OBH Khi B di động trên đường tròn. Chứng minh rằng đường phân giác ngoài của góc OBH đi qua một điểm cố định Gọi M là giao điểm của BH với đường phân giác của góc AOB, khi B di động M chạy trên đường nào? Bài 2: Cho đường tròn (O;R) và tam giác cân ABC ( AB = AC> R)có ba đỉnh nằm trên đường tròn đó. Kẻ đường kính AI. Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC. Mx là tia đối của tia MC. Trên tia đối MB lấy một điểm D sao cho MD= MC a) Chứng minh rằng tia MA là tia phân giác của góc BMx b) Gọi K là giao điểm thứ hai của đường thẳng DC với đường tròn (O). Tứ giác MIKD là hình gì? c) Tìm quỹ tích của điểm D khi M di động trên cung nhỏ AC Bài 3: Xét đoạn thẳng AB. Trên nửa măt phẳng bờ AB kẻ các tia Ax và By song song với nhau. Một đường tròn tâm M tiếp xúc với AB, Ax, By theo thứ tự tại C, D, E a) Nêu cách dựng đường tròn (M) b) Chứng minh rằng AD + BE không phụ thuộc vào vị trí Ax, By. Chứng minh D, M , E thẳng hàng c) Chứng minh AMvuông góc BM d) Tìm tập hợp điểm M Bài 4: Cho tam giác ABC ( < 90o ) nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ các đường cao BD, CE. Các tia BD, CE lần lượt cắt đường tròn (O; R) tại các điểm thứ hai D’, E’. a) Chứng minh rằng bốn điểm B, E, D, C nằm trên đường tròn b) Chứng minh rằng E’D’ // ED c) Chứng minh rằng OA vuông góc ED d) Bây giờ cho điểm A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O; R). Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AED không đổi Bi 5 : Cho đường trịn ( O ; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trong đoạn AB lấy điểm M khác O. Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh : Tứ giác OMNP nội tiếp được đường tròn Tứ giác CMPO là hình bình hành Tích CM CN không đổi Khi M chuyển động trên đoạn AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định Bài 6 : Từ điểm P cố định nằm ngoài đường tròn (O; R) cho trước vẽ tiếp tuyến PA và cát tuyến PBC. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, H1 là điểm đối xứng của H qua BC, O1 là điểm đối xứng của O qua BC Chứng minh H1 nằm trên đường tròn (O) Chứng minh tứ giác OAHO1 là hình bình hành Từ P kẻ Px vuông góc với PA, trên Py lấy điểm I sao cho PI = R (I và O thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ PA). Chứng minh tứ giác PIHO1 là hình bình hành Khi cát tuyến PBC quay quanh P thì H chạy trên đường nào? Bài 7 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Qua A vẽ một đường thẳng (d). Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, C lên đường thẳng (d), H là chân đường cao của tam giác ABC kẻ tứ A Chứng minh rằng đường tròn đường kính PQ luôn luôn đi qua một điểm cố định khi (d) quay quanh A Tìm tập hợp trung điểm I của PQ Bài 8 : Cho một điểm C bất kì trên đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng AC tại D và cắt tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) tại E Chứng tỏ 4 điểm O, B, C, D nằm trên một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đó Chứng minh tam giác ECD cân Đường thẳng BC cắt đường thẳng OE tai H. Chứng minh rằng giao điểm của BD và AH nằm trên đường tròn (O) Tìm quỹ tích tâm I khi C di động trên đường tròn (O) Bài 9 : Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là điểm chính giữa của cung AB. Gọi M là một điểm di động trên cung AB. Trên dây cung AM ta lấy một điểm N sao cho AN = BM Chứng minh tam giác CNM vuông cân Tìm quỹ tích của điểm N khi M di động trên cung AB Bài 10 : Cho đường tròn tâm O có bán kính R và hai đường kính cố định Ab và cd vuông góc với nhau. Trên cung nhoe AC ta lấy điểm E ( E khác A và C ). Trên tia đối của tia EA ta lấy điểm M sao cho EM = EB. Chứng minh ED // MB EC là đường trung trực của MB Khi E di chuyển trên cung nhỏ AC thì M di chuyển trên một cung tròn mà ta phải xác định tâm và bán kính Bài 11 : Cho hai đường tròn đồng tâm O bán kính R và r ( R > r). Từ một điểm cố định trên đường tròn nhỏ, ta vẽ dây MA của đường tròn đó. Trong đường tròn lớn, ta vẽ dây BMC vuông góc với MA. Dây BMC cắt đường tròn nhỏ tại D Chứng tỏ BC và MD có cùng trung điểm I Khi A lưu động trên đường tròn nhỏ thì điểm I lưu động trên đường tròn nào? Tại sao? Bài 12 : Cho một đường tròn tâm O, bán kính R có AB là đường kính cố định, MN là đường kính lưu động. Gọi d là tiếp tuyến với đường tròn tại B, đường thẳng AM và AN lần lượt cắt d tại P và Q Chứng tỏ tứ giác MNQP nội tiếp được đường tròn Chứng minh hệ thức : AM. AP = AN. AQ = 4R2 Chứng minh trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với MN Tìm tập hợp các tâm E của đường tròn ngoại tiếp tam giác PMN khi MN quay chung quanh O Bài 13 :Cho một điểm M chuyển động trên một đường thẳng d nằm ngoài một đường tròn tâm O. Từ M kẽ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) ( A, B là tiếp điểm). Tìm tập hợp giao điểm I của hai đường thẳng OM và AB Bài 14 : Cho đường tròn tâm O, bán kính R, một điểm M cố định ở ngoài đường tròn (O) và đường kính AB lưu động quay quanh O. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB cắt đường thẳng MA tại N, cát tuyến MA và MB cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại C, D; CD cắt MO tại E Chứng tỏ 4 điểm A, C, E, N nằm trên một đường tròn Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆MAB khi đường kính AB lưu động quanh O Bài 15: (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong; năm 2002 – 2003 ) Cho đường tròn ( O; R ) và đường thẳng (d) cắt (O;R) tại hai điểm A, B. Từ một điểm M bất kỳ trên (d) và ở ngoài đường tròn (O), (d) không đi qua O, ta vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với đường tròn (O) ( N, P là các tiếp điểm ). a/ Chứng minh: b/ Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định khi M di chuyển trên (d). c/ Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác MNOP là một hình vuông. d/ Chứng minh rằng tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP di động trên một đường cố định khi M di động trên (d). Bài 16: Cho đường tròn (O) bán kính R và hai điểm A, B cố định trên (O) sao cho AB < 2R. Giả sử M là điểm thay đổi trên cung lớn AB của đường tròn . a) Kẻ từ B đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt AM tại I và (O) tại N. Gọi J là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên đường tròn thì mỗi điểm I, J đều nằm trên một đường tròn cố định. b) Xác định vị trí của M để chu vi D AMB là lớn nhất. Bài 17: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa đường tròn ( M không trùng với A, B). Người ta vẽ một đường tròn tâm E tiếp xúc với đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với đường kính AB tại N. Đường tròn (E) cắt MA, MB lần lượt tại các điểm thứ hai là C, D. a) Chứng minh rằng ba điểm C, E, D thẳng hàng. b) Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố định K và tích KM.KN không đổi. c) Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lượt là P và Q. Xác định vị trí của M để diện tích D NPQ đạt giá trị lớn nhất và chứng tỏ khi đó chu vi D NPQ đại giá trị nhỏ nhất. d) Tìm quỹ tích điểm E. Bài 18: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm là O. Gọi d, d’ là các đường thẳng vuông góc với AB tương ứng tại A, B. Một góc vuông đỉnh O có một cạnh cắt d ở M, còn cạnh kia cắt d’ ở N. kẻ OH ^ MN. Vòng tròn ngoại tiếp D MHB cắt d ở điểm thứ hai là E khác M. MB cắt NA tại I, đường thẳng HI cắt EB ở K. Chứng minh rằng K nằm trên một đường tròn cố đinh khi góc vuông quay quanh đỉnh O. Bài 19: Cho (O; R), AB là đường kính cố định. Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (O) tại B. MN là đường kính thay đổi của (O) sao cho MN không vuông góc với AB và M ≠ A, M ≠ B. Các đường thẳng AM, AN cắt đường thẳng (d) tương ứng tại C và D. Gọi I là trung điểm của CD, H là giao điểm của AI và MN. Khi MN thay đổi, chứng minh rằng: a) Tích AM.AC không đổi b) Bốn điểm C, M, N, D cùng thuộc một đường tròn c) Điểm H luôn thuộc một đường tròn cố định. d) Tõm J của đường tròn ngoại tiếp tam giác HIB luôn thuộc một đường thẳng cố định. Bài 20: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng (điểm B thuộc đoạn AC). Đường tròn (O) đi qua B và C, đường kính DE vuông góc với BC tại K. AD cắt (O) tại F, EF cắt AC tại I. 1.Chứng minh tứ giác DFIK nội tiếp được. 2.Gọi H là điểm đối xứng với I qua K. Chứng minh góc DHA và góc DEA bằng nhau. 3.Chứng minh AI.KE.KD = KI.AB.AC. 4.AT là tiếp tuyến (T là tiếp điểm) của (O). Điểm T chạy trên đường nào khi (O) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm B, C.