chủ đề Phương trình với nghiệm nguyên

Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Đại số 9 Ngày soạn : 06/10/11 Ngày dạy : 11/10/11 Chủ đề 7 Ph−ơng trình với nghiệm nguyên Buổi 1 Một số ph−ơng pháp giảI ph−ơng trình với nghiệm nguyên A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đ−ợc :  Kiến thức - Học sinh đ−ợc ôn lại về quan hệ chia hết; khái niệm ph−ơng trình nghiệm nguyên - Hiểu và giải đ−ợc một số dạng ph−ơng trình với nghiệm nguyên  Kĩ năng - Rèn kĩ năng áp dụng, trình bày  Thái độ - Học sinh tích cực, chủ động giải bài tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức – sĩ số II. Kiểm tra bài cũ III. Bài mới (145 phút) A - Lí thuyết I. Nhắc lại về phép chia hết. 1. Định nghĩa phép chia hết: Cho a, b ∈ z (b ≠ 0), tồn tại q, r ∈Z sao cho a = bq + r với 0 ≤ r < b - Nếu r = 0 ⇒ a
b - Nếu r≠ 0 ⇒ a /
b 2. Một số tính chất: ∀a, b, c, d ∈ Z - Nếu a ≠ 0 thì a
a và 0
a - Nếu a
b và b
c ⇒ a
c - Nếu a
b và b
a ⇒ a = ± b - Nếu a
b và a
c ⇒ a
BCNN(a ; b) - Nếu a
b và a
c với (b , c) = 1 ⇒ a
(bc) - Nếu a
b ⇒ ac
b 3. Một số định lí th−ờng dùng. - Nếu a
c và b
c ⇒ (a ± b)
c Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu - Nếu a
c và b
d ⇒ ab
cd - Nếu a
b ⇒ an
bn ( n nguyên d−ơng) *) Một số hệ quả áp dụng: + ∀a, b∈z và n nguyên d−ơng ta có (an – bn)
(a – b) + ∀a, b∈z và n chẵn (n nguyên d−ơng) ta có (an – bn)
(a + b) + ∀a, b∈z và n lẻ (n nguyên d−ơng) ta có (an + bn)
(a + b) 4. Các dấu hiệu chia hết. + Dấu hiệu chia hết cho 2: + Dấu hiệu chia hết cho 3: + Dấu hiệu chia hết cho 4: + Dấu hiệu chia hết cho 5: + Dấu hiệu chia hết cho 8: + Dấu hiệu chia hết cho 9: + Dấu hiệu chia hết cho 10: + Dấu hiệu chia hết cho 11: Số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8. Số có tổng các chữ số chia hết cho 3. Số có 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Số có 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. Số có tổng các chữ số chia hết cho 9. Số có chữ số tận cùng là 0. Số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11. II. Nhắc lại về tập hợp số nguyên: + Tập hợp số nguyên d−ơng Z+ = {1; 2; 3 ; . . . } + Tập hợp số nguyên âm Z- = {-1; -2; -3; . . . } + Tập hợp số nguyên Z = {. . . ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; . . . } III. Nhắc lại về ph−ơng trình nghiệm nguyên: ♣ Giải ph−ơng trình nghiệm nguyên F(x, y, z, . . .) = 0 là tìm tất cả các nghiệm (x, y, z, . . .) trong đó x, y, z, . . . ∈Z . B - Bài tập vận dụng I. Dạng ph−ơng trình ẩn đơn giản 1 - Ph−ơng trình nghiệm nguyên dạng ax + b = 0 a - Cách giải:( Qua 2 b−ớc) + Giải ph−ơng trình tìm nghiệm. + Tìm nghiệm nguyên (x∈ Z). b - Ví dụ : Tìm m để ph−ơng trình mx + 3 = 0 có nghiệm nguyên *) H−ớng dẫn : - Để ph−ơng trình có nghiệm nguyên thì     ∈−= ≠ Z m x m 3 0 ⇒ m là −ớc số của 3 ⇒ m ∈ {±1; ±2; ±3} c - Bài tập t−ơng tự: Tìm m để các ph−ơng trình sau có nghiệm nguyên: a) (2m – 1)x – 10 = 0 b) (m2 – 2)x + 36 = 0 d - Bài tập phát triển: Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Đại số 9 *) Bài tập 1: Tìm n ∈ N để ph−ơng trình (4n + 3)x - 8n = 193 có nghiệm tự nhiên. *) H−ớng dẫn: (4n + 3)x - 8n = 193 ⇔ (4n + 3)x = 193 + 8n ⇔ x = 34 187 34 68 34 8193 + + + + = + + nn n n n ⇔ x = 2 + 34 187 +n Để x ∈ N thì 34 187 +n ∈ N ⇒ 4n + 3 là −ớc số của 187 ⇒ 4n + 3 ∈ {1; 17; 187} ⇒ n ∈ {2; 46} *) Bài tập 2: Tìm n ∈ N để ph−ơng trình (n - 1)x - n3 + n2 - 2 = 0 có nghiệm tự nhiên. *) H−ớng dẫn: (n - 1)x – n3 + n2 - 2 = 0 ⇔ (n - 1)x = n3 - n2 + 2 ⇔ x = 1 2 1 2 223 − += − +− n n n nn Để x ∈ N thì 1 2 −n ∈ N ⇒ n - 1 là −ớc số của 2 ⇒ n ∈ {2; 3} 2. Giải ph−ơng trình nghiệm nguyên dạng ax2 + bx + c = 0 (a, b, c ∈Z) a - Cách giải:( Qua 2 b−ớc) + Giải ph−ơng trình tìm nghiệm. + Tìm nghiệm nguyên (x ∈ Z). b -Ví dụ : *) Ví dụ 1 : Giải ph−ơng trình nghiệm nguyên 2x2 - x - 3 = 0 *) H−ớng dẫn: 2x2 – x – 3 = 0 ⇔ (x + 1)(2x – 3) = 0⇔     = −= 2 3 1 x x Vậy ph−ơng trình có nghiệm nguyên là x = -1. *) Ví dụ 2: Tìm n ∈ N để ph−ơng trình nx2 + (2n - 3)x - 6 = 0 có 2 nghiệm nguyên. *) H−ớng dẫn: nx2 + (2n – 3)x – 6 = 0 ⇔ (x + 2)(nx – 3) = 0 ⇔     = −= n x x 3 2 - Để ph−ơng trình có 2 nghiệm nguyên thì x = Z n ∈ 3 - Vì n ∈ N ⇒ n = 1 hoặc n = 3 *) Ví dụ 3: Tìm a ∈ Z để ph−ơng trình (a + 1)x2 - (30 + 10a)x + 200 = 0 có hai nghiệm nguyên lớn hơn 6. *) H−ớng dẫn: (a + 1)x2 - (30 + 10a)x + 200 = 0 Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu ⇔ (x – 10)[(a + 1)x – 20] = 0 ⇔     + = = 1 20 10 a x x Để ph−ơng trình có 2 nghiệm nguyên lớn hơn 6 thì       > + ∈ + 6 1 20 1 20 a Z a ⇒ a = 0 hoặc a = 1. 3 - Ph−ơng trình nghiệm nguyên bậc cao. a - Cách giải: Dùng ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đ−a ph−ơng trình về dạng ph−ơng trình tích. b - Ví dụ: *) Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của ph−ơng trình x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0 *) H−ớng dẫn: - Đ−a ph−ơng trình về dạng (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0 - Ph−ơng trình có 3 nghiệm nguyên x = 1; x = 2; x = 3. *) Ví dụ 2:Tìm nghiệm nguyên của ph−ơng trình x3 - 7x2 + 15x - 25 = 0 *) H−ớng dẫn: - Đ−a ph−ơng trình về dạng (x – 5)(x2 – 2x + 5) = 0 - Nhận xét: x2 – 2x + 5 = (x – 1)2 + 4 > 0 với mọi x ⇒ ph−ơng trình chỉ có nghiệm nguyên x = 5. *) Ví dụ 3: Giải ph−ơng trình nghiệm nguyên x3 + (x + 1)3 + (x + 2)3 = (x + 3)3 *) H−ớng dẫn: - Đặt y = x – 3 ⇒ x = y + 3 ⇒ (y + 3)3 + (y + 4)3 + (y + 5)3 = (y + 6)3 ⇔ 2y3 + 18y2 + 42y = 0 ⇔ 2y(y2 + 9y + 21) = 0 - Vì y2 + 9y + 21 = (y + 2 9 )2 + 4 3 > 0 ⇒ y = 0 ⇔ x = 3 *) Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của ph−ơng trình: 6 7 32 22 22 12 2 2 2 2 = ++ ++ + ++ ++ xx xx xx xx *) H−ớng dẫn: - Đặt y = 222 ++ xx = (x + 1)2 + 1 ≥ 1 ⇒ ta đ−ợc ph−ơng trình nghiệm nguyên đối với y là: 6 7 1 1 = + + − y y y y ⇔ 5y2 -7y – 6 = 0 ⇒ y = 2 hoặc y = - 5 3 (loại) - Với y = 2 ⇒ x2 + 2x + 2 = 2 ⇔ x = 0 hoặc x = - 2 IV. Củng cố - Luyện tập (30 phút) - Xem lại lí thuyết và các dạng bài tập đã chữa, giải tiếp các bài tập sau: Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của ph−ơng trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Đại số 9 H−ớng dẫn: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 4x2 + 8x + 4 = 42 - 6y2 (2x + 2)2 = 6(7 - y2) Vì (2x + 2)2 ≥ 0 => 7 - y2 ≥ 0 => 7 ≥ y2 mà y ∈Z => y = 2;1;0 ±± + Với y = ± 1 => (2x + 2)2 = 6(7 - 1) 2x2 + 4x - 16 = 0 => x1 = 4; x2 = -2. + Với y = ± 2 =>2x2 + 4x - 7 = 0 => x1, x2 ∉ Z (loại) + Với y = 0 =>2x2 + 4x - 19 = 0 => x1, x2 ∉ Z (loại) Vậy cặp nghiệm (x, y) của ph−ơng trình là: (4; 1); (4; -1); (-2; 1); (-2; -1). Bài 2: Tỡm tất cả cỏc cặp hai số nguyờn ( ; )x y thỏa món 4 3 21x x y− + = H−ớng dẫn: +) Nếu 0x = thay vào phương trỡnh ta được 1y = ± +) Nếu 21 3x y= − ⇒ = vụ nghiệm +) Nếu 21 1 1x y y= ⇒ = ⇒ = ± +) Nếu 2x ≥ ta cú ( ) ( ) ( )2 222 4 3 2 24 4 4 4 2 1 2 2 1y x x x x y x x= − + ⇒ − − < < − + ( ) ( )22 2 4 3 2 4 32 2 4 4 4 4 4 2y x x x x x x x x⇒ = − ⇔ − + = − + ⇔ = (do 2x ≥ ) 3y⇒ = ± +) Nếu 2x ≤ − , đặt 2t x= − ≥ . Khi đú ta cú 2 4 3 1y t t= + + ( ) ( ) ( )2 222 4 3 2 24 4 4 4 2 1 2 2 1y t t t t y t t⇒ = + + ⇒ + − < < + + ( ) ( )22 2 4 3 4 3 22 2 4 4 4 4 4 2y t t t t t t t t⇒ = + ⇔ + + = + + ⇔ = (do 2t ≥ ) 5y⇒ = ± Kết luận ( ; ) (0;1); (0; 1); (1;1); (1; 1 ); (2;3); (2; 3); ( 2;5); ( 2 ) ; 5 x y = − − − − − − Bài 3: Tìm các số x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức x2 + xy + y2 = x2y2 H−ớng dẫn: Với x 2; y 2≥ ≥ Ta có : x2y2 ≥4x2 x2y2 ≥4y2  x2y2 ≥2(x2+y2) = x2+y2+x2+y2 ≥x2+y2 +2 xy >x2+y2 +xy +) Với x= 2± ph−ơng trình không có nghiệm nguyên +) Với y= 2± Thử x=0 => y=0 Thử x=1=> y=-1 Thử x=-1 => y=1 Kết luận: Hệ có nghiệm (0;0) ;(1;-1) ;(-1;1). Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu IV. H−ớng dẫn về nhà (5 phút) - Xem lại lí thuyết và các dạng bài tập đã chữa, giải tiếp các bài tập sau: Bài 1: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) sao cho x < y và 1980x y+ = H−ớng dẫn: Ta có: 1980 35.55 6 55 6 55x y= = ⇔ + = do đó ;x y phải là số vô tỉ dạng: 55; 55a b . Ta có: 55 55 6 55a b+ = ;a,b N∈ Do đó: (1): a = 0 ; b = 6 (2): a = 1 ; b = 5 ; (3): a = 2 ; b = 4 (4): a = 3 ; b = 3; (5): a = 4 ; b = 2; (6): a = 5 ; b = 1 ; (7): a = 6 ; b = 0 (1) Nếu: 00 0 6 19801980 xa x b yy  == =  ⇔ ⇔   = ==  (2) Nếu: 551 55 5 13755 55 xa x b yy  == =  ⇔ ⇔   = ==  (3) Nếu: 2 552 220 4 8804 55 xa x b yy  == =  ⇔ ⇔   = ==  (4) Nếu: 3 553 495 3 4953 55 xa x b yy  == =  →⇔ ⇔   = ==  (5)Nếu: 4 554 880 2 2202 55 xa x b yy  == =  ⇔ ⇔   = ==  (6) Nếu: 5 555 1375 1 5555 xa x b yy  == =  ⇔   = ==  (7) Nếu: 6 556 1980 0 00  == =  ⇔ ⇔   = ==  xa x b yy Bài 2: a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2 2 3 5 1 x xy x + + = + . b) Tìm nghiệm nguyên của ph−ơng trình: 2 22 3 2 4 3 0x y xy x y+ + − − + = H−ớng dẫn: a) 2 2 3 5 1 x xy x + + = + (xác định với mọi x ∈R ) ( ) 21 3 5 0 (**)y x x y⇔ − − + − = • 1:y = pt (**) có nghiệm 4 3 x = − 1:y ≠ để pt (**) có nghiệm thì: 29 4( 1)( 5) 4 24 11 0y y y y∆ = − − − = − + − ≥ ( ) ( )225 5 5 5 1 113 0 3 3 1 4 2 2 2 2 2 y y y y y⇔ − − ≥ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ ≠ Vậy tập giá trị của y là 1 11; 2 2      , do đó 11 1; 2 2 Max y Min y= = Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Đại số 9 b) ( )2 2 2 22 3 2 4 3 0 3 2 2 4 3 0x y xy x y x y x y y+ + − − + = ⇔ + − + − + = (***) Để pt (***) có nghiệm nguyên theo x, thì: ( ) ( )2 2 23 2 4 2 4 3 4 8y y y y y∆ = − − − + = + − là số chính ph−ơng. ( ) ( )22 2 24 8 2 12y y k k y k⇔ + − = ∈ ⇔ + − =Z ( 2 )( 2 ) 12 ( )y k y k a⇔ + − + + = Ta có: Tổng ( )2 ( 2 ) 2( 2)y k y k k+ − + + + = + là số chẵn, nên ( )2 ; ( 2 )y k y k+ − + + cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Mà 12 chỉ có thể bằng tích 1.12 hoặc 2.6 hoặc 3.4, nên chỉ có các hệ ph−ơng trình sau: 2 2 2 6 2 6 2 2 ; ; ; ; 2 6 2 2 2 2 2 6 y k y k y k y k y k y k y k y k + − = + − = + − = − + − = −        + + = + + = + + = − + + = −    Giải các hệ pt trên ta có các nghiệm nguyên của pt (a): ( ) ( ) ( ) ( )2; 2 , 2; 2 , 6; 2 , 6; 2y k y k y k y k= = = = − = − = = − = − Bài 3: Giải ph−ơng trình nghiệm nguyên: yz zx xy 3 x y z + + = H−ớng dẫn: • Với điều kiện: xyz 0≠ Ta có: yz zx xy 3 x y z + + = , ( )1 ⇔ 2 2 2 2 2 22x y 2y z 2z x 6xyz+ + = ( ), 2 ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y 2x yz x z x z 2xyz y z y z 2xy z x y⇔ − + + − + + − + = 2 2 26xyz 2x yz 2xy z 2xyz− − − ⇔ ( )2xy xz− + ( )2xz yz− + ( )2yz xy− = ( ) ( ) ( )2xyz 1 x 1 y 1 z− + − + −   ( ), 3 • Nhận xét: Từ ( )2 ⇒ xyz 0> , vì vậy ( )3 ⇒ 3 x y z 0− − − > .Ph−ơng trình có nghiệm tự nhiên x = y = z = 1, lại do xyz 0> suy ra các nghiệm nguyên của ph−ơng trình ( )1 là: ( )x, y,z = ( )1,1,1 , ( )1, 1,1− − , ( )1, 1, 1− − , ( )1,1, 1− − D/Bổ sung ******************************* Ngày soạn : 09/10/11 Ngày dạy : 14/10/11 Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Chủ đề 7 Ph−ơng trình với nghiệm nguyên Buổi 2 Một số ph−ơng pháp giảI ph−ơng trình với nghiệm nguyên A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đ−ợc :  Kiến thức - Tiếp tục nghiên cứu một số dạng ph−ơng trình với nghiệm nguyên  Kĩ năng - Rèn kĩ năng áp dụng, trình bày, nâng cao kĩ năng giải ph−ơng trình  Thái độ - Học sinh tích cực, chủ động giải bài tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức – sĩ số II. Kiểm tra bài cũ III. Bài mới (98 phút) II - Dạng ph−ơng trình nghiệm nguyên nhiều ẩn. (tiếp) 1 - Ph−ơng trình nghiệm nguyên dạng ax + by = c (a, b, c ∈Z) - Nếu (a , b) = 1 thì ph−ơng trình sẽ có nghiệm nguyên - Nếu (a , b) = d > 1 và c lại chia hết d thì ph−ơng trình không có nghiệm nguyên. * ) Cách giải: Biểu diễn ẩn (có hệ số mà giá trị tuyệt đối của nó nhỏ hơn) này theo ẩn kia, sau đó tách phần nguyên *) Ví dụ 1: Giải ph−ơng trình nghiệm nguyên 3x + 4y = 29 *) H−ớng dẫn: 3x + 4y = 29 ⇔ 3x = 29 – 4y ⇔ x = 3 29 3 429 yyy −+−=− x,y ∈Z ⇒ 3 2 y− ∈Z ⇒ 2 – y = 3t (t ∈Z) ⇒    −= += ty tx 32 74 Vậy dạng tổng quát nghiệm nguyên của ph−ơng trình là: {x 4t 7y 3t 2= += − + với t ∈ Z *) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của ph−ơng trình 5x - 7y = 15 *) H−ớng dẫn: - Nhận xét ƯCLN(5 ;15) = 5. Nên ta đặt y = 5t (t ∈Z) - Ta có : 5x - 35t = 15 ⇒ x = 7t + 3. Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Đại số 9 - Vậy nghiệm của ph−ơng trình là    = += ty tx 5 37 (t ∈Z) *) Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên d−ơng của ph−ơng trình 8x - 3y = 15 *) H−ớng dẫn: - Nhận xét: ƯCLN(3 ;15) = 3. Nên ta đặt x = 3t (t ∈Z) => y = 8t - 5 - Để x, y nguyên d−ơng thì t > 5 8 , với t nguyên => t Z+∈ - Vậy nghiệm nguyên d−ơng của ph−ơng trình là {x 3t ( t Z )y 8t 1 += ∈= − *) Ví dụ 4: Tìmnghiệm nguyên d−ơng của ph−ơng trình 8x - 27y = 38 Ta có: x = 27y 38 y 23y 4 3. 8 8 + + = + + Đặt y + 2 = 8t (t ∈ Z) => x = 27t - 2 Vậy nghiệm nguyên của ph−ơng trình đã cho là x 27t 2 (t Z) y 8t 2 = − ∈ = − Để x > 0, y > 0  t > 1 4 Vậy nghiệm nguyên d−ơng của ph−ơng trình là x 27t 2 (t Z ) y 8t 2 += − ∈ = − 2 - Giải ph−ơng trình nghiệm nguyên dùng tính chất chia hết. *) Cách giải: Dùng tính chất chia hết để thu hẹp miền xác định của nghiệm. *) Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên d−ơng của ph−ơng trình 3x2 + 5y2 = 345 *) H−ớng dẫn: - Vì 345 chia hết cho 3 và 345 chia hết cho 5 - Đặt x = 5a, y = 3b (a,b nguyên d−ơng) ⇒ 3.25a2 + 5.9b2 = 345 ⇒ 5a2 + 3b2 = 23 ⇒ a2 5 23≤ và b2 3 23≤ ⇒ 2≤a và 2≤b - Thử với a = 1; 2 và b = 1; 2 . - Ta thấy chỉ có nghiệm nguyên d−ơng là (x = 10; y = 3) 3 - Giải ph−ơng trình nghiệm nguyên bằng cách tách phần nguyên. *) Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên d−ơng của ph−ơng trình 10x - 3y = 2xy - 20 *) H−ớng dẫn: 10x – 3y = 2xy – 20 ⇔ y(2x + 3) = 10x + 20 ⇔ y = 32 55 32 105 + += + + xx x - Để ph−ơng trình có nghiệm nguyên thì 2x + 3 là −ớc của 5 => x =1 ⇒ y = 6 (thoả mãn) Vậy ph−ơng trình có nghiệm nguyên d−ơng là (x =1; y = 6) Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu *) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên d−ơng của ph−ơng trình: 1 10 1 7 x y z + = + Giải: Ta có 10 1 1 11 11 1 17 2 2 3 3 x y z = + ⇒ + = + + + + Vì sự phân tích trên là duy nhất nên ta có x = 1; y = 2; z = 3. 4 - Giải ph−ơng trình nghiệm nguyên bằng ph−ơng pháp bình đẳng ẩn. *) Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên d−ơng của ph−ơng trình x + y + z = xyz *) H−ớng dẫn: x, y, z có vai trò bình đẳng. Giả sử 0 < x ≤ y ≤ z ⇒ xyz = x + y + z ≤ 3z ⇒ xy ≤ 3 + Nếu x = y = z ⇒ z3 = 3z ⇒ z2 = 3 không xảy ra ⇒ x, y, z không thể bằng nhau. + Từ xy ≤ 3 ⇒ chỉ có cặp số (1; 2; 3) là nghiệm của PT. *) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên d−ơng của ph−ơng trình 1 111 =++ zyx *) H−ớng dẫn: x, y, z có vai trò bình đẳng. - Giả sử 0 < x ≤ y ≤ z ⇒ xzyx 3111 ≤++ mà 313 ≤⇒≥ x x ⇒ x ∈ {1; 2; 3} + Nếu x = 1 ⇒ zy 11 + = 1 – 1 ⇒ zy 11 + = 0 không xảy ra. + Nếu x = 2 ⇒ zy 11 + = 2 1 dùng bình đẳng với y và z ⇒ (y ; z) = {(4 ; 4) ; (3 ; 6) ; (6 ; 3)} + Nếu x = 3 ⇒ chỉ có y = z = 3 Vậy các cặp số sau là nghiệm của ph−ơng trình (2; 4 ; 4) ; (2 ; 3 ; 6) ; (3 ; 3 ;3). 5 - Giải ph−ơng trình nghiệm nguyên bằng ph−ơng pháp loại trừ. *) Cách giải: - Biện luận để làm ngắn miền nghiệm. *) Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên d−ơng của ph−ơng trình 12x + 5x = 13x *) H−ớng dẫn: - Ta thấy x = 2 là nghiệm của ph−ơng trình vì 122 + 52 = 132 - Biến đổi ph−ơng trình 12x + 5y = 13x ⇔ 1) 13 5() 13 12( =+ xx . Nếu x > 2 ⇒ x) 13 12( < 2) 13 12( và x) 13 5( < 2) 13 5( ⇒ 1) 13 5() 13 12( <+ xx không xảy ra. Nếu x < 2 ⇒ x) 13 12( > 2) 13 12( và x) 13 5( > 2) 13 5( ⇒ 1) 13 5() 13 12( >+ xx không xảy ra. Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất. Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Đại số 9 6 - Giải ph−ơng trình nghiệm nguyên đ−a về dạng tích. *) Ví dụ 1: Giải ph−ơng trình nghiệm nguyên d−ơng xy - 4x = 35 - 5y *) H−ớng dẫn: xy – 4x = 35 – 5y ⇔ xy – 4x + 5y – 20 = 15 ⇔ (x + 5)(y – 4) = 15 ⇒ x + 5 và y – 4 là −ớc của 15. Thay vào ta chỉ có nghiệm nguyên d−ơng là    = = 5 10 y x *Ví dụ 2 : Giải PT nghiệm nguyên d−ơng x2 - 6xy + 13y2 = 100 *) H−ớng dẫn: x2 – 6xy + 13y2 = 100 ⇔ x2 – 6xy + 9y2 = 100 – 4y2 ⇔ (x – 3y)2 = 4(25 – y2) 0≥ ⇒ y ≤ 5 và 25 – y2 là số chính ph−ơng. Thay các giá trị của y, ta có các nghiệm nguyên d−ơng là : (x ; y) = {(1 ; 3) ; (17 ; 3) ; (6 ; 4) ; (18 ; 4) ; (15 ; 5)} *) Ví dụ 3 : Tìm nghiệm tự nhiên của ph−ơng trình xy2 + 3y2 - x = 108 *) H−ớng dẫn: xy2 + 3y2 – x = 108 ⇔ xy2 + 3y2 – x – 3 = 105 ⇔ (y2 – 1)(x + 3) = 105 ⇒ y2 – 1 là −ớc của 105 Tìm đ−ợc các giá trị của y N∈ và suy ra các giá trị của x N∈ Vậy ph−ơng trình có nghiệm tự nhiên là {x 0y 6== ; { {x 32 x 4;y 2 y 4= == = IV. Củng cố, luyện tập - Giải đề thi (80 phút) Bài 1: Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang năm học 2009 - 2010, ngày thứ hai Tìm số nguyên x; y thoả mãn đẳng thức: x2+ xy +y2 - x2y2 = 0 H−ớng dẫn: Tìm số nguyên x; y thoả mãn đẳng thức: x2+ xy +y2 - x2y2 = 0 (1) Ta có: x2+ xy +y2 - x2y2 = 0 4x2+ 4xy +4y2 - 4x2y2 = 0 4x2+ 8xy +4y2 - (4x2y2 + 4xy +1) - 1 = 0 (2x + 2y)2 - (2xy + 1)2 = 1 (2x + 2y - 2xy - 1)(2x + 2y + 2xy + 1) = 1 =>           =+++ =−−+    =+++ =+ 11 2xy 2y 2x -11 2xy 2y 2x -11 2xy 2y 2x 1 1 -2xy -2y 2x Giải hệ PT ta đ−ợc (x; y) = (0; 0) hoặc x = - y Thay x = - y vào (1) ta tìm đ−ợc (x; y) = (1; -1); (x; y) = (-1; 1) Vậy các cặp số x; y nguyên thoả mãn (1) là:(0; 0); (1; -1); (-1; 1) Bài 2: Đề thi khảo sát chọn HSG năm học 2009 - 2010 Tìm x, y nguyên thỏa mãn 2 2x 2xy 24y 20+ = + H−ớng dẫn: Nhận xét nếu có x, y thỏa mãn thì x chẵn nên ta đặt x = 2t (t ∈ Z) khi đó ta có: 2 2 2 2 2 2 24t 4ty 24y 20 t ty 6y 5 t 9y ty 3y 5+ − = + − = − + + = Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Hay ( t 3y)( t 2y) 5+ − =  t 3y 5 t 3y 1 t 3y 5 t 3y 1 ; ; ; t 2y 1 t 2y 5 t 2y 1 t 2y 5 + = + = + = − + = −        − = − = − = − − = −    Giải các hệ này thấy vô nghiệm. Vậy không tồn tại x, y thỏa mãn đề bài Bài 3: Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2009 - 2010 a) Tìm đa thức đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau: P(x) chia cho (x - 3) d− 5; P(x) chia cho (x + 2) d− 3; P(x) chia cho ( 2x x 6− − ) đ−ợc th−ơng là x và còn d− . b) Tìm x và y nguyên thỏa mãn 2x x 14 xy 3y 0− − − − = H−ớng dẫn: a) P(x) chia cho (x - 3) d− 5 => P(x) (x 3)Q(x) 5 P(3) 5, t−ơng tự P(- 2) = 3= − + => = Có: P(x) = 2x(x x 6) ax b− − + + P(3) 5 3a b 5 P( 2) 0 b 2a 3  = + =   − = − = => 192a ;b 5 5 = = => 3 2 28 19P(x) x x x 5 5 = − − + b) 2x x 14 xy 3y 0− − − − = => 2x x 14y x 3 − − = + (x = - 3 không thỏa mãn)  2y x 4 x 3 = − − + . Do đó để x, y nguyên thì x + 3 là −ớc của 2 Kết quả: Các cặp số (x; y) nh− sau ( 2; 8);( 4; 6);( 1; 6);( 5; 8)− − − − − − − − Bài 4: Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Quảng Ngãi năm học 2010 - 2011 a) Tỡm cỏc cặp số nguyờn dương (x; y) thỏa món 6x + 5y + 18 = 2xy b) Cho biểu thức 3 2a a aA = + + 24 8 12 với a là số tự nhiờn chẵn. Hóy chứng tỏ A cú giỏ trị nguyờn. H−ớng dẫn: a) Ta cú: 6 5 18 2x y xy+ + = 2xy - 6x - 5y = 18⇔ 2xy - 6x + 15 - 5y = 33⇔ ⇔ 2x(y – 3) – 5(y – 3) = 33 ⇔ (y – 3)(2x – 5) = 33 = 1.33 = 3.11 = (-1).(-33) = = (-33).(-1) = (-3).(-11) = (-11).(-3) Ta xột cỏc trường hợp sau : * 3 1 19 2 5 33 4 y x x y − = =  ⇒  − = =  * 3 33 3 2 5 1 36 y x x y − = =  ⇒  − = =  * 3 11 4 2 5 3 14 y x x y − = =  ⇒  − = =  * 3 3 8 2 5 11 6 y x x y − = =  ⇒  − = =  Cỏc cặp số nguyờn dương đều thỏa món đẳng thức trờn. Vậy cỏc cặp số cần tỡm là : (3; 36); (4; 14); (8; 6); (19; 4) Cỏc trường hợp cũn lại giải ra đều khụng thoả món bài toỏn b) Vỡ a chẵn nờn a = 2k ( )k N∈ Do đú 3 2 3 28 4 2 24 8 12 3 2 6 k k k k k kA = + + = + + ( )( )3 2 1 2 12 3 6 6 k k kk k k + ++ + = = Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Đại số 9 Ta cú : ( ) ( )( )k k+1 2 k k+1 2k+1 2⇒

Ta chứng minh : ( )( )1 2 1 3k k k+ +
Thật vậy : - Nếu k = 3n (vớin N∈ ) thỡ ( )( )1 2 1 3k k k+ +
- Nếu k = 3n + 1 (với n N∈ ) thỡ 2 1 3k +
- Nếu k = 3n + 2 (với n N∈ ) thỡ 1 3k +
Với mọi ( )( )1 2 1k N k k k∈ ⇒ + + luụn chia hết cho 2 và cho 3 Mà (2, 3) = 1 ( )( )1 2 1 6k k k⇒ + +
Vậy A cú giỏ trị nguyờn. Bài 5: Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Phú Thọ năm học 2008 - 2009 Tìm nghiệm nguyên d−ơng của ph−ơng trình : xyz x y z.= + + H−ớng dẫn: Ph−ơng trình đã cho t−ơng đ−ơng với 1 1 1 1 xy yz zx + + = . Không mất tính tổng quát, giả sử x y z≥ ≥ (*) - Nếu z 3≥ thì 2 1 1 1 3 1 1 xy yz zx z 3 + + ≤ ≤ < (loại). - Nếu z 2= thì ph−ơng trình đã cho trở thành:2xy x y 2= + + . Hay ( )( )2x 1 2y 1 5− − = . Do (*) nên chỉ có tr−ờng hợp 2x - 1 = 5 và 2y - 1 = 1, suy ra x = 3 và y = 1 - Nếu z 1= thì ph−ơng trình đã cho trở thành: xy x y 1= + + ( )( )x 1 y 1 2⇔ − − = . Do (*) nên chỉ có tr−ờng hợp x - 1 = 2 và y - 1 = 1, suy ra x = 3 và y = 2. Nghiệm là: (3 ; 2 ; 1), (3 ; 1 ; 2), (2 ; 3 ; 1), (2 ; 1 ; 3), (1 ; 3 ; 2), (1 ; 2 ; 3). Bài 6: Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2009 - 2010 a. Giải ph−ơng trình: 209 1 2 ++ xx + 3011 1 2 ++ xx + 4213 1 2 ++ xx = 18 1 b. Giải ph−ơng trình với nghiệm là số nguyên: x( x 2 + x + 1) = 4y( y + 1). H−ớng dẫn: a) Ph−ơng trình đ−ợc biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: 4; 5; 6; 7≠ − − − −x ) 1 1 1 ( 4)( 5) ( 5)( 6) ( 6)( 7)x x x x x x+ ++ + + + + + = 1 18 ⇒ ( 1 1 4 5x x − + + ) + ( 1 1 5 6x x − + + ) + ( 1 1 6 7x x − + + ) = 1 18 ⇒ 1 1 4 7x x − + + = 1 18 ⇒ (x + 4)(x +7) = 54 ⇒ (x + 13)(x – 2) = 0 ⇒ x = -13 hoặc x = 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy nghiệm của ph−ơng trình là: S = { }13;2− b) Ph−ơng trình đ−ợc biến đổi thành: (x + 1)(x 2 + 1) = (2y + 1) 2 + Ta chứng minh (x + 1) và (x 2 + 1) nguyên tố cùng nhau ! Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Vì nếu d = UCLN (x+1, x 2 + 1) thì d phải là số lẻ (vì 2y+1 lẻ) ⇒ 2 1 1 x d x d +  +

⇒ 2 2 1 1 x x d x d x d  +  +  + 


⇒ 1 1 x d x d +  −

⇒2 d
mà d lẻ nên d = 1. + Nên muốn (x + 1)(x 2 + 1) là số chính ph−ơng Thì (x+1) và (x 2 + 1) đều phải là số chính ph−ơng Đặt: 2 2 2 1 1 x k x t  + =  + = ⇒ (k + x)(k – x) = 1⇒ 1 0 k x =  = hoặc 1 0 k x = −  = + Với x = 0 thì (2y + 1) 2 = 1 ⇒ y = 0 hoặc y = -1.(Thỏa mãn pt) Vậy nghiệm của ph−ơng trình là: (x;y) ={ }(0;0), (0; 1)− Bài 7: Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải D−ơng năm học 2010 - 2011 Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh 220 6 150 15y xy x− = − . H−ớng dẫn: Ta cú : 150 – 15x = 20y2 – 6xy 6xy – 15x = 20y2 – 150 3x(2y – 5) = 5(4y2 – 25) – 25 (2y – 5)(10y + 25 – 3x) = 25 Xột 6 trường hợp sau 2 5 1 10) 10 25 3 25 3 y x y x y − = =  + ⇔  + − = =  (thỏa món) 2 5 25 58) 10 25 3 1 15 y x y x y − = =  + ⇔  + − = =  (thỏa món) 702 5 1) 3 10 25 3 25 2 y x y x y  − = − =  + ⇔  + − = −  = (loại) 102 5 25) 7410 25 3 1 3 xy y x y = − − = −  + ⇔ −  + − = − =  (loại) 702 5 5) 3 10 25 3 5 5 y x y x y  − = =  + ⇔  + − =  = (loại) 2 5 5 10) 10 25 3 5 0 y x y x y − = − =  + ⇔  + − = − =  (thỏa món) Vậy phương trỡnh cú 3 nghiệm (x ; y) là (10 ; 3), (58 ; 15), (10 ; 0). IV. H−ớng dẫn về nhà (2 phút) - Xem lại các dạng bài tập đã chữa, giải tiếp các bài tập sau: Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của PT : a) 3x + 17y = 159 b) xy - x - y = 2 H−ớng dẫn: a) Đặt y = 3t ( t Z∈ ) b) Biến đổi về dạng tích: xy - x - y = 2  (y - 1)(x - 1) = 3 - Do x, y ∈ Z nên (x-1), (y-1) ∈ Z và x-1, y-1 là −ớc của 3 Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Đại số 9 - Do vai trò của x,y nh− nhau nên không mất tính tổng quát giả sử x≥y 1 3 4 1 1 2 1 1 1 1 0 1 3 2 x x y y x y x x y y  − =  =     − = =  ⇒ − ≥ − ⇒ ⇔   − = − =     − = − = −    - Vậy ph−ơng trình có nghiệm (4 ; 2); (2 ; 4); (0 ; - 2); (- 2 ; 0). Cách khác: Nếu y = 1 thì ph−ơng trình vô nghiệm => y 1≠ x(y - 1) = y + 2  x = 3