Chuyên đề 4: Quy tắc đếm

Chuyên đề 4. Quy tắc đếm. Kiến thức cơ bản. */ Ký hiệu: Số phần tử của một tập hợp hữu hạn A được ký hiệu là n(A) hoặc . */ Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kỳ cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện. Lưu ý: +/ Quy tắc cộng nói trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hai tập hợp hữu hạn không giao nhau, cụ thể: Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn, không giao nhau, thì +/ Ta có thể mở rộng quy tắc cộng cho một công việc có nhiều hơn hai hành động: Một công việc được hoàn thành bởi một trong k hành động A1, A2, . . . , Ak. Có n1 cách thực hiện hành động A1; có n2 cách thực hiện hành động A2; . . . ; có nk cách thực hiện hành động Ak và mỗi cách thực hiện hành động nào đó đều không trùng với bất kỳ cách nào của các hành động còn lại Bài1 Một lớp học có 20 học sinh nam và 25 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn a/ Một học sinh làm lớp trưởng. b/ hai học sinh; 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó. Giải a/ Theo quy tắc cộng, ta có 20+25 =45 cách chọn 1 học sinh làm lớp trưởng. b/ Ta phải thực hiện hai hành dộng chọn liên tiếp. +/ Chọn 1 lớp trưởng; có 45 cách chọn +/ Chọn 1 lớp phó ; có 44 cách chọn Vậy theo quy tắc nhân, ta có 44 . 45 = 1980 cách chọn. Bài 2 Trên giá sách có 10 quyển sách Toán khác nhau, 8 quyển sách Vật lý khác nhau và 6 quyển sách Hoá học khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1/ Một quyển sách ? 2/ Ba quyển sách thuộc ba môn khác nhau? 3/ Hai quyển sách thuộc hai môn khác nhau? Giải 1/ Theo quy tắc cộng, ta có 10+8+6= 24 cách chọn 1 quyển sách. 2/ Theo quy tắc nhân, có 10. 8. 6 = 480 cách chọn 3 quyển sách. 3/ Có 3 trường hợp. TH1; Hai quyển sách đó thuộc môn Toán và Vật lý Theo quy tắc nhân, có 10 . 8 = 80 cách chọn. TH2; Hai quyển sách đó thuộc môn Toán và Hoá học Theo quy tắc nhân , có 10 . 6 = 60 cách chọn. TH3; Hai quyển sách đó thuộc môn Vật lý và Hoá học Theo quy tắc nhân, có 8 . 6 = 48 cách chọn Vậy theo quy tắc cộng, có 80 + 60 + 48 = 188 cách chọn hai quyển sách thuộc hai môn khác nhau. Bài 3 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà 1/ Các chữ số không nhất thiết giống nhau. 2/ Các chữ số khác nhau đôi một. Giải Gọi số cần lập là 1/ Vì các chữ số không nhất thiết giông nhau, nên +/ Chọn a, có 5 cách chọn +/ Chọn b, có 5 cách chọn +/ Chọn c, có 5 cách chọn +/ Chọn d, có 5 cách chọn Vậy theo quy tắc nhân , ta có 54 = 625cách chọn, hay 625 số. 2/ Vì các số đôi một khác nhau , nên +/ Chọn a, có 5 cách chọn +/ Chọn b, có 4 cách chọn +/ Chọn c, có 3 cách chọn +/ Chọn d, có 2 cách chọn Vậy theo quy tắc nhân, ta có 5. 4. 3. 2 = 120 cách chọn hay 120 số. Bài 4 Một đội văn nghệ có 10 nam và 8 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một đôi song ca nam- nữ? Giải +/ Chọn nam ta có 10 cách chọn, +/ Khi đã chọn nam rồi, ta có 8 cách chọn nữ Vậy theo quy tắc nhân, ta có 10 . 8 = 80 cách chọn một đôi song ca nam- nữ. Bài 5 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn, có 3 chữ số? Giải +/ Lưu ý , bài toán không bắt buộc các chữ số phải khác nhau đôi một +/ Gọi số đó là . Chọn a có 6 cách chọn. ( do a 0) . Chọn b có 7 cách chọn. . Chọn c có 4 cách chọn. ( do c =) Vậy theo quy tắc nhân, có 6. 7. 4 = 168 cách chọn, hay 168 số. Bài 6 Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đèu là chẵn? +/ Gọi số đó là +/ Chọn a có 4 cách chọn vì a = +/ Chọn b có 5 cách chọn vì b = và b không nhất thiết a. Vậy theo quy tắc nhân, có 4 . 5=20 cách chọn, hay 20 số Bài 7 Có bao nhiêu chữ số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số đứng cách đều chữ số đứng giữu thì bằng nhau? Giải +/ Gọi số cần tìm là +/ Theo giả thiết a= e0 có 9 cách chọn đồng thời a và e. +/ Ta có b = d có 10 cách chọn đồng thời b và d +/ Có 10 cách chọn e. Vậy theo quy tắc nhân, có 9. 10. 10 = 900 cách chọn ,hay 900 số. Bài 8 Lớp 11A1 chuẩn bị một số tiết mục văn nghệ tham gia hội diễn văn nghệ 26/ 3 gồm; 2 tiết mục ngâm thơ, 4 tiết mục tấu hài, 6 bài hát. ở hội diễn lớp 11A1 chỉ được diễn 1 tiết mục ngâm thơ, 1 tiết mục tấu hài, và1 bài hát. Hỏi lớp 11A1 có bao nhiêu cách chọn tiết mục biểu diễn, biết chất lượng các tiết mục như nhau? Giải +/Chọn 1 tiết mục ngâm thơ , có 2 cách chọn. +/Chọn 1 tiết mục tấu hài , có 4 cách chọn. +/Chọn 1 bài hát , có 6 cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân, có 2.4.6 = 48 cách chọn tiết mục văn nghệ. Bài 9 Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường. Từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường. Từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường. Từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C Hỏi có bao nhiêu con đường từ thành phố A đền thành phố D? Giải +/ Từ thành phố A đến thành phố D qua thành phố B có 3 . 2 = 6 con đường +/ Từ thành phố A đến thành phố D qua thành phố C có 3 . 2 = 6 con đường Vậy có 6 + 6 = 12 con đường từ thành phố A đền thành phố D. Bài 10 Có 10 cặp anh em sinh dôi đi dự đại hội. Tính các cách chọn 2 người phát biểu sao cho 1/ Hai người đó là anh em sinh đôi. 2/ Hai người đó không là anh em sinh đôi. Giải 1/ Mỗi cặp anh em sinh đôi , chọn 1 người; có 10 cách chọn Khi đó chỉ có 1 cách người còn lại là anh em sinh đôi của người ấy. Vậy có 10 cách chọn 2/ Mỗi cặp anh em sinh đôi , chọn 1 người; có 10 cách chọn Khi đó có 18 cách người còn lại không là anh em sinh đôi của người ấy. Vậy có 10 . 18 = 180 cách chọn Bài tập Bài 1 Có 5 con gà, 7 con vịt , 10 con ngỗng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn; 1/ Một con? 2/ ba con và có đủ 3 loại? Bài 2 Bạn An có 5 áo màu khác nhau, 7 quần kiểu khác nhau. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo? Bài 3 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập được bao nhiêu số tự nhiên 1/ có 4 chữ số? 2/ Có 5 chữ số đôi một khác nhau? 3/ Chẵn và có 4 chữ số đôi một khác nhau? Bài 4 Từ các chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên 1/ có 4 chữ số? 2/ Có 4 chữ số đôi một khác nhau? Bài 5 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 345? Bài 6 Số 720 có bao nhiêu ước nguyên dương? Bài 7 Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số , trong đó chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau ? Bài 8 Có 100.000 vé xổ số được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi có bao nhiêu vé xổ số gồm 5 chữ số khác nhau? Bài 9 Từ các chữ số 1, 2, 3, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn, có 3 chữ số khác nhau và không vượt quá 789? Bài 10 Từ các chữ số 1, 2, 3, 6, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn, có 5 chữ số khác nhau ? Hướng dẫn (QUY TắC ĐếM) Bài 1 1/ Có 5 + 7 + 10 = 22 cách 2/ Có 5 cách chọn một con gà, 7 cách chọn một con vịt và 10 cách chọn một con ngỗng. Vậy có 5 . 7 . 10 = 350 cách chọn ba con và có đủ 3 loại. Bài 2 Có 5 . 7 = 35 cách chọn Bài 3 1/ Gọi số cần lập là mỗi chữ số a, b, c, d đều có 7 cách chọn Vậy có 7 4 = 2401 (số) 2/ Gọi số cần lập là Có 7 cách chọn a;6 cách chọn b;5 cách chọn c;4 cách chọn d;3 cách chọn e Vậy có 7 . 6 . 5 . 4. 3 = 2520 (số) 3/ Gọi số cần lập là Có 3 cách chọn d;6 cách chọn a;5 cách chọn b;4 cách chọn c Vậy có 3 . 6 . 5 . 4 = 360 (số) Bài 4 1/ Gọi số cần lập là Có 5 cách chọn a;6 cách chọn b;6 cách chọn c;6 cách chọn d Vậy có 5 . 63 = 1080 số. 2/ Gọi số cần lập là Có 5 cách chọn a;5 cách chọn b;4 cách chọn c;3 cách chọn d Vậy có 5 . 5. 4 . 3 = 300 số. Bài 5 Gọi số cần lập là +/ Nếu a = thì ta có 2 . 4 . 3 = 24 số. +/ Nếu a = 3 ./ Nếu b = thì ta có 2 . 3 = 6 số. ./ Nếu b = 4 thì ta có 2 số. Vậy có 32 số. Bài 6 +/ Phân tích 720 thành tích các thừa số nguyên tố; 720 = 2 4 . 3 2 . 5 +/ d là ước của 720, d có dạng d = 2m. 3n. 5k , 0m4, 0n2, 0k1 +/ Vậy có 5 . 3 . 2 = 30 ước số nguyên dương. Bài 7 +/ Gọi E = +/ Gọi số cần lập là +/ Có 9 cách chọn a;10 cách chọn b;10 cách chọn c +/ Vậy có 9 . 10 . 10 = 900 số Bài 8 +/ Gọi E = +/ Gọi số cần lập là Có 10 cách chọn a; 9 cách chọn b; 8 cách chọn c; 7 cách chọn d; 6 cách chọn e +/ Vậy có 10 . 9 . 8 . 7 . 6 = 30240 vé Bài 9 +/ Gọi số cần lập là . +/ Với a = 8 cách chọn b; 7 cách chọn c có 6 . 8 . 7 =336 số +/ với a = 7; b = 8 có 7 cách chọn c có 7 số Vậy có 336 + 42 + 7 = 385 Bài 10 +/ Gọi số cần lập là +/Với e = 0; Có 4 cách chọn a; 3 cách chọn b; 2 cách chọn c; và 1 cách chọn d có 4 . 3 . 2 = 24 số +/ Với e = ; Có 3 cách chọn a; 3 cách chọn b; 2 cách chọn c; và 1 cách chọn d có 2 . 3 . 3 . 2 = 36 số Vậy có 24 + 36 = 60 (số)