Chuyên đề bồi dưỡng học sinh Môn: Toán 11

BÀI TẬP TÌM QUỸ TÍCH. ------------------------------------ Bài 10: Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn tâm O. A là điểm di động trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích trực tâm H của DABC. Giải: Gọi M là trung điểm của BC. Tia BO cắt đường tròn (O) tại D. Vì = 900, nên DC // AH. Tương tự AD // CH. Do đó tứ giác ADCH là hình bình hành. Từ đó suy ra: = = 2. Ta thấy không đổi không đổi nên H là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo = 2. Do đó khi A chạy trên (O) thì H chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) Qua phép tịnh tiến theo véctơ 2. Bài 11: Cho DABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, B và C cố định A di động. Gọi H là trực tâm, AD là đường kính. Chứng minh BHCD là hình bình hành. Chứng minh: Ba đường tròn ngoại tiếp 3 tam giác BHC, CHA và ABH bằng đường tròn (O). Giải: a) Ta có = 900 (Nội tiếp nửa đường tròn) Do đó BD ^ AB, CH ^ AB Þ BD // CH (1) BH // CD (vì cùng ^ AC) (2) Từ (1), (2) Þ BHCD là hình bình hành. b) Gọi M = HD Ç BC Trong DADH thì OM là đường trung bình = 2 Suy ra T2(A) = H Khi A chạy trên đường tròn tâm O thì H chạy trên đường tròn ngoại tiếp DBHC (ảnh của (O) trog phép tịnh tiến T2) Vậy đường tròn (BHC) bằng đường tròn (O). Tương tự (CHA) và (ABH) bằng đường tròn (O). Bài 12: Cho DABC cân tại A. Đường thẳng d quay quanh A. Gọi D là điểm đối xứng của C qua d, BD cắt d tại M. Tìm tập hợp điểm D và M. Giải: 1. Tập hợp điểm D Ta có A Î (d) và C, D đối xứng qua d Þ AD = AC (không đổi) Vậy D luôn cách A một khoảng không đổi. Do đó tập hợp điểm D là đường tròn tâm A, bán kính DA. 2. Tập hợp điểm M. a) Trường hợp 1: d không cắt đoạn BC thì ta có = 2 = vậy M thuộc cung của đường tròn (CAB). b) Trường hợp 2: Ta có = 1800 - 2 = 1800 - Þ + = 1800. Vậy M thuộc cung BC của đường tròn (ABC). Bài 13: Cho DABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, BC cố định, A di động trên cung BC. Gọi H là trực tâm của DABC, AH cắt đường tròn (O) tại H’. Chứng minh rằng H’ là ảnh của H qua phép đối xứng qua BC. Suy ra quỹ tích của H’. Giải: Tứ giác ABH’C nội tiếp. Ta có: = 1800 – Â Ta lại có HH’ ^ BC. Vậy H’ là ảnh của H qua phép đối xứng qua BC. Ta có = 1800 – Â không đổi. Vậy tập hợp các điểm H’ là cung tròn . Cung tròn là ảnh của cung tròn qua phép đối xứng qua BC. Bài 14: Cho đường tròn (O, R), A là một điểm cố định không trùng với tâm O, BC là một dây cung của (O), BC di động nhưng số đo cung BC luôn bằng 1200. Gọi I là trung điểm của BC. Vẽ tam giác đều AIJ. Tìm tập hợp điểm J. Giải: Ta có I là trung điểm của BC, = 1200. Suy ra OI ^ BC và = 600. Trong DOIB, ta có: OI = OB.cos = Rcos600 = Nên tập hợp I là đường tròn (O, ) Mặt khác DAIJ đều nên Suy ra J = (I) mà tập hợp I là đường tròn (O, ) nên tập hợp J là đường tròn C’ là ảnh của C (O, ) qua phép quay . Bài 15: Cho DABC, M là một điểm trên cạnh BC. Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn AM khi M di động trên cạnh BC. Giải: Ta có A cố định, A, I, M thẳng hàng và = Vậy I là ảnh của M qua phép vị tự tâm A tỉ số k = và M di động trên BC. Vậy tập hợp các trung điểm I của đoạn AM là đoạn B1C1 là ảnh của BC qua phép vị tự tâm A tỉ số k = .