Chuyên đề Đại số tổ hợp

Chuyên đề đại số tổ hợp ồ Văn Hoàng 1 1. Giai thừa : n! = 1.2...n; 0! = 1; n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n 2. Quy tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n. 3. Quy tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n. 4. Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !. 5. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách : ! , .( )!  k k k n n n k nA A C P n k . (n  N; k ≤ n) 6. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn : ! !( )!  k n nC k n k Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị 1 1 1;      k n k k k kn n n n nC C C C C 7. Công thức nhị thức Niutơn (a+b)n = 0 1 1 ... ...     n n k n k k n nn n n nC a C a b C a b C b = 0   n k k n kn k C a b Chú ý: Vế phải có n+1 số hạng .  Mũ của a và b trong mỡi số hạng có tổng bằng n .  Số hạng tổng quát thứ k+1 có dạng : Tk+1= k n k kn nC a b  Tổng các hệ số là : 2 n Một số công thức đặc biệt: 0 1(1 ) ... ...      n k k n nn n n nx C C x C x C x 0 1 ... 2 ;   n nn n nC C C 0 1 2 ... ( 1) ... ( 1) 0        k k n nn n n n nC C C C C Đặt P(x) = 0 1(1 ) ...    n n nn n nx C C x C x P(x) là đa thức bậc n nên ta có thể tính giá trị tại một điểm bất kì; lấy đạo hàm; tích phân trên một đoạn bất kì. Khi đó ta có các bài toán mới. Ví dụ: P(2001) =    0 12009 ... 2009 2010n n nn n nC C C    1 2 2 3 n-1 n n n-1n n n nP'(x)=C +2xC +3x C +...+nx C = (1+x) '=n(1+x)       1 2 3 1'(1) 2 3 ... .2n nn n n nP C C C nC n         1 2 3'( 1) 2 3 ... ( 1) 0n nn n n nP C C C nC         1 2 2 3 1 1'( ) 2 3 ... (1 )n n nn n n nP a C aC a C na C n a        1 2 2 3 3 1'( ) 2 3 ... (1 )n n nn n n nxP x xC x C x C nx C nx x            1 2 2 2 2 3 2 1 1 22 3 ... (1 ) ( 1) (1 )n n n nn n n nC xC x C n x C n x n n x x       2 3 2 4 2''( ) 2 3.2 4.3 ... ( 1) n nn n n nP x C xC x C n n x C        1 2(1 ) ' ( 1)(1 )n nn x n n x         2 3 4 2''(1) 2 3.2 4.3 ... ( 1) ( 1)2n nn n n nP C C C n n C n n         0 1 0 0 0 ( ) ( ... ) (1 ) a a a n n n n n nP x dx C C x C x dx x dx           1 0 2 1 3 2 11 1 1 (1 ) 1...2 3 1 1 n n n n n n n aaC a C a C a Cn n .... 1. Các bài toán về phép đếm: PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Thường lập luận để có thể coi mỗi sự việc mà ta phải đếm hoặc chọn là việc lấy ra k phần tử từ một tập hợp A có n phần tử (k≤ n).  Nếu k phần tử được lấy ra từ tập A không có vấn đề thứ tự thì dùng số tổ hợp chập k của n phần tư của tập A .  Nếu giữa k phần tử lấy ra từ A có vấn đề thứ tự phải chú ý  Nếu vai trò các phần tử được lấy ra từ A như nhau(nghĩa là các phần tử của A có cơ hội đồng đều trong sự lựa chọn) thì dùng số chỉnh hợp khi k< n và dùng hoán vị khi k = n.  Nếu vai trò các phần tử lấy ra từ A khác nhau thì lý luận bằng qui tắc đếm Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau. HD: Xét 2 trường hợp. ĐS:  9.8.7 8.8.7 952 . Bài 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên a) Chẵn gồm 4 chữ số ĐS : 3.63 b) Lẻ gồm 4 chữ số ĐS : 3.63 c) Chẵn không ít hơn 4 chữ số và không vượt quá 6 chữ số d) 5 chữ số khác nhau có mặt số 2 ? . e) 5 chữ số khác nhau có mặt 2 số 1 và 6 ? f) 6 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một đơn vị. HD: c) Xét 3 trường hợp TH1 : Gồm 4 chữ số . TH2 : Gồm 5 chữ số. TH3 : Gồm 6 chữ số. ĐS : 3(63 + 64 + 65) d) Chữ số 2 có có 5 vị trí vậy có 5. 25 120A .5= 600 số . e) Số 1và 6 có 25A , xếp 4 số vào 3 vị trí còn lại là 34A . ĐS 25A . 34A = 480 f) Vì tổng tất cả các số là 21 nên tổng ba số đầu là 10, ba số cuối là 11. Có 3 cặp số thoả mãn là: + Cặp 3 số đầu gồm 1, 4, 5 ba số cuối gồm 2, 3, 6. Có 3!.3! = 36 số. + Cặp 3 số đầu gồm 2, 3, 5 ba số cuối gồm 1, 4, 6. Có 3!.3! = 36 số. + Cặp 3 số đầu gồm 1, 3, 6 ba số cuối gồm 2, 4, 5. Có 3!.3! = 36 số. Vậy có: 3.36 = 108 số. Bài 3: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh 3. HD: Coi hai số 2 và 3 là một cặp. Xét 2 trường hợp: + TH1: cặp 2,3 đứng đầu, có: 2.4! = 48 số. + TH2: cặp 2, 3 đứng ở các vị trí khác, có:4.2.3.3! = 144. ĐS: 192 Bài 4:Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên 6 chữ số khác nhau và tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8. Bài 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1 và 5. Bài 6: Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ. ĐS 4: 362. .3! 1440A . ĐS B5: 355.4. 1200A . ĐS6:  3 5 4 4 5 105 10 5 10 5 3. . .C C C C C C Bài 7: Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, và 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn công tác gồm 3 nguời có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách? ĐS: 90 cách Bài 8: Có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu vừa khác số? ĐS: 64 cách Bài 9: Có bao nhiêu cách phân phối 5 đồ vật khác nhau cho 3 người, sao cho mỗi người nhận được ít nhất 1 đồ vật. ĐS: 150 cách Bài 10: Cho hình thập giác đều. 1) Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của thập giác, nhưng cạnh của tam giác không là cạnh nào của thập giác đó? ĐS: 50 tam giác; 10 hcn 2) Hỏi có thể lập được bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là đỉnh của thập giác? Bài 11: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên, Hỏi có bao nhiêu cánh xếp trong mỗi trường hợp sau: 1) Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc ngồi đối diện nhau thì khác trường. ĐS: 1) 2.6!.6! 2) 12.10.8.6.4.2.6! 2) Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường. Bài 12: Đội tuyển học sinh giỏi của trường gồm 18 em. Trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn HD:    8 8 8 818 11 12 13( ) 41811C C C C . 2. Các bài toán nhị thức, phương trình bất phương trình tổ hợp, chỉnh hợp 1) Giải các PT, BPT: a) 4 5 6 13  n n nC C C (n = 6) b) 1 22 2 2,5  n nn n nC C A (n=5) c) 4 3 4123 24( )  nn n nA A C (n ≥ 2) d) 3 22 9 nn nA C n (n{3;4}) 2) Giải bất PT hai ẩn n, k với n, k  0: 25 360( )!   kn n P A n k ĐS: (0; 0), (1; 0), (1;1), (2;2), (3; 3). 3) Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  4). Biết rằng số tập hợp con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con gồm 2 phần tử của A. ĐS: A có 18 phần tử. 4) CMR : 1 2 3 12 3 ... .2    n nn n n nC C C nC n . HD: 0 1 2 2 3 3(1 ) ...n n nn n n n nx C C x C x C x C x       Lấy đạo hàm hai vế ta có : chọn x = 1  đpcm. 5) CMR : 2 2 3 1 1 0 1 22 2 2 3 1 .... 2 3 1 1 n n n n n n nC C C C n n         HD: Xét :  2 0 (1 )nI x dx =   1 2 0 (1 ) 1 nx n =    13 1 1 n n (1 ) Mà       0 1 2 2 3 1 2 0 1 1 1( ... ) 2 3 1 n n n n n nI C x C x C x C xn Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng 2        2 3 1 0 1 22 2 22 ... 2 3 1 n n n n n nI C C C Cn (2). Từ (1) và (2)  đpcm 6) Tính : 1 0 (1 )  nI x dx và S = 0 1 21 1 1....2 3 1     nn n n nC C C Cn HD :  1 0 (1 )nI x dx =     1 1 1 0 (1 ) 2 1 1 1 n nx n n            11 2 1 0 1 0 1 0 0 ( ... ) ...2 1 n n n n n n n n n x xI C C x C dx C x C C n       0 1 21 1 1....2 3 1 n n n n nC C C Cn => S =    12 1 1 n n 7) CMR: 1 2 2 1 11 4 4 ... 4 4 5      n n n nn n nC C C HD : Khai triển : ( 1+x ) n thay x= 4  đpcm. 8) CMR: 16 0 15 1 14 2 16 1616 16 16 163 3 3 ... 2   C C C C HD: Khai triển : ( 3x-1)16 chọn x = 1  đpcm. 9) Tìm x ; y thuộc N* : 1 1 1 6 5 2      y y y x x xC C C . ĐS : x=8 ; y = 3 10) CMR : 1 2 3 12 3 ... 2    n nn n n nC C C nC n HD: Xét : (1+x) n khai triển. Lấy đạo hàm 2 vế. Chọn x = 1  đpcm . 11) Trong khai triển :  283 15 nx x x hãy tìm số hạng không chứa x . Biết : 1 2 79    n n nn n nC C C . HD: k = 5  512 792C 12) Tính 1 2 3 0 (1 )  nI x x dx . Đổi biến: u= 1+x3 có   12 13( 1)nI n Mặt khác ta có :      3 0 2 3 3 6 3(1 ) ...n n nn n n nx C C x C x C x Nhân hai vế cho x2 , lấy tích phân hai vế . Tìm nguyên hàm thế cận từ 0 −> 1 ta được vế trái . A-2002 Cho khai triển :  1 322 2 nxx  . Biết : 1 15n nC C và số hạng thứ tư bằng 20. Hãy tìm n và x ? ĐS : n = 7 và x= 4 . D-2002 Tìm n  N*: 0 1 32 4 ... 2 243    n nn n n nC C C C ĐS : Xét (1+x ) n và chọn x= 2 => n= 5. A- 2003 Tìm hệ số của x8 trong khai triển 53 1    n x x . Biết : 14 3 7( 3)   n nn nC C n . HD : K= 4 => 412 495C . B-03 Cho nN* tính:         2 3 1 0 1 22 1 2 1 2 1..2 3 1 n n n n n nS C C C Cn Xét : (1+x) n Khai triển tính tp hai vế ta có :    1 13 2 1 N n S n D2003 Với n  N*, gọi a3n - 3 là hệ số của x3n -3 trong khai triển thành đa thức của biểu thức (x2 +1)n(x+2)n. Tìm n để a3n-3 = 26n. ĐS: n = 5. A-2004 Tìm hệ số của x8 trong khai triển :[1+x2( 1-x)]8 Hd:Số hạng thứ 4 và thứ 5:    3 6 3 4 8 4 3 48 8 8 8(1 ) ; (1 ) . : 3 238.C x x C x x KQ C C D04 Tìm số hạng không chứa x: 7 3 4 1   x x (x > 0)ĐS : k = 4  35 B- 2004 Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau : 5 câu khó ;10 câu tb ; 15 câu dễ. Hỏi từ 30 câu trên lập được bao nhiêu đề kiểm tra sao cho mỗi đề có 5 câu khác nhau trong đó mỗi đề nhất thiết phải có 3 loại câu hỏi : khó ; tb ; dễ và câu dễ không ít hơn hai . Giải : Có ba THợp 2dễ + 1TB + 2 khó: 10500.  2d + 2TB +1khó: 23625  3d + 1TB + 1 khó: 22750 . Tổng : 56.875 . A- 2005Tìm số nguyên dương n sao cho :            1 2 2 3 3 4 2 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 12.2 3.2 4.2 ... (2 1)2 2005.n nn n n n nC C C C n C Xét:( 1-x) 2n+1. Khai triển, lấy đạo hàm hai vế, chọn x=2: (2n+1)=2005n=1002 B2005 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. ĐS: 4 1 4 1 4 112 3 8 2 4 1. . 207.900C C C C C C D.2005 Tính giá trị biểu thức : 4 4 1 3 ( 1)!    n nA AM n . Biết rằng : 2 2 2 2 1 2 3 42 2 149      n n n nC C C C .HD: n = 5; n = − 9(l). M= ¾ CĐ05 Cho ( 1-x)n +x(1+x) n-1=Px. Biết : a0+a1+a2+…+an = 512 . Tìm a 3=? HD: Khai triển Px= a0+a1x+a2x2+….+ anxn . Cho x=1 thì: 2n-1 = a0 + a1 + a2 +…+ an = 512 = 29  n = 10 ( 1-x)10 +x(1+x) 9  a3 =   2 39 10 84C C A2006 Tìm hệ số số hạng chứa x26 trong khai triển 74 1 n x x     , biết 1 2 3 202 1 2 1 2 1 2 1..... 2 1 n n n n nC C C C         ĐS: n =10, hệ số = 210 D2006 Có 12 HS : trong dó 5 HS lớp A; 4 HS lớp B và 3 HS lớp C . Cần 4 HS đi trực sao cho 4 HS nầy không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có mấy cách chọn . HD : Số cách chọn 4 HS: 412C . * 1A,1B;2C: 1 1 25 4 3. .C C C =60; *1A,2B;1C: 1 2 15 4 3. . 90C C C ; * 2A,1B;2C: 2 1 25 4 3. . 120C C C . ĐS : 412C - ( 60+90+120) = 495-270=225 A2007 Cm 2 1 3 5 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 ... 2 4 6 20 2 1       n n n n n nC C C C n B2007 Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2+x)n , biết rằng 0 1 1 2 2 3 33 3 3 3 ... ( 1) 2048n n n n n nn n n n nC C C C C         ĐS: n = 11, hệ số = 22 D2007 Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức sau: P = x(1-2x)5 +x2(1+3x)10 ĐS: 3320 Bdb07 Tìm x, y  N thỏa mãn hệ 2 3 3 2 22 66      x y y x A C A C . ĐK: x  2, y  3                      11 1 2 226 11 2 1 662 x x y y y y y y x x   2 3 2 3 2 2 6 6 3 2 132 (1) 3 2 .2 132 (2) x x y y y y y y x x                       2 3 2 2 6 6 3 2 132 11 11 132 0 x x y y y x x        3 2 4 3 ( ) 3 2 60 x hay x l y y y    4 5 x y Ddb07 Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: 3 2 18 49  n n nA C C . Điều kiện n  4. Ta có:  2 2 0 2 2 n n k k n k n k x C x     . Hệ số của số hạng chứa x8 là 4 42nnC  Ta có: 3 2 18 49n n nA C C    (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49  n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0  (n – 7)(n2 + 7) = 0  n = 7. Hs của x8 là 4 37 2 280C  B2008 Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 1 2 k k k n n n n n C C C         (n, k là các số nguyên dương, k ≤ n, k nC là số tổ hợp chập k của n phần tử).         11 1 1 1 1 2 k kn n n n C C =        1 2 1 1 1 1 .2 . k n k k n n Cn n C C =  !( )! 1! kn k n k n C D2008 Tìm n  N* thoả hệ thức 1 3 2 12 2 2... 2048nn n nC C C     2 0 1 2 2 3 3 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2(1 ) ...n n n n nn n n n n nx C xC x C x C x C x C         x = 1 : 2 0 1 2 3 2 1 22 2 2 2 2 22 ... (1)n n nn n n n n nC C C C C C       x = - 1 : 0 1 2 3 2 1 22 2 2 2 2 20 ... (2)n nn n n n n nC C C C C C       (1) - (2) : 2 1 3 2 1 122 2 22 2( ... ) 4096 2n nn n nC C C        n = 6. Bài tập tham khảo Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng 3 Câu 1: Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy? Giải: Có 3 trường hợp: Trường hợp 1: Tổ 1 có 3 nữ, 7 nam 3 77 26C C . Tổ 2 có 2 nữ, 9 nam 2 94 19C C . Tổ 3 có 2 nữ, 10 nam 2 102 10C C Vậy ta có: 3 7 2 97 26 4 19C C C C cách. Trường hợp 2: Tổ 1 có 2 nữ, 8 nam 2 87 26C C Tổ 2 có 3 nữ, 8 nam 3 85 18C C , Tổ 3 có 2 nữ, 10 nam 2 10 2 10C C Vậy ta có: 2 8 3 87 26 5 18C C C C cách Trường hợp 3: Tổ 1 có 2 nữ, 8 nam 2 87 26C C , Tổ 2 có 2 nữ, 9 nam 2 95 18C C , Tổ 3 có 3 nữ, 9 nam 3 93 9C C , Vậy ta có: 2 8 2 97 26 5 18C C C C cách Theo quy tắc cộng ta có: 3 7 2 9 7 26 4 19C C C C + 2 8 3 8 7 26 5 18C C C C + 2 8 2 9 7 26 5 18C C C C cách. Câu 2: Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt  2n  . Biết rằng 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n thoả mãn điều kiện trên. Giải: Số tam giác có một đỉnh thuộc d1, hai đỉnh thuộc d2 là: 210 nC Số tam giác có một đỉnh thuộc d2, hai đỉnh thuộc d1 là: 2 10nC Theo đề bài ta có: 2 2 2 1010 2800 8 560 0 20nC nC n n n        Câu 3: Từ các chữ số 0, 1,. 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau và mỗi số lập được đều nhỏ hơn 25000. Giải: Gọi 1 2 3 4 5n a a a a a chẵn,  , 25000i ja a i j n   . Vì  125000 1;2n a   ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: a1 = 1. Ta có 1 cách chọn a1. Ta có 4 cách chọn a5 ( n chẵn). 35A cách chọn 2 3 4a a a . Vậy ta có: 3 51.4. 240A  số n. Trường hợp 2: a1 = 2, a2 chẵn nhỏ hơn 5. Ta có 1 cách chọn a1. Ta có 2 cách chọn a2. Ta có 2 cách chọn a5. 24A cách chọn a3a4. Vậy ta có: 241.2.2. 48A  số n. Trường hợp 3: a1 = 2, a2 lẻ nhỏ hơn 5. Ta có 1 cách chọn a1. Ta có 2 cách chọn a2 Ta có 3 cách chọn a5 . 24A cách chọn a3a4 Vậy ta có; 241.2.3. 72A  số n. Theo quy tắc cộng ta có: 240 48 72 360   số n. Câu 4: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau. Giải: Số cách chọn hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau từ 3 chữ số 1, 3, 5 là: 35 6A  cách. Ta xem mỗi cặp số lẻ như một phần tử x.Vậy mỗi số cần lập gồm phần tử x và 3 trong 4 chữ số chẵn 0, 2, 4, 6. Gọi 4 3 2 1 0n a a a a a . ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: a0 = 0. Đưa x vào 4 vị trí đầu: Có 3 cách. Đưa 2 chữ số chẵn 2,4, 6 vào 2 vị trí còn lại có 23A cách. Vậy có: 233. 18A  cách. Trường hợp 2: a0 chẵn khác 0 và x ở hai vị trí a3a4. Có 2 33. 18A  cách.. Trường hợp 3: a0 chẵn khác 0 và x ở hai vị trí a3a2 hoặc a2a1. Có 24 cách. Vậy ta có:  6 18 18 24 360   số n. Câu 5: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó. Giải: Cách 1: Gọi 4 3 24 3 2 1 0 4 3 2 1 0.10 .10 .10 10n a a a a a a a a a a      là số cần lập. Ta có 4 cách chọn a4, 4 cách chọn a3, 3 cách chọn a2, 2 cách chọn a1, 1 cách chọn a0. Vậy có: 4.4.3.2.1 96 số n. Cách 2: Ta có 4 cách chọn và 4! Cách sắp xếp 4 số còn lại. Vậy có: 4. 4! = 96 số n. * Tính tổng 96 số n lập được: Cách 1: Có 24 số n 4 3 2 1 0n a a a a a , có 18 số 4 3 2 11n a a a a , có 18 số 4 3 2 12n a a a a , có 18 số 4 3 2 13n a a a a , có 18 số 4 3 2 14n a a a a . Tổng các chữ số hàng đơn vị là: 18(1 2 3 4) 180    . Tương tự: Tổng các chữ số hàng chục là 1800, tổng các chữ số hàng trăm là 18000, tổng các chữ số hàng nghìn là 180000. Có 24 số 3 2 1 01n a a a a , có 24 số 3 2 1 02n a a a a , có 24 số 3 2 1 03n a a a a , có 24 số 3 2 1 04n a a a a . Tổng các chữ số hàng chục nghìn là 24(1 2 3 4).10000 2400000    Vậy tổng 96 số n là: 180 1800 18000 180000 2400000 2599980     Cách 2: Có 24 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4) đứng ở vị trí a4. Có 18 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4) đứng ở vị trí ai, với i = 0, 1, 2, 3. Vậy tổng 96 số n là: 4 3 2 1 0(1 2 3 4) 24.10 18(10 10 10 10 )         Câu 6: áp dụng khai triển nhị thức Niu tơn của  1002x x , chứng minh rằng: 99 100 198 199 0 1 99 100 100 101 100 100 1 1 1 1100 101 .. 199 200 0 2 2 2 2 C C C C                          . ( knC là tổ hợp chập k của n phần tử) Giải: Ta có:  1002 0 100 1 101 2 102 100 200100 100 100 100..x x C x C x C x C x      , lấy đạo hàm hai vế, cho 1 2 x   và nhân hai vế với ( -1), ta có kết quả: 99 100 198 199 0 1 99 100 100 101 100 100 1 1 1 1100 101 .. 199 200 0 2 2 2 2 C C C C                          Câu 7: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8. Giải: Gọi 1 2 3 4 5 6n a a a a a a là số cần lập. Yêu cầu bài toán:  3 4 5 3 4 58 , , 1,2,5a a a a a a     hay  3 4 5, , 1,3,4a a a  a) Khi  3 4 5, , 1,2,5a a a  . Có 6 cách chọn a1; có 5 cách chọn a2. Có 3! Cách chọn a3, a4, a5. Có 4 cách chọn a6. Vậy ta có: 6.5.6.4 720 số n. b) Khi  3 4 5, , 1,3,4a a a  tương tự ta cũng có 720 số n. Theo quy tắc cộng ta có: 720 + 720 = 1440 số n . Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng 4 Cách khác: * Khi  3 4 5, , 1,2,5a a a  . Có 3! = 6 cách chọn 3 4 5a a a , có 3 6A cách chọn a1, a2, a6. Vậy ta có: 6.5.6.4 720 số n. * Khi  3 4 5, , 1,3,4a a a  , tương tự ta cũng có 720 số n. Theo quy tắc cộng ta có: 720 + 720 = 1440 số n . Câu 8: Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa thức  22 3 nx , trong đó n là số nguyên dương thoả mãn: 1 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1... 1024 n n n n nC C C C          . ( knC là tổ hợp chập k của n phần tử) Giải:Ta có:  2 1 0 1 2 2 3 3 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 11 ...n n nn n n n nx C C x C x C x C x             Cho x = 1, ta có:  2 1 0 1 2 3 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 12 ... 1n nn n n n nC C C C C           Cho x = -1, ta có:  0 1 2 3 4 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 10 ... 2nn n n n n nC C C C C C             Lây (1) – (2) 2 1 1 3 5 2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 ... n n n n n nC C C C              2 1 3 5 2 1 10 2 1 2 1 2 1 2 12 ... 1024 2 n n n n n nC C C C            Vậy 2n = 10. Ta có:   1010 1010 0 2 3 ( 1) 2 (3 )k k k k k x C x     . Suy ra hệ số của x7 là: 7 7 310.3 .2C hay 3 7 310.3 .2C Câu 9: Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người biết rằng trong đó phải có ít nhất 3 nữ. Giải: Ta có 3 trường hợp: * 3 nữ và 5 nam: có 3 55 10 2520C C  cách. * 4 nữ và 4 nam: Có 4 45 10 1050C C  cách. * 5 nữ và 3 nam: có 5 35 10 120C C  cách Theo quy tắc cộng, ta có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách. Câu 10: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1, 5. Giải: Gọi 1 2 3 4 5n a a a a a là số cần lập. Ta có thể xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí 25 4.5 20A   cách. Xếp 1, 5 rồi ta có 5 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại đầu tiên 4 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại thứ 2. 3 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại thứ 3 * Theo quy tắc nhân ta có: 25 .5.4.3 20.60 1200A   số n. Cách khác: Bước 1: Xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: Ta có: 25 4.5 20A   cách. Bước 2: Có 35 3.4.5 60A   cách bốc 3 trong 5 số còn lại rồi xếp vào 3 vị trí còn lại. Vậy có 20. 60 = 1200 số n thoả mãn yêu cầu bài toán. Câu 11: Tìm  0;1;2;........;2005k  sao cho 2005kC đạt giá trị lớn nhất ( với knC là tổ hợp chập k của n phần tử). Giải: 2005 kC lớn nhất  12005 20051 2005 2005 k k k k C C k N C C       2005! 2005! 1 2005!(2005 )! ( 1)!(2004 )! 2005! 2005! 2006 !(2005 )! ( 1)!(2006 )! k kk k k k k k k k k k                 1002 1002 1002 1003, 1003 1003 k k k k N k k            . Câu 12: Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn đẳng thức: 2 22 6 12n n n nP A P A   ( Pn là số hoán vị của n phần tử và k nA là số chỉnh hợp chập k của n phần tử). Giải: Ta có:  2 22 6 12 , 1n n n nP A P A n N n     6. ! ! ! 6. !2. ! ! 12 2(6 !) 0 ( 2)! ( 2)! ( 2)! ( 2)! n n n nn n n n n n n           2 6 ! 0 3! 6 2 ! 2 0 ( 1) 2 0 32 0( 2)! n nn n n n n nn n n                    ( Vì 2n  ) Câu 13: Tìm ,x y N thoả mãn hệ: 2 3 3 2 22 66 x y y x A C A C      Giải: Với điều kiện: 2, 3x y  , ta có:     2 3 22 3 3 2 23 2 1( 1) ( 1)( 2) 22 6 6 3 2 132 (1)22 6 1 3 2 .2 132 266 ( 1)( 2) ( 1) 66 2 x y y x x x y y y x x y y yA C y y y x xA C y y y x x                                  2 3 2 2 3 2 4 36 6 3 2 132 11 11 132 0 3 2 60 x hay x loaix x y y y x x y y y                    2 4 4 5( 5)( 2 12) 0 x x yy y y           Câu 14: Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệ khác A, B, C, D. Tìm n biết số tam giác có 3 đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439. Giải: Nếu 2n  thì 6 8n   . Do dó số tam giác có 3 đỉnh được lấy từ n + 6 điểm không vượt quá 38 56 439C   ( loại). Vậy 3n  . Vì mỗi tam giác được tạo thành ứng với 1 tổ hợp 3 chập n + 6 phần tử. Nhưng trên cạnh CD có 3 đỉnh, trên cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là: 3 3 3 6 3 ( 4)( 5)( 6) ( 2)( 1)1 439 6 6n n n n n n n nC C C            2 ( 4)( 5)( 6) ( 2)( 1) 2540 4 140 0 10 14 n n n n n n n n n hay n loai                 Đáp số: n = 10. Câu 15: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau? Giải: Gọi 1 2 3 4n a a a a là số cần lập. * Trường hợp 1: a4 = 0, ta có: 8 cách chọn a1 ( Vì 1 2a  ). Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng 5 8 cách chọn a2, 7 cách chọn a3; 1 cách chọn a4. Vậy ta có: 8. 8. 7.1 = 448 số n . * Trường hợp 2: 4 0a  vì a4 chẵn. Ta có: 4 cách chọn a4; 7 cách chọn a1; 8 cách chọn a2; 7 cách chọn a3. Vậy ta có: 4 . 7. 8 . 7 = 1568 số n. Vậy cả hai trường hợp ta có: 448 + 1568 = 2016 số n Câu 16: Chứng minh rằng: 2 1 3 5 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1.... 2 4 6 2 2 1 n n n n n nC C C Cn n        ( n là số nguyên dương, knC là tổ hợp chập k của n phần tử). Giải: Ta có:    2 20 1 2 2 0 1 2 22 2 2 2 2 21 ... , 1 ...n nn n n nn n n n n nx C C x C x x C C x C x                2 2 1 3 3 2 1 2 1 2 2 2 1 12 2 1 3 3 2 1 2 1 2 2 2 0 0 1 (1 ) 2 ... (1 ) (1 ) ..... 2 n n n n n n n n n n n n n n x x C x C x C x x x C x C x C x dx                      1 2 2 2 1 2 1 210 0 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2 1 1 2 2(2 1) 2 1 n n n n nx x x x n n                1 1 3 3 2 1 2 1 2 2 2 0 12 4 1 3 2 2 2 2 2 0 1 3 2 1 2 2 2 ..... . . ... 2 4 1 1 1... 2 2 4 2 n n n n n n n n n n n n n n C x C x C x dx x xC C C x C C C n                   Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. Câu 17: Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức:  5 2 101 2 (1 3 )x x x x   Giải: Hệ số của x5 tron