Phương pháp quy nạp toán học

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Mục tiêu: Về kiếân thức: giúp học sinh nắm vững được: Thế nào là phương pháp quy nạp. Về kĩ năng: Biết cách giải toán bằng phương pháp quy nạp Vận dụng vào làm được bài tập sách giáo khoa Về tư duy, thái độ: Có nhiều sáng tạo, tích cực phát huy tính độc lập sáng tạo trong học tập. Tư duy các vấn đề của toán học, thực tế một cách lôgic và hệ thống. Cẩn thận trong tính toán và trình bày. Tích cực hoạt động trả lời câu hỏi Phương pháp và phương tiện dạy học: Phương pháp: Sử dụng phương pháp diễn giải, đặt vấn đề. Phương tiện: Giáo án, sách giáo khoa, bảng phụ. Phấn màu. Chuẩn bị: Giáo viên: giáo án, phấn màu, bảng phụ Học sinh: xem trước bài mới. Tiến trình bài học: Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số. Kiểm tra bài cũ. Bài mới Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Hoạt động 1: Giới thiệu phương pháp quy nạp toán học - Treo bảng phụ kẻ bảng xét tính đúng sai của mệnh đề P(n), Q(n) trong hoạt động 1. - Cho học sinh xét xem với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì mệnh đề P (n), Q (n) đúng hay sai? - Q(n) đúng với n = 1, 2, 3, 4, 5. Vậy Q(n) đúng với mọi đúng không? - Muốn chứng tỏ một mệnh đề chứa biến đúng ta phải làm thế nào? - Muốn chứng tỏ mệnh đề chứa biến sai, ta phải làm thế nào? - Dù Q(n) đúng với n = 1,2,3,4, 5 nhưng chưa thể kết luận Q(n) đúng với mọi được, ta lại không thể thử hết tất cả các giá trị nên phải sử dụng một phương pháp là phương pháp quy nạp toán học. n 2n Q(n) 1 2 3 4 5 2 4 8 16 32 Đ Đ Đ Đ Đ n 3n n + 100 P(n) 1 2 3 4 5 3 9 27 81 243 101 102 103 104 105 Đ Đ Đ Đ S Chưa thể kết luận được vì ta chưa kiểm tra với n = 6, 7, 8... - Để chứng tỏ một mệnh đề chứa biến đúng ta cần chứng minh nó đúng trong mọi trường hợp. - Để chứng tỏ một mệnh đề chứa biến sai ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp sai. Để chứng minh một mệnh đề chứa biến đúng với mọi bằng phương pháp quy nạp toán học ta tiến hành 2 bước: Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=1 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1. Hoạt động 2: Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Chứng minh với , ta có đẳng thức (1) - Kiểm tra rằng (1) đúng với n=1 - Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k > 1 ta có đẳng thức nào đúng? - Vì ta đã giả sử (1) đúng với n = k ³1 nên ta thay giá trị của Sk vào Sk+1 để chứng minh (1) cũng đúng với n = k+1. - Giáo viên làm từng bước để học sinh theo dõi. - Lưu ý học sinh sau khi chứng minh xong phải ghi kết luận. Ví dụ 2 Chứng minh với thì n3 – n chia hết cho 3 Hướng dẫn học sinh làm từng bước bằng phương pháp quy nạp toán học: - Yêu cầu học sinh thực hiện bước 1. - Giả sử với n = k ³ 1 đúng nghĩa là ta có điều gì? - Cần chứng minh điều gì? - Hướng dẫn học sinh tách VP thành Ak cộng với một thành phần chia hết cho 3. - Trình bày kết quả: Bước 1: n = 1 (1) đúng khi n=1 Bước 2: đặt VT = Sn Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k ³1, tức là: Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với n = k+1, tức là: Theo giả thiết quy nạp ta có: =+ =+ = = (đpcm) Vậy (1) đúng với mọi Đặt An = n3 – n Với n = 1 ta có: A1 = 13 – 1 = 0 3 Giả sử với n = k ³ 1 ta có Ak = (k3 – k) 3 Ta phải chứng minh Ak+1 3, thực vậy ta có: Ak+1 = (k + 1)3 – (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 – k - 1 = (k3 – k) + 3(k2 + k) = Ak + 3(k2 + k) Theo giả thiết quy nạp Ak 3 và 3(k2 + k) 3 nên Ak+1 3 Vậy An = n3 – n chia hết cho 3 với mọi Hoạt động 3: Chú ý cho trường hợp tổng quát Yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động 3 sgk - So sánh 3n và 8n với - Dự đoán 3n > 8n khi nào? - Lưu ý: n ³ 3 khác với , vậy ta có thử với n = 1 nữa không Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ³ p (p là 1 số tự nhiên thì) - Ở bước 1 ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p - Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên bất kì n = k ³ p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1 n 3n So sánh 8n 1 1 < 8 2 9 < 16 3 27 > 24 4 81 > 32 5 243 > 40 - Dự đoán 3n > 8n với mọi n là số tự nhiên và n ³ 3 - Không, ta thử với n = 3 Củng cố: Để chứng minh một bài toán bằng phương pháp quy nạp ta cần làm theo 2 bước. Xem lại các ví dụ đã giải.