Chuyên đề Dùng phương pháp cực hạn giải phương trình nghiệm nguyên

Dùng phương pháp cực hạn giải phương trình nghiệm nguyên A - Phần mở đầu I- Đặt vấn đề Trong quá trình học toán ở trường THCS học sinh cần biết cách tổ chức công việc của mình một cách sáng tạo. Người thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng, độc lập suy nghĩ một cách sâu sắc, sáng tạo. Vì vậy đòi hỏi người thầy một sự lao động sáng tạo biết tìm tòi ra những phương pháp để dạy cho học sinh trau dồi tư duy logic giải các bài toán. Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS nhiều năm tôi nhận thấy việc giải các bài toán ở chương trình THCS không chỉ đơn giản là đảm bảo kiến thức trong SGK, đó mới chỉ là những điều kiện cần nhưng chưa đủ. Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải các bài toán đa dạng, giải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mỉ, để tự tìm ra đáp số của chúng. Muốn vậy người thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều tình huống khác nhauđể tạo hứng thú cho học sinh. Một bài toán có thể có nhiều cách giải, mỗi bài toán thường nằm trong mỗi dạng toán khác nhau nó đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức trong nhiều lĩnh vực nhiều mặt một cách sáng tạo vì vậy học sinh phải biết sử dụng phương pháp nào cho phù hợp. Các dạng toán về số học ở chương trình THCS thật đa dạng phong phú như: Toán về chia hết, phép chia có dư, số nguyên tố, số chính phương, phương trình nghiệm nguyên……. Đây là một dạng toán có trong SGK lớp 9 nhưng chưa đưa ra phương pháp giải chung. Hơn nữa phương trình nghiệm nguyên có rất nhiều trong các đề thi:Tốt nghiệp THCS ;Trong các đề thi học sinh giỏi huyên, học sinh giỏi tỉnh …. Song khi giải các bài toán này không ít khó khăn phức tạp. Từ thực tiễn giảng dạy tôi thấy học sinh hay bế tắc, lúng túng về cách xác định dạng toán và chưa có nhiều phương pháp giải hay. Tôi xin đưa ra một cách giải phương trình nghiệm nguyên sử dụng đối với một số bài toán vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau. Trong quá trình viết do điều kiện và kinh nghiệm không tránh khỏi khiếm khuyết. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp. nội dung Phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú nó có thể là phương trình một ẩn, nhiều ẩn. Nó có thể là phương trình bậc nhất hoặc bậc cao. Không có phương pháp chung để giải phương trình nghiệm nguyên nhưng để giải nó người ta thường áp dụng phương pháp phân tích, sử dụng tính chẵn lẻ, dùng bất đẳng thức…hoặc kết hợp các phương pháp tuỳ theo từng bài cụ thể. Sau đây là một phương pháp thường dùng. Phương pháp cực hạn Sử dụng đối với 1 số bài toán vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau. Phương trình có dạng: a(x1+x2+…+xn) + b = cx1x2…xn ; a,b,c,. Vỡ x1, x2…, xn c ú vai trũ như nhau nờn giả sử 1x1x2…xn. Khi đó 1.Trường hợp n = 2.Phương trình có dạng a(x+ y) + b = cxy.(1) Giả sử 1xy. (1) ú 2.Trường hợp n > 2 a(x1+x2+x3+…+xn) + b = cx1x2…xn Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x+y+z = xyz (1). Vì x, y, z có vai trò như nhau nên ta có thể giả sử 1 x yz. Từ (1) suy ra: Thay x = 1 vào (1) ta được 1+y+z = yz. => (y-1)(z-1) = 2 = 1.2 => y = 2; z = 3 ( Vì y -1 z - 1) Vậy (1) có 6 nghiệm nguyên là các hoán vị của (1;2;3). Ví dụ 2 : Tìm nghiệm nguyêndương của phương trình: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt Hướng dẫn: Ta giả sử x ³ y ³ z ³ t ³ 1 Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt Û 2 = + + + + Ê ị t 3 Ê 15 ị t = 1 hoặc t = 2 * Với t = 1 ta có 5 (x+ y + z + 1) + 10 = 2 xyz Û 2 = + + + Ê ị Ê 15 ị z = Nếu z = 1 có 5 (x+ y ) + 20 = 2xy Û (2x – 5) (2y - 5) = 65 ị x = 35 hoặc x = 9 y = 3 y= 5 Ta được nghiệm ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị của chúng Với z = 2; z = 3 phương trình không có nghiệm nguyên * Với t = 2 thì 5 (x+ y + z ) + 20 = 4 xyz Û 4 = + + + Ê ị Ê Ê 9 ị z = 2 (vì z³ t³ 2) ị (8x – 5) (8y – 5) = 265 Do x³ y³ z ³ 2 nên 8x – 5 ³ 8y – 5 ³ 11 ị (8x – 5) (8y – 5) = 265 vô nghiệm vậy nghiệm của phương trình là bộ (x, y, z) = ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z + t = xyzt Hướng dẫn: Ta giả sử 1Ê xÊ y Ê z Ê t có xyzt = x + y + z +t Ê 4t Vì t nguyên dương ị xyz Ê 4 ị xyz ẻ{1,2,3,4} Nếu xyz = 1 ị x = y = z = 1 ị 3+t = t ( loại) Nếu xyz = 2 mà x Ê y Ê z ị x = 1; y=1; z = 2 ị t = 4 Nếu xyz = 3 mà x Ê y Ê z ị x = 1; y=1; z = 3 ị t = 5/2 ( loại ) Nếu xyz = 4 mà x Ê y Ê z ị x = 1; y=1; z = 4 hoặc x = 1; y=2; z = 2 ị t = 2 ( loại vì t ³ z) hoặc t = 5/4 ( loại ) Vậy nghiệm của phương trình là bộ ( x;y;z) = (1;1;2;4) và các hoán vị của chúng. Một số bài tập Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : a/ 2(x+y) + 16 = 3xy. b/2(x+y+z ) + 9 = 3xyz. c/ 5(x + y + z + t) + 7 = xyzt.