Chuyên đề Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao một ẩn

chuyên đề bồi dưỡng HS khá , giỏi môn toán 9 Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao một ẩn Hơn bốn nghìn năm trước đây , người Hi Lạp đã biết cách giải các phương trình bậc nhất và bậc hai Phương trình bậc 3 Năm 1526 nhà toán học I-ta-li-a là Phe-rô mới tìm được cách giải phương trình bậc 3 dạng x3 + ax = b với a , b > 0 Năm 1535 nhà toán học Tac-ta-li-a đã tìm được cách giải tổng quát phương trình x3 + ax + b = 0 với mọi giá trị của a , b Năm 1545 nhà toán học Các-đa-nô đã công bố công thức tìm nghiệm của phương trình bậc ba Phương trình bậc 4 Năm 1545, nhà toán học I-ta-li-a là phe-ra-ri đã tìm ra cách giải tổng quát phương trình bậc bốn Phương trình bậc cao hơn 4 Trong các thế kỷ 17 và 18 các nhà toán học đã mất rất nhiều công sức để tìm cách giải tổng quát phương trình bậc 5 , bậc 6 nhưng không thành công Đến đầu thể kỷ 19 thì hai nhà toán học nguời Na-uy là A-ben và nhà toán học nguời Pháp là Ga-loa đã giải quyết vấn đề có thể giải phương trình bậc cao hơn bốn bằng căn thức hay không. A-ben đã chứng minh được rằng các phương trình bậc cao hơn bốn dưới dạng tổng quát không thể giải được bằng căn thức . Tức là không thể biểu thị được các nghiệm của phương trình đó bằng các phép toán : cộng , trừ , nhân , chia , luỹ thừa và khai căn Còn Ga-loa chỉ ra được dấu hiệu nhận biết một phương trình bậc cao hơn bốn có thể giải được bằng căn thức hay không , bằng một lý thuyết độc đáo mà sau này mang tên ông : lý thuyết nhóm Vậy là các phương trình bậc cao hơn bốn dưới dạng tổng không thể giải được bằng căn thức Mặt khác đối với học sinh lớp 9 đã biết giải phương trình bậc nhất và bậc hai dưới dạng tổng quát . Còn cách giải tổng quát của phuơng trình bậc ba và bậc bốn thì phức tạp đối với học sinh phổ thông Như vậy không có phương pháp chung để giải tất cả các phương trình bậc cao mà phải căn cứ vào từng phương trình , để tìm các giải thích hợp Sau đây xin đề cập đến một số phương pháp riêng để giải phương trình đa thức bậc cao hơn 2, nhằm bồi dưỡng học sinh khá giỏi của lớp 9 Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao Phương pháp biến đổi về phương trình tích. Một trong các phương pháp riêng giải phương trình đa thức bậc cao là phân tích đa thức thành nhân tử có bậc thấp hơn để đưa việc giải phương trình đã cho về giải một phương trình tích Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 5x3 - 6x2 - 2x3 + 3 = 0 Giải Nhận xét : Nếu phương trình trên có nghiệm nguyên thì số này phải là ước của 3. Ta thấy đa thức 5x3 - 6x2 - 2x3 + 3 có nghiệm nguyên x = 1 . Vậy khi phân tích đa thức này thành nhân tử thì đa thức này chứa nhân tử x - 1. 5x3 - 6x2 - 2x3 + 3 = 0 Û 5x3 - 5x2 - x2 + x - 3x + 3 = 0 Û (x - 1)(x2 - x - 3) = 0 Û x- 1 = 0 hoặc x2 - x - 3 = 0 x2 - x - 3 = 0 Û x = hoặc x = Phưong trình Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x1 = 1 x2 = x3 = Ví dụ 2: Giải phương trình : x4 + 12x3 + 32x2 - 8x - 4 = 0 Giải Nhận xét : Ta thấy phương trình này không có nghiệm nguyên x4 + 12x3 + 32x2 - 8x - 4 = 0 Û (x4 + 12x3 + 36x2) - (4x2 + 8x + 4) = 0 Û (x2 + 6x)2 - (2x + 2)2 = 0 Û (x2 + 8x +2)(x2 + 4x -2) = 0 Û x2 + 8x + 2 = 0 hoặc x2 + 4x - 2 = 0 x2 + 8x + 2 = 0 Û x = hoặc x = x2 + 4x - 2 = 0 Û x = hoặc x = Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = II. Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 3 : Giải phương trình (x2 + x + 2)2 - 12(x2 + x + 2) + 35 = 0 Giải Đặt x2 + x + 2 = y . Ta có phương trình y2 - 12y + 35 = 0 Û y = 5 hoặc y = 7 Với y = 5 Û x2 + x - 3 = 0 Û x = hoặc x = Với y = 7 Û x2 + x -5 = 0 Û x = hoặc x = Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = Ví dụ 4: Giải phương trình (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 3 = 0 Giải Đặt x2 + 5x + 5 = y. Ta có phương trình (y - 1)(y + 1) - 3 = 0 Û y2 = 4 Û y = 2 hoặc y = -2 Với y = 2 Û x2 + 5x + 3 = 0 Û x = hoặc x = Với y = -2 Û x2 + 5x + 7 = 0 phưong trình này vô nghiêm vì D < 0 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = ; x2 = Ví dụ 5 : Giải phương trình (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 Giải (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 Û (x2+ 8x + 7)(x2 + 8x + 15) - 9 = 0 Đặt x2 + 8x + 11 = y Ta có phương trình (y - 4)(y + 4) - 9 = 0 Û y2 = 25 Û y = 5 hoặc y = -5 Với y = 5 Û x2 + 8x + 6 = 0 Û x = hoặc x = Với y = -5 Û x2 + 8x + 16 = 0 Û (x + 4)2 = 0 Û x = -4 Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x1 = ; x2 = ; x3 = -4 Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: a) 3x4 - 22x2 - 45 = 0 b) x6 - 9x3 + 8 = 0 Bài 2: Giải các phương trình sau: a) 2x3 - 11x2 + 2x + 15 = 0 b) x4 + x2 + 6x - 8 = 0 c) x4 + 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0 Hướng dẫn: c) x4 + 4x3 + 3x2 - 2x - 1 = 0 Û (x2 + 2x)2 - (x - 1)2 = 0 Û (x2 + x + 1)(x2 + 3x - 1) = 0 Bài 3: Giải các phương trình sau a) x(x2 - 1)(x + 2) + 1 = 0 b) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = 4 c) (x - 1)(x -2)(x + 4)(x + 5) =112 ---------------------------@------------------------ Một số dạng phương trình bậc cao đặc biệt I . Phương trình đối xứng (phương trình thuận nghịch) Định nghĩa: Phương trình có dạng anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x + a0 = 0 ( a ạ 0). Trong đó các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối bằng nhau ( an = a0 ; an-1 = a1; ...... ). Gọi là phương trình đối xứng Nếu n là số chẵn ta gọi là phương trình đối xứng bậc chẵn, còn n là số lẻ ta gọi là phương trình đối xứng bậc lẻ . Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình đối xứng a) 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0 (1) ( Đối xứng bậc 4) b) 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 ( Đối xứng bậc 5) 1. Phương trình đối xứng bậc chẵn: a ) Cách giải: + Chia cả hai vế cho + Đặt x + = y (1) + Biểu diễn: + Thay giá trị vừa tìm được của y tìm giá trị của x b) Ví dụ: Giải phương trình sau : 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0 (1) ( Đối xứng bậc bốn) Giải Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình . Chia cả hai vế cho x2 ạ 0 ta có phương trình : 2x2 + 3x - 16 + 3 + = 0 2 = 16 = 0 Đặt x + = y (2) ị = y2 - 2 . Ta có phương trình 2y2 + 3y - 20 = 0 có nghiệm y = -4 , y = . Thứ tự thay y = -4 và y = . vào (2) ta có x1 = -2 + ; x2 = -2 - ; x3 =2 ; x4 = c) Lưu ý : Nếu m là nghiệm của phương trình đối xứng bậc chẵn thì cũng là nghiệm của phương trình đó . 2. Phương trình đối xứng bậc lẻ a) Cách giải : Vì x = -1 luôn là nghiệm của phương trình đối xứng bậc lẻ . Nên phương trình đã cho trở thành phương trình (x + 1).f(x) = 0 Trong đó f(x) = 0 là một phương trình đối xứng bậc chẵn Do đó ta đưa việc giải phương trình dối xứng bâc lẻ về giải phương trình đối xứng bậc chẵn f(x) = 0 và phương trình x + 1 = 0 b) Ví dụ: Giải phương trình 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 Giải Phương trình đã cho là phương trình đối xứng bậc 5 2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 Û (x +1)(2x4 + x3 - 6x2 + x + 2) = 0 Û Phương trình đối xứng bậc chẵn 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0 đã được giải ở trên Vậy phương trình đã cho có năm nghiệm x1 = -2 + ; x2 = -2 - ; x3 =2 ; x4 = ; x5 = -1 Bài tập Bài 4: Giải các phương trình sau a) x4 + 5x3 - 12x2 + 5x + 1 = 0 b) x5 + 2x3 - 3x3 - 3x2 + 2x + 1 = 0 c) 6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6 = 0 c) 6x5 - 29x4 + 27x3 - 29x + 6 = 0 Bài 5: Giải các phương trình sau a) x4 - 3x2 + 6x2 + 3x + 1 = 0 b) x5+ 4x4 + 3x2 - 4x + 1 = 0 Bài 6: Giải phương trình a) 2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = 0 b) 2x8 - 9x7 + 20x6 - 33x5 + 46x4 - 66x3+ 80x2 - 72x + 32 = 0 II. Phương trình dạng: (x - a)(x - b)(x - c) (x - d) = Ax2 ( Trong đó ab = cd) a) Cách giải : Đặt x + b) Ví dụ : Giải phương trình 4 (x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x2 Hướng dẫn 4(x + 6) (x + 10) (x + 5)(x + 12) = 3x2 Û 4(x2 + 16x + 60) (x2 + 17x + 60) = 3x2 (1) Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình . Chia cả hai vế của phương trình (1) cho x2 ạ 0 . Ta được phương trình : 4 Đặt x + 17 + = y Ta có phương trình 4(y - 1)y - 3 = 0 Û 4y2 - 4y - 3 = 0 Û y = hoặc y = Từ đó ta giải hai phương trình x + 17 + = và x + 17 + = Bài tập Bài 7: Giải các phương trình sau: a) (x + 2)(x + 3)(x+ 8)(x + 12) = 4x2 b) (x - 1)(x - 2)(x - 4)(x - 8) = 4x2 III. Phương trình dạng: (x - a)4 + (x - b)4 = A a) Ví dụ: Giải phương trình (x - 6)4 + ( x- 8)4 = 16 Giải Đặt x - = x - 7 = y phương trình trở thành (y - 1)4 + (y + 1)4 = 16 Û y4 + 6y2 - 7 = 0 Đặt y2 = z ( z ³ 0) phương trình trở thành z2 + 6z - 7 = 0 ị z1 = 1 ; z2 = -7 (Loại) Với z = 1 ị y = 1 hoặc y = -1 ị x = 8 hoặc x = 6. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 8 ; x2 = 6. b) Lưu ý: Khi giải phương trình bậc bốn dạng ta thường đặt ẩn phụ để đưa phương trình đã cho về phương trình trùng phương Bài tập Bài 8: Giải các phương trình a) (x + 6)4 + (x + 4)4 = 82 b) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16 Bài 9: Giải các phương trình a) (x + 1)4 + (x + 5)4 = 40 b) ( x- 2)6 - (x - 4)6 = 64 Kết luận: Nói chung là không có phưong pháp tổng quát chung nào để giải tất cả các phương trình bậc cao. Tuỳ dạng phương trình bậc cao cụ thể mà ta chọn phương pháp giải riêng thích hợp. ở trên đã nêu một số dạng phương trình bậc cao đặc biệt và cách giải . Các em HS có thể tìm một số dạng phương trình bậc cao đặc biệt khác và cách giải những phương trình đó ---------------------------Hết----------------------- Các chuyên đề bồi dưỡng HS giỏi 9 Hệ thống lý thuyết hệ thống bài tập gợi mở phat triển Trường hợp đặc biệt: Phương trình trùng phương + Định nghĩa: Phương ttrình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a ạ 0) + Cách giải: - Đặt x2 = y ³ 0 - Giải phương trình ay2 + by + c = 0. - Thay giá tri tìm được của y ³ 0 vào x2 = y để tìm các giá trị của x. + Ví dụ: Giải phương trình: x4 + 2x2 - 3 = 0 Phụ lục: Phương trình đối xứng Phương trình đối xứng đối xứng bậc chẵn Định nghĩa: Ta gọi phương trình (a2nx2n + a2n-1x2n-1 + ... + an+1xn+1 + anxn + trong đó a2n ≠ 0 và ai = a2n-i . kn-i i = 0 ; 1; 2; ...; n-1 là phương trình thuận nghịc bậc chẵn