Chuyên đề Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ

Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này : - Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ - Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ Tiến hành giải quyết phương trình vừa tạo ra này . Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích hợp. - Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm * Nhận xét : - Cái mấu chốt của phương pháp này chính là ở bước đầu tiên . Lí do là nó quyết định đến toàn bộ lời giải hay, dở , ngắn hay dài của bài toán . - Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôi muốn nêu ra trong bài viết này đó là : + PP Lượng giác hoá + PP dùng ẩn phụ không triệt để + PP dùng ẩn phụ đưa về dạng tích + PP dùng ẩn phụ đưa về hệ 2I. Phương pháp lượng giác hoá : 1. Nếu |x| a thì ta có thể đặt tax sin ,t      2 ; 2  hoặc  ;0,cos  ttax Ví dụ 1 : Giải phương trình: )121(11 22 xxx  Lời giải : ĐK :| 1|x Đặt      2 ; 2 ,sin  ttx Phương trình đã cho trở thành :              2 cos 2 3 sin22sinsin 2 cos2)cos21(sincos1 tt tt t ttt                                 3 4 6 )12( 2 1 2 3 sin 0 2 cos 0)1 2 3 sin2( 2 cos   kt kt t t tt Kết hợ p với điều kiện của t suy ra : 6 t Vậy phương trình có 1 nghiệm : 2 1 6 sin      x Ví dụ 2 : Giải phương trình:   3 1 3 2 )1()1(11 2 332 xxxx  Lời giải : ĐK : 1|| x Khi đó VP > 0 . Nếu   0)1()1(:0;1 33  xxx Nếu   0)1()1(:1;0 33  xxx . Đặt tx cos , với     2 ;0  t ta có : ttt tttt sin2sin 2 1 1cos62sin2 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin62 33                                   6 1 cos0sin21cos6  ttt Vậy nghiệm của phương trình là 6 1x Ví dụ 3 : Giải phương trình: x x x x xx 21 21 21 21 2121     Lời giải : ĐK : 2 1 || x Đặt  ;0,cos2  ttx phương trình đã cho trở thành :   0cos02sinsin sin 4 sin12 2 cot 2 tan2 2 cos 2 sin 23 2                      ttt t t t an ttt Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 0x 3Ví dụ 4 (THTT): Giải phương trình: 233  xxx (1) Hướng dẫn : Nếu 2x : phương trình không xác định . Chú ý với 2x ta có :   243 23  xxxxxxx Vậy để giải phương trình (1) ta chỉ cần xét với  2;2x Đặt  ;0,cos2  ttx khi đó phương trình đã cho trở thành :      2 cos3cos t t 2. Nếu ax || thì ta có thể đặt : 0, 2 ; 2 , sin      tt t a x  hoặc   2 ;;0, cos   tt t a x Ví dụ 5 : Giải phương trình: 1 1 1 1 2 2       x x Lời giải : ĐK : 1|| x Đặt      2 ; 2 , sin 1  t t x Phương trình đã cho trở thành :   0 sin 1 coscoscotcos1cot1 sin 1 2 2       t ttanttant t         ktt t 122 1 2sin 0cos kết hợp với điều kiện của t suy ra 12 t Vậy phương trình có 1 nghiệm :  132 12 sin 1        x Tổng quát: Giải phương trình a x ax       1 1 2 2 Ví dụ 6 : Giải phương trình: 2 9 3 2    x x x Lời giải : ĐK : 3|| x Đặt   2 ,;0, cos 3   tt t x , phương trình đã cho trở thành : 23 4 cos 3 4 12sin2sin22sin122 sin 1 cos 1 2          xtttt tt (thoả mãn) Tổng quát: Giải phương trình: b ax ax x    22 với ba, là các hằng số cho trước 3. Đặt      2 ; 2 ,tan  ttx để đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn : Ví dụ 7 : Giải phương trình: 03333 23  xxx (1) 4Lời giải : Do 3 1x không là nghiệm của phương trình nên (1) 3 31 3 2 3    x xx (2) Đặt      2 ; 2 ,tan  ttx , Khi đó (2) trở thành : 39 33tan  ktt  Suy ra (1) có 3 nghiệm :              9 7 tan; 9 4 tan; 9 tan  xxx Ví dụ 8 : Giải phương trình:   2 222 2 12 1 2 1 1 xx x x x x   Lời giải : ĐK : 1;0  xx Đặt 4 ;0, 2 ; 2 ,tan       tttx , phương trình đã cho trở thành : 012cos2cos.sin20 2cos.sin2 1 sin2 1 1 cos 1 4sin 2 2sin 1 cos 1       ttt ttttttt                         2 6 2 2 2 1 sin 1sin 0sin 0sin2sin1sin0sin2sin21sin2 222 kt kt t t t tttttt Kết hợp với điều kiện suy ra : 6 t Vậy phương trình có 1 nghiệm : 3 1 6 tan      x 4. Mặc định điều kiện : ax || . Sau khi tìm được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương trình và kết luận : Ví dụ 9 : Giải phương trình: xx 2163  Lời giải : Phương trình đã cho tương đương với : 168 3  xx (1) Đặt  ;0,cos  ttx , Lúc đó (1) trở thành :  Zkktt  3 2 92 1 3cos  Suy ra (1) có tập nghiệm :                  9 7 cos; 9 5 cos; 9 cos  S Vậy nghiệm của phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để * Nội dung phương pháp : Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho : Đưa phương trình về dạng sau :         xxPxfxQxf ..  khi đó : Đặt   0,  ttxf . Phương trình viết thành :     0.2  xPxQtt Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương trình   txf  sau khi đã đơn giản hóa và kết luận Ví dụ 10 : Giải phương trình 16924422 2  xxx (1) Lời giải : ĐK : 2|| x 5Đặt  242 xt  Lúc đó :(1)           xxxxxxxx 84216481692164216424 22222  Phương trình trở thành : 08164 22  xxtt Giải phương trình trên với ẩn t , ta tìm được : 4 2 ; 2 21  xtxt Do 2|| x nên 02 t không thỏa điều kiện 0t Với 2 x t  thì :        3 24 48 0 2 42 22 2 x xx xx x ( thỏa mãn điều kiên 2|| x ) Ví dụ 11 :Giải phương trình 361122  xxx Lời giải : ĐK : 1x Đặt 01  xt ,phương trình đã cho trở thành : x t ttxt 66 036122  * Với x t t 66  , ta có :   66  tx (vô nghiệm vì : 0;0  VPVT ) * Với x t t 66  , ta có : tx)6(6  Do 6x không là nghiệm của phương trình nên : x x x t     6 6 1 6 6 Bình phương hai vế và rút gọn ta được : 3x (thỏa mãn) Tổng quát: Giải phương trình: 22 2 baxbaxx  Ví dụ 12 : Giải phương trình:    128311123 22  xxxx Lời giải : Đặt 112 2  tx Phương trình đã cho viết thành :       03383831313 2222  xxtxtxtxtxt Từ đó ta tìm được 3 x t  hoặc xt 31 Giải ra được : 0x * Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải quyết trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn . Ví dụ 13 : Giải phương trình: 342007342008 2  xxxx Lời giải : ĐK : 4 3x Đặt 034  tx phương trình đã cho trở thành : 020072008 22  txtx Giải ra : tx  hoặc 2008 t x  (loại) * tx  ta có :     3 1 0342 x x xx Vậy 3,1  xx là các nghiệm của phương trình đã cho . Ví dụ 14 : Giải phương trình:   122114 33  xxxx 6Lời giải : ĐK : 1x Đặt 13  xt ,Phương trình đã cho trở thành       012142141212 22  xtxttxxt Phương trình trên đã khá đơn giản !!!!!!! III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích 1. Dùng một ẩn phụ Ví dụ 15 : Giải phương trình: 4 9 2 32  xx (1) Lời giải : ĐK : 2 3x Đặt 0 2 3  tx phương trình (1) trở thành :             2013 0 013 4 9 2 3 3 3 2 2 tt t ttttt (2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I : Đặt  ;0,cos2  ttx để đưa về dạng : 2 1 3cos t Tổng quát: Giải phương trình: 22 aaxx  với a là hắng số cho trước . Ví dụ 16 :Giải phương trình:    16223 323 xxxx  Lời giải : ĐK : 2x Viết lại (1) dưới dạng :      202223 33  xxxx Đặt 02  xt , Khi đó (2) trở thành :               22 2 2 02023 2323 xx xx tx tx txtxtxtx                      322 2 084 0 02 0 2 2 x x xx x xx x Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : 322,2  xx Ví dụ 17 : Giải phương trình : 015  xx Lời giải : ĐK :  6;1x (1) Đặt 01  xt (2) , phương trình đã cho trở thành : 552  tt (3)    05402010 2224  ttttttt Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra : 2 1711x Ví dụ 18 : Giải phương trình:   2112006   xxx Lời giải : ĐK :  1;0x (1) Đặt 101  txt , Khi đó :  222 1,1 txtx  ,phương trình đã cho trở thành :                 010031212007111120061 222222222  tttttttttt Vì 10  t nên 010032  tt Do đó phương trình tương đương với : 101  tt Do vậy 0x (thỏa (1)) 72. Dùng 2 ẩn phụ . Ví dụ 19 : Giải phương trình: 3912154 22  xxxxx Lời giải : Đặt 12;154 22  xxbxxa    0139 2222  babababaxba                                  65 56 0 3 1 292 39 3 1 01 0 x x x xa xba x ba ba Vậy tập nghiệm của pt là     65 56 ;0; 3 1 S Ví dụ 20 : Giải phương trình:   83232 32  xxx (1) Lời giải : ĐK :     2 12 x x (*) Đặt 2,422  xvxxu ta có : 2322  xxvu Lúc đó (1) trở thành :      vuvuvuuvvu 202232 22  (Do 02  vu ) Tìm x ta giải : 1330462242 22  xxxxxx (Thỏa (*)) Vậy (1) có 2 nghiệm : 1332,1 x Ví dụ 21 : Giải phương trình: 15209145 22  xxxxx Lời giải : ĐK : 5x Chuyển vế rồi bình phương hai vế phương trình mới ,ta có:               045454354215410524951 222  xxxxxxxxxxxxx (2) Đặt 0,,4,542  vuxvxxu ,thì : (2)              056254 095 32 0320532 2 2 22 xx xx vu vu vuvuuvvu Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn : 8; 2 615 21   xx Ví dụ 22 : Giải phương trình:      4 24 34 34 2 1111 xxxxxxxx  Lời giải : ĐK : 10  x Đặt :             1 0 0 1 44 4 4 vu v u xv xu Từ phương trình ta được :         1 0 01232322 vu vu vuvuvuvuuvvuvu ( Do 0 vu ) từ đó ta giải ra được các nghiệm : 2 1 ;1;0  xxx 3. Dùng 3 ẩn phụ . Ví dụ 23 : Giải phương trình: 218817 3 23 23  xxxxx 8Lời giải : Đặt 3 23 23 18,8,17  xxcxxbxa ta có :                2818817 182 22333 3 xxxxxcba cbacba Từ (1) và (2) ta có :         033333  accbbacbacba Nên :              ac cb ba accbba 0 từ đó dễ dàng tìm ra 4 nghiệm của phương trình :  9;1;0;1S Ví dụ 24 : Giải phương trình: 03492513 3333  xxxx (1) Lời giải : Đặt 333 92,5,13  xcxbxa ,ta có: 34333  xcba khi đó từ (1) ta có :       03333  accbbacbacba Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương trình : 5 8 ;4;3  xxx IV. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ 1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế . a. Dùng một ẩn phụ . Ví dụ 25 : Giải phương trình: 552  xx Lời giải : ĐK : 5x Đặt 0,5  txt Ta có : 52  tx                                                          2 211 2 211 1 5 0 5 01 5 0 5 5 5 2 2 2 22 2 2 2 x x tx tx tx tx txtx tx xttx tx xt tx Tổng quát: Giải phương trình: aaxx 2 b. Dùng 2 ẩn phụ . * Nội Dung :     cxfbxfa nm  * Cách giải : Đặt :    nm xfbvxfau  , Như vậy ta có hệ :      bavu cvu nm Ví dụ 26 : Giải phương trình: 54057 44  xx (1) Lời giải : ĐK : 5740  x Đặt 44 40,,57  xvxu Khi đó :(1)                  0528102 5 9722 5 97 5 2222244 uvuv vu vuuvvu vu vu vu 9                              2 3 3 2 6 5 44 6 5 v u v u uv vu uv uv vu (Do hệ      44 5 uv vu vô nghiệm) Đến đây chỉ việc thay vào để tìm nghiệm của phương trình ban đầu . Ví dụ 27 : Giải phương trình: 4 4 2 1 12  xx Lời giải : ĐK : 120  x Đặt :      vx ux 4 12 với      4 120 120 v u (*) Như vậy ta được hệ :                     )1(12 2 1 2 1 12 2 1 4 2 4 4 42 4 vv vu vu vu Giải (1) :(1)    0 2 3 2 4 1 0 2 1 10 2 1 1 2,1 4 2,14 2 2 4 22         vvvvvv Vậy 2,1v thỏa (*) chính là 2 nghiệm của phương trình đã cho . Ví dụ 28 : Giải phương trình:  22 11 4 7 xxx  Lời giải : Đặt :                   (*)1 4 7 1 1 1 4 7 1 4 7 1 1 0 4444 yyy zy yxzy zy xz xy Giải phương trình (*),ta có:                   16 9 0 4 3 0 0 4 3 4 2 x x y y yy 2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng Dạng 1 : Giải phương trình: nn baxabx  Cách giải: Đặt n baxt  ta có hệ :      axbt atbx n n Việc giải hệ này đã trở nên dễ dàng Ví dụ 29 : Giải phương trình: 33 1221  xx Lời giải : Đặt : 3 12  xt ta có hệ :                    02 21 2 21 21 21 22 3 33 3 3 3 txtxtx tx xttx tx xt tx                                     2 51 1 04 011 2 02 21 1 012 2 222 2 22 3 3 x x txxt xxx txtx tx xx tx 10 Vậy tập nghiệm của phương trình là :      2 51 ;1S Dạng 2 : Giải phương trình: xaax  Cách giải : Đặt xat  ,phương trình đã cho tương đương với      xat tax Ví dụ 30 : Giải phương trình: xx  20072007 Lời giải : ĐK : 0x Đặt : xt  2007 (1), PT Lấy (3) trừ (2) ta được :    txxtxtxttx  01 (1) 4 802928030 02007  xxx (Do 0x ) Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược : Ví dụ 31 : Giải phương trình: 12222  xxx Lời giải : ĐK : 2 1x Đặt bayx 12 Chọn a, b để hệ :       12 22 2 2 xbay bayxx       1, 2 1 yx (*) là hệ đối xứng . Lấy 1,1  ba ta được hệ :                0 122 122 122 22 2 2 2 yx yxx xyy yxx Giải hệ trên ta được : 22  yx Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất của phương trình là : 22 x Dạng 4 : Nội dung phương pháp : Cho phương trình :     xedxcbax nn với các hệ số thỏa mãn :        bce acd Cách giải : Đặt n baxedy  Ví dụ 32 : Giải phương trình: 77 28 94 2  xx Lời giải : ĐK : 4 9x PT 4 7 2 1 7 28 94 2       xx - Kiểm tra : 4 7 ,0, 2 1 ,1,7, 28 9 , 7 1  edcba (thoả mãn)  Đặt : yyxxyyxyyxy 77 2 1 4 9 4 7 77 28 94 4 1 28 94 2 1 222  (1) 11 Mặt khác : xxy 77 2 1 2  (2) Từ (1) và (2) ta có hệ :        xxy yyx 77 2 1 77 2 1 2 2 Đây là hệ đối xứng loại II đã biết cách giải . Ví dụ 33 : Giải phương trình: 3,3362  xxxx Lời giải : PT   363 2  xx - Kiểm tra : 6,0,3,1,1,3,1  edcba Đặt : 36339633 22  yyxxyyxy (1) Mặt khác : 363 2  xxy (2) Từ (1) và (2) ta có hệ :      363 363 2 2 xxy yyx Đến đây đã khá dễ dàng Ví dụ 34 : Giải phương trình: 255336853 233  xxxx Lời giải : PT     232532272.9.33.4.3253 33233  xxxxxxxx - Kiểm tra : 2,1,3,2,1,5,3  edcba (thoả mãn)  Đặt : 3325533685327543685332 23233  yxyyyxyyyxy (1) Mặt khác : 322553368 23  yxxx (2) Từ (1) và (2) ta có hệ :      322553368 332553368 23 23 yxxx yxyyy