Đề cương ôn tập học kỳ II, môn Toán lớp 11

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II, MÔN TOÁN LỚP 11 NĂM HỌC 2010 - 2011 A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN 1/ Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0. Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un| ≤ vn, "n và lim vn = 0 thì limun = 0 Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0: , , , với |q| < 1 2/ Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số. Phương pháp: Vận dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số: +) Nếu limun = +¥ thì limun limvn = L lim(unvn) L >0 L < 0 L >0 L < 0 limun=L limvn Dấu của vn L >0 0 + L > 0 - L < 0 + L < 0 - Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số: +) Nếu thì + ∞ L > 0 + ∞ - ∞ - ∞ + ∞ L < 0 - ∞ - ∞ + ∞ Dấu của g(x) L > 0 0 + + ∞ - - ∞ L < 0 + - ∞ - + ∞ Chú ý khi gặp các dạng vô định: ta phải khử các dạng vô định đó bằng cách: chia tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử và mẫu với một lượng liên hợp; 3/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Cho CSN (un) lùi vô hạn (với ), ta có : 4/ Xét tính liên tục của hàm số Phương pháp: Xét tính liên tục của hsố f(x) tại x0: +) Tính f(x0) +) Tìm (nếu có) - Nếu không tồn tạiÞ f(x) gián đoạn tại x0. - Nếu Þ f(x) gián đoạn tại x0 - Nếu Þ f(x) liên tục tại x0. 5/ Chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình. Phương pháp: Vận dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ; b). CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM 1/ Tìm đạo hàm của hàm số Phương pháp: Áp dụng các công thức tính đạo hàm +) Các quy tắc tính đạo hàm: +) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu thì +) Đạo hàm của các hàm số lượng giác: 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng: y = f’(x0) (x – x0) + f(x0) 3/ Vi phân - Vi phân của hàm số tại nột điểm: - Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: - Vi phân của hàm số: hay 4/ Đạo hàm cấp cao: Đạo hàm cấp hai của hàm số: f’’= (f’)’. Đạo hàm cấp n của hàm số: f(n) = [f(n-1)]’. II. BÀI TẬP CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN Bài 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0: Bài 2: Tìm các giới hạn sau: với ĐS: a) -3 b) +¥ c) 0 d) -3/25 e) -1 f) -2/3 g) -1/2 h) 1 i) 1 Bài 3 : Tính các giới hạn sau: ĐS: a) +¥ b) - ¥ c) +¥ d) +¥ e) - ¥ f) - ¥ g) 0 h) +¥ i) -¥ k) -1/2 l) -3/2 m) 1/3 Bài 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: a) b) ĐS: a) 2/3 b) 3/2 Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ): a) b) c) d) f) ĐS: a) -1/2 b) -¥ c) - ¥ d) -¥ e) 0 f) -1/5 Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.¥): a) b) c) d) e) f) ĐS: a) +¥ b) - ¥ c) + ¥ d) +¥ e) - ¥ f) + ¥ Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên): a) b) c) d) e) f) ĐS: a) - ¥ b) - ¥ c) + d) + e) 1 f) + Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ): a/ b/ c) d) e) f) g) h) i) k) ĐS: a) 6 b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6 g) 24 h) 4/3 i) 2 k) 0 Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ¥): a) b) c) d/ ĐS: a) -1 b) 0 c) +¥ d) 0 Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ¥ - ¥): a) b) c) d) ĐS: a) 0 b) 1 c) 1/4 d) 1/2 Bài 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng ) a) b) c) d) ĐS: a) 3 b) 2/3 c) 1 d) n! Bài 12: Xét tính liên tục của các hàm số sau: a) tại x0 = -2 b) tại x0 = 3 c) tại x0 = 1 d) tại x0 = 3 e/ tại x0 = f) tại x0 = 2 ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục Bài 13: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng: a) b) c) d) ĐS: a) hsliên tục trên R ; b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-¥; 2), (2; +¥) và bị gián đọan tại x = 2. c) hsliên tục trên R ; d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-¥; 1), (1; +¥) và bị gián đọan tại x = 1. Bài 14: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0. a) với x0 = -1 b) với x0 = 1 c) với x0 = 2 d) với x0 = 1 ĐS: a) a = -3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2 Bài 15: Chứng minh rằng phương trình: a) có ít nhất một nghiệm. b) có ít nhất một nghiệm. c) có ít nhất một nghiệm d) có ít nhất 2 nghiệm. e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; p/3) f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm. g) có 3 nghiệm phân biệt. h) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m. i) luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m. CHƯƠNG V : ĐẠO HÀM Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau: a) b) c) d) Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau: 1) 2) 3) 4) 5) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) y = (x2-+1) 27) Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1) y = 5sinx – 3cosx 2) y = cos (x3) 3) y = x.cotx 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) Bài 4: Cho hai hàm số : và Chứng minh rằng: . Bài 5: Cho . Tìm x để: a) y’ > 0 b) y’ < 3 ĐS: a) b) Bài 6: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng: a) f(x) = cos x + sin x + x. b) f(x) = c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1 Bài 7: Cho hàm số Bài 8: a) Cho hàm số: . Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2 b) Cho hàm số y = . Chứng minh rằng: 2(y’)2 =(y -1)y’’ c) Cho hàm số . Chứng minh rằng: Bài 9: Chứng minh rằng , biết: a/ b/ Bài 10: Cho hàm số (C) a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1. b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1. Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C) a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2. Bài 12: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) a) Tại M (0;2). b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1. c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =x – 4. Bài 13: Cho đường cong (C): . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) a) Tại điểm có hoành độ bằng 1 b) Tại điểm có tung độ bằng c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là Bài 14: Tính vi phân các hàm số sau: a) b) c) d) e) Bài 15: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x ĐS: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x 8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x Bài 16: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: a) b) y = sinx ĐS: a) b) B. HÌNH HỌC I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng . Phương pháp 2: ( lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b). Phương pháp 3: Chứng minh hoặc Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( với b’ là hình chiếu của đt b lên mp chứa đt a). Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P). Phương pháp 1: Chứng minh: d ^ a và d ^ b với a Ç b = M; a,b Ì (P) Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ^ (P) Phương pháp 3: Chứng minh: d Ì (Q) ^ (P), d ^ a = (P) Ç (Q). Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) Ç (R) và (Q) ^(P), (R) ^ (P). Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc. Phương pháp 1: Chứng minh (P) É a ^ (Q). Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ^ (Q). Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ^ (Q). Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b. Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ Ç b’ = O) - Khi đó: (a, b) = (a’, b’). Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P). Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là j +) Nếu d ^ (P) thì j = 900. +) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P) - Khi đó: j = (d,d’) Dạng 6: Tính góc j giữa hai mp (P) và (Q). Phương pháp 1: Xác định a ^ (P), b ^ (Q). Tính góc j = (a,b) Phương pháp 2: Nếu (P) Ç (Q) = d Tìm (R) ^ d Xác định a = (R) Ç (P) Xác định b = (R) Ç (Q) Tính góc j = (a,b). Dạng 7: Tính khoảng cách. Tính khoảng từ một điểm M đến đt a: Phương pháp: (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a). Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P): Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P). - d(M, (P)) = AH Tính khoảng giữa đt D và mp (P) song song với nó: d(D, (P)) = d(M, (P)) (M là điểm thuộc D). Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b: +) Phương pháp 1: Nếu a ^ b : Dựng (P) É a và (P) ^ b Xác định A = (P) Ç b Dựng hình chiếu H của A lên b AH là đoạn vuông góc chung của a và b +) Phương pháp 2: Dựng (P) É a và (P) // b. Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’ Ç a = H Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A. AH là đoạn vuông góc chung của a và b. +) Phương pháp 2: Dựng đt (P) ^ a tại I cắt b tại O Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O). Kẻ IK ^ b’ tại K. Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H. Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A. AH là đoạn vuông góc chung của a và b. II. BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA ^ (ABC). Chứng minh: BC ^ (SAB). Gọi AH là đường cao của DSAB. Chứng minh: AH ^ SC. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA ^ (ABCD). Chứng minh rằng: BC ^ (SAB). SD ^ DC. SC ^ BD. Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh: BC ^ AD. Gọi AH là đường cao của DADI. Chứng minh: AH ^ (BCD). Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = . Chứng minh SO ^ (ABCD). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IK^SD Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD). Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB ^ CD, BC ^ AD. Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD). Chứng minh: H là trực tâm DBCD. AC ^ BD. Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau từng đôi một. Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = , SA ^ (ABCD). Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO^ (ABCD). Tính góc giữa SC và (ABCD). Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD. Chứng minh BC ^ (SAB), BD ^ (SAC). Chứng minh SC ^ (AHK). Chứng minh HK ^ (SAC). Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA ^ (ABC). Gọi I là trung điểm BC. a) Chứng minh BC ^ (SAI). b) Tính SI. c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC). Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA ^ (ABC) và SA = a, AC = 2a. Chứng minh rằng: (SBC) ^ (SAB). Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC). Tính góc giữa (SBC) và (ABC). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC. BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC. 1. CMR: BC(OAI). 2. CMR: (OAI)(OHK). 3. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC). ĐS: 5. Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK). ĐS: 6. Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC). ĐS: 7. Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI. Tính khoảng cách giữa hai đường ấy. ĐS: Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, và . 1. CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. 2. CMR: mp (SAC)mp(SBD) . 3. Tính góc giữa SC và mp (ABCD), góc giữa SC và mp (SAB). ĐS: 4. Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). ĐS: 5. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD). ĐS: 6. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ấy. ĐS: 7. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, C, D và tính SI. ĐS: Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, và . Gọi H là hình chiếu của S trên AC. 1. CMR: BD và . 2. CMR: AD. 3. CMR: (SAC)(SBD). 4. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và SC. ĐS: và SC = 5. Tính sin của góc giữa SD và (SAC), côsin của góc giữa SC và (SBD). ĐS: và . 6. Tính khoảng cách từ H đến (SBD). ĐS: 7. Tính góc giữavà (ABCD). ĐS: 8. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ấy. ĐS: 9. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, D và tính MI. ĐS: Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và . Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a. 1. CMR: BC mp(SAB). 2. CMR: CD. 3. Tính góc giữa SC và (ABCD), góc giữa SC và (SAB), góc giữa SD và (SAC). ĐS: 4. Tính tang của góc giữa mp(SBC) và mp(ABCD). ĐS: 5. Tính khoảng cách giữa SA và BD. ĐS: 6. Tính khoảng cách từ A đến (SBD). ĐS: 7. Hãy chỉ ra điểm M cách đều S, A, B, C; điểm N cách đều S, A, C, D. Từ đó tính MS và NS. ĐS: , Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạch a. Gọi O là tâm của tứ giác ABCD; và M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. 1. CMR: BD và A’C. 2. CMR: . 3. CMR: (BDC’) (ACC’A’) và (MNC’)(ACC’A’). 4. Tính khoảng cách từ C đến mp(BDC’). ĐS: 5. Tính khoảng cách từ C đến mp(MNC’). ĐS: 6. Tính tang của góc giữa AC và (MNC’). ĐS: 7. Tính tang của góc giữa mp(BDC’) và mp(ABCD). ĐS: 8. Tính côsin của góc giữa (MNC’) và (BDC’). ĐS: 9. Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’. ĐS: