Đề cương ôn tập học kỳ II Toán 7

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK II TOÁN 7 ◦ I. PHẦN ĐẠI SỐ: A/ Lý Thuyết. Câu 1: Dấu hiệu là gì? Đơn vị điều tra là gì? Thế nào là tấn số của mỗi giá trị? Có nhận xét gì về tổng các tần số? Câu 2: Làm thế nào để tính số trung bình cộng của một dấu hiệu? Nêu rõ các bước tính? Ý nghĩa của số trung bình cộng? Mốt của dấu hiệu là gì? Câu 3: Thế nào là hai đơn thức đồng dạng? Cho VD. Câu 4: Đơn thức là gì? Đa thức là gì? Câu 5: Phát biểu quy tắc cộng, trừ hai đơn thức đồng dạng. Câu 6: Tìm bậc của một đơn thức, đa thức? Nhân hai đơn thức. Câu 7: Khi nào số a được gọi là nghiệm của đa thức P(x). B/ Bài Tập. Dạng 1: Thu gọn biểu thức đại số: Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số. Phương pháp: Bước 1: Dùng qui tắc nhân đơn thức để thu gọn. Bước 2: Xác định hệ số, bậc của đơn thức đã thu gọn. Bài tập áp dụng: Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số. K = L = Thu gọn đa thưc, tìm bậc, hệ số cao nhất. Phương pháp: Bước 1: Nhóm các hạng tử đồng dạng, tính cộng, trừ các hạng tử đòng dạng. Bước 2: Xác định hệ số cao nhất, bậc của đa thức đã thu gọn. Bài tập áp dụng : Bài 1: Thu gọn đa thưc, tìm bậc, hệ số cao nhất. Bài 2: Thu gọn đa thức sau: a) A = 5xy – y2 - 2 xy + 4 xy + 3x -2y; b) B = c) C = 2 -8b2+ 5a2b + 5c2 – 3b2 + 4c2. Bài 3 : Thu gọn các đơn thức sau, rồi tìm hệ số, phần biến, bậc của chúng: a) 2x2yz.(-3xy3z) ; b) (-12xyz).( -x2yz3)y; c) 15xy2z-x2yz3)3. 2xy Bài 4: Cho các đơn thức : 2x2y3 ; 5y2x3 ; - x3 y2 ; - x2y3 a) Hãy xác định các đơn thức đồng dạng . b)Tính đa thức F là tổng các đơn thức trên c) Tìm giá trị của đa thức F tại x = -3 ; y = 2. d) Nhân các đơn thức đã cho rồi tìm bậc, phần biến, hệ số của đơn thức tích. Dạng 2: Tính giá trị biểu thức đại số : Phương pháp : Bước 1: Thu gọn các biểu thức đại số. Bước 2: Thay giá trị cho trước của biến vào biểu thức đại số. Bước 3: Tính giá trị biểu thức số. Bài tập áp dụng : Bài 1 : Tính giá trị biểu thức a) A = 3x3 y + 6x2y2 + 3xy3 tại b) B = x2 y2 + xy + x3 + y3 tại x = –1; y = 3 tại x =0,5 và y = -1. tại x = 0,1 và y = -2. Bài 2 : Cho đa thức P(x) = x4 + 2x2 + 1; Q(x) = x4 + 4x3 + 2x2 – 4x + 1; Tính : P(–1); P(); Q(–2); Q(1); Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: a) A = 2x2 - tại x = 2 ; y = 9. b) B = tại a = -2 ; b. c) P = 2x2 + 3xy + y2 tại x = ; y = . d) 12ab2; tại a; b . e) tại x = 2 ; y = . f) 2x - tại x = 0; y = -1 g) xy + y2z2 + z3x3 tại x = 1 : y = -1; z = 2 Dạng 3 : Cộng, trừ đa thức nhiều biến Phương pháp: Bước 1: Viết phép tính cộng, trừ các đa thức. Bước 2: Áp dung qui tắc bỏ dấu ngoặc. Bước 3: Thu gọn các hạng tử đồng dạng (cộng hay trừ các hạng tử đồng dạng) Bài tập áp dụng: Bài 1 : Cho đa thức : A = 4x2 – 5xy + 3y2; B = 3x2 + 2xy - y2 Tính A + B; A – B Bài 2 : Tìm đa thức M, N biết : M + (5x2 – 2xy) = 6x2 + 9xy – y2 (3xy – 4y2) - N= x2 – 7xy + 8y2 Bài 3: Thu gọn đa thức, tìm bậc. Bài 4: Tính tổng và hiệu của hai đa thức và tìm bậc của đa thức thu được . a) A = 4x2 – 5xy + 3y2 ; B = 3x2 + 2xy - y2 . Bài 5: Tìm đa thức M, biết : a) M + (5x2 – 2xy) = 6x2 + 9xy – y2 b) M + (3x2 y − 2xy3 ) = 2x2 y − 4xy3 c) d) Bài 6: Cho đa thức A = −2 xy 2 + 3xy + 5xy 2 + 5xy + 1 – 7x2 – 3y2 – 2x2 + y2 B = 5x2 + xy – x2 – 2y2 a) Thu gọn đa thức A, B. Tìm bậc của A, B. b) Tính giá trị của A tại x = ; y =-1 c) Tính C = A + B. Tính giá trị của đa thức C tại x = -1; y = - ½. d) Tìm D = A – B. Dạng 4: Cộng trừ đa thức một biến: Phương pháp: Bước 1: Thu gọn các đơn thức và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến. Bước 2: Viết các đa thức sao cho các hạng tử đồng dạng thẳng cột với nhau. Bước 3: Thực hiện phép tính cộng hoặc trừ các hạng tử đồng dạng cùng cột. Chú ý: A(x) - B(x)=A(x) +[-B(x)] Bài tập áp dụng : Bài 1: Cho đa thức a)A(x) = 3x4 – x3 + 2x2 – 3; B(x) = 8x4 + x3 – 9x + Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x); b) Tính: C(x) + D(x) ; C(x) - D(x) ; D(x) - C(x) c) Tính: P(x) + Q(x) ; P(x) - Q(x) ; Q(x) - P(x) d) Tính: M(x) + N(x) ; M(x) - N(x) ; N(x) - M(x) Bài 2: Tính tổng của các đa thức: A = x2y - xy2 + 3 x2 và B = x2y + xy2 - 2 x2 - 1. Bài 3: Cho P = 2x2 – 3xy + 4y2 ; Q = 3x2 + 4 xy - y2 Tính: P – Q Bài 4: Tìm tổng và hiệu của: P(x) = 3x2 +x - 4 ; Q(x) = -5 x2 +x + 3. Bài 5: Tính tổng các hệ số của tổng hai đa thức: K(x) = x3 – mx + m2 ; L(x) =(m + 1) x2 +3m x + m2. Bài 6:Cho 2 đa thức : P(x) = - 2x2 + 3x4 + x3 +x2 - x Q(x) = 3x4 + 3x2 - - 4x3 – 2x2 Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo luỹ thừa giảm dần của biến. Tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của mỗi đa thức. Tính P(x) + Q(x); P(x) - Q(x); Q(x) – P(x). Đặt M(x) = P(x) - Q(x). Tính M(-2). Chứng tỏ x = 0 là nghiệm của đa thức P(x), nhưng không phải là nghiệm của đa thức Q(x) Bài 7:Cho 3 đa thức : M(x) = 3x3 + x2 + 4x4 – x – 3x3 + 5x4 + x2 – 6 N(x) = - x2 – x4 + 4x3 – x2 -5x3 + 3x + 1 + x P(x) = 1 + 2x5 – 3x2 + x5 + 3x3 – x4 – 2x a) Tính : M(x) + N(x) + P(x) ; b) Tính M(x) – N(x) – P(x) Bài 8: Cho hai đa thức P(x) = x5 – x4 và Q(x) = x4 – x3. Tìm đa thức R(x) sao cho P(x) + Q(x) + R(x) là đa thức không. Bài 9: Cho đa thức P(x) = ax3 – 2x2 + x – 2(a là hằng số cho trước) a) Tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của P(x). b) Tính giá trị của P(x) tại x = 0. c) Tìm hằng số a thích hợp để P(x) có giá trị là 5 tại x = 1. Dạng 5 : Tìm nghiệm của đa thức 1 biến 1. Kiểm tra 1 số cho trước có là nghiệm của đa thức một biến không Phương pháp : Bước 1: Tính giá trị của đa thức tại giá trị của biến cho trước đó. Bước 2: Nếu giá trị của đa thức bằng 0 thì giá trị của biến đó là nghiệm của đa thức. 2. Tìm nghiệm của đa thức một biến Phương pháp : Bước 1: Cho đa thức bằng 0. Bước 2: Giải bài toán tìm x. Bước 3: Giá trị x vừa tìm được là nghiệm của đa thức. Chú ý : – Nếu A(x).B(x) = 0 => A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 – Nếu đa thức P(x) = ax2 + bx + c có a + b + c = 0 thì ta kết luận đa thức có 1 nghiệm là x = 1, nghiệm còn lại x2 = – Nếu đa thức P(x) = ax2 + bx + c có a – b + c = 0 thì ta kết luận đa thức có 1 nghiệm là x = –1, nghiệm còn lại x2 = -. Bài tập áp dụng: Bài 1 : Cho đa thức f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 5 Trong các số sau : 1; –1; 2; –2 số nào là nghiệm của đa thức f(x) Bài 2 : Tìm nghiệm của các đa thức sau. f(x) = 3x – 6; h(x) = –5x + 30 g(x)=(x-3)(16-4x) k(x)=x2-81 m(x) = x2 +7x -8 n(x)= 5x2+9x+4 Bài 3: Tìm nghiệm của đa thức: a) M(x) = (6 - 3x)(-2x + 5) ; b) N(x) = x2 + x ; c) A(x) = 3x - 3 Bài 4: Cho: f(x) = 9 – x5 + 4 x - 2 x3 + x2 – 7 x4; g(x) = x5 – 9 + 2 x2 + 7 x4 + 2 x3 - 3 x. a) Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Tính tổng h(x) = f(x) + g(x) . c) Tìm nghiệm của đa thức h(x). Bài 5: Cho hai đa thức: M = 3x2y – 2xy2 + 2 x2y + 2 xy + 3 xy2 N = 2 x2y + xy + xy2 - 4 xy2 – 5 xy. a) Thu gọn các đa thức M và N. b) Tính M – N, M + N c) Tìm nghiệm của đa thức P(x) = 6 – 2x. Bài 6:Tìm nghiệm của đa thức a) 4x + 9 b) -5x+6 c) x2 – 1. d) x2 – 9. e) x2 – x. f) x2 – 2x. g) (x – 4)(x2 + 1) h) 3x2 – 4x i) x2 + 9 k) 4x - l) (x-1)(x+1) Bài 7: Tìm x biết: 2x ( 3x + 1) + 3x( 4 – 2x) = 7 Bài 8: Cho đa thức : P(x) = x4 + 3x2 + 3 a)Tính P(1), P(-1). b)Chứng tỏ rằng đa thức trên không có nghiệm. Dạng 6 : Tìm hệ số chưa biết trong đa thức P(x) biết P(x0) = a Phương pháp : Bước 1: Thay giá trị x = x0 vào đa thức. Bước 2: Cho biểu thức số đó bằng a. Bước 3: Tính được hệ số chưa biết. Bài tập áp dụng : Bài 1 : Cho đa thức P(x) = mx – 3. Xác định m biết rằng P(–1) = 2 Bài 2 : Cho đa thức Q(x) = -2x2 +mx -7m+3. Xác định m biết rằng Q(x) có nghiệm là -1. Bài 3: Cho f(x) = (x – 4) – 3(x + 1). Tìm x sao cho f(x) = 4. Bài 4: Tìm hệ số a của đa thức A(x) = ax2 +5x – 3, biết rằng đa thức có 1 nghiệm bằng 1/2 ? Bài 5: Tìm m, biết rằng đa thức Q(x) = mx2 + 2mx – 3 có 1 nghiệm x = -1 Bài tập bổ sung: Bài 1: Cho các đa thức : P(x) = 3x5+ 5x- 4x4 - 2x3 + 6 + 4x2 Q(x) = 2x4 - x + 3x2 - 2x3 + - x5 a) Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm của biến. b) Tính P(x) + Q(x) ; P(x) - Q(x) c)Chứng tỏ rằng x = -1 là nghiệm của P(x) nhưng không phải là nghiệm của Q(x) Bài 2: Tìm các đa thức A và B, biết: a) A + (x2- 4xy2 + 2xz - 3y2 = 0 b) Tổng của đa thức B với đa thức (4x2y + 5y2 - 3xz +z2) là một đa thức không chứa biến x Bài 3: Cho các đa thức : A(x) = 5x - 2x4 + x3 -5 + x2 B(x) = - x4 + 4x2 - 3x3 + 7 - 6x C(x) = x + x3 -2 a)Tính A(x) + B(x) ; A(x) - B(x) + C(x) c)Chứng tỏ rằng x = 1 là nghiệm của A(x) và C(x) nhưng không phải là nghiệm của đa thức B(x). Bài 4: Cho các đa thức : A = x2 -2x-y+3y -1 B = - 2x2 + 3y2 - 5x + y + 3 a)Tính : A+ B ; A - B b) Tính giá trị của đa thức A tại x = 1; y = -2. Bài 5: a) Tính tích hai đơn thức: -0,5x2yz và -3xy3z b) Tìm hệ số và bậc của tích vừa tìm được. Dạng 7: Bài toán thống kê. Bài 1: Thời gian làm bài tập của các hs lớp 7 tính bằng phút đươc thống kê bởi bảng sau: 4 5 6 7 6 7 6 4 6 7 6 8 5 6 9 10 5 7 8 8 9 7 8 8 8 10 9 11 8 9 8 9 4 6 7 7 7 8 5 8 Dấu hiệu ở đây là gì? Số các giá trị là bao nhiêu? Lập bảng tần số? Tìm mốt của dấu hiệu?Tính số trung bình cộng? Vẽ biểu đồ đoạn thẳng? Bài 2: Một GV theo dõi thời gian làm bài tập (thời gian tính theo phút) của 30 HS của một trường (ai cũng làm được) người ta lập bảng sau: Thời gian (x) 5 7 8 9 10 14 Tần số (n) 4 3 8 8 4 3 N = 30 a) Dấu hiệu là gì? Tính mốt của dấu hiệu? b) Tính thời gian trung bình làm bài tập của 30 học sinh? c) Nhận xét thời gian làm bài tập của học sinh so với thời gian trung bình. Bài 3: Số HS giỏi của mỗi lớp trong khối 7 được ghi lại như sau: Lớp 7A 7B 7C 7D 7E 7G 7H Số HS giỏi 32 28 32 35 28 26 28 Dấu hiệu ở đây là gì? Cho biết đơn vị điều tra. Lập bảng tần số và nhận xét. Vẽ biểu đồ đoạn thẳng. Bài 4: Một giáo viên theo dõi thời gian làm một bài tập (tính theo phút) của 30 học sinh (ai cũng làm được) và ghi lại như sau: 10 5 8 8 9 7 8 9 14 8 5 7 8 10 9 8 10 7 14 8 9 8 9 9 9 9 10 5 5 14 a/ Dấu hiệu ở đây là gì? tìm số giá trị của dấu hiệu? Có bao nhiêu giá trị khác nhau? b/ Lập bảng “tần số” và nhận xét. c/ Tính số trung bình cộng của dấu hiệu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). d/ Tìm mốt của dấu hiệu. e/ Dựng biểu đồ đoạn thẳng. Bài 5: Một bạn học sinh đã ghi lại một số việc tốt (đơn vị: lần ) mà mình đạt được trong mỗi ngày học, sau đây là số liệu của 10 ngày. Ngày thứ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số việc tốt 2 1 3 3 4 5 2 3 3 1 Dấu hiệu mà bạn học sinh quan tâm là gì ? Hãy cho biết dấu hiệu đó có bao nhiêu giá trị ? Có bao nhiêu số các giá trị khác nhau ? Đó là những giá trị nào ? Hãy lập bảng “tần số”. Bài 6: Năm học vừa qua, bạn Minh ghi lại số lần đạt điểm tốt ( từ 8 trở lên ) trong từng tháng của mình như sau: Tháng 9 10 11 12 1 2 3 4 5 Số lần đạt điểm tốt 4 5 7 5 2 1 6 4 5 Dấu hiệu mà bạn Minh quan tâm là gì ? Số các giá trị là bao nhiêu ? Lập bảng “tần số” và rút ra một số nhận xét. Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng. Bài 7: Một cửa hàng bán Vật liệu xây dựng thống kê số bao xi măng bán được hàng ngày ( trong 30 ngày ) được ghi lại ở bảng sau. 20 35 15 20 25 40 25 20 30 35 30 20 35 28 30 15 30 25 25 28 20 28 30 35 20 35 40 25 40 30 Dấu hiệu mà cửa hàng quan tâm là gì ? Số các giá trị là bao nhiêu ? Lập bảng “tần số”. Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng, rồi từ đó rút ra một số nhận xét. Hỏi trung bình mỗi ngày cửa hàng bán được bao nhiêu bao xi măng ? Tìm mốt của dấu hiệu. Bài 8: Điểm kiểm tra Toán ( 1 tiết ) của học sinh lớp 7B được lớp trưởng ghi lại ở bảng sau: Điểm số (x) 3 4 5 6 7 8 9 10 Tần số (n) 1 2 6 13 8 10 2 3 N = 45 Dấu hiệu ở đây là gì ? Có bao nhiêu học sinh làm bài kiểm tra ? Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng và rút ra một số nhận xét. Tính điểm trung bình đạt được của học sinh lớp 7B. Tìm mốt của dấu hiệu. Bài 9: Điểm trung bình môn Toán cả năm của các học sinh lớp 7A được cô giáo chủ nhiệm ghi lại như sau: 6,5 7,3 5,5 4,9 8,1 5,8 7,3 6,5 5,5 6,5 7,3 9,5 8,6 6,7 9,0 8,1 5,8 5,5 6,5 7,3 5,8 8,6 6,7 6,7 7,3 6,5 8,6 8,1 8,1 6,5 6,7 7,3 5,8 7,3 6,5 9,0 8,0 7,9 7,3 5,5 Dấu hiệu mà cô giáo chủ nhiệm quan tâm là gì ? Có bao nhiêu bạn trong lớp 7A ? Lập bảng “tần số”. Có bao nhiêu bạn đạt loại khá và bao nhiêu bạn đạt loại giỏi ? Tính điểm trung bình môn Toán cả năm của học sinh lớp 7A . Tìm mốt của dấu hiệu. Bài 10: Một trại chăn nuôi đã thống kê số trứng gà thu được hàng ngày của 100 con gà trong 20 ngày được ghi lại ở bảng sau : Số lượng (x) 70 75 80 86 88 90 95 Tần số (n) 1 1 2 4 6 5 1 N = 20 Dấu hiệu ở đây là gì ? Có bao nhiêu giá trị khác nhau, đó là những giá trị nào ? Hãy vẽ biểu đồ hình quạt và rút ra một số nhận xét. Hỏi trung bình mỗi ngày trại thu được bao nhiêu trứng gà ? Tìm mốt của dấu hiệu. Bài 11: Biểu đồ hình chữ nhật biểu diễn số trẻ em được sinh ra trong các năm từ 1998 đến 2002 ở một huyện. Hãy cho biết năm 2002 có bao nhiêu trẻ em được sinh ra ? Năm nào số trẻ em sinh ra được nhiều nhất ? Ít nhất ? Sao bao nhiêu năm thì số trẻ em được tăng thêm 150 em ? Trong 5 năm đó, trung bình số trẻ em được sinh ra là bao nhiêu ? Bài 12: Có 10 đội bóng tham gia một giải bóng đá. Mỗi đội phải đá lượt đi và lượt về với từng đội khác. Mỗi đội phải đá bao nhiêu trận trong suốt giải ? Số bàn thắng qua các trận đấu của một đội trong suốt mùa giải được ghi lại dưới đây : Số bàn thắng (x) 1 2 3 4 5 Tần số (n) 6 5 3 1 1 N = 16 Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng. Có bao nhiêu trận đội bóng đó không ghi được bàn thắng ? Có thể nói đội bóng này đã thắng 16 trận không ? Bài 13: Có 10 đội bóng tham gia một giải bóng đá. Mỗi đội phải đá lượt đi và lượt về với từng đội khác. Có tất cả bao nhiêu trận trong toàn giải ? Số bàn thắng trong các trận đấu của toàn giải được ghi lại ở bảng sau : Số bàn thắng (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 Tần số (n) 12 16 20 12 8 6 4 2 N = 80 Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng và nhận xét. Có bao nhiêu trận không có bàn thắng ? Tính số bàn thắng trung bình trong một trận của cả giải . Tìm mốt của dấu hiệu. Bài 14: Khối lượng mỗi học sinh lớp 7C được ghi ở bảng sau (đơn vị là kg). Tính số trung bình cộng. Khối lượng (x) Tần số (n) Trên 24 – 28 Trên 28 – 32 Trên 32 – 36 Trên 36 – 40 Trên 40 – 44 Trên 44 – 48 Trên 48 - 52 2 8 12 9 5 3 1 Bài 15: Diện tích nhà ở của các hộ gia đình trong một khu dân cư được thống kê trong bảng sau (đơn vị : m2) . Tính số trung bình cộng. Diện tích (x) Tần số (n) Trên 25 – 30 Trên 30 – 35 Trên 35 – 40 Trên 40 – 45 Trên 45 – 50 Trên 50 – 55 Trên 55 – 60 Trên 60 – 65 Trên 65 - 70 6 8 11 20 15 12 12 10 6 Bài 16: Điểm kiểm tra học kỳ môn toán của một nhóm 30 h/s lớp 7 được ghi lại như sau: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 9 8 7 5 2 2 N=40 a) Dấu hiệu ở đây là gì? b) Lập bảng tần số và tính trung bình cộng của bảng số liệu trên. c) Nhận xét chung về chất lượng học của nhóm h/s đó. d)Vẽ biểu đồ đoạn thẳng. II. PHẦN HÌNH HỌC: A/Lý thuyết: Nêu các trường hợp bằng nhau của hai tam giác thường, hai tam giác vuông? Vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận? Nêu định nghĩa, tính chất của tam giác cân, tam giác đều? Nêu định lý Pytago thuận và đảo, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận? Nêu định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận. Nêu quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận. Nêu định lý về bất đẳng thức trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận. Nêu tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận. Nêu tính chất đường phân giác của một góc, tính chất 3 đường phân giác của tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận. Nêu tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, tính chất 3 đường trung trực của tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận. Một số phương pháp chứng minh trong chương II và chương III Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau: Cách1: chứng minh hai tam giác bằng nhau. Cách 2: sử dụng tính chất bắc cầu, cộng trừ theo vế, hai góc bù nhau .v. v. Chứng minh tam giác cân: Cách1: chứng minh hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau. Cách 2: chứng minh đường trung tuyến đồng thời là đường cao, phân giác … Cách 3:chứng minh tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau v.v. Chứng minh tam giác đều: Cách 1: chứng minh 3 cạnh bằng nhau hoặc 3 góc bằng nhau. Cách 2: chứng minh tam giác cân có 1 góc bằng 600. Chứng minh tam giác vuông: Cách 1: Chứng minh tam giác có 1 góc vuông. Cách 2: Dùng định lý Pytago đảo. Cách 3: Dùng tính chất: “đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông”. Chứng minh tia Oz là phân giác của góc xÔy: Cách 1: Chứng minh góc xÔz bằng yÔz. Cách 2: Chứng minh điểm M thuộc tia Oz và cách đều 2 cạnh Ox và Oy. Chứng minh bất đẳng thức đoạn thẳng, góc. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường đồng qui, hai đường thẳng vuông góc v. v. . . (dựa vào các định lý tương ứng). B/ Bài tập áp dụng : Bài 1 : Cho ABC cân tại A, đường cao AH. Biết AB=5cm, BC=6cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH? Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm A, G, H thẳng hàng? Chứng minh: =? Bài 2: Cho ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh : ABM = ACM Từ M vẽ MH AB và MK AC. Chứng minh BH = CK Từ B vẽ BP AC, BP cắt MH tại I. Chứng minh IBM cân. Bài 3 : Cho ABC vuông tại A. Từ một điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC vẽ KH AC. Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK. Chứng minh : AB // HK AKI cân = AIC = AKC Bài 4 : Cho ABC cân tại A (), vẽ BD AC và CE AB. Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh : ABD = ACE Chứng minh AED cân Chứng minh AH là đường trung trực của ED Trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho DK = DB. Chứng minh = Bài 5 : Cho ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Vẽ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh : HB = CK = HK // DE AHE = AKD Gọi I là giao điểm của DK và EH. Chứng minh AI DE. Bài 6:Cho tam giác ABC có CA = CB = 10cm, AB = 12cm. Kẻ CI vuông góc với AB (I thuộc AB) a) Chứng minh rằng: IA = IB b) Tính độ dài IC. c) Kẻ IH vuông góc với AC (H thuộc AC), kẻ IK vuông góc với BC (K thuộc BC). So sánh các độ dài IH và IK. Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D. trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE . a) Chứng minh rằng: BE = CD. b) Chứng minh: = c) Gọi K là giao điểm của BE và CD.Tam giác KBC là tam giác gì? Vì sao? d) Ba đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm. Bài 8: Cho ABC (= 900 ) ; BD là tia phân giác của góc B (D AC). Trên tia BC lấy điểm E sao cho BA = BE. a) Chứng minh: DE BE. b) Chứng minh: BD là đường trung trực của AE. c) Kẻ AH BC. So sánh EH và EC. Bài 9: Cho tam giác ABC có = 900,AB =8cm, AC = 6cm . a. Tính BC b. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 2cm , trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB . Chứng minh BEC = DEC . c. Chứng minh: DE đi qua trung điểm cạnh BC. Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường phân giác BH (H AC), kẻ HM vuông góc với BC (MBC). Gọi N là giao điểm của AB và MH. Chứng minh rằng: a) ABH = MBH b) BH AM c) AM // CN Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác BE; kẻ EH vuông góc với BC ( H Î BC ). Gọi K là giao điểm của AB và HE . Chứng minh : a/ EA = EH b/ EK = EC c/ BE ^ KC Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB < AC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Kẻ AH vuông góc với BC, kẻ DK vuông góc với AC. a) Chứng minh : ; b) Chứng minh : AD là phân giác của góc HAC c) Chứng minh : AK = AH. d) Chứng minh : AB + AC < BC +AH Bài 13: Cho tam giác cân ABC có AB = AC = 5 cm, BC = 8 cm. Kẻ AH vuông góc với BC (H BC) a) Chứng minh : HB = HC và = b) Tính độ dài AH ? c) Kẻ HD vuông góc AB (DAB), kẻ HE vuông góc với AC (EAC). Chứng minh : DE//BC Bài 14: Cho tam giác MNP vuông tại M, biết MN = 6cm và NP = 10cm . Tính độ dài cạnh MP Bài 15: Cho tam giác ABC trung tuyến AM, phân giác AD. Từ M vẽ đường thẳng vuông góc với AD tại H, đường thẳng này cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng : a) Tam giác ABC cân b) Vẽ đường thẳng BK//EF, cắt AC tại K. Chứng minh rằng : KF = CF c) AE = Bài 16: Cho DEF vuông tại D, phân giác EB. Kẻ BI vuông góc với EF tại I . Gọi H là giao điểm của ED và IB.Chứng minh: a) EDB = EIB b) HB = BF c) DB<BF d) Gọi K là trung điểm của HF. Chứng minh 3 điểm E, B, K thẳng hàng Bài 17: Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường phân giác của góc B cắt AC tại H . Kẻ HE vuông góc với BC (EBC) . Đường thẳng EH và BA cắt nhau tại I . Chứng minh rẳng : ΔABH = ΔEBH Chứng minh BH là trung trực của AE So sánh HA và HC Chứng minh BH vuông góc với IC . Có nhận xét gì về tam giác IBC. Bài 18: Cho góc nhọn xOy. Điểm H nằm trên tia phân giác của góc xOy. Từ H dựng các đường vuông góc xuống hai cạnh Ox và Oy (AOx và BOy). a) Chứng minh tam giác HAB là tam giác cân b) Gọi D là hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với OH. Chứng minh BC ⊥ Ox. c) Khi góc xOy bằng 600, chứng minh OA = 2OD. Bài 19: Cho tam giác ABC có \ = 900 , AB = 8cm, AC = 6cm . a. Tính BC . b. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE= 2cm;trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD=AB. Chứng minh ∆BEC = ∆DEC . c. Chứng minh DE đi qua trung điểm cạnh BC . Bài 20: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Trên tia đối của tia AH lấy điểm D sao cho AD = AH . Gọi E là trung điểm của HC, F là giao điểm của DE và AC. a/ Chứng minh rằng HF cát CD tại trung điểm của CD. b/ Chứng minh HF = 1/3 CD. c/ Gọi I là trung điểm AH. Chứng minh EI vuông góc với AB. d/ Chứng minh BI vuông góc với AE. Bài 21: Cho tam giác ABC nhọn. Dựng về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi H là trọng tâm của tam giác ABD, I là trung điểm của BC. Trên tia HI lấy điểm K sao cho HI = IK. Chứng minh: a/ AH = CK. b/ ∆AHE = ∆CKE. c/ Tam giác EHK là tam giác đều. Bài 22: Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, vẽ đường cao AH. a. Chứng minh HB > HC b. So sánh góc BAH và góc CAH. c. Vẽ M, N sao cho AB, AC lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng HM, HN. Chứng minh tam giác MAN là tam giác cân. Bài 23: Cho ∆ ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE ⊥ BC ( E∈BC ). Gọi F là giao điểm của AB và DE. Chứng minh rằng: a) BD là trung trực của AE b) DF = DC c) AD < DC; d) AE // FC. Bài 24: Cho có Oz là tia phân giác, M là điểm bất kỳ thuộc tia Oz.Qua M kẻ đường thẳng a vuông góc với Ox tại A cắt Oy tại C và vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy tại B cắt tia Ox tại D. a) Chứng minh tam giác AOM bằng tam giác BOM từ đó suy ra OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB. b) Tam giác DMC là tam giác gì ? Vì sao? c) Chứng minh DM + AM < DC Bài 25: Cho tam giác ABC có và đường phân giác BH (HAC). Kẻ HM vuông góc với BC ( MBC). Gọi N là giao điểm của AB và MH. Chứng minh: a) Tam giác ABH bằng tam giác MBH. b) BH là đường trung trực của đoạn thẳng AM . c) AM // CN. d) BH CN Bài 26:Cho tam giác ABC vuông tại C có và đường phân giác của góc BAC cắt BC tại E. Kẻ EK AB tại K(KAB). Kẻ BD vuông góc với AE ta D ( DAE). Chứng minh: a) Tam giác ACE bằng tam giác AKE. b)AE là đường trung trực của đoạn thẳng CK. c) KA = KB. d) EB > EC. Bài 27: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác của góc ABC cắt AC tại E. Kẻ EH BC tại H (HBC). Chứng minh: a) Tam giác ABE bằng tam giác HBE. b) BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH. c) EC > AE. Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết AH = 4 cm; HB = 2cm HC = 8cm: a) Tính độ dài các cạnh AB, AC. b) Chứng minh .  ĐỀ THAM KHẢO Đề 1: Bài 1: (2 đ) Điểm kiểm tra môn toán HKII của các em học sinh lớp 7A được ghi lại trong bảng sau: 8 7 5 6 6 4 5 2 6 3 7 2 3 7 6 5 5 6 7 8 6 5 8 10 7 6 9 2 10 9 Dấu hiệu là gì? Lớp 7A có bao nhiêu học sinh? Lập bảng tần số và tìm mốt của dấu hiệu Tính điểm thi trung bình môn toán của lớp 7A Bài 2: (3 đ) Cho hai đơn thức sau P(x) = 5x5 + 3x – 4x4 – 2x3 + 6 + 4x2 Q(x) = 2x4 – x + 3x2 – 2x3 + - x5 Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến? Tính P(x) – Q(x) Chứng tỏ x = -1 là nghiệm của P(x) nhưng không là nghiệm của Q(x) Tính giá trị của P(x) – Q(x) tại x = -1 Bài 3: (1 đ) Tìm nghiệm của các đa thức sau 2x – 5 x ( 2x + 2) Bài 4: (4 đ) Cho tam giác ABC có BC = 2AB. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của BM. Trên tia đối của tia NA lấy điểm E sao cho AN = EN. Chứng minh: tam giác NAB = tam giác NEM ( 1 đ) Tam giác MAB là tam giác cân ( 1 đ) M là trọng tâm của tam giác AEC ( 1 đ) AB > AN ( 1 đ) ĐỀ 2: Bài 1: (2 điểm) Điểm kiểm tra môn Toán của một nhóm học sinh được thống kê bằng bảng sau: 7 9 7 9 10 9 7 8 9 7 8 8 9 8 8 8 7 10 8 10 a) Dấu hiệu cần quan tâm là gì? b) Lập bảng tần số