Đề tài Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán đại số bằng phương pháp lượng giác

Đặt vấn đề Khi hướng dẫn học sinh giải các bài tập toán, tôi nhận thấy một điều: Đại đa số học sinh tìm lời giải cho các bài toán một cách thụ động, không chủ động, sáng tạo trong tư duy logic, lập luận không rõ ràng, mạch lạc... Xảy ra điều trên là do nhiều nguyên nhân, chẳng hạn như: hiểu, nắm lý thuyết lơ mơ, không biết phân tích giả thiết, kết luận của bài toán để dẫn đến đường lối giải quyết bài toán,... Để phần nào khắc phục được điều này, trong phạm vi bài viết này, tôi xin nêu ra một trong những việc tôi đã thực hiện trong quá trình giảng dạy, đó là: "Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán đại số bằng phương pháp lượng giác". Trên cơ sở học sinh đã nắm vững các kiến thức lượng giác kết hợp với việc tìm tòi các khía cạnh của mỗi bài toán, để rồi "quy lạ về quen" sẽ dẫn đến đường lối giải quyết bài toán, thông qua các thí dụ và một số bài tập tương tự; ở các thí dụ tôi chỉ nêu ra lời giải bằng phương pháp lượng giác mà không nêu ra lời giải bằng các phương pháp khác. Tuy nhiên trong phạm vi của bài viết này, tôi cũng chỉ đề cập được một số vấn đề nhỏ và còn có thể còn những chỗ chưa thực sự hợp lý. Tôi rất mong được sự đóng góp để có một cách khai thác tốt bài toán thuộc loại này. Nội dung A. Cơ sở lý thuyết cần nhớ để vận dụng: 1) Nếu gặp biểu thức dạng ẵxẵÊ k (k>0) thì ta có thể đặt x = k sin a hoặc x = cos a. 2) Nếu gặp biểu thức dạng x2 + y2=k2 thì ta có thể đặt x=k sin a, y=k cos a. 3) Nếu gặp biểu thức dạng x2 + k2 thì ta có thể đặt x = k tg a. 4) Nếu gặp ẵxẵ³ k thì ta có thể đặt x = . Chú ý: Tuỳ từng bài toán cụ thể; cần chọn góc a được đưa vào thích hợp để tránh sai lầm trong lập luận. B. Các thí dụ: * Thí dụ 1: Cho hàm số y = |x| (4x2+m). Hãy tìm m để |y| Ê 1 khi |x| Ê 1. Bài giải: Vì |x| Ê 1 nên ta đặt |x| =- cosa, chọn a ẻ khi đó ta có y = |x| (4x2+m) = cos a (3 cos2 a m) = 4cos3a + cos a = 4cos3a - 3cos a +(m+3)cos a = cos 3 a + (m+3) cos a. + Nếu m = -3, ta có y=cos3aịờy ờ=ờcos3aờÊ 1. Nên m = -3 thích hợp. + Nếu m +3 > 0 Û m 1ị ờy ờ> 1. Nên m > -3 không thích hợp. + Nếu m +3 1. Nên m <-3 không thích hợp. Kết luận: Giá trị cần tìm là m = -3. * Thí dụ 2: Phương trình 8x (2x2-1)(8x4-8x2+1)=1 có bao nhiêu nghiệm trên đoạn [0;1]? Bài giải: Do 0 Ê x Ê 1, nên đặt x = cos a, chọn a ẻ ta được phương trình: 8 cos a (2 cos2a -1)(8cos4a -8cos2a + 1)=1 Û 8 cos a. cos2a .[2.(2cos2a -1)2-1] =1 Û 8 cos a. cos2a .(2cos22a -1) =1 Û 8 cos a. cos2a cos4a =1 (*) Nếu a = 0, ta được 8 =1 vô lý ị a ạ0 và 0 0. Do đó (*) Û 8 sin a cos a cos2a . cos 4a = sin a. Û sin8a =sin a Û Để 0 < a Ê thì k =1, l =0 và l = 1. Do vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm. * Thí dụ 3: Giải và biện luận phương trình: 4x3 - 3x=m(1) với ờm ờ Ê 1. Bài giải(1): Vì ờmờ Ê 1, nên tồn tại 3 a để cos 3 a = m. Do đó (1) Û 4x3-3x = cos3a Û 4x3 - 3x = 4cos3a -3cos a Û 4(x3-cos3a) - 3(x-cosa) = 0 Û 4(x -cosa)(x2+xcosa + cos2a) - 3 (x-cosa) = 0. Û (x -cosa)(4x2+4xcosa + 4cos2a - 3) = 0. Û (2) Giải (2) (2) Û Kết luận: Phương trình đã có nghiệm: x=cosa x = cos x = cos * Thí dụ 4: Chứng minh: Bài giải: chọn x ẻ[0;p] chọn y ẻ[0;p] Vì: Nên ta đặt: Khi đó vế trái trở thành: = = = Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: Û *Thí dụ 5: (Đề 122 - Câu III2). Chứng minh rằng nếu ờx ờÊ1 thì (1+x)n+(1-x)nÊ2n với mọi n³2, nẻN. Bài giải: Vì ờx ờ<1, nên đặt x = cos a, chọn a ẻ (0;p) Khi đó: (1+x)n+(1-x)n = (1+cos a)n+(1-cos a)n = Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = ± 1 * Thí dụ 6: (Đề 94 - Câu II2) Trong các nghiệm (x; y, z, t) của hệ: Nghiệm nào là cho x + z đạt giá trị lớn nhất. Bải giải: Vì: x2+y2 = 16 và z2 + t2 =25. Nên ta đặt: và Khi đó bất phương trình của hệ trở thành: 4 sina . 5cosb +4cosa.5sinb ³ 20. Û 20 (sina cosb + cosa sin b) ³ 20 Û sin (a +b) ³ 1. ị sin (a +b) = 1 Û a + b = + k2p (kẻZ) Ta có: x + z = 4 sin a + 5 cosb = 4 sin a + 5 cos a. = = với Do đó: max (u+z) = khi (k,lẻZ) Hay: * Thí dụ 7: Cho x2+y2+2x-2y+1=0 (1) Chứng minh: (2) Bài giải: Từ (1) ta có x2 +y2 - 2x - 2y + 1=0 Û (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1 Nên ta đặt: Do đó vế trái của (2) trở thành: =- -2+2.cosa + 2-2cosa - 2 + 2 sina cosa+ 2cosa + + 2sina +2 - 2ẵ = ẵ-(cos2a-sin2a) +2sina.cosa ẵ = ẵ-.cos2a +sin2aẵ = Vì sin Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: Û (x,y) là các cặp số (0;1), (1;0), (2;1), (1;2) * Thí dụ 8: Cho bốn số a, b, x, y tuỳ ý. Chứng minh rằng rằng: ờax+byờÊ (1) Bài giải: + Nếu a = b = 0 hoặc x = y = 0 thì (1) đúng. + Nếu a2 + b2 > 0 và x2 + y2 > 0 thì. (1) Û (2) Vì và Nên ta đặt: và Khi đó (2) Û ờcosa .cosb + sina. sin bờ Ê 1 Û ờcos(a-b)ờ Ê 1. Hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b = x = y. Chú ý: Sử dụng kết quả trên ta chứng minh được bài toán: "Cho 2n số a1, a2,... ,an, b1, b2,... ,bn(nẻN,m n³ 1). Chứng minh rằng: * Thí dụ 9: Giải bất phương trình: (2a)x2+2x+3+(1-a)x2+2x+3 Ê (1+a2)x2+2x+3 (1) với 0 < a < 1 Bải giải: Đặt a =tg , chọn 0 < < hay 0 < a < Thì Và do vậy nếu chia cả hai vế của (1) cho (1+a2)x2+2x+3 Ta được: (sina) x2+2x+3 + (cosa) x2+2x+3 Ê 1. Û (sina)(x+1)2+2 + (cosa)(x+1)2+2 Ê 1. Mà: (x+1)2 + 2 ³ 2 với mọi x . Nên: (sina)(x+1)2+2 Ê sin2a (2) (cosa)(x+1)2+2 Ê cos2a (3) Cộng các vế tương ứng của (2), (3) ta được: (sina)(x+1)2+2 + (cosa)(x+1)2+2 Ê sin2a + cos2a =1 Vậy bất phương trình (1) nhận mọi x làm nghiệm. * Thí dụ 10: (Đề thi ĐH Bách Khoa - 1983) Chứng minh Bài giải: Đặt x = tg b, chọn b ẻ Yêu cầu bài toán Û Û Û ờsin(a+2b) ờÊ1. Hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi * Thí dụ 11: Chứng minh: (1) Bài giải: Đặt a= tga , b =tgb, c= tgg Khi đó: (1) Û (2) Mặt khác: tgx-tgy=; 1+ tg2x = . áp dụng vào (2) ta có: (2) Û Û ẵsin(a -g)ẵÊẵsin(a -b)ẵ+ẵsin(b-g)ẵ (3) Lại có = = Ê Ê (4) Từ (3) và (4), ta có điều cần chứng minh: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Û a=b=c * Thí dụ 12: Với ờa ờ³ 1, ờb ờ³ 1. Chứng minh: (1) Bài giải: Vì: ờcosx ờÊ 1 ị ³ 1, nên đặt a = b = và chọn Khi đó vế trái của (1) trở thành: = ờsin(a +b)ỗ Ê 1. Hiển hiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Û C. Bài tập tương tự. 1 Cho y = x + -m. Tìm m để y Ê 0 với mọi x thuộc tập xác định. 2 (Đề thi ĐH khối A - 1987). Trong những nghiệm (x,y,z,t) của hệ: Nghiệm nào làm cho x + z đạt giá trị lớn nhất. 3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 4 (Đề thi ĐH miền Bắc năm 1972) Chứng minh - Ê u (y-x)+v(x+y) Ê - với x,y là các số thực thoả mãn x2+y2=1, u2+v2=1. 5 (Đề 65- Câu III1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2+x + 12 = 36 6 (Đề tuyển sinh vào trường ĐH Cần Thơ - Năm 1997). Cho phương trình: -x2+2x + 4 = m -3. a) Giải phương trình khi m = 12. b) Tìm m để phương trình có nghiệm. 7 (Đề tự ôn - Báo THTT- tháng 5- năm 2004): Cho bất phương trình + = 4 8 (Đề 69 - CâuII2) Cho bất phương trình: Ê x2 -2x +m (1) Tìm m để (1) đúng với mọi x ẻ [-4;6] 9 (Đề 59 - Câu II1) Cho phương trình: =m (1) a) Giải phương trình khi m =3 b) Tìm m để (1) có nghiệm. 10 (Đề 149-Câu III2) Cho bất phương trình: - 4 Ê x2 -2x+a-18 (1) a) Giải (1) khi a = 6 b) Tìm a để (1) đúng với mọi x ẻ [-2; 4] 11 (Đề tuyển sinh ĐH Kinh tế năm 1999) Cho phương trình: =a a) Giải phương trình khi a = 3. b) Tìm a để phương trình có nghiệm. 12 Cho hàm số y = 8x4-8x2+m a) Tìm m để ờy ờÊ 1 khi ờx ờÊ 1. b) Với giá trị m vừa tìm được. Hãy chứng tỏ rằng phương trình 8x4-8x2+m=0 có đúng 4 nghiệm khác nhau trên đoạn [-1;1] 13 Phương trình: 265x9-576x7+432x5-120x3+9x=0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng (-1;0). 14 (Đề 11- Câu III2): Tìm giá trị lớn nhất của: f(x) = +. Sử dụng giải phương trình: + = x2-6x+11. 15 Cho 3 số x,y,z thoả mãn xy + yz + zx = 1 và x, y, z ẻ (0;1). Chứng minh bất đẳng thức: 16 Giải phương trình: x3+ = x 17 Giả sử: a2 + b2 =1, c2 + d2 =1, ac +bd = 0 Chứng minh a2+c2=1, b2 + d2=1, ab+cd =0. 18 Giả sử: x2 + y2 ạ 0. Chứng minh: - Ê Ê 19 Chứng minh rằng với mọi a ẻ R, "n ẻ Z, n ³ 2 - (1+a2)n Ê (2-a)n +(1-a2)n Ê (1+a2)n 20 Giải phương trình: 21 Giải hệ : 22 Giải và biện luận bất phương trình: x + 0; b > 0) 23 Giải và biện luận phương trình: (a+b) - (a-b) = a2+b2. 24 Cho x, y, z dương thoả mãn: Chứng minh xy + yz + zx Ê 8 25 (Đề 146) Chứng minh: 26 Chứng minh rằng với mọi x thoả mãn 1 Ê x Ê 5, ta có + ³ 2 Kết luận Đối với mỗi một dạng toán thì việc hướng dẫn học sinh xuất phát từ những kiến thức cơ bản đã biết để tìm ra cách giải tương ứng là một việc làm cần thiết. Vì như thế họ sẽ nắm được ngọn nguồn bản chất của vấn đề và không thụ động khi giải toán. Với những bài toán thuộc loại toán nói trên, với cách hướng dẫn học sinh xuất phát từ các kiến thức lượng giác, liên hệ với giả thiết, kết luận của bài toán gặp phải. Từ đó giúp học sinh có cách xử lý thích hợp, sáng tạo trong từng trường hợp cụ thể. Cách làm này đã được tôi áp dụng truyền đạt cho học sinh các lớp 12I, 12P khoá học 1998-2001, lớp 11M khoá học 2002-2005, lớp 11H; 11K khoá học 2003-2006. Kết quả là đa số các em đã tiếp thu kiến thức một cách vững vàng và tự tin khi gặp các bài toán đại số có dấu hiệu giải được bằng phương pháp lượng giác, tạo cho học sinh tính năng động, cải biến được hành động học tập, chủ động, tự tin, phát triển tư duy độc lập sáng tạo, rèn luyện được kỹ năng giải toán. Khi kiểm tra về vấn đề này thì hơn 50% học sinh đạt kết quả từ khá trở lên, và được các thầy cô giáo trong Tổ toán của trường rất ủng hộ cách làm này và mạnh dạn đem áp dụng đối với lớp của mình./. Nga Sơn, tháng 5 năm 2005 Người thực hiện Nguyễn Văn Kế