Đề tài Một số dạng và cách giải bài tập tìm thiết diện

Phần A : đặt vấn đề Khi học môn Toán việc giải bài tập có ý nghĩa rất quan trọng.Ngoài rèn luyện kỹ năng vận dụng , đào sâu và mở rộng kiến thức đã học một cách sinh động, bài tập Toán còn giúp học sinh rèn luyện tính tích cực,trí thông minh, sáng tạo, bồi dưỡng hứng thú trong học tập. Trước một bài toán đặt ra cho người dạy và người học nhiệm vụ tìm ra và lựa chọn phương pháp giải thích hợp nhất. Khi học sinh định được dạng bài sẽ là tiền đề của sự thành cụng , tỡm được phương pháp làm sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức lí thuyết và giải bài toán một cách dễ dàng. Điều đú cú nghĩa là học sinh đú đó thành cụng trước bài toỏn. Trong quá trình giảng dạy chương II, chương III của môn Hình 11, là chương quan trọng mở đầu cho môn hình học mới - hình học không gian .Tôi nhận thấy người giáo viên không những có nhiệm vụ hình thành các khái niệm cơ bản mà phải làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của hình học không gian và biết vận dụng trong việc giải bài tập.Qua thực tiễn giảng dạy chương trình lớp 11 trong một số năm tôi nhận thấy bài tập hỡnh học khụng gian làm cho học sinh cũn rất lỳng tỳng , lo ngại. Với lí do trên, trong quá trình giảng dạy,đọc tài liệu tham khảo và học hỏi đồng nghiệp tôi mạnh dạn phân một số dạng và cách giải bài tập tìm thiết diện. Đề tài này tôi hi vọng sẽ mang đến cho bản thân, đồng nghiệp và các em học sinh một tài liệu bổ ích. Do tuổi nghề còn non trẻ, kinh nghiệm của bản thân có hạn nên chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự thông cảm và nhận được nhiều đóng góp quý báu của đồng nghiệp, nhằm đưa ra một tài liệu đáng tin cậy, giúp quá trình giảng dạy và học tập, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục môn học. Phần b : nội dung I.cơ sở lí thuyết : I.1. Ưu điểm : Thiết diện không được giảng dạy trong tiết lí thuyết cụ thể nào trong phân phối chương trình.Tuy nhiên bài tập tìm thiết diện rất phong phú và đa dạng. Việc phân loại các dạng bài tập thiết diện giúp học sinh dễ dàng tìm ra lời giải bài toán. I.2. Một số dạng bài tập : 1)Thiết diện qua ba điểm cho trước. 2) Thiết diện song song 3) Thiết diện vuông góc I.3. Cơ sở lí thuyết : Theo sách giáo khoa hình học nâng cao : ‘Thiết diện( hay mặt cắt) của hình H khi cắt bởi mp(P) là phần chung của mp(P) và hình H’’.Như vậy muốn tìm thiết diện ta tìm các giao tuyến của mp(P) và các mặt hình H (nếu có). Các định lí và tính chất liên quan đến bài toán tìm thiết diện : 1. Nếu có một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. 2. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác. 3. Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. 4. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng ( nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. 5. Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) . Nếu mặt phẳng (Q) chứa d cắt (P) theo giao tuyến d’ thì d//d’. 6. Khi mp(P) song song với mp(Q) thì (P) song song với tất cả đường thẳng nằm trong (Q). 7. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mp(Q) chứa a cắt (P) theo giao tuyến b thì b song song với a. 8. Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau. 9. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó cũng vuông góc với mặt phẳng ấy. 10. Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không thuộc (P) đồng thì không vuông góc với (P) . Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (P) II. phân dạng bài tập tìm thiết diện  : II.1. Thiết diện qua ba điểm cho trước 1.1. Ba điểm nằm trên ba cạnh không đồng phẳng của hình chóp Cách giải: +Xác định mặt phẳng chứa hai điểm cho trước. +Xác định giao điểm của đường thẳng đi qua hai điểm đó với giao tuyến của mặt phẳng chứa nó với mặt phẳng chứa điểm còn lại +Nối các đoạn thẳng với các giao điểm và điểm cho trước để xác định mặt phẳng cắt các cạnh của hình chóp * Chú ý trong khi xác định thiết diện cần dự đoán mặt phẳng sẽ cắt những cạnh nào của hình chóp để xác định Ví dụ1 : Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành, gọi M,N,P theo thứ tự là trung điểm của SC, AB, AD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP) Lời giải: Nhận thấy MN=(MNP)(ABCD) Gọi giao điểm của MN và BC là K,của CD và MN là L. Khi đó PK(MNP), PK(SBC). Trong mặt phẳng (SBC) gọi E=PKSB thì Trong mặt (SCD) gọi F=PLSD thì . Dễ thấy:, Vậy thiết diện cần tìm là PEMNF Ví dụ 2: Tứ diện ABCD, MA=MB và NC=ND, PAD, PAPD. Tìm thiết diện tạo bởi (MNP) với tứ diện (ABCD). Lời giải: Trong mp (ABD), gọi MPBD=L. Suy ra (MNP) (BCD)= NL. Gọi NLBC= E thỡ (MNP) (BCD)= NE. Xét trong (ACD):gọi PNAC= Q(Hoặc trong tam giác (ABC) thỡ ENAC= Q) Khi đú (MNP) (BAD)= MP, (MNP) (ACD)= NP, (MNP) (BCD)= NE, (MNP) (ABC)= ME. Thỡ ta được thiết diện của (MNP) và thiết diện là MENP. 2.Có hai điểm nằm trên hai cạnh còn một điểm nằm trên một mặt của hình chóp Cách giải: +Xác định giao tuyến của mặt phẳng chứa hai điểm nằm trờn hai cạnh và mặt phẳng chứa điểm kia. +Xác định giao điểm của đường nối hai điểm trên 2 cạnh đã cho với giao tuyến. +Xác định giao điểm của đường nối điểm đó với điểm thứ ba trên mặt đã cho với các cạnh của hình chóp. Nếu hai điểm trên hai cạnh không cùng thuộc một mặt bên thì tìm giao với các cạnh kéo dài và xác định các giao điểm thuộc mặt phẳng cắt. Đặc biệt hai điểm nằm trên hai đường chéo nhau cần xác định một mặt phẳng chứa một điểm trên cạnh và điểm trên mặt đã cho. +Xỏc định cỏc giao tuyến và kết luận. E M A B D C N G Q P I Ví dụ: Cho tứ diện ABCD gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên BC sao cho BN = 2NC, G là trọng tâm của tam giác ACD. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MNG). Lời giải: Giao tuyến của mặt chứa M,N và mặt phẳng chứa G là AC= (ABC)(ACD). Ta có MN= (ABC)(MNG).Gọi I=MNAC. Trong mặt phẳng (ACD) gọi P=IGCD, Q= IGAD. Khi đó đễ thấy: NP = (BCD)(MNG) PQ= (ACD)(MNG) QM= (ABD)(MNG). Vậy thiết diện cần tìm là tứ giỏc MNPQ. 3.Có một điểm nằm trên cạnh còn hai điểm kia nằm trên hai mặt khác Cách giải: Tìm mặt phẳng chứa hai trong ba điểm đã cho, sau đó tìm giao điểm của đường thẳng nối hai điểm ấy với một mặt thích hợp của hình chóp. Xác định giao điểm của các cạnh hình chóp với mặt phẳng thiết diện.Kết luận về thiết diện. S M N K A B C D Q I E I F J H Ví dụ 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD. Trong tam giỏc SBC lấy điểm M, trong tam giỏc SCD lấy điểm N. Tỡm thiết diện của hỡnh chúp cắt bởi (AMN). Lời giải: Gọi , . Khi đú (SQK) chứa M,N. Gọi , . HM cắt mặt phẳng (SBC) tại I và F. FN cắt SD tại E. Khi đú AI, IF, FE, EA là cỏc đoạn giao tuyến của cỏc mặt (SAB), (SBC), (SCD), (SAD) với (AMN) Thiết diện cần tỡm là tứ giỏc AIFE. Ví dụ2: Cho hình chóp ABCD gọi E,F là trọng tâm của các tam giác ABC, và BCD . M là trung điểm của AD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MEF)? Lời giải: Ta có AE (ABC). Gọi P=AE BC. Khi đó P=DF BC, AP= (ABC)(AEF) , DP= (BCD)(AEF) . Thiết diện là tam giác ADP. F B E N A C D M p ` 4.Ba điểm nằm trên ba mặt khác nhau Cách giải: Xác định mặt phẳng chứa hai trong ba điểm và giao tuyến của nó với mặt không chứa điểm nào. Xác định giao điể m của đường thẳng nối hai điểm với giao tuyến trên và xác định các giao điểm của đường thẳng nối các giao điểm với các cạnh của hình chóp. Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD . Trên các mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (SCD) lấy các điểm M, N, P nằm trong tam giác tạo bởi ba đỉnh tương ứng của các mặt sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với mặt phẳng đáy. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) Lời giải: _ Q _ N _ D _ B _ C _ S _ P _ _ R _ T _ H _ K _ E _ U _ F _ A _ L _ V _ M Gọi R=SM AB, T = SN BC, H = RT DC, K = RT AD, U = MN SH, V = MN SK, F = SC UP, Q = UP SD, E = NF SB, L = VQ SA . Khi đó EF, FQ, QL, LE là giao tuến của các mặt (SBC), (SCD), (SAD), (SAB) với mặt phẳng (MNP). Vậy thiết diện là tứ giỏc EFQL (Đõy là một trường hợp ứng với vị trớ M,N,P. Hóy làm bài toỏn biện luận.) 5.Thiết diện có một điểm nằm trong khối của hình chóp Cách giải: Tìm cách chuyển điểm trong khối chóp ra mặt ngoài của hình chóp bằng cách xác định giao tuyến của mặt phẳng chứa điểm nằm trong khối chóp và một điểm nằm trên mặt hoặc cạnh của khối chóp. Xác định giao điểm của đường thẳng giao tuyến với đường thẳng nối hai điểm của mặt phẳng thiết diện cho trước. Chuyển về bài xác định thiết diện có các điểm cho trước nằm trên mặt của hình chóp đã nêu trên. Ví du: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I = AC ầ BD, O là trung điểm SI, gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD xác định thiết diện cắt bởi hình chóp với mặt phẳng (MNO) Lời giải: F L E K P N M A C B D S Gọi J =MN AC, P = JO SC. Gọi K= BC MN, L= MN CD. Khi đó: MN= (ABCD)(MNO) NF= (MNO)(SAD) PF= (SCD)(MNO) PE= (SCB)(MNO) Vậy ngũ giác MNFPE là thiết diện cần tìm II.2. Thiết diện song song Để xác định thiết diện song song cần xác định mặt phẳng thiết diện song song với những đường thẳng chứa cạnh nào của hình chóp. Vận dụng tính chất song song đó xác định các đường thẳng tương ứng và tìm giao điểm của mặt phẳng thiết diện với hình chóp. 2.1.Đi qua hai điểm và song song với một đường thẳng Cách giải: Xác định mặt phẳng chứa một điểm cho trước, xác định đường thẳng đi qua điểm và song song với đường cho trước qua đó xác định giao điểm với các cạnh của hình chóp ( áp dụng định lí về giao tuyến) Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD . M và N là hai điểm trên AB và CD, a là mặt phẳng qua MN và song song với SA. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng a. Lời giải: _ A _ M _ D _ B _ C _ S _ N _ Q _ P Ta có MN= ()(ABCD). Mp(SAB) chứa M và SA nên gọi MQ= ()(SAB) thì SA//MQ. Gọi I=MNAC, gọi IP là giao tuyến của () và (SAC) thì IP // SA. Như vậy, NP= ()(SCD), PQ= ()(SBC). Thiết diện cần tìm là tứ giác MNPQ. Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình thang với cạnh đáy là AB, CD .Gọi I, J là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm tam giác SAB.Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Lời giải: D A B I C J M N G E S Ta có với MN//IJ//AB, GMN. Nối IM và JN. Các đoạn ị, JN, MN, MI là các đoạn giao tuyến của (IJG) với các mặt (ABCD), (SBC), (SAB) và (SAD). Do đó thiết diện là hình thang IJNM. 2.2.Đi qua một điểm và song song với một mặt Cách giải: Dựng các đường thẳng song song với các giao tuyến của mặt phẳng cho trước với các mặt bên với điều kiện các đường thẳng này cần dựng phải đi qua các điểm cho trước. Xác định các giao điểm với các cạnh của hình chóp với các đường thẳng được xác định.( áp dụng định lí : Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau ) Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm các đường chéo đáy. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua O và song song với mặt phẳng (SAB) cắt hình chóp. _ B _ S _ O _ C _ A _ D _ _ P _ N _ Q Lời giải: Mặt phẳng cần tìm song song với (SAB) và cùng cắt (SAC) theo giao tuyến SA và đường thẳng qua O nên SA // MO, với M thuộc SC. Lí luận tương tự ta kẻ PQ // AB thì PQ thuộc mặt phẳng cần tìm. PQ = (ABCD) , MQ = (SBC) . Từ P kẻ PN // SA thì PN = (SAD) . Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNPQ. 2.3.Đi qua một điểm và song song với cặp đường thẳng chéo nhau Cách giải: Từ các điểm đã cho lần lượt dựng các đường thẳng song song với hai đường thẳng chéo nhau với điều kiện các đường thẳng đó phải nằm trên các mặt của hình chóp để xác định các giao điểm với các cạnh . S Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo đáy. Tìm thiết diện tạo bởi hình chóp và mp(P) đi qua O, song song với AB và SC. M A C B D Lời giải: P N O Gọi () là mặt phẳng qua O và song song với AB và SC. Từ O kẻ MN // AB, PN // SC, PQ // AB. Khi đó dễ thấy : MN = (ABCD) (), PN = (SBC) (), PQ = (SAB) (),MQ = (SAD) (). Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNPQ. II.3. Thiết diện vuông góc 3.1.Thiết diện qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng Mặt phẳng được xác định khi biết ba điểm không thẳng hàng vận dụng vấn đề đó mặt phẳng cũng được xác định khi biết hai đường thẳng cắt nhau, hai đường thẳng song song với nhau, biết một điểm thuộc nó và một đường thẳng vuông góc với nó. Do vậy mặt phẳng được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một đường vuông góc với nó cho ta xác định được một mặt phẳng đi qua một điẻm vuông góc với một đường thẳng và có thể phát biểu thành mệnh đề như sau : “Nếu n đường thẳng trong không gian cùng đi qua một điểm M và vuông góc với đường thẳng D cho trước thì chúng đồng phẳng” Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d cho trước có hai trường hợp sảy ra : Trường hợp 1: Nếu có hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với d và a không song song với b thì ta có (P) // a và (P) // b (Có thể (P) chứa một hoặc hai đường thẳng đó). Vận dụng các phương pháp xác định thiết diện song song đã nêu trước để xác định thiết diện Trường hợp 2: Nếu không có hai đường thẳng cùng vuông góc với d ta dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d trong đó có ít nhất một đường đi qua điểm cho trước. Mặt phẳng được xác định chính là (P) sau đó vận dụng các kiến thức đã nêu xác định thiết diện. Chú ý : Đế xác định đường thẳng thứ hai trong trường hợp hai cần nắm trắc định lí ba đường vuông góc và điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc S A B C K Vớ dụ1: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC nhọn và SA ^ (ABC). Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng qua S và vuông góc với BC. Lời giải: Ta có SA(ABC)SABC. Kẻ SKBC.Từ đó suy ra BC (SAK) . Vậy (SAK) thoả mãn BC (SAK) và qua S. Do đó thiết diện cần tìm là tam giác SAK. Vớ dụ2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A,B với AB = BC = a, AD = 2a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA =2a. Gọi M là một điểm trên AB, () là mặt phẳng qua M, vuông góc AB. Tìm thiết diện của hình chóp với . P M D A B Q S N C Lời giải: Ta có : M là điểm chung của với (SAB), //SA nên cắt (SAB) theo giao tuyến là đường thẳng qua M, song song SA, cắt SB tại N. Lí luận tương tự ta có giao tuyến của (ABCD) và (SBC) lần lượt là MQ, NP (Q thuộc CD, P thuộc SC) cùng song song với BC. và (SCD ) có hai điểm chung P,Q nên cắt (SCD) theo giao tuyến PQ. Vậy thiết diện này là hình thang vuông MNPQ, (MQ//NP). 2.Thiết diện đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng Cách giải: Từ một điểm trờn đường thẳng a đi qua hai điểm đó cho dựng đường thẳng b vuụng gúc với mặt phẳng (P) thỡ mặt phẳng cần tỡm là mặt phẳng (a,b).Ta tỡm cỏc giao tuyến. Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hỡnh vuụng. SA vuông góc với đáy.Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua A,B và vuông góc với mặt phẳng (SCD). Lời giải: _ A _ M _ D _ B _ C _ P _ S Từ A kẻ AM. Vì , nên suy ra . Vậy . H là điểm chung của (ABM) và (SDC) mà AB//CD nên từ M kẻ MP//CD. Dễ thấy thiết diện cần tìm là tứ giác ABPM. III. Các bài tập TìM thiết diện 1. Thiết diện qua ba điểm cho trước 1.1.Ba điểm nằm trên ba cạnh không đồng phẳng của hình chóp Bài 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD ba điểm A’; B’; D’ nằm trên ba cạnh SA ; SB ; SD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’D’) Bài 2: Cho tứ diện ABCD . Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Trên đường thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (HKM). Bài 3: Cho hình chóp SABCD trên SA, SB lấy hai điểm M, N sao cho SM= 2MA , NB = 2SN và trên trung điểm DC lấy điểm Q. Xác định thiết diện tạo bời hình chóp và mặt phẳng (MNQ) Bài 4: Cho hình chóp SABCD , M là điểm trên BC, N là điểm trên SD xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BMN) Bài 5: Cho hình chóp SABCD AD không song song với BC. Gọi trung điểm SC là M , trên SB lấy điểm N sao cho 3SN = 2NB. Xác định thiết diện với hình chóp SABC cắt bởi mặt phẳng (DMN). Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD . M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tìm thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) Bài 7: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Trên BC và BD kéo dài lấy E và F sao cho CE=DF=a. Gọi M là trung điểm AB . Tìm thiết diện của tứ diện với mp(MEF) và tính tỉ số diện tích thiết diện với DBCD Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD trên SD lấy điểm N xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (BCN) Bài 9: Cho hình chóp tứ giác SABCD với AD không song song với CB. Gọi M, N là trung điểm của SB và SC. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN) 1.2.Có hai điểm nằm trên hai cạnh còn một điểm nằm trên một mặt của hình chóp Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Lấy M, N trên AC và AD sao cho AM = 3MC, AN =2ND, O là điểm nằm trên đường trung tuyến BB’ của DBCD sao cho OB’=2OB. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MNO) với tứ diện. Bài 2: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là tứ giác có hai cặp cạnh đối không song song. Gọi M và P là trung điểm của SA và BC. G là trọng tâm tam giác SCD. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MPG) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD . Trên AD và SC lấy hai điểm E và F sao cho AE = 3ED ; SF = 2SC. Gọi K là trọng tâm của tam giác SAB . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (EFK) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD .Trên các đoạn thẳng AD và SC lấy hai điểm E và F. Gọi K là điểm bất kỳ nằm trong tam giác SAB thuộc mặt phẳng (SAB) . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (EFK). Bài 5: Cho tứ diện ABCD gọi M và N là hai điểm trên cạnh BC và CD. E là điểm bất kỳ trong tam giác ABD xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (EMN) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD có AB không song song với CD . Trên SA lấy điểm M, SB lấy điểm N sao cho MN//AB. Gọi O là điểm bất kỳ nằm trong tam giác SCD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNO 1.3.Có một điểm nằm trên cạnh còn hai điểm kia nằm trên hai mặt khác Bài 1: Cho tứ diện ABCD , M là điểm trên cạnh AB, N và P lần lượt nằm trong tam giác BCD và tam giác ACD. Xác định thiết diện cắt tứ diện bởi mặt phẳng MNP. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD . M là trung điểm của SA, N và P lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC và tam giác ACD. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP). 1.4.Ba điểm nằm trên ba mặt khác nhau Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD . Trên các mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (SCD) lấy các điểm M, N, P nằm trong tam giác tạo bởi ba đỉnh tương ứng của các mặt sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với mặt phẳng đáy. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) Tuỳ theo vị trí của các điểm M,N,P `biện luận nghiệm hình của bài toán. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD . Trên các mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (ADC) lấy các điểm M,N,P nằm trong tam giác tạo bởi ba đỉnh tương ứng. Sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với bất kỳ cạnh nào của hình chóp. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) và biện luận nghiệm hình của bài toán. Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD trên mp(SAB), mp(SCD) lấy các điểm M,N nằm trong tam giác tạo bởi ba đỉnh tương ứng và lấy điểm P nằm trong đoạn BC. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) 1.5.Thiết diện có một điểm nằm trong khối của hình chóp Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD , tứ giác ABCD có AB không song song với CD. Gọi G là trọng tâm của DABD, I là trung điểm của SG. Xác định thiết diện với chóp cắt bởi mặt phẳng (CDI) Bài 2: Cho tứ diện ABCD gọi G là trọng tâm tam giác BCD, I là trung điểm của AG, M và N lần lượt là trung điểm của BC và BD. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNI). Bài 3: Cho Cho tứ diện ABCD gọi G là trọng tâm tam giác BCD, I là điểm trên đoạn AG sao cho 2AI = IG, M và N lần lượt là trung điểm của CD và AD. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNI). Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi M và N là trung điểm của AB và BC . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi M và N là trung điểm của BC và CD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi M và N là trung điểm của AB và CD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI) Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi M và N là trung điểm của SA và BC . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi M và N là trung điểm của SA và SC . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI) Bài 9: Cho Cho tứ diện ABCD gọi G là trọng tâm tam giác BCD, I là điểm trên đoạn AG sao cho AI = 2IG, M và N lần lượt là các điểm trên AB và CD sao cho MB = 2AM, DN = 3NC. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNI). 2.Thiết diện song song Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD . M và N là hai điểm bất kỳ trên SB và CD, a là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (a). Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Đoạn IJ nối trung điểm I của AB và trung điểm J của CD. Giả sử AB ^ CD , mp(a) qua diểm M trên IJ và song song với AB và CD. Xác định thiết diện của ABCD với mặt phẳng (a). Thiết diện là hình gì ? Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là trung điểm của SB. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (a) trong hai trường hợp sau. a) (a) qua M và song song với SO và AD. b) (a) qua O và song song với AM và SC Bài 4: Cho hình chóp SABC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC. Trên đoạn BM lấy điểm H, mặt phẳng (P) qua H và song song với CM và BN cắt hình chóp theo một thiết diện . Tìm thiết diện đó. Bài 5: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi H là giao điểm các đường chéo của đáy. I là điểm trên đoạn AH. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) đi qua I và song song với các đường thẳng SA và BD cắt hình chóp. Bài 6: Cho hình chóp SABC gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC; E là điểm tuỳ ý trên AB. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (a) đi qua E và song song với các đường AM và BN cắt hình chóp. Bài 7: Cho hình chóp SABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm cạnh SB. Trên đoạn thẳng SM lấy điểm E. Mặt phẳng (a) đi qua E và song song với các đường thẳng AM, SG. Tìm thiết diện tạo bởi mp(a) cắt hình chóp. Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, M là điểm trên đoạn AC. Mặt phẳng P đi qua M song song với các đường thẳng AG và BD cắt hình chóp theo một thiết diện. Tìm thiết diện đó. Bài 9: Cho hình chóp SABC . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, SC. Trên đoạn AM ta lấy điểm H. Mặt phẳng (P) đi qua H song song với CM và BN cắt hình chóp theo một thiết diện. Hãy tìm thiết diện đó. Bài 10: Cho tứ diện ABCD gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD , E là điểm chia BC theo tỉ số BE:EC = 2 : 1. Trên đoạn thẳng AM lấy điểm H. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua H và song song với mặt phẳng (MNE) cắt tứ diện đã cho. Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD, SC. Trên đoạn AM lấy điểm K . Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua K song song với (MNE) cắt hìh chóp. Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD. Trên đoạn AC lấy điểm K . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua K song song với mp(AMN) cắt hình chóp. Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm SC, H là giao điểm các đường chéo đáy hình chóp. Trên đoạn AH lấy điểm M . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua M song song với mp(BDE) cắt hình chóp. Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm của SC , M là một điểm di dộng trên cạnh SA , (a) là mặt phẳng luôn đi qua C’M và song song với BC. Xác định thiết diện mà (a) cắt hình chóp S.ABCD . Khi nào thiết diện là hình bình hành ? Bài 15: Cho tứ diện ABCD gọi G1; G2 ; G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB. Tìm thiét diện của tứ diện với mặt phẳng G1G2G3 3.Thiết diện vuông góc 3.1.Thiết diện qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB ^ AD, AB ^ AC, AD ^ AC, gọi G là trọng tâm tâm tam giác BCD. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(P) đi qua G và vuông góc với AD. Bài 2: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều có SA ^(ABC). Gọi (a) là mặt phẳng qua C và vuông góc với SB. Xác định thiết diện của hình chóp với mp(a). Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là