Đề tài Phương pháp giải quyết trọn vẹn vấn đề bất đẳng thức

I) Lý do chọn đề tài: 1) Cơ sở lý luận: Bất đẳng thức là một trong những vấn đề khó giải quyết trong chương trình toán học phổ thông. Trong bài viết náy tồi không đưa ra một phương pháp giải quyết trọn vẹn vấn đề bất đẳng thức mà chỉ đưa ra một phương pháp áp dụng bộ n số. 2) Cơ sở thực tiễn: Qua kinh nghiệm của tôi cũng như qua một số năm dạy học tôi thấy rằng học sinh rất ngại và sợ chứng minh bất đẳng thức mặc dù đó là bất đẳng thức rất dễ. Tại sao lại như vậy. Có lẽ theo tôi câu trả lời là học sinh chưa hpát hiện ra được những cái hay và đẹp trong những bất đẳng thức. Phương pháp tôi đưa ra đây chỉ mang tính giúp học sinh hiểu được chứng minh một bất đẳng thức cũng khoong khó lắm từ đó học sinh they yêu và tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này II) Ưu nhược điểm: 1) Ưu điểm: Phương pháp này cung cấp một cách giải tương đối ngắn gọn cho rất nhiều so với một số phương pháp khác để chứng minh một số bất đẳng thức. 2) Nhược điểm: Tuy nhiên phương pháp này theo tôi chỉ nên dạy ở các lớp và các đối tượng là học sinh khá, giỏi. Không nên đưa ra cho các đối tượng là học sinh sinh trung bình và yếu. Tài liệu tham khảo 1) 17 phương pháp chuyên đề giải 555 bài toán bất đẳng thức đại số nguyễn đức dồng – nguyễn văn vĩnh 2) Bộ đề thi tuyển sinh đại học môn toán ở trong bài viết này tôi bàn về một phương pháp có thể giúp cho người giáo viên có thể ra một số bài toán về bất đẳng thức dựa trên cơ sở phương pháp bộ n sắp thứ tự . Khi đưa các bài tập này cho học sinh theo tôi người giáo viên nên yêu cầu học sinh chứng minh bằng các phương pháp khác bởi vì phương pháp n bộ sắp thứ tự rất trừu tượng với học sinh cấp ba nhất là đối với học sinh lớp 10. Là một giáo viên mới ra trường nên chưa có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy rất mong các ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp để có thể đưa bài viết này có thể áp dụng trong thực tế giảng dạy. Cơ sở của phương pháp này dựa trên định lý sau: II) I>Định lý: Cho hai dãy số đơn điệu dương cùng tăng: Gọi (i1; i2; i3;...; in) là một hoán vị bất kỳ của 1 , 2 , 3 ,... , n . Ta có: Ta chứng minh mệnh đề (1) bằng quy nạp cho VT ³ VG (*) Với n = 1 : (*) luôn đúng. Với n = 2 : Ta cần chứng minh: nếu (à) thì: a1b1 + a2b2 ³ a1b2 + a2b1 Thật vậy: a1b1 + a2b2 ³ a1b2 + a2b1 Û a1(b1 - b2) - a2(b1 - b2) ³ 0 Û (a1 - a2) (b1 - b2) ³ 0 đúng do (à) Giả sử : (*) đúng đến n = k - 1 ; k ẻ Z+ ; k ³ 2 . Thì ta có giả thiết quy nạp gọi là (â) Xét (*) khi n = k và cũng gọi (i1; i2; i3;...; ik) là một hoán vị tuỳ ý của 1,2,3,...,k . Đồng thời ij = 1 mà bài toán vẵn không mất tính tổng quát , ta được: Do giả thiết quy nạp (â) mà (*) đã đúng đến n = k - 2 , nên : ị (*) đúng với n = k . Theo nguyên lý quy nạp ; Thì (*) được chứng minh xong . Dấu đẳng thức trong(*) xảy ra khi và chỉ khi : Trường hợp VG ³ VP của (1) , chứng minh tương tự. Vậy : VT ³ VG ³ VP ; (1) được chứng minh xong bằng quy nạp II> Phương pháp cực trị bộ n sắp thứ tự: Cho hai bộ n : (i1 , i2 , ... , in) là một hoán vị nào đó của các số : 1 , 2 , 3 ,..., n Gọi S1 và S2 lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các tổng thì: S1 = a1b1 + a2b2 + ... + anbn S2 = a1bn + a2bn - 1 + ... + anb1 II> áp dụng để ra các bài toán: ở đây ta luôn giả thiết a , b, c là ba số dương bất kỳ do đó có thể giả sử a ³ b ³ c > 0 mà không mất tính tổng quát của bài toán: VD1: a ³ b ³ c > 0 ị Từ hai bộ số : ta có bài toán : Chứng minh bất đẳng thức: a3 + b3 + c3 ³ ab2 + bc2 + ca2 ³ ac2 + ba2 + cb2 VD2: a ³ b ³ c > 0 ị a3 ³ b3 ³ c3 > 0 ị Từ hai bộ số: ta có bài toán sau: Chứng minh bất đẳng thức: VD3 : a ³ b ³ c > 0 ị a2 ³ b2 ³ c2 , a5 ³ b5 ³ c5 , a3b3 ³ a3c3 ³ b3c3 ị Ta có bất đẳng thức: VD4: Từ a ³ b ³ c ị a5 ³ b5 ³ c5 và Từ hai bộ số: Hay là ta có bài toán sau: Cho ba số dương a, b, c .Chứng minh bất đẳng thức: VD5: Từ a ³ b ³ c ³ d ị a2 ³ b2 ³ c2 ³ d2 và Từ hai bộ số: Hay là ta có bài toán: Cho bốn số dương a, b, c, d chứng minh các bất đẳng thức sau: Hải phòng, Ngày 17 Tháng 5 Năm 2002 Người thực hiện: vũ văn ninh