Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2007 – 2008 Môn thi Toán

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2007 – 2008 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1 (1,5 điểm) Tính giá trị của biểu thức: Bài 2 (1,5 điểm) Cho x, y là các số thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x3 + y3 + 2xy Bài 3 (3 điểm) Giải phương trình: a) b) Bài 4 (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AD // CB và AD > BC) có các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đường trung bình EF của hình thang. Chứng minh rằng ∆MAC cân tại M. Bài 5 (2 điểm) Cho DABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí của D và E để diện tích DDME đạt giá trị nhỏ nhất. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN Năm học 2007 – 2008 Môn: Toán Sơ lược lời giải và thang điểm Bài 1 (1,5 điểm) Tính giá trị của biểu thức: Giải: " n Î N, ta có: (1) (0,5 điểm) Mặt khác: (2) (0,5 điểm) Áp dụng (1) và (2) để tính S, ta được: (0,5 điểm) Bài 2 (1,5 điểm) Cho x, y là các số thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x3 + y3 + 2xy Giải: Ta có: (a – b)2 ≥ 0 Û (a + b)2 ≥ 4ab Û –4ab ≥ –(a + b)2. (0,5 điểm) Áp dụng vào biểu thức A, ta có: A = (x + y)3 – 3xy(x + y) + 2xy = 8 – 6xy + 2xy = 8 – 4xy ≥ 8 – (x + y)2 = 8 – 4 = 4 (0,5 điểm) Dấu “=” xảy ra Û x = y mà x + y = 2 (gt) Þ x = y = 1 Vậy: min A = 4 Û x = y = 1 (0,5 điểm) Bài 3 (3 điểm) Giải phương trình: a) (1) b) Giải: a) (1,5 điểm). Điều kiện: (0,5 điểm) Ta có: (1) Û (0,5 điểm) Û (thỏa mãn) Vậy: Phương trình đã cho có một nghiệm x = –1 (0,5 điểm) b) (1,5 điểm). Ta có: 3x2 + 6x + 7 = 3(x + 1)2 + 4 ≥ 4 5x2 + 10x + 14 = 5(x + 1)2 + 9 ≥ 9 Do đó: Dấu “=” xảy ra Û x = –1 (1) (0,5 điểm) Mặt khác: 4 – 2x – x2 = 5 – (x + 1)2. Dấu “=” xảy ra Û x = –1 (2) (0,5 điểm) Từ (1) và (2) suy ra: Û x = –1. Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = –1 (0,5 điểm) Bài 4 (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AD // CB và AD > BC) có các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đường trung bình EF của hình thang. Chứng minh rằng ∆MAC cân tại M. Giải: – Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại N Þ BCND là hình bình hành Suy ra: BC = DN (1 điểm) – Mặt khác: AD + BC = 2EF mà AM = EF (gt) Suy ra: AN = AD + DN = AD + BC = 2AM Do đó: M là trung điểm của AN (0,5 điểm) – Vì CN // BC mà BD ^ AC Þ CN ^ AC Hay: ∆ACN vuông tại C có CM là trung tuyến Þ 2CM = AN. Hay: CM = AM Vậy: ∆AMC cân tại M (0,5 điểm) Bài 5 (2 điểm) Cho DABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí của D và E để diện tích DDME đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: – Kẻ MF ^ AB, MG ^ AC Þ AFMG là hình chữ nhật. (0,5 điểm) – Ta có: MD ≥ MF và ME ≥ MG (tính chất đường xiên, hình chiếu) (0,5 điểm) Do đó: Dấu "=" xảy ra Û D ≡ F và E ≡ G (0,5 điểm) Vậy: Khi D và E lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC thì diện tích của DDME đạt giá trị nhỏ nhất. (0,5 điểm) Chú ý: Nếu học sinh có cách giải khác với đáp án mà vẫn cho kết quả hợp lý, chính xác thì vẫn cho điểm theo thang điểm trên.