Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm học 2011 - 2012 môn: Toán lớp 9 THCS

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2011 - 2012 §Ò CHÝNH THøC MÔN: TOÁN Lớp 9 thcs Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian phát đề Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012 Câu I (4đ) Cho biểu thức P = Rút gọn P Tính giá trị của P khi x = Câu II (4đ) Trong cùng một hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – 2 và parabol (P): y = - x2. Gọi A và B là giao điểm của d và (P). Tính độ dài AB. Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho CD = AB. Câu III (4đ) Giải hệ phương trình Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 320 Câu IV (6đ) Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC. Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tâm; AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC. Kí hiệu (C1) và (C2) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và DKE, với K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh rằng: ME là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). KH AM. Câu V (2đ) Với . Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh .......................................................................... SDB ......................... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn : TOÁN Ngày thi :18/02/2012 Câu 1:ĐK 1) b) => x= vì x>1 Vậy P=0 Câu II: 1) Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình x2+x-2=0 => x=1 hoặc x=2 Vậy A(1,-1) và B(-2;-4) hoặc A(-2;-4) vàB(1;-1) 2)Để (d’) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình x2-x+m=0 (1) có hai nghiệm phân biệt Ta có khoảng cách AB2 =18 để CD = AB (x1-x2)2+(y1-y2)2=18 (x1-x2)2=9 (x1+x2)2-4x1x2=9 1-4m-9=0=> m=-2(TM) Vậy C(-1,-3) và D(2;0) hoặc D(-1;-3) hoặc C(2;0 Câu III 1,ĐK x0, y0 Đặt x=ky ( k0) (1) Nếu k=-1 thì hệ phương trình (1) vô nghiệm nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm Nếu k -1 từ (1) => => k=2 hoặc k = -2 Nếu k=2 => Nếu k = -2 => (x;y)=(-2;1) 2, Từ 2x6 + y2 – x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2=320 => (x3)2 320 mà x nguyên nên Nếu x=1 hoặc x=-1 thì y không nguyên (loại) Nếu x=2=> y=-2 hoặc y=6 Nếu x=-2 => y=-6 hoặc y=2 Vậy phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm (x;y) là(2;-2);(2;6);(-2;-6);(-2;2) Câu IV: 1) Ta có nên tứ giác AEHF nội tiếp một đường tròn tâm chính là (C1) là trung điểm AH (1) mà (2) ( cùng phụ với góc ACD) (3)( do đương trung tuyến ứng với cạng huyền) Từ (1), (2) và (3) ta có => ME là tiếp tuyến đường tròn tâm (C1) 2, gọi giao điểm AM với KH là N trước tiên chứng minh 5 điểm A,E,H,N,F cùng thuộc một đường tròn Ta thấy =>nghĩa là C,M,N, F cùng thuộc một đường tròn chứng minh A,E,N, B nội tiếp do đó KH AM Câu V:: do vai trò x,y,z như nhau nên Nếu x= 0 => Ta có VT 0 mà VP < 0 nên trong trường hợp này không có nghiệm Nếu x khác 0 mà >0 đúng với mọi . Dấu “=” xảy ra khi: x=z=1. + Ta có: + Tương tự: . (1) + Mặt khác, vì: Dấu “=” xảy ra khi : x=y=z=1. (2) + Từ (1) và (2) chỉ đúng khi: . Khí đó x=y=z=1. * Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG NINH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012 --------------------- Họ và tên, chữ ký của giảm thị số 1 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (BẢNG B) Ngày thi: 23/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi này có 01 trang) Bài 1 : (4,0 điểm) Với x0 tính A = + Bài 2.(3,0 điểm) Tìm các số thực x, y thỏa mãn : x2 + 26y2 – 10xy + 14x – 76y + 58 = 0 Bài 3(4,0 điểm) Giải hệ phương trình : x2 + y2 –x – y = 12 x + y + xy = 9 Bài 4(6,5 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp điểm AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC của (O) lấy điểm D. AD cắt (O) tại điểm thứ hai E. Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh năm điểm B, O, I, C, A cùng thuộc một đường tròn và IA là tia phân giác của góc BIC. Đường thẳng qua D song song với AB cắt BC tại H, cắt BE tại K. Chứng minh H là trung điểm của DK. Bài 5. (2,5 điểm) Cho a, b, c là ba số dương . Chứng minh rằng : > 2 ----------------- Hết --------------- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 1 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi :18/02/2012 Câu 1: (2,0 điểm) Cho a – b = 3.Tính giá trị của biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a – b +1). Câu 2: (2,0 điểm) Rút gọn : B = Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho 6 . ( nZ ) Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (4m - m2 -5)x -.So sánh f(1-) và f(1-). Câu 5: (1,5điểm) Cho DABC có trung tuyến AM .Chứng minh : Câu 6 : (1,5điểm) Tìm số tự nhiên a biết a + 13 và a – 76 là các số chính phương. Câu 7: (1,5điểm) Chứng minh rằng với mọi x,y ta có : Câu 8: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = Câu 9: (1,5điểm) Cho DABC có nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) .Chứng minh rằng: Câu 10:(1,5điểm) Tìm các số nguyên tố x,y thoả mãn : x2 – 2y2 = 1 Câu 11:(1,5điểm) Cho DABC, ®­êng th¼ng d c¾t AB , AC vµ trung tuyÕn AM theo thø tù tại E ,F,N (EA,B và FA,C ).Chøng minh : . Câu12:(1,5điểm) Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng a ở ngoài đường tròn. Gọi OH là khoảng cách từ tâm O đến a và M là một điểm chuyển động trên a. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi D là giao điểm của AB với OH. Chứng minh rằng D là điểm cố định . . . . . . . . HẾT . . . . . . . -Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. - Giám thị không được giải thích gì thêm. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn : TOÁN Ngày thi :18/02/2012 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC VÀ THANG ĐIỂM Câu 1(2,0 điểm) Biết a – b = 3. Tính giá trị của biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a–b+1). A = a3+ a2–b3+b2+ab–3a2b +3ab2–3ab 0,5đ = (a3–3a2b +3ab2– b3) + (a2–2ab +b2) 0,5đ = (a–b)3+(a–b)2 0,5đ = 33+32=36 0,5đ Câu 2(2,0 điểm) B = 0,5đ = 0,5đ = 0,5đ = -1 0,5đ Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho 6 . ( nZ ) A = n3 – 6n2 – 12n + 18 ⇔ A = n3 – n – 6n2 –12 n + 18 0,5đ ⇔A = n(n – 1)(n+1) – 6n2 – 12n + 18 0,5đ Do n(n – 1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên n(n – 1)(n+1) ⋮ 6 0,5đ Mặt khác – 6n2 – 12n + 18⋮ 6 nên A ⋮ 6 0,5đ Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x )= (4m-m2-5)x-.So sánh f(1-)và f(1-). Biến đổi (4m - m2 - 5) = 0,5đ hàm số y = f(x ) nghịch biến 0,5đ Lập luận 0,5đ 0,5đ Câu 5 : (1,5điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM .Chứng minh : Vẽ AHBC ,HBC c/m được AB2+AC2 = 2AH2+ BH2+ CH2 (1) 0,5đ c/m được AH2 = AM2 - HM2 BH2 = BM2 -2BM. HM+HM2 CH2 = HM2 -2HM. CM+CM2 (2) 0,5đ Từ (1),(2) 0,5đ Câu 6: (1,5điểm) Tìm số tự nhiên a biết a + 13 và a – 76 là các số chính phương. Vì a + 13 và a – 76 là các số chính phương Đặt a + 13 = , a – 76 = với m, n N. 0,25đ m2 – n2 = 89 (m – n)(m + n) = 89 0,25đ Vì 89 là số nguyên tố và m – n < m + n nên 0,75đ a +13 = 452 a = 2012 0,25đ Câu 7 : (1,5điểm) Chứng minh rằng với mọi x,y ta có : (1) (1) x(x3- y3) – y(x3- y3) 0 0,5đ (x-y)2(x2 + xy + y2) 0 0,25đ (x-y)2 (2) 0,25đ (2) luôn đúng (1) đúng 0,25đ Dấu “ =” xày ra khi x = y 0,25đ Câu 8: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = C= 0,25đ Đặt t = |2x- 3| 0 C = t2 – 2t + 6 0,5đ C = (t –1)2 + 5 5 0,25đ giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là 5 khi t = 1x = 2 hoặc x = 1 0,5đ Câu 9: (1,5điểm) Cho tam giác ABC có nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) .Chứng minh rằng: Vẽ đường kính BD DBCD vuông tại C 0,5đ BC = BD.sinD (1) 0,25đ Ta có , BD = 2R (2) 0,5đ Từ (1) và (2) BC = 2R.sinA 0,25đ Câu 10: (1,5điểm) Tìm các số nguyên tố x,y thoả mãn : x2 – 2y2 = 1 x2 – 2y2 = 1 (x-1)(x+1) = 2y2 0,5đ Vì y nguyên tố và x+1 > x-1 nên chỉ xảy ra các trường hợp: 0,25đ 2) (loại) 0,25đ 3) 0,25đ Vậy (x;y) = (3;2) 0,25đ Câu 11: Cho DABC, ®­êng th¼ng d c¾t AB vµ AC vµ trung tuyÕn AM theo thø tù lµ E , F , N . (EA,B và FA,C )Chøng minh : KÎ 0,25đ Ta cã: 0,25đ 0,25đ c/m (cgc) 0,25đ 0,25đ Thay vµo (*) ta ®­îc (®pcm) 0,25đ Câu 12: Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng a ở ngoài đường tròn. Gọi OH là khoảng cách từ tâm O đến a và M là một điểm chuyển động trên a. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O) ( A,B là hai tiếp điểm). Gọi D là giao điểm của AB và OH. Chứng minh rằng D là điểm cố định Gọi C là giao điểm của AB và OM Chứng minh được OC.OM = OD.OH 0,5đ Lập luận OC.OM = OA2= R2 0,25đ OD.OH = R2 0,5đ 0,25đ Chứng minh được : không đổi 0,25đ D thuộc đoạn thẳng cố định OH nên D cố định 0,25đ . . . . . . . HẾT . . . . . . . UBND TỈNH TIỀN GIANG CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Độc lập-Tự do-Hạnh phúc KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP TỈNH Khóa ngày: 20/03/2012 Đề chính thức Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu. --- --- --- --- --- --- --- --- --- Câu 1: (4,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình: 2. Cho phương trình: a) Tìm m để (1) có 4 nghiệm thoả b) Giải phương trình (1) với m tìm được ở a). Câu 2: (4,0 điểm) Cho ; Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B sao cho: tam giác OAB là tam giác vuông. Câu 3: (4,0 điểm) 1. Cho 4 số a, b, c, d thoả điều kiện Chứng minh: . 2. Cho và . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của a. Câu 4: (3,0 điểm) Chứng minh rằng: . Câu 5: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có các phân giác trong của các góc nhọn theo thứ tự cắt các cạnh đối tại các điểm M, P, N. Đặt a =BC, b =CA, c =AB; theo thứ tự là diện tích của tam giác MNP và ABC. a) Chứng minh rằng: . b) Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của --- --- --- Hết --- --- --- * Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC : 2011 – 2012 ----------------------- ---------------------------------- Đề chính thức Môn thi : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) Ngày thi : 18 / 03 / 2012 ----------------------------- Bài 1: ( 4,0 điểm ) Rút gọn biểu thức sau: A = b) Giải phương trình : Bài 2: ( 4, 0 điểm) Chứng minh rằng n3 – n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n lẻ. Cho a, b, c là các số thực dương thõa điều kiện : a2 + b2 + c2 = (a –b)2 + (b- c)2 + ( c – a)2 Chứng minh rằng nếu c a và c b thì c a + b Bài 3: ( 3, 0 điểm ) Cho phương trình x2 +(m – 1)x – 6 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 sao cho biểu thức A = (x12 – 9)(x22 – 4) đạt giá trị lớn nhất. Bài 4: (6, 0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có BAC = 200 ; AB = AC = b và BC = a . Chứng minh rằng : a3 + b3 = 3ab2 . 2) Cho hai điểm A, B thuộc đường tròn (O) (AB không đi qua O) và có hai điểm C, D di động trên cung lớn AB sao cho AD song song BC ( C, D khác A, B và AD > BC ). Gọi M là giao điểm của BD và AC . Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại điểm I. a) Chứng minh ba điểm I, O, M thẳng hàng. b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD không đổi. Bài 5: ( 3,0 điểm ) Cho x, y là các số thực dương thõa mãn xy = 1 . Chứng minh rằng : (x + y + 1)(x2 + y2) + 8 -------------------------------------------- HƯỚNG DẪN GIẢI: Bài 1: ( 4,0 điểm ) A = * Cách 1: A2 = = + + 2 = 8 + 2 = 8 + 7 = 15 Vì A > 0 nên A = * Cách 2: A = = = = = b) . ĐK : 16 – x2 > 0 - 4 < x < 4 Đặt y = > 0 x2 – 16 = - y2 . Ta có : - y2 = 0 x3 – y3 = 0 (x – y)(x2 – xy + y2) = 0 x – y = 0 ( vì x2 – xy + y2 > 0 ) x = y . = x . Với x > 0 thì = x 16 – x2 = x2 2x2 = 16 /x/ = x = Kết hơp các điều kiện x > 0 và - 4 < x < 4 , ta có x = thõa mãn . Phương trình có một nghiệm x = . Bài 2: ( 4, 0 điểm) n3 – n = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1). Với n lẻ thì n – 1 và n + 1 là hai số chẵn liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 , số còn lại chia hết cho 4. Do đó tích (n – 1)(n + 1) chia hết cho 8. Mặt khác, tích n(n – 1)(n + 1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3. Mà (3; 8) = 1 nên n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 3.8 = 24. Vậy : n3 – n chia hết cho 24 với n lẻ. Từ điều kiện : a2 + b2 + c2 = (a –b)2 + (b- c)2 + ( c – a)2 Suy ra : a2 + b2 + c2 = 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 = 2(ab + bc + ca) * Cách 1 : Nếu c a và c b thì a2 + b2 + c2 = 2ab + 2bc + 2ca 2ab + 2b2 + 2a2 c2 ( a + b)2 c a + b ( vì a, b, c > 0 ) * Cách 2 : Từ a2 + b2 + c2 = 2ab + 2bc + 2ca a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0 ( a – b + c )2 = 4ca . Nếu c a thì ( a – b + c )2 = 4ca 4a2 ( a – b + c )2 - 4a2 0 (a – b + c – 2a )(a – b + c + 2a ) 0 ( c – a – b )(3a – b + c) 0 Vì a > 0 và nếu c b thì 3a – b + c > 0 . c – a – b 0 c a + b . Bài 3: ( 3, 0 điểm ) Phương trình x2 +(m – 1)x – 6 = 0 có = ( m – 1)2 + 24 > 0 với mọi m nên luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 . Áp dụng định lý Vi-et : x1 + x2 = 1 – m ; x1.x2 = - 6 A = (x12 – 9)(x22 – 4) = (x1.x2)2 – 4x12 – 9x22 + 36 = 72 - 4x12 – 9x22 = – (4x12 + 9x22 + 12 x1.x2 ) = – ( 2x1 + 3x2)2 0 A = 0 . Từ (2) x1 = , thay vào (1) có : + 3x2 = 0 x2 = 2 Với x2 = 2 x1 = - 3 . Thay vào (3) có : 1 – m = - 1 m = 2 Với x2 = - 2 x1 = 3 . Thay vào (3) có : 1 – m = 1 m = 0 Vậy : m { 0 ; 2 } Bài 4: (6, 0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có BAC = 200 ; AB = AC = b và BC = a . Chứng minh rằng : a3 + b3 = 3ab2 . ABC cân tại A có góc BAC = 200 nên ABC = ACB = 800 Trên cạnh AC lấy D sao cho ABD = 600, khi đó DBC = 200 nên BDC = 800 BDC cân tại B BD = BC = a . BDC ABC ( g – g) DC = AD = b - BDE vuông có EBD = 600 nên BE = BD = a và DE = BD = a. ; AE = b - a. Áp dung định lý Pi-ta-go trong tg vuông ADE có : AD2 = AE2 + DE2 (b - )2 = (b - a)2 + (a.)2 b2 - 2a2 + = b2 - ab + + = 3a2 –ab a4 = 3a2b2 - ab3 a4 + ab3 = 3a2b2 a3 + b3 = 3ab2 . 2) Cho hai điểm A, B thuộc đường tròn (O) (AB không đi qua O) và có hai điểm C, D di động trên cung lớn AB sao cho AD song song BC ( C, D khác A, B và AD > BC ). Gọi M là giao điểm của BD và AC . Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại điểm I. a) Chứng minh ba điểm I, O, M thẳng hàng. b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD không đổi. AD // BC AB = CD DAC = ADB MA = MD . Lại có : OA = OD = R nên MO là đường trung trực của AD (1) Mặt khác : IA và ID là hai tiếp tuyến của (O) nên OI là đường trung trực của AD (2) Từ (1) và (2) I, O, M thẳng hàng. b) Tứ giác CMOD có : CMD = 2. MAD ( góc ngoài của tg cân) COD = 2. MAD ( góc ở tâm và góc nội tiếp) CMD = COD Do đó tứ giác CMOD nội tiếp. Tương tự tứ giác BMOA nội tiếp Qua M vẽ đường thẳng d song song với AD cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMOA tại E , cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMOD tại E’. Do A đối xứng D qua đường thẳng OM, C đối xứng B qua OM nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMOD đối xứng với đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMOA qua OM. OM ME nên OE là đường kính của đường tròn (BMOA) A, O, B cố định nên E cố định OE không đổi Đường tròn ngoại tiếp MCD có bán kính không đổi. Bài 5: ( 3,0 điểm ) Cho x, y là các số thực dương thõa mãn xy = 1 . Chứng minh rằng : (x + y + 1)(x2 + y2) + 8 Ta có : (x + y + 1)(x2 + y2) + = (x + y + 1)(x2 + y2) - ( x + y) + ( x + y ) + = ( x + y )( x2 + y2 ) + (x2 + y2) - ( x + y) + ( x + y ) + = ( x + y ) (x2 + y2 – 1) + (x2 + y2) + ( x + y ) + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương : x + y 2 = 2 ( do xy = 1 ) . Dấu “ = “ xảy ra x = y = 1 x2 + y2 2xy = 2 . Dấu “ = “ xảy ra x = y = 1 ( x + y ) + 4 . Dấu “ = “ xảy ra (x + y)2 = 4 x = y = 1. Do đó : (x + y + 1)(x2 + y2) + 2.(2 – 1) + 2 + 4 = 8 Dấu “ = “ xảy ra x = y = 1 UBND TỈNH KON TUM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán Ngày thi: 17/3/2012 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ: (Đề thi này có 1 trang) Câu 1: (4,0 điểm) a) Với Rút gọn b) Biết x > 0; Tính Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: b) Với a > 0; b > 0 và a+b=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của Câu 3: (4,0 điểm) a) Giải hệ phương trình sau: b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy lấy A(2;-1) và B(4;3). Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho đạt giá trị lớn nhất. Câu 4: (5,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tia AB lấy C nằm ngoài đoạn thẳng AB. Vẽ 2 tiếp tuyến CE và CF với đường tròn tâm O và cát tuyến CMN (M nằm giữa C và N). EF cắt AB tại I. Chứng minh: a) b) Bốn điểm O,I,M,N cùng thuộc một đường tròn. c) Câu 5: (2,5 điểm) Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác thỏa mãn a+b+c=2. Chứng minh: -------------------- HẾT -------------------- Họ và tên: SBD Chữ kí GT 1: ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỈNH KON TUM 2012 Câu 1 : a) ( Vì 0<) b) Từ => Câu 2: a) ĐK: ( vì x khác 0) Vậy phương trình có 1 nghiệm x= - 9/2 b)Đặt Ta có nên Vây giá trị nhỏ nhất là 35/2 khi a=b=1/2 Câu 3: a) Từ (1) => y3= -1- 2(x-1)2 -1 => y -1 (3) Từ (2) => -1y -1(4) Từ (3) và (4) => y=-1 thay voà (1) => x2-2x+1=0 => x=1 thử lại ta thấy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x=1; y=-1 b)Trong mặt phẳng ta có BĐT giá trị lớn nhất của là AB khi M nằm trên đường thẳng AB mặt khác phương trình đường thẳng AB có dạng: y =2x-5(d) mà M(xo,0)(d) nên => xo=-5 Vậy giá trị lớn nhất của là khi M(5;0) Câu 4: a) ta có đồng dạng với (g.g)( -chung) => => CM.CN=CE2=CO2-R2 b) theo câu a) CE2=CM.CN (1) xét tam giác vuông CEO có CE2=CI.CO (2) Từ (1) và (2) => đồng dạng => => => 4 điểm O, I, M, N cùng nằm trên một đường tròn c) Ta có OM=ON =R nên tam giác OMN cân ở O => mà (3) theo câu b ta có (4) từ (3) và (4) ta suy ra Câu 5: Theo BĐT trong tam giác ta có a+b>c;b+c>a;a+c>b mà a+b+c=2 =>0 0<a<1 tương tự 0 < b,c <1 =>(1-a)(1-b)(1-c)>0 => a+b+c - (ab+bc+ca) + abc <1 => 2(a+b+c) - 2(ab+bc+ca) + 2abc < 2 =>(a+b+c)2 - 2(ab+bc+ca) + 2abc < 2 => SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC : 2011 – 2012 ----------------------- ---------------------------------- Đề chính thức Môn thi : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) Ngày thi : 18 / 03 / 2012 ----------------------------- Bài 1: ( 4,0 điểm ) Rút gọn biểu thức sau: A = b) Giải phương trình : Bài 2: ( 4, 0 điểm) Chứng minh rằng n3 – n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n lẻ. Cho a, b, c là các số thực dương thõa điều kiện : a2 + b2 + c2 = (a –b)2 + (b- c)2 + ( c – a)2 Chứng minh rằng nếu c a và c b thì c a + b Bài 3: ( 3, 0 điểm ) Cho phương trình x2 +(m – 1)x – 6 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 sao cho biểu thức A = (x12 – 9)(x22 – 4) đạt giá trị lớn nhất. Bài 4: (6, 0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có BAC = 200 ; AB = AC = b và BC = a . Chứng minh rằng : a3 + b3 = 3ab2 . 2) Cho hai điểm A, B thuộc đường tròn (O) (AB không đi qua O) và có hai điểm C, D di động trên cung lớn AB sao cho AD song song BC ( C, D khác A, B và AD > BC ). Gọi M là giao điểm của BD và AC . Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại điểm I. a) Chứng minh ba điểm I, O, M thẳng hàng. b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD không đổi. Bài 5: ( 3,0 điểm ) Cho x, y là các số thực dương thõa mãn xy = 1 . Chứng minh rằng : (x + y + 1)(x2 + y2) + 8 -------------------------------------------- HƯỚNG DẪN GIẢI: Bài 1: ( 4,0 điểm ) A = * Cách 1: A2 = = + + 2 = 8 + 2 = 8 + 7 = 15 Vì A > 0 nên A = * Cách 2: A = = = = = b) . ĐK : 16 – x2 > 0 - 4 < x < 4 Đặt y = > 0 x2 – 16 = - y2 . Ta có : - y2 = 0 x3 – y3 = 0 (x – y)(x2 – xy + y2) = 0 x – y = 0 ( vì x2 – xy + y2 > 0 ) x = y . = x . Với x > 0 thì = x 16 – x2 = x2 2x2 = 16 /x/ = x = Kết hơp các điều kiện x > 0 và - 4 < x < 4 , ta có x = thõa mãn . Phương trình có một nghiệm x = . Bài 2: ( 4, 0 điểm) n3 – n = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1). Với n lẻ thì n – 1 và n + 1 là hai số chẵn liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 , số còn lại chia hết cho 4. Do đó tích (n – 1)(n + 1) chia hết cho 8. Mặt khác, tích n(n – 1)(n + 1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3. Mà (3; 8) = 1 nên n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 3.8 = 24. Vậy : n3 – n chia hết cho 24 với n lẻ. Từ điều kiện : a2 + b2 + c2 = (a –b)2 + (b- c)2 + ( c – a)2 Suy ra : a2 + b2 + c2 = 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 = 2(ab + bc + ca) * Cách 1 : Nếu c a và c b thì a2 + b2 + c2 = 2ab + 2bc + 2ca 2ab + 2b2 + 2a2 c2 ( a + b)2 c a + b ( vì a, b, c > 0 ) * Cách 2 : Từ a2 + b2 + c2 = 2ab + 2bc + 2ca a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0 ( a – b + c )2 = 4ca . Nếu c a thì ( a – b + c )2 = 4ca 4a2 ( a – b + c )2 - 4a2 0 (a – b + c – 2a )(a – b + c + 2a ) 0 ( c – a – b )(3a – b + c) 0 Vì a > 0 và nếu c b thì 3a – b + c > 0 . c – a – b 0 c a + b . Bài 3: ( 3, 0 điểm ) Phương trình x2 +(m – 1)x – 6 = 0 có = ( m – 1)2 + 24 > 0 với mọi m nên luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 . Áp dụng định lý Vi-et : x1 + x2 = 1 – m ; x1.x2 = - 6 A = (x12 – 9)(x22 – 4) = (x1.x2)2 – 4x12 – 9x22 + 36 = 72 - 4x12 – 9x22 = – (4x12 + 9x22 + 12 x1.x2 ) = – ( 2x1 + 3x2)2 0 A = 0 . Từ (2) x1 = , thay vào (1) có : + 3x2 = 0 x2 = 2 Với x2 = 2 x1 = - 3 . Thay vào (3) có : 1 – m = - 1 m = 2 Với x2 = - 2 x1 = 3 . Thay vào (3) có : 1 – m = 1 m = 0 Vậy : m { 0 ; 2 } Bài 4: (6, 0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có BAC = 200 ; AB = AC = b và BC = a . Chứng minh rằng : a3 + b3 = 3ab2 . ABC cân tại A có góc BAC = 200 nên ABC = ACB = 800 Trên cạnh AC lấy D sao cho ABD = 600, khi đó DBC = 200 nên BDC = 800 BDC cân tại B BD = BC = a . BDC ABC ( g – g) DC = AD = b - BDE vuông có EBD = 600 nên BE = BD = a và DE = BD = a. ; AE = b - a. Áp dung định lý Pi-ta-go trong tg vuông ADE có : AD2 = AE2 + DE2 (b - )2 = (b - a)2 + (a.)2 b2 - 2a2 + = b2 - ab + + = 3a2 –ab a4 = 3a2b2 - ab3 a4 + ab3 = 3a2b2 a3 + b3 = 3ab2 . 2) Cho hai điểm A, B thuộc đường tròn (O) (AB không đi qua O) và có hai điểm C, D di động trên cung lớn AB sao cho AD song song BC ( C, D khác A, B và AD > BC ). Gọi M là giao điểm của BD và AC . Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại điểm I. a) Chứng minh ba điểm I, O, M thẳng hàng. b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD không đổi. AD // BC AB = CD DAC = ADB MA = MD . Lại có : OA = OD = R nên MO là đường trung trực của AD (1) Mặt khác : IA và ID là hai tiếp tuyến của (O) nên OI là đường trung trực của AD (2) Từ (1) và (2) I, O, M thẳng hàng. b) Tứ giác CMOD có : CMD = 2. MAD ( góc ngoài của tg cân) COD = 2. MAD ( góc ở tâm và góc nội tiếp) CMD = COD Do đó tứ giác CMOD nội tiếp. Tương tự tứ giác BMOA nội tiếp Qua M vẽ đường thẳng d song song với AD cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMOA tại E , cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMOD tại E’. Do A đối xứng D qua đường thẳng OM, C đối xứng B qua OM nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMOD đối xứng với đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMOA qua OM. OM ME nên OE là đường kính của đường tròn (BMOA) A, O, B cố định nên E cố định OE không đổi Đường tròn ngoại tiếp MCD có bán kính không đổi. Bài 5: ( 3,0 điểm ) Cho x, y là các số thực dương thõa mãn xy = 1 . Chứng minh rằng : (x + y + 1)(x2 + y2) + 8 Ta có : (x + y + 1)(x2 + y2) + = (x + y + 1)(x2 + y2) - ( x + y) + ( x + y ) + = ( x + y )( x2 + y2 ) + (x2 + y2) - ( x + y) + ( x + y ) + = ( x + y ) (x2 + y2 – 1) + (x2 + y2) + ( x + y ) + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương : x + y 2 = 2 ( do xy = 1 ) . Dấu “ = “ xảy ra x = y = 1 x2 + y2 2xy = 2 . Dấu “ = “ xảy ra x = y = 1 ( x + y ) + 4 . Dấu “ = “ xảy ra (x + y)2 = 4 x = y = 1. Do đó : (x + y + 1)(x2 + y2) + 2.(2 – 1) + 2 + 4 = 8 Dấu “ = “ xảy ra x = y = 1 Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o HƯNG YÊN §Ò thi chän häc sinh giái líp 9 THCS n¨m häc 2011-2012 M«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Câu I. Tính f(x) = (x4 + x-7)2012 khi x = (4+ Cho (P) y = x2 và hai điểm A1, A2 trên (P) sao cho góc A1O A2 = 900. Gọi hình chiếu của A1, A2 trên Ox lần lượt là B1, B2 , chứng minh OB1.OB2 = 1 Câu II. Cho PT x2 -3mx- m = 0 có hai nghiệm phân biệt. Tìm min S = Giải PT nghiệm nguyên x4 – 2y4 – x2y2 – 4x2 – 7y2 – 5 = 0 Câu III. Giải hệ Giải PT (3x+1) Câu IV. Cho tam giác ABC vuông tại C có đường cao CD. Vẽ đường tròn tâm O đường kính CD cắt CA, CB lần lượt tại E và F. Gọi M là giao điểm của BE và đường tròn tâm O; AC cắt MF tại K, EF cắt BK ở P Chứng minh bốn điểm B, M, F, P cùng thuộc một đường tròn Khi D, M, P thẳng hàng, tính các góc của tam giác ABC Cho tam giác ABC vuông tại C có góc A bằng 600 và trung tuyến BD = . Tính dịên tích tam giác ABC theo a. Câu V. Cho sáu đường tròn có bán kính bằng nhau và có điểm chung. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một trong những đường tròn này chứa tâm đường tròn khác. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỈNH HƯNG YÊN 2012 C