Giáo án Đại số 11 - Chương 2 - Tiết 25 đến 28: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp

Giáo án Bài 2. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp (4 tiết) I. Mục tiêu. 1. Kiến thức. HS nắm được: ã Khái niệm hoán vị, công thức tính số hoán vị của một tập hợp gồm n phần tử. ã HS cần hiểu được cách chứng minh định lí về số các hoán vị. ã Khái niệm chỉnh hợp, công thức tính số các chỉnh hợp chập k của n phần tử. ã HS cần hiểu được cách chứng minh định lí về số các chỉnh hợp chập k của n phần tử. ã Khái niệm tổ hợp, số các tổ hợp chập k của n phần tử. ã HS cần hiểu được cách chứng minh định lí về số các tổ hợp chập k của n phần tử. ã HS phân biệt được khái niệm: Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp. 2. Kĩ năng. ã Phân biệt được tổ hợp và chỉnh hợp bằng cách hiểu sắp xếp thứ tự và không thứ tự. ã áp dụng được các công thức tính số các chỉnh hợp, số các tổ hợp chập k của n phần tử, số các hoán vị. ã Nắm chắc các tính chất của tổ hợp và chỉnh hợp. 3. Tư duy và thái độ. ã Tự giác, tích cực trong học tập. ã Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp, bài toán cụ thể ã Tư duy vấn đề của toán học một cách lôgic, thực tế và hệ thống. II. phương tiện dạy học. Bảng phụ, thước kẻ, ................. IIi. Phương pháp dạy học. Sử dụng phương pháp gợi mở vấn đáp. Iv. Tiến trình dạy học. A. Bài cũ. Câu hỏi 1. Hãy nhắc lại quy tắc cộng. Câu hỏi 2. Hãy nhắc lại quy tắc nhân. Câu hỏi 3. Phân biệt quy tắc cộng và quy tắc nhân. B. Bài mới Tiết 1 Ngày 13/10/2008. Tiết thứ 25. Hoạt động 1. Hoán vị. a) Hoán vị là gì? ã GV nêu và hướng dẫn HS thực hiện ví dụ 1. GV cho HS điền vào chỗ trống theo cách của mình, sau đó liệt kê lại. Giải Các kết quả có thể Nhất Nhì Ba ã Nêu định nghĩa Cho tập hợp A có n ( n³ 1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A). ã Thực hiện H1. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Hãy kể một vài hoán vị. Câu hỏi 2 Hãy kể tám hoán vị. Gợi ý trả lời câu hỏi 1 GV cho HS kể và kết luận. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 GV cho HS kể. b) Số các hoán vị ã GV nêu vấn đề ?1 Một tập hợp có 1 phần tử có bao nhiêu hoán vị? ?2 Một tập hợp có 2 phần tử có bao nhiêu hoán vị? ?3 Một tập hợp có 3 phần tử có bao nhiêu hoán vị? ã GV nêu định lí 1: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)1 ã GV hướng dẫn HS chứng minh dựa vào quy tắc nhân. ã GV nêu ví dụ 2, ví dụ này chỉ mang tính minh hoạ. ã Thực hiện H2. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Việc thành lập các số có là hoán vị không? Câu hỏi 2 Có thể lập được bao nhiêu hoán vị. Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Mỗi việc lập số là một hoán vị. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Có thể lập được 5! = 120 số có 5 chữ số khác nhau. Tiết 2 Ngày 15/10/2008. Tiết thứ 26. Hoạt động 2. Chỉnh hợp a) Chỉnh hợp là gì ã GV nêu câu hỏi: Cho một tập hợp A gồm n phần tử. Việc chọn ra k phần tử để sắp xếp có thứ tự ?4 Nếu k = n, ta được một sắp xếp gọi là gì? ?5 Nếu k < n, ta được một sắp xếp gọi là gì? ã GV nêu ví dụ 3 và hướng dẫn HS thực hiện. ã GV nêu định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 Ê k Ê n. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A). ?6 Hai chỉnh hợp khác nhau là gì? ?7 Chỉnh hợp khác hoán vị ở điểm nào? ã Thực hiện H3. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Liệt kê số các chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử đó. Câu hỏi 2 Có bao nhiêu chỉnh hợp. Gợi ý trả lời câu hỏi 1 (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b). Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Có 6 chỉnh hợp. ã GV nêu nhận xét: Hai chỉnh hợp khác nhau khi và chỉ khi hoặc có ít nhất một phần tử của chỉnh hợp này mà không là phần tử của chỉnh hợp kia, hoặc các phần tử của hai chỉnh hợp giống nhau nhưng được sắp xếp theo thứ tự khác nhau. b) Số các chỉnh hợp ã GV nêu ví dụ 4 và cho HS thực hiện. ã GV nêu định lí Kí hiệu là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 Ê k Ê n). Ta có định lí sau đây: Định lí. Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 Ê k Ê n) là = n(n – 1)(n – 2) (n – k + 1). GV hướng dẫn HS chứng minh dựa vào quy tắc nhân. ã GV nêu nhận xét trong SGK. Từ định nghĩa ta thấy một hoán vị của tập hợp n phần tử là một chỉnh hợp chập n của tập đó nên = Pn = n! ã GV nêu ví dụ 5 cho HS thực hiện. Có thể thay bởi ví dụ khác. ã GV nêu chú ý trong SGK. Với 0 < k < n thì ta có thể viết công thức (1) dưới dạng . Ta quy ước 0! = 1 và = 1. ã Gv đưa ra các câu hỏi củng cố như sau: Hãy chọn đúng sai mà em cho là hợp lý. ?8 Hoán vị n phần tử là chỉnh hợp chập n của n. a. Đúng; b. Sai. ?9 là đúng khi k > n. a. Đúng; b. Sai. ?10 là đúng khi k < n. a. Đúng; b. Sai. ?11 = Pn. a. Đúng; b. Sai. Tiết 3 Ngày 17/10/2008. Tiết thứ 27. Hoạt động 3. Tổ hợp. a) Tổ hợp là gì? ã GV nêu định nghĩa. Giả sử tập A có n phần tử (n ³ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. ã Thực hiện H4. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Liệt kê số các tổ hợp chập k của A. Câu hỏi 2 Có bao nhiêu tổ hợp? Gợi ý trả lời câu hỏi 1 {a, b, c}, { a, c, d}, {a, b, d}, {b, c, d}. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Có 4 tổ hợp. b) Số các tổ hợp ã GV nêu các câu hỏi: ?12 Hai tổ hợp khác nhau là gì? ?13 Tổ hợp chập k của n khác chỉnh hợp chập k của n là gì? ã GV nêu định lí Kí hiệu là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0 Ê k Ê n). Ta có định lí sau đây. Định lí 3 Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 Ê k Ê n) là ã GV hướng dẫn HS chứng minh định lí. ã GV hướng dẫn HS thực hiện ví dụ 6 và ví dụ 7 nhằm củng cố kiến thức về tổ hợp. Hoạt động 4. Hai tính chất của . ã GV nêu tính chất 1 (0 Ê k Ê n). ã GV có thể chứng minh cho HS khá. ?14 Nhắc lại công thức ?15 Tính ?16 Chứng minh công thức trên. ã GV nêu tính chất 2. (1 Ê k < n) ã GV hướng dẫn HS chứng minh. Hoạt động 5. Tóm tắt bài học 1. Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ³ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp. Pn là số các hoán vị của n phần tử. Ta có Pn = n(n – 1)(n – 2)2.1. 2. Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ³ 1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 Ê k Ê n). Ta có = n(n – 1)(n – 2) (n – k + 1). 3. Giả sử tập A có n phần tử ( n ³ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0 Ê k Ê n). Ta có 4. Tính chất 1 (0 Ê k Ê n). Tính chất 2 (công thức Paxcan). (1 Ê k < n) Hoạt động 6. Một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau, từ bài 1 đến bài 3. Câu 1. Có 3 bạn nam và 2 bạn nữ sắp vào 1 hàng dọc. a) Số cách sắp xếp là: a. ; b. ; c. 5!; d. . Trả lời. Chọn (c) b) Số cách sắp xếp để hai bạn nữ đứng hai đầu hàng là: a. 3! + 2! = 8; b. 3!.2! = 12; c. 5!; d. . Trả lời. Chọn (b) c) Số cách sắp xếp để hai bạn nữ đứng kề nhau là: a. 3! + 2! = 8; b. 3!.2! = 12; c. 2! x 2! x 3! ; d. . Trả lời. Chọn (c) d) Số cách sắp xếp để hai bạn nam đứng kề nhau là: a. 3! + 2! = 8; b. 3! x 2! + 2! x 2! x 3! = 12; c. 2! x 2! x 3! ; d. . Trả lời. Chọn (b) Câu 2. Số các số có 4 chữ số khác nhau không chia hết cho 10: a. ; b. ; c. ; d. . Trả lời. Chọn (a) Câu 3. Hãy điền đúng, sai vào ô trống của những khẳng định sau: a. Số cách chọn 4 trong 7 người đi dự hội nghị là Ê b. Chọn 4 trong 7 người đi dự hội nghị là Ê c. = 35 Ê d. = 840 Ê ........................&......................... Tiết 4 Ngày 18/10/2008. Tiết thứ 28. Luyện tập I. Mục tiêu 1. Kiến thức. HS ôn tập lại: ã Quy tắc cộng và quy tắc nhân. ã Khái niệm, công thức tính số các tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị. ã HS phân biệt được khái niệm: Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp. 2. Kĩ năng. ã Phân biệt được tổ hợp và chỉnh hợp bằng cách hiểu sắp xếp thứ tự và không thứ tự. ã áp dụng được các công thức tính số các chỉnh hợp, số các tổ hợp chập k của n phần tử, số các hoán vị. ã Nắm chắc các tính chất của tổ hợp và chỉnh hợp. 3. Tư duy và thái độ. ã Tự giác, tích cực trong học tập. ã Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp, bài toán cụ thể. ã Tư duy vấn đề của toán học một cách lôgic, thực tế và hệ thống. II. Tiến trình dạy học A. Bài cũ. Câu hỏi 1. Nêu công thức tính số các tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị của tập hợp gồm n phần tử. Câu hỏi 2. Phân biệt tổ hợp, chỉnh hợp. Câu hỏi 3. Nêu các tính chất của tổ hợp. B. Bài mới. Bài 5. Hướng dẫn. Sử dụng kiến thức về hoán vị. Có 5! = 120 khả năng. Bài 6. Hướng dẫn. Dựa vào chỉnh hợp. Có = 8.7.6 = 336 kết quả có thể. Bài 7. Hướng dẫn. Số đoạn thẳng là số các tổ hợp. Số các vectơ là số các chỉnh hợp. Vậy số đoạn thẳng mà hai đầu mút là hai điểm thuộc P chính bằng số tổ hợp chập 2 của n phần tử, tức là bằng . Số vectơ cần tìm bằng số chỉnh hợp chập 2 của n phần tử, tức là bằng = n(n – 1). Bài 8 Hướng dẫn. Không phân biệt chức vụ thì áp dụng tổ hợp. Phân biệt chức vụ thì sử dụng chỉnh hợp. Có = 35 cách chọn. Có = 210 cách chọn. Bài 9 Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Giả sử có một câu trắc nghiệm, hỏi có mấy phương án? Câu hỏi 2 Bài thi có 2 câu thì có bao nhiêu phương án? Câu hỏi 3 Bài thi có 10 câu thì có bao nhiêu phương án? Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Có 4 phương án. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Có 4.4 = 42 phương án. Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Có 410 = 1048576 phương án trả lời. Bài 10 Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Hãy lập một số có 6 chữ số. Câu hỏi 2 Có mấy cách chọn g. Câu hỏi 3 Có mấy cách chọn a? Câu hỏi 4 Có mấy cách chọn b, c, d, e? Câu hỏi 5 Số các số cần tìm là bao nhiêu? Gợi ý trả lời câu hỏi 1 . Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Có 2 cách chọn g là : 0 hoặc 5. Gợi ý trả lời câu hỏi 3 a ẻ {1, 2, , 9}, có 9 cách chọn. Gợi ý trả lời câu hỏi 4 b, c, d, e ẻ {0, 1, , 9}, mỗi số có 10 cách chọn. Gợi ý trả lời câu hỏi 5 Có 9.10.10.10.10.2 = 180000 số như vậy Bài 11 Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Có bao nhiêu phương án đi từ A đến G. Câu hỏi 2 Mỗi phương án trên có bao nhiêu cách đi? Câu hỏi 3 Tổng cộng có bao nhiêu phương án? Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Có 4 phương án: 1) A đ B đ D đ E đ G; 2) A đ B đ D đ F đ G; 3) A đ C đ D đ E đ G; 4) A đ C đ D đ F đ G. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 GV chia HS làm 4 tổ, mỗi tổ làm một câu. Dựa vào quy tắc nhân. Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Cộng 4 phương án trên lại. Bài 12 Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Mỗi cách đóng – mở là một trạng thái. Hỏi có bao nhiêu trạng thái? Câu hỏi 2 Từ A đến B có mấy trạng thái không thông mạch? Câu hỏi 3 Từ C đến D có mấy trạng thái không thông mạch? Câu hỏi 4 Từ P đến Q có mấy trạng thái không thông mạch? Câu hỏi 5 Từ P đến Q có mấy trạng thái? Câu hỏi 6 Từ P đến Q có mấy trạng thái thông mạch? Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Có 26 = 64 trạng thái. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Có 23 = 8 trạng thái trong đó có 1 trạng thái thông mạch. Có 7 trạng thái không thông mạch. Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Có 7 trạng thái. Gợi ý trả lời câu hỏi 4 Có 7.7 = 49 trạng thái. Gợi ý trả lời câu hỏi 5 Có 8.8 = 64 trạng thái. Gợi ý trả lời câu hỏi 6 64 – 49 = 15. Bài 13 Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Việc chọn ra 4 người có điểm cao nhất là tổ hợp hay chỉnh hợp? Câu hỏi 2 Có bao nhiêu cách chọn như trên? Câu hỏi 3 Chọn 3 người sắp thứ tự nhất, nhì, ba là tổ hợp hay chỉnh hợp? Câu hỏi 4 Có bao nhiêu cách chọn như trên? Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Là tổ hợp vì không cần thứ tự. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 = 1365. Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Là chỉnh hợp Gợi ý trả lời câu hỏi 4 = 2730 Bài 14 Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Việc chọn ra 4 người xếp các giải nhất, nhì, ba, tư là tổ hợp hay chỉnh hợp. Câu hỏi 2 Có bao nhiêu cách chọn như trên? Câu hỏi 3 Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất? Câu hỏi 4 Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải? Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Là chỉnh hợp có thứ tự. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Có = 94109400 kết quả có thể. Gợi ý trả lời câu hỏi 3 = 941094 kết quả có thể. Gợi ý trả lời câu hỏi 4 4. = 3 764 376 kết quả có thể. Bài 15 Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Nếu chọn 5 em trong 10 em có bao nhiêu cách chọn? Câu hỏi 2 Số cách chọn 5 em toàn nam là bao nhiêu? Câu hỏi 3 Có bao nhiêu cách chọn 5 em theo yêu cầu bài toán? Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Số cách chọn 5 em trong 10 em là Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Số cách chọn 5em toàn nam là . Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Số cách chọn có ít nhất một nữ là - = 196. Chú ý: có thể giải theo cách khác. Bài 16 Hoạt động của GV Hoạt động của HS Câu hỏi 1 Số cách chọn 5 em toàn nam là bao nhiêu? Câu hỏi 2 Số cách chọn 5 em có 1 nữ là bao nhiêu? Câu hỏi 3 Có bao nhiêu cách chọn 5 em theo yêu cầu bài toán? Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Số cách chọn 5em toàn nam là . Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Số cách chọn 4 nam và 1 nữ là . Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Vậy đáp số bài toán là + = 126.