Giáo án Đại số 8 Phân thức đại số

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 1. Định nghĩa : Một phân thức đại số là một biểu thức có dạng , trong đó A, B là những đa thức và đa thức B khác đa thức O. A thường gọi là tử thức; B gọi là mẫu thức. 2. Tình chất : Nếu ta nhân ( hoặc ) cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức O thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho. Nếu ta đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho. 3. Muốn rút gọn phân thức ta làm như sau : Phân tích tử và mẫu thành nhân tủ; Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. Bài tập 1 : Tìm tập xác định của phân thức ( Tập xác định của phân thức là toàn bộ các số thực trừ những số thực làm cho mẫu thức bằng 0 ) a) b) c) d) Hướng dẫn a) Phân thức xác định khi và chỉ khi mẫu thức hay . Bài tập 2 : Với giá trị nào của thì phân thức sau triệt tiêu ? a) b) c) d) Hướng dẫn a) Phân thức triệt tiêu khi và chỉ khi Û Û . Ví dụ 3 : Tính giá trị của phân thức a) với b) với ; . c) với d) với . Bài giải a) với thì . b) với thì ; với thì B không xác định. c) với thì . d) với thì . Ví dụ 4 : Chứng minh đẳng thức a) b) Bài giải a) Û . Ví dụ 5 : Tìm biết : với . Bài giải Û Û với thì nên . 4. Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta làm như sau : Phân tích các mẫu thức thành nhân tử và tìm mẫu thức chung; Tìm nhân tử phụ cho mỗi mẫu thức; ( bằng cách chia mẫu thức chung cho từng mẫu thức ); Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng. 5. Muốn cộng ( trừ) hai phân thức : Muốn cộng ( hay trừ ) hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng ( hay trừ ) các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức. Muốn cộng ( hay trừ ) hai phân thức không cùng mẫu thức trước hết ta quy đồng mẫu thức, rồi ta cộng ( hay trừ ) các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức. Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính a) b) c) d) Bài giải a) . b) . c) . d) . Ví dụ 2 : Chứng minh hằng đẳng thức . Áp dụng tính tổng : Bài giải Ta có : . Áp dụng tính tổng : Û Û. 6. Muốn nhân hai phân thức : Muốn nhân hai phân thức với nhau ta nhân tử thức với tử thức; mẫu thức với mẫu thức. 7. Muốn chia hai phân thức : Muốn chia hai phân thức với nhau ta nhân phân thức bị chia với phân thức chia đảo ngược. Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính a) b) c) d) e) f) Bài giải a) . b) c) d) e) . f) . LUYỆN TẬP Bài 1 : Tìm tập xác định của phân thức a) b) c) d) e) Bài 2 : Với giá trị nào của thì phân thức sau triệt tiêu ? a) b) c) d) e) f) g) Bài 3 : Tính giá trị của phân thức a) với b) với ; . c) với . d) với . Bài 4 : Thực hiện phép tính a) b) c) d) e) f) g) h) . CÁC BI TÓAN VỀ ĐA THỨC. Bi 1: Tìm tổng các hệ số của các đa thức: 1. . HD: 2. . HD: Bi 2: 1.Tìm đa thức bậc hai thỏa 2. Từ đó suy ra công thức tính tổng HD: 1.Gọi Nên . Vậy (c là hằng số tuỳ ý). 2. Từ ta có: Cộng tất cả các đẳng thức trên ta có: Vậy Bi tập tương tự: 1.Tìm đa thức bậc hai thỏa và 2. Từ đó suy ra công thức tính tổng HD: Chỉ khác là hằng số c=0 Bi 3: Cho xác định . Giả sử và . Tính (Thi HSG khối 12 năm 2001) HD: Ta có Nên , tương tự . Bi 4: Cho xác định và thõa các điều kiện: Chứng minh rằng . (CHDC Đức - 1980) HD: Theo (3) ta có: . Tương tự ta cũng có Từ (2) ta có: Theo (3) ta có: , tương tự ta có . Nên Bi 5*: Cho 1/ Chứng minh 2/ Chứng minh để HD: 1/ 2/ Với , đặt ta có Bi 6*: Tìm đa thức biết thì . HD: Vì thì , nên thay ta có: Cộng (2) và (3) vế theo vế ta được , kết hợp với (1) ta suy ra , thay vào (2) và (3) ta có . Vậy đa thức phải tìm là Bi 7: Có tồn tại hay không một đa thức mà và với có các hệ số đều nguyên. Nhận xét: . Do đó: HD: Giả sử tồn tại đa thức , với . Khi đó: chia hết cho . Tuy nhiên không chia hết cho 23. Vậy không tồn tại đa thức với hệ số nguyên thõa yêu cầu. Bi 8: Tìm tất cả các đa thức có hệ số nguyên không âm, tất cả các hệ số đều nhỏ hơn 8 và thỏa mãn . HD: Xét đa thức , với đều nguyên , không âm và nhỏ hơn 8. Do nên . Rõ ràng là các chứ số của 1995 trong hệ ghi số cơ số 8. Trong hệ ghi số cơ số 8, 1995 được viết 3713. Vậy . Có thể tham khảo cách giải khác ở bi 9 ở dưới, để không sử dụng về hệ số ghi theo cơ số 8. Tài liệu tham khảo: Về hệ ghi số .... 1/ Sách Số học _ Bà chúa của toán học của Hoàng Chúng với mã sách “TK08” trang 100 ... 2/ Sách Để học tốt Toán 6 của Hoàng Chúng, Hoàng Quý, Lê Khắc Bảo, với mã sách “TK06” trang 72 ... Bi 9: Giả sử tất cả các hệ số của đa thức đều là những số nguyên không âm nhỏ hơn hay bằng 8 và . Xác định . HD: Giả sử . Theo giả thiết : . Vì , đẳng thức trên chứng tỏ là dư trong phép chia 32087 cho 9. Vì vậy ta được , và . Tiếp tục lập luận như trên ta có . Nên (Có thể giải thích điều này như sau vì , mà ....., nên , mà nên....). Bi 10: Tìm a, b, c, d để cho đa thức là bình phương đúng của đa thức . HD: (Sử dụng phương pháp đồng nhất thức) Ta có . Vì . Giải hệ trên ta có: Bi 11: Xác định m để bằng tích của 2 tam thức bậc hai Với a, b, c tìm được ở câu 1. Giải phương trình . HD: Dùng phương pháp đồng nhất thức để tìm Bi 12: Tìm số dư cuối cùng của phép chia đa thức cho . HD: Vì đa thức chia là đa thức bậc 2 nên dư của phép chia là đa thức có bậc bé hơn 2 là . Giả sử và là thương thì . Với : . Từ đó ta có kết quả là . Vậy dư của phép chia là Bi 13: Tìm dư khi chia , biết rằng với thì dư bằng -2449. HD: Giả sử , nên r(x) có bậc bé hơn a bằng 2 hay . . Từ (1), (2) và (3), ta có: . Vậy Bi 14: Tìm dư của phép chia . HD: Vì đa thức là đa thức bậc 2 nên dư của phép chia có dạng . . Mặt khác: . Từ (I) và (II) ta có:. Vậy dư của phép chia trên là Bi 15: 1/ Tìm a, b, c để đa thức chia hết cho đa thức . 2/ Tìm a, b để đa thức chia hết cho đa thức . HD: 1/ Vì . Thực hiện phép chia cho đa thức được thương là và dư là từ giả thiết ta suy ra là đa thức không. Từ đó suy ra 2/ Chia đa thức cho đa thức được thương là và dư là từ đó suy ra nên và . Thay giá trị của a vào đẳng thức này, ta tìm được . Vậy ta có Bi 16: Tìm m để đa thức chia hết cho . HD: Đặt . Ta có . Vậy là giá trị cần tìm. Bi 17: Với những giá trị nào của a, b thì đa thức chia hết cho . Hãy giải bi toán bằng 2 cách. HD: C1/ Thực hiện phép chia đa thức để tìm dư, ta được dư là đa thức . Nên . Thử lại với giá trị a, b vừa tìm được ta thấy thỏa điều kiện bi toán. C2/ Đa thức bị chia bậc 3, đa thức chia bậc 2, nên thương phải có dạng .Ta có: . Vậy Bi 18: (Chọn HSG thành phố Buôn ma thuột) Chứng minh rằng chia hết cho 100. HD: chia hết cho 100. -------š{›-------