Giáo án Đại số giải tích 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 2: Giới Hạn Của Hàm Số. Tiết: 53,54,55,56,57 Tuần: 5,6 I. MỤC ĐÍCH BÀI DẠY: Kiến thức cơ bản: Khái niệm giới hạn hàm số, một số định lí về giưói hạn của hàm số. Kỹ năng: Nắm được khái niệm giưói hạn của hàm số, ứng dụng để giải bài toán tìm giới hạn bằng định nghĩa; nắm được các định lí về giiưoí hạng của hàm số, ứng dụng vào tìm giới hạn của hàm số. Tư duy: Tư duy thuật toán, tư duy suy luận, khái quát vấn đề, khả năng áp dụng lí thuyết vào thực tế, Thái độ: Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, khả năng làm việc nhóm, khả năng thảo luận. II. PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC: Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp; hoạt động nhóm Phương tiện dạy học: Sách giáo khoa, bảng phụ, phiếu học tập. III. NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP Ổn định lớp Kiểm tra bài cũ Câu hỏi: Tính giới hạn của dãy số sau a. b. Gọi 2 học sinh trả bài, mỗi học sinh thực hiện 1 câu hỏi. Trình bày tài liệu mới: Nội dung (lưu bảng) Hoạt động của GV Hoạt động của HS I. GiỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI 1 ĐIỂM 1. Định nghĩa: * ĐN: Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0}. Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn K\{x0} và limxn=x0 ta có limf(xn)=L. * Kí hiệu: hay khi * Ví dụ 1: Cho hàm số . Chứng minh rằng . Giải - Hàm số xác định trên R\{3}. - Với dãy số (xn) bất kì thoả xn 3 và limxn=3 ta có: Vậy * Nhận xét: ; 2. Định lí về giới hạn hữu hạn: Định lí 1: Giả sử Khi đó ta có: * * * (với b 0) * Nếu thì và Ví dụ 2: Tính giới hạn Giải Ta có: =. Ví dụ 3: Tính 3. Giới hạn 1 bên: a. Định nghĩa: * Giới hạn bên phải Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0;b) Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì thoả: x0<xn<b và limxn=x0 thì ta có limf(xn)=L. Kí hiệu: * Giới hạn bên trái: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;x0) Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì thoả: a<xn< x0và limxn=x0 thì ta có limf(xn)=L. Kí hiệu: b. Định lí 2: c. Ví dụ: Cho hàm số Nếu Nếu Tính ,,(nếu có) Để dẫn dắt học sinh vào định nghĩa Gv tổ chức học sinh thực hiện hoạt động sau: * Hoạt động: Xét hàm số , Chọn dãy số (xn): x1,x2,...,xn, nhận các giá trị khác 1 với khi đó ta có dãy số tương ứng là (f(xn)): f(x1),f(x2),...,f(xn), a. Tính ? b. Cmr: ? c. Tính ? d. Cmr: Với dãy số bất kì (xn), xn 1 và limxn=1 ta có: limf(xn)=2. * Gv tổ chức học sinh thực hiện hoạt động theo nhóm học tập. * Sau khi thực hiện xong câu d của hđ, giáo viên khẳng định hàm số có giới hạn là 2 khi x dần tới 1 và nêu định nghĩa. * Gợi ý học sinh thực hiện ví dụ 1: - Tập xác định của hàm số ? - Lấy dãy số (xn) có đặc điểm gì? - Tính limf(xn) ? - Gv nêu định lí. - Yêu cầu học sinh áp dụng định lí để thực hiện ví dụ 2,3. - Giáo viên nêu định nghĩa giới hạn bên phải - Yêu cầu học sinh nêu định nghĩa giới hạn bên trái. - Giáo viên nêu định lí. - Gợi ý học sinh dựa vào định nghĩa và định lí thực hiện ví dụ: Gv thực hiện: - Yêu cầu hs thực hiện 2 yêu cầu còn lại. - Thực hiện hoạt động theo nhóm dưới sự gợi ý của giáo viên. a. Limxn=1 b. Thế xn vào hàm số ta được điều phải chứng minh. c. d. Limf(xn)=lim2xn =2limxn=2. * Phân tích định nghĩa và thực hiện ví dụ dưới sự gợi ý của giáo viên: - Hàm số xác định trên R\{3}. - Dãy số (xn) bất kì thoả xn 3 và limxn=3 - Phân tích nội dung định lí và thực hiện ví dụ 2,3. - Phân tích định nghĩa giưói hạn bên phải và nêu định nghĩa giới hạn bên trái. - Phân tích định lí và định nghĩa để thực hiện ví dụ. Ta có: Do giới hạn trái khác giới hạn phải nên không tồn tại. II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC 1. Định nghĩa: a. Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng ta nói hàm số có giới hạn là L khi x dần tới dương vô cực nếu với dãy số (xn) bất kì, xn>a và limxn=+ ta có: limf(xn)=L Kí hiệu: b. Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng ta nói hàm số có giới hạn là L khi x dần tới âm vô cực nếu với dãy số (xn) bất kì, xn<a và limxn=- ta có: limf(xn)=L + 2. Ví dụ: cho hàm số , tính , * CHÚ Ý: .) .) .) Định lí 1 cũng đúng trong trường hợp này. Ví dụ: Tính - Gv dẫn dắt học sinh vào định nghĩa thông qua hoạt động : Dựa vào đồ thị hàm số cho biết: x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới giá trị nào ? x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới giá trị nào ? - Gv nêu định nghĩa a, yêu cầu học sinh nêu định nghĩa b. - Gv thực hiện việc tính Với (xn) là dãy số bất kì thoả mãn xn<1 và limxn=- Ta có - Gv: nêu chú ý và hướng dẫn học sinh thực hiện ví dụ: Đặt mũ cao nhất làm nhân tử chung ở tử và mẫu. - Thực hiện hoạt động: x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới 0 x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới 0. - Nêu định nghĩa b. - Thực hiện tính Với (xn) là dãy số bất kì thoả mãn xn>1 và limxn=+ Ta có - Thực hiện ví dụ: III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa giới hạn vô cực: * ĐN: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng , ta nói hàm số có giới hạn là nếu với dãy số (xn) bất kì, xn>a và limxn=ta có: limf(xn)= - Kí hiệu: * Các định nghĩa còn tương tự. * Nhận xét: 2. Một vài giới hạn đặt biệt: a) với k nguyên dương. b) Với k là số lẻ. c) với k là số chẵn. 3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực: a. Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x): Nếu và (hoặc -) thì được tính theo quy tắc: Dấu của L + + - - b. Quy tắc tìm giới hạn của thương : Nếu và và g(x)>0 (hoặc g(x)<0) thì được tính theo quy tắc: Dấu của L dấu của g(x) + + + - - + - - * Chú ý: các quy tắc trên đúng cũng với trường hợp: c. Ví dụ: Vd1: Tính Ví dụ 2: a) b) - Gv nêu định nghĩa và chú ý. - yêu cầu học sinh phát biểu các định nghĩa còn lại một cách tương tự. - Giáo viên nêu một vài giới hạn đặt biệt . - Giáo viên nêu các quy tắc theo bảng. - Giáo viên gợi ý học sinh sử dụng quy tắc trong bảng để thực hiện ví dụ 1,2 - Dựa vào định nghĩa của giáo viên, phát biểu các định nghĩa còn lại. - Phân tích quy tắc để thực hiện ví dụ: Vd1 : Vd2: a. ta có ; x-1<0 ; Do đó: b.ta có ; x-1>0 ; Do đó: 3. Bài tập sách giáo khoa: Các dạng bài tập: A. Dạng 1: Tính giới hạn của hàm số bằng định nghĩa Bài 1: a) Với dãy số (xn) bất kì thoả điều kiện: xn 4 và limxn=4 ta có: . Vậy b) Với dãy số (xn) bất kì thoả điều kiện: limxn= ta có: . Vậy Bài 2: * Ta có: * Do un>0 nên . * Do vn>0 nên . Ta có: limun=0 và limvn=0 mà limf(un) lim(vn) nên hàm số không có giới hạn khi x. B. Dạng 2: Tính giới hạn dựa vào định lí 1. Bài toán giới hạn không rơi vào các dạng: Bài 3: a. ( Thế x=-3 vào hàm số ta được kết quả). Bài 4: Áp dụng quy tắc giới hạn vô cực a. Ta có: ; nên b. Ta có: ; nên c. Ta có: ; nên Bài 6: a) b) c. 2. Khử dạng vô định: - Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử và giản ước, cụ thể như sau: Bài 3b: - Nếu u(x) và v(x) có chứa biểu thức dưới căn thì có thể nhân tử và mẫu với lượng liên hiệp: Bài 3c: 3. Khử dạng vô định: chỉ có đối với giới hạn của hàm số khi . - Chia tử và mẫu cho xn với n là số mũ cao nhất của biến x. Bài 3d: ( Đơn giản luỹ thừa cao nhất của tử và mẫu) Bài 3e: ( Tương tự câu d) Bài 5: Bài 6d: 4. Khử dạng vô định: () hoặc - Nhân lượng liên hiệp nếu có chứa biến dưới dấu căn. - Quy đồng mẫu để đưa về cùng 1 phân thức. Vd1: Vd2: