Giáo án Đại số và giải tích khối 11 - Tiết 42: Bài tập

Ngày soạn: . . . . . . . . . . . Tiết chương trình : 42 BÀI TẬP Tên bài dạy: I. MỤC TIÊU : – Giúp học sinh nắm được những kỹ năng giải toán bằng phương pháp quy nạp toán học – Rèn cho học sinh năng lực tư duy tổng hợp, chính xác, kỹ năng thực hành. II. TRỌNG TÂM Kỹ năng giải toán bằng phương pháp quy nạp toán học III. CHUẨN BỊ: – Giáo viên: Soạn bài, dụng cụ giảng dạy. – Học sinh: Soạn bài, dụng cụ học tập. IV. TIẾN TRÌNH : 1. Ổn định tổ chức: Ổn định trật tự, kiểm diện sĩ số 2. Kiểm tra bài cũ: Hãy nêu các bước giải toán bằng phương pháp quy nạp toán học? 3. Giảng bài mới : Hoạt động của thầy, trò Nội dung bài dạy Phương pháp : Trình bày bảng, nêu vấn đề. - Giáo viên nêu các câu hỏi, gọi tên học sinh lên bảng trả lời, cả lớp nhận xét, giáo viên sửa hoàn chỉnh Hãy nêu phương pháp chứng minh quy nạp? B1: Chứng minh mệnh đề đúng với n=0 (hoặc n = p ) thường được thử trực tiếp) B2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k Chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 - Dựa vào phương pháp giải đã học giáo viên gọi học sinh lên bảng giải bài tập 1. Khi n = 1. Ta có vế trái =1. Vế phải : Vậy đẳng thức đúng với n = 1 Bây giờ: Giả sử đẳng thức đúng với n = k bất kỳ nghỉa là : 12+22+32++ n2 = Ta chứng minh đẳng thức cũng đúng cho n = k + 1. Giáo viên hướng dẫn cho học sinh phân tích để đưa biểu thức về dạng: Do đó : Vậy đẳng thức đúng với mọi n Ỵ N* Chú ý phương pháp trình bày bài giải. - Giáo viên gợi ý phương pháp giải và sau đó gọi học sinh lên bảng để giải. - Hãy nêu phương pháp chứng minh quy nạp? B1: chứng minh mệnh đề đúng với n = 0 (hoặc n = p ) thường được thử trực tiếp ) B2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k Chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 - Ta biết nếu một số được viết dưới dạng tổng của nhiều số mà mỗi số hạng chia hết cho 6 thì số đó sẽ chia hết cho 6. - Do (13k.13 – 13k)+(13k -1) = 13k.12 + uk 13k.12 6 ; uk 6. Vậy uk+1 6. Vậy mọi số hạng un 6 Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ³ 3 Ta có : 2n > 2n + 1 - Do giải thiết mọi số tự nhiên n ³ 3 thế nên ta thử kiểm tra với số hạng đầu tiên là n = 3 - Giáo viên gọi học sinh nêu phương pháp giải và sau đó giải bài tập 3. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ³ 3 Tức là : 2k > 2. K + 1 Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 Nghĩa là: 2k+1 > 2.k +3 Mặt khác 2k+(2k+2) > 2k + 3 (do k³ 3) - Nên bất đẳng thức đúng với " n ³ 3 Qua các bài tập đã sửa ở trên ta có nhận xét gì về phương pháp chứng minh một bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học? (Chú ý cách giải đối với từng bài tập cụ thể) Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh trước bài tập ở nhà để học sinh có thể tự giải được ở nhà. Bài 1: Chứng minh rằng với mọi nN* ta có đẳng thức : 12+22+32++ n2 = Giải: 1) Khi n = 1. Ta có vế trái bằng 1. Vế phải bằng Vậy đẳng thức đúng với n=1 2) Giả sử đẳng thức đúng với n = k bất kỳ nghỉa là : 12+22+32++ n2 = Ta chứng minh đẳng thức cũng đúng cho n = k + 1 Nghĩa là : 12+22+32++ (k+1)2 = Ta có: 12+22+32++ (k+1)2= 12+22+32++k2+(k+1)2 = = Vậy đẳng thức đúng với mọi n Ỵ N* Bài 2: Chứng minh rằng :"nỴN, biểu thức un= 13n-1 Chia hết cho 6. Giải: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 0 u0 = 130 – 1 = 1 – 1 = 0. 0 chi hết cho 6 Vậy mệnh đề đúng với n = 0 Giải sử mệnh đề đúng với n = k (k³ 0) Nghĩa là : uk = 13k – 1 chia hết cho 6 Ta chứng minh uk+1=13k+1 – 1 chia hết cho 6 Ta có : uk+1 = 13k+1 – 1 = (13k.13 – 13k)+(13k -1) = 13k.12 + uk 13k.12 6 ; uk 6. Vậy uk+1 6. Vậy mọi số hạng un 6 Bài 3: 1/ Khi n = 3 - Vế trái 23= 8. Vế phải: 2.3 + 1 = 7 : 8 >7. Vậy bất đẳng thức đúng với n = 3 Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ³ 3 Tức là : 2k > 2. K + 1 Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 Nghĩa là: 2k+1 > 2.k +3 Ta có : 2k+1 = 2. 2k mà 2k > 2k + 1 Nên 2k+1 > 2.(2k + 1) Û 2k+1 > 2k + (2k +2) Mà 2k+(2k+2) > 2k + 3 (do k³ 3) Do đó : 2k+1 > 2k+3 Vậy bất đẳng thức đúng với " n ³ 3 4. Củng cố : – Giáo viên hệ thống lại các bài tập đã sửa và nêu phương pháp giải cho từng dạng bài tập đó – Chứng minh "nỴN* Ta có : 1 - 2 + 3 - 4+- 2n + (2n+1) = n + 1 5. Dặn dò : Về giải lại các bài tập đã sửa, giải lại các bài tập 4 – 5. Soạn bài 2: “Dãy số” V. RÚT KINH NGHIỆM :