Giáo án Giải tích lớp 11 - Tiết 68 đến tiết 61: Giới hạn của hàm số

Tiết: 58- 61 Tuần: Bài: I/ Mục đích yêu cầu: 1. Kiến thức: Nắm vững các định nghĩa giới hạn của hàm số Nắm vững các định lý về giới hạn của hàm số Hiểu được khái niệm dạng vô định của giới hạn hàm số . Biết cách khử dạng vô định để tìm giới hạn 2. Kỹ năng : Tìm được giới hạn của hàm số bằng cách vận dụng các định lý II/ Chuẩn bị: Giáo viên: Học sinh: III/ Tiến trình bài dạy: Ổn định lớp: Kiểm tra học sinh vắng Kiểm tra bài cũ: Bài mới: T/gian Nội dung bài ghi Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Định nghĩa: a) Ví dụ: Cho hàm số f(x)= D= R\{1} x1, ta có: f(x)==x+1 Nếu x lấy những giá trị lập thành một dãy số (xn ) sao cho xn1, nN*: x1,x2,,xn,( xn R\{1} , n N*) thì f(x) lấy những giá trị lập thành một dãy số (f(xn)): f(x1)= , f(x2)= f(xn)= ,... Giả sử (xn ) là một dãy số bất kỳ sao cho xn1, nN* và có giới hạn là 1. Khi đó , ta có lim f(xn)= lim (xn +1)= lim xn +1= 1+1= 2 Vậy với mọi dãy số (xn)sao cho xn1, nN*, mà xn1thì f(xn) 2. Ta nói khi x dần tới 1 thì hàm số dần tới 2 (hay có giới hạn là 2) b) Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên một khỏang K, có thể trừ điểm a K. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi dần tới a nếu với mọi dãy số (xn ) (xn K,xn a, nN*) sao cho khi lim xn = a thì lim f(xn)= L Ký hiệu: Như vậy: Một số định lý về giới hạn của hàm số Định lý 1: (Tính duy nhất của giới hạn ) Nếu hàm số f(x)có giới hạn khi x dần tới a thì giới hạn đó là duy nhất Định lý 2: (Các phép tóan trên các giới hạn của hàm số ) Nếu các hàm số f(x)và g(x) đều có giới hạn khi x dần tới a thì (nếu ) (f(x)0) Định lý 3: ( giới hạn của một hàm số kẹp giữa hai hàm số cùng dần tới một giới hạn ) Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) cùng xác định trên một khỏang K chưá điểm a (có thể trừ điểm a). Nếu với mọi điểm x của khỏang đó mà g(x)f(x) h(x)và thì Định lý 4: Nếu khi x dần tới a, hàm số f(x) có giới hạn L và nếu với mọi giá trị x đủ gần a mà f(x)> 0 (hoặc f(x)< 0) thì L 0 (hoặc L0) Ví dụ: Mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số : a) Hàm số dần tới vô cực: Định nghĩa: Ta nói hàm số f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a nếu với mọi dãy (xn) sao cho lim xn = a thì limf(xn) = Ta viết Chú ý: - Thật ra hàm số f(x) không có giới hạn nên không áp dụng định lý 2 về các phép tóan trên các giới hạn của hàm số - Nếu f(x) khi x mà f(x)> 0, với mọi x đủ gần a thì ta ký hiệu: - Nếu f(x) khi x mà f(x)< 0, với mọi x đủ gần a thì ta ký hiệu: Định lý : Nếu (và f(x) 0 với mọi x đủ gần a ) thì Ngược lại nếu thì Ví dụ: b) Giới hạn tại vô cực: Định nghĩa 1: Ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, nếu với mọi dãy số (xn) sao cho lim xn = thì Ta viết Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực dương (hoặc âm), nếu với mọi dãy số (xn)với xn > 0( hoặc xn < 0 )sao cho thì limf(xn)= L Ta viết: hoặc Chú ý: Các định lý về giới hạn của hàm số khi a vẫn đúng khi Ví dụ: c) Giới hạn một bên: Định nghĩa: Số L gọi là giới hạn bên phải (hoặc giới hạn bên trái ) của hàm số f(x) khi x dần tới a, nếu với mọi dãy số (xn ) với xn > a (hoặc xn < a) sao cho thì limf(xn)= L Ta viết ( hoặc ) Định lý : Điều kiện cần và đủ để là Ví dụ: Tìm Cho hàm số f(x) = Tìm a để hàm số có giới hạn khi x2 và tìm giới hạn đó 4. Các dạng vô định : Khi tìm giới hạn của hàm số , ta có gặp một số trường hợp đặc biệt sau: mà mà mà mà hoặc Những dạng vô định trên được ký hiệu theo thứ tự là Để tìm giới hạn trong các trường hợp trên (gọi chung là khử dạng vô định), ta phải biến đổi các biểu thức u(x) và v(x) để có thể áp dụng các định lý về giới hạn Dạng : Khi xa có dạng vô định , khử cho x – a + Nếu có căn thì nhân LLH + Không có căn dùng pp chia đa thức Ví dụ: Dạng : Chia tử và mẫu cho xk với k là số mũ lớn nhất Dạng Nếu có căn nhân LLH, đưa về dạng Nếu không có căn, biến đổi đại số, đưa về dạng Ví dụ: a) b) d) Dạng Đưa về dạng Ví dụ: